Hai dạng phương trình trên không phải là mới và cũng không quá khó. Gần đây trên tạp chí Toán học Tuổi trẻ các số 442 và 444 có nêu lên một phương pháp giải hai dạng phương trình này. Để góp phần phong phú và sinh động thêm, chúng tôi xin trình bày thêm một cách tiếp cận lời giải khác
THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ LŨY THỪA BẬC HAI, CĂN BẬC BA VÀ LŨY THỪA BẬC BA Giáo viên: Vũ Ngun Duy Trường THPT chun Huỳnh Mẫn Đạt Hai dạng phương trình khơng phải khơng q khó Gần tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 442 444 có nêu lên phương pháp giải hai dạng phương trình Để góp phần phong phú sinh động thêm, chúng tơi xin trình bày thêm cách tiếp cận lời giải khác Dạng 1: Phương trình chứa bậc hai lũy thừa bậc hai ax + b = c (dx + e )2 + α x + β với d = ac + α e = bc + β Phương pháp: Đặt ax + b = dt + e , điều kiện : dt + e ≥ Khi phương trình chuyển thành hệ: ax + b = dt + e (1) ax + b = (dt + e ) ⇔ 2 dt + e = c(dx + e ) + α x + β dt + e = c (dx + e ) + α x + β Trừ vế theo vế ta đưa phương trình dạng tích Kết hợp với (1) ta tìm nghiệm pt Lời bàn: Vấn đề phân tích lý thuyết đưa ra?? Chúng ta tham khảo phương pháp sau: Ví dụ 1: Giải phương trình x + = −4 x + 13 x − Lời giải: Điều kiện x ≥ − (*) Nháp : Để biến đổi dạng lý thuyết, ta đặt : x + = at + b (a, b cần tìm) x + = at + b Phương trình chuyển thành hệ at + b = −4 x + 13 x − a 2t + 2abt − x + b − = ⇔ 4 x − 13 x + at + b + = Mục tiêu : nhẫm a, b cho hai hệ trừ có nhân tử chung ( x − t ) 2 4t + 4bt − x + b − = Đồng a = ⇔ a= ± , chọn trước a = vào hệ ta có : 4 x − 13 x + 2t + b + = Trừ vế theo vế : 4(t − x ) + (4b − 2)t + 10 x + b − b − = b − b − = Để xuất nhân tử (t − x ) (4b − 2)t + 10 x có (t − x ) ( x − t ) Kiểm tra thấy b = −2 thỏa Vậy a = b = -2 Trình bày cụ thể sau: Đặt x + = 2t − (t ≥ 1) x + = 2t − (**) Phương trình ban đầu chuyển thành hệ: 2t − = −4 x + 13 x − 4t − 8t − x + − = Với t ≥ biến đổi hệ thành 4 x − 13 x + 2t − + = t = x ⇒ 4(t − x ) − 10t + 10 x = ⇔ (t − x )(2t + x − 5) = ⇔ 2t = − x Với t = x vào (**) được: x ≥ 11 + 73 x + = 2x − ⇔ ⇔x= x − 11x + = Với 2t = − x vào (**) được: 15 − 97 x ≤ 3x + = − 2x ⇔ ⇔x= thỏa 4 x − 15 x + = 11 + 73 15 − 97 , 8 Vậy tập nghiệm phương trình ban đầu S = Chú ý: Cách đặt khơng , với chọn a = −2 suy b = nên giải phương trình cách đặt x + = −2t + 3 (t ≥ ) Ví dụ 2: Giải phương trình 2x − + x − x + = Đây đề thi Đại học khối D năm 2006 Do phương trình có nghiệm ngun x = nên dễ dàng giải cách thơng thường đặt x − = t quy phương trình ban đầu phương trình bậc theo ẩn t , chia Hoocner đưa phương trình tích Hoặc ta áp dụng phương pháp tìm a, b để đặt x − = at + b Ta tìm a = 1, b = trình bày lời giải cụ thể sau: Lời giải: Điều kiện: x ≥ Đặt 2 2 x − − t = (*) x − = t , phương trình ban đầu quy hệ t + x − x + = x = t Suy x − t + t − x = ⇔ ( x − t )( x + t − 1) = ⇔ t = − x Với x = t vào (*) ta tìm x , tương tự với t = − x { } Tập nghiệm phương trình 1; − ÁP DỤNG: Giải phương trình sau: 2 (3 x + 1) + (4 x + 3) = x + + −5 + 17 −7 − 13 ; 10 10 Đáp số: S = 2 x + = x + x + x + 3x + + = 13 x x − x − = x + 5 4x + = 7x2 + 7x 28 Đáp số: x = − 50 14 x − = 3x + x + 29 12 x + 61 = x + x − 36 x − x − 2004 + 16032 x = 2004 Đặt 12 x + 61 = y + Đặt + 16032 x = 2t − Dạng 2: Phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba ax + b = c (ex + d )3 + α x + β với d = ac + α e = bc + β Phương pháp chung: Ta tìm cách đặt ax + b = ex + d sau quy phương trình hệ đối xứng loại Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + x + 20 x +1 = 1− 2x Hướng dẫn nháp: Đặt − 2x = mt + n ; lập phương vế ta được: m3t + 3m nt + 3mn 2t + x + n3 − = Thế mt + n vào pt ban đầu: 27 x + 27 x + 20 x − 3mt + − 3n = Trừ vế theo vế pt, dễ dàng chọn m = 3, n = Lời giải: Đặt − x = 3t + 27t + 27t + 9t + x = Phương trình ban đầu quy hệ: 27 x + 27 x + 20 x − 9t = 2 Trừ vế theo vế pt ta được: 9(t − x) 3 ( t + tx + x ) + 3(t + x) + = • TH1: t = x … 2 • TH2: ( t + tx + x ) + 3(t + x) + = , ta chứng minh pt vơ nghiệm Thật vậy: Đặt S = t + x; P = t.x , điều kiện có nghiệm t , x S ≥ P Thế S , P vào pt: 3S − 3P + 3S + = Nhân 8 2 vào hai vế pt: S − P + 4S + = ⇔ ( S − P ) + 3S + S + = vơ 3 nghiệm Phương trình ban đầu có nghiệm là:… Lời bàn: ví dụ q trình làm nháp, ta thấy m3t 27x nên dễ dàng đồng chọn m = ±3 Nếu khơng dễ dàng đồng sao? Ta xét ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: x3 + x + x + = x + Hướng dẫn nháp: Đặt x + = mt + n ; lập phương vế ta được: m3t + 3m nt + 3mn 2t − x + n3 − = Thế mt + n vào pt ban đầu: x3 + x + x − mt + − n = (a) Vì m3 khó đồng nên nhân hai vế pt (a) cho 2, ta được: x + 12 x + x − 2mt + − 2n = Trừ vế theo vế pt, dễ dàng chọn m = 2, n = Lời giải: Đặt x + = 2t + 8t + 12t + 6t − x = Phương trình ban đầu quy hệ: 8 x + 12 x + x − 4t = 2 Trừ vế theo vế hai pt: 2(t − x) 4(t + xt + x ) + 6(t + x ) + 5 = • TH1: t = x … • TH2: 4(t + xt + x ) + 6(t + x) + = , ta chứng minh pt vơ nghiệm Thật vậy: Đặt S = t + x; P = t.x , điều kiện có nghiệm t , x S ≥ P Thế S , P vào pt: S − P + S + = ⇔ S − P + 3S2 + 6S + = ⇔ S − P + ( S + 1) + = pt vơ nghiệm Phương trình ban đầu có nghiệm là:… Lời bàn: ngồi khó tìm m, n cách đặt x + = 2t + , mà q trình giải phải chứng minh phương trình 4(t + xt + x ) + 6(t + x) + = vơ nghiệm 2 Còn phương trình sau, đơi giải phương trình bậc ba phải nhớ tới ứng dụng lượng giác Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x3 − x − = x + Lời giải: Đặt x + = 2t 8t − x − = Phương trình ban đầu quy hệ: 8 x − x − 2t − = 2 Trừ vế theo vế hai pt: 2(t − x) 4(t + xt + x ) + 1 = • Dễ thấy pt: 4(t + xt + x ) + = vơ nghiệm 3 • Với t = x ta có pt: x − x − = ⇔ x − x = Ta có: π = cos cos 3a = cos3 a − 3cos a (*) π π ± 2π Phương trình (*) có nghiệm x1 = cos , x = cos tức phương 2,3 π trình ban đầu có nghiệm x1 = cos , x2 = cos 7π 5π , x3 = cos 9 ÁP DỤNG Giải phương trình sau: 63 x3 3x − = − x + x 3 x − 36 x + 53 x − 25 = 3x − Đặt 24 x − 63 = 2t − Đáp số: x = 2; x = ± x + x − 3 x + = − 3x (Olympic 30/4 lần XV_ năm 2009) Đáp số: x = 1, x = −2 3 81x − = x − x + x−2 x − 18 x + 30 x − 17 = − x − 3 Đáp số: x = 0; x = ± Đáp số: x = ... Do phương trình có nghiệm ngun x = nên dễ dàng giải cách thơng thường đặt x − = t quy phương trình ban đầu phương trình bậc theo ẩn t , chia Hoocner đưa phương trình tích Hoặc ta áp dụng phương. .. 2t − Dạng 2: Phương trình chứa bậc ba lũy thừa bậc ba ax + b = c (ex + d )3 + α x + β với d = ac + α e = bc + β Phương pháp chung: Ta tìm cách đặt ax + b = ex + d sau quy phương trình hệ đối... phải chứng minh phương trình 4(t + xt + x ) + 6(t + x) + = vơ nghiệm 2 Còn phương trình sau, đơi giải phương trình bậc ba phải nhớ tới ứng dụng lượng giác Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x3 −