GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Qua các phép biến đổi cơ bản và chọn ẩn phụ thích hợp, ta đưa bất phương trình ban đầu thành bất phương trình mới đơn giản hơn, dễ nhìn hơn. Thông thường một số bất phương trình sẽ không xuất hiện sẵn ẩn phụ mà ta phải biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ đó. Các phép biến đổi thường gặp là: +Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn, mục đích là đưa về bất phương trình mới, bậc cao giải được. +Nhân, chia 2 vế của bất phương trình với 1 biểu thức nào đó (lưu ý dấu của biểu thức mà ta xét)

Hội người ôn thi đại học Khối A GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ *Đặt ẩn phụ hoàn toàn: +Đưa bất phương trình +Đưa hệ A-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỚI -Qua phép biến đổi chọn ẩn phụ thích hợp, ta đưa bất phương trình ban đầu thành bất phương trình đơn giản hơn, dễ nhìn -Thông thường số bất phương trình không xuất sẵn ẩn phụ mà ta phải biến đổi để làm xuất ẩn phụ Các phép biến đổi thường gặp là: +Đặt ẩn phụ biểu thức chứa căn, mục đích đưa bất phương trình mới, bậc cao giải +Nhân, chia vế bất phương trình với biểu thức (lưu ý dấu biểu thức mà ta xét) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x  x  149  x  x    1193 ĐK :  x 2 x  x  149  Đặt: t  x    x  t  , bất phương trình trở thành:       t   t   149  2t  t  2 2t  4t  27t  52   t  2 Suy ra: x    x  So điều kiện ban đầu, kết luận tập nghiệm bất phương trình cho là: S  9; Nhận xét: Nếu từ ban đầu ta bình phương vế không âm bất phương trình ta đưa bất phương trình tích sau: x  9 x  32 x  307 x  2469  , việc    1193 phức tạp cồng kềnh Bài tập tương tự: Giải bất phương trình 3x  20  x  x  , ĐS:x>5 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: chứng minh x  32 x  307 x  2469  0, x    1 x    1 x 1 x2  https://www.facebook.com/sedodaihoc Hội người ôn thi đại học Khối A 2 ĐK : 1  x  1, đặt t   x   x ; t   t    x   x  t2  2 Bất phương trình cho trở thành: t2  t   t  2t    t  2t  2t  2   t  2  1 x2   x2   x  Kết hợp điều kiện ban đầu suy nghiệm bất phương trình cho là: S  [1;0)  (0;1] Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x  x   2x  x  1 ĐK : x  , x=0 không nghiệm bất phương trình nên ta chia vế (*) cho x>0 1    2 x   1 x  x  1  x  t    x , BPT trở thành: Ta dễ dàng phát ẩn phụ: t  x x 1 x   t  2t  1  t  2t   2t  1  t  1   t  3  x   x  x 1   x  (loại nghiệm âm) x 3   S    Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm:   Nhận xét: Trong số bất phương trình có chứa ẩn mẫu quy đồng ta cần xét dấu mẫu số để không bị sai dấu bất phương trình nhân Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x x  (*) 1 x  x 1 Đk: x  Ta nghĩ đến việc quy đồng mẫu số bình phương đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình Tuy nhiên trước quy đồng, ta cần xét dấu mẫu số: Suy ra:   Vì 2x  x  1  x  ( x 1)   nên:  2x  x  1  Suy ra: (*)  x  x   2x  x  1  x  x   2x  x  1 Đây ví dụ mà ta giải Ví dụ 5: Giải bất phương trình: https://www.facebook.com/sedodaihoc Hội người ôn thi đại học Khối A  xx  x2  6x  1 ĐK: x  Xét dấu mẫu số: Ta có:   1 (*) x  x   x  3   x  x    2x  3  16   2.32  16   Do đó: (*)  x  x  2x  x  1   x  x   2x  x  1 Do x=0 không nghiệm bất phương trình nên ta chia vế (*) cho x>0 1   4 x   2 x    x x   Vẫn đặt ẩn ví dụ giải tương tự Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x2  2x x  ĐK : x   3x  (*) x   x  [1;0)  [1;) x Chia vế (*) cho x khác ta được:  1 x  1 1 1  x  x      x    x    x    x2  x 1    x x x x x  1  x   So điều kiện ban đầu, kết luận nghiệm bất phương trình cho là:  1  1   S   1; ;        B-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ Đây phương pháp giải bất phương trình hay, cách giải giống với giải hệ phương trình học (phương pháp thế) Đối với phương pháp này, ta cần lưu ý điều: cộng (hoặc trừ) hai vế bất phương trình cho đẳng thức bất phương trình không đổi dấu Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x 1 x3   (*) https://www.facebook.com/sedodaihoc Hội người ôn thi đại học Khối A 2 x  y  x  Nếu phương trình ta đặt y  , đưa hệ đối xứng:  2 y  x  Nhưng bất phương trình ta giải theo cách tương tự:  x 1 (1) 2 x  y  Đặt y  , ta có hệ:   (2) 2 y  x  Theo tính chất ban đầu, ta trừ theo vế bất phương trình (1) phương trình (2) ta được: 2x3  y   x  y    x  y 2 x  xy  y  1   x  y x 1  x  x    x  1 x  x    x  x  36 Bài tập rèn luyện: Giải bất phương trình 2 x  x  36   2 x  x  36  Suy ra: x   Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 3x   x   (*) ĐK : x  3   u  v  u  3x  3x  u    Đặt  , ta có hệ:  2   u  3v  x  v  v  x  (1) (2) (1)  u  v   u  v  1  u  3v  v  1  3v , kết hợp với (2) ta được: 3    v  1  3v  v3  3v    v  1 v  v    v   x    x  Vậy bất phương trình có nghiệm: S=[1;2) Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x  ĐK : x  35  x  35  x 3  30 (*) x Đặt y  35  x3  x3  y  35 , kết hợp với (*) ta hệ:  xy ( x  y )  30  xy ( x  y )  30  xy ( x  y )  30      3  x  y  35 x  y   3xy x  y   35 3xy x  y   x  y   35 Suy ra: x  y 3  35  90  x  y   x  35  x3   35  x3   x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S=[2;3] Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 1   (*) x 2 x https://www.facebook.com/sedodaihoc Hội người ôn thi đại học Khối A Đặt y   x  , ta có hệ: x  y x  y 1  xy  x  y   xy      , x2  y  x  y 2  xy   xy  x  y      Đặt u=x+y, phương pháp từ phương trình lên bất phương trình ta được: 2u 2 2   u    u   x  y   2 u 2 u 2 2  x  y   xy   x  x     x   x  y   HẾT https://www.facebook.com/sedodaihoc §1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ ta gặp dạng như: 1.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình đại số không chứa thức với ẩn ẩn phụ 1.1.2 Đặt ẩn phụ mà ẩn chính, ta tính ẩn theo ẩn 1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hệ hai phương trình với hai ẩn hai ẩn phụ, hai ẩn gồm ẩn ẩn phụ, thường ta hệ đối xứng 1.1.4 Đặt ẩn phụ để phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi phương trình tích với vế phải Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, biến đổi hệ nhớ phải thử lại nghiệm 1.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: 1) 18 x  18 x x  17 x  x   2) x  3x     x2   3) 4) x  x2 1 1   4 x   x x  x2   x  x  x  Hướng dẫn (HD): 1) Đặt x  y với y  Khi phương trình cho trở thành (3 y  y  2)(6 y  y  1)  , suy (3 y  y  2)  , ta y  phương trình có nghiệm x   10 Từ 14  10 2) Ta có x  x   ( x  1)2  x  ( x  x  1)( x  x  1)  , với x Mặt khác x  3x   2( x  x  1)  ( x  x  1) Đặt y  x2  x 1 (có thể viết đk y  xác  y  ), ta x  x 1 y2 1   3 y   y  y   , ta y  (loại y   ) 3 Từ phương trình có nghiệm x  3) Ta thấy x  không thỏa mãn   x   1   Khi phương trình tương đương với hệ 4   x    x    2      x        x        x    1  Đặt x   y , ta x 2  y  4(1)  2 4  ( y  2)   2( y  2)  (4  y ) (2) Xét (2)   y  y  y   y  y  28 y  40 y  16  (do hai vế không âm)  ( y  2)( y  y  16 y  8)   ( y  2)(( y  2)( y  y  8)  8)  Dẫn đến y  (do (( y  2)( y  y  8)  8)  với y thỏa mãn (1)) Từ phương trình có nghiệm x  Nhận xét: Bài toán ta giải Phương pháp đánh giá phần sau 4) Ta có phương trình tương đương với  x   x  x  x   x   x  x (1  x )  x  x  x  x  x  x(1   x  x  x )  x   2 1   x  x  x  0(1) Xét (1), đặt y   x , suy y  x   y Ta  y  y (1  y )   y  y    (2 y  1)(4 y  y  1)   y 1 5 Từ suy x   Thử lại ta nghiệm phương trình x  x   5 Nhận xét: Bài toán ta giải Phương pháp lượng giác phần sau Ví dụ Giải phương trình x  3x   ( x  3) x  HD: Đặt x   y , với y  Khi ta y  3x  ( x  3) y  ( y  3)( y  x)  Dẫn đến y  y  x Từ phương trình có nghiệm x   Ví dụ Giải phương trình 17  x8  x8   HD: Đặt 17  x8  y với y  y  z 1 z  y 1   3 2 y  z  33 2 y  ( y  1)  33 x   z Khi ta hệ Xét y  ( y  1)3  33  ( y  2)(2 y  y  y  17)  Suy y - = Từ nghiệm phương trình x = x = -1 Ví dụ Giải phương trình sau: 1) x   x   3x  x 2) 81x   x  x  HD: 1) Đặt x2  x  y , với  y   x  y   3xy Khi ta hệ  x  y  Thế lại đặt x  y  S ; xy  P giải tiếp ta nghiệm phương trình x  ; x  x  2) Đặt 2  14 81x    y  3x  y  y  y  3 x  y  y  y  Khi ta hệ  3 y  x  x  x  Xét hiệu hai phương trình dẫn đến x  y (do 1 1 ( x  y )2  ( x  2)2  ( y  2)   ) 2 Thay vào hệ giải phương trình ta x  0; x  Ví dụ Giải phương trình 3 x  14 x   x  x  20  x  HD: Đk x  Với điều kiện ta biến đổi phương trình cho sau: x  14 x   x  x  20  x   x  14 x   x  x  20  25( x  1)  10 ( x  1)( x  4)( x  5)  x  x   ( x  1)( x  5) x   2( x  1)( x  5)  3( x  4)  ( x  1)( x  5) x  Đặt ( x  1)( x  5)  y; x   z , với y  0; z  y  z Ta y  3z  yz  ( y  z)(2 y  3z )  , từ ta  y  z  2 Nếu y  z ta x  Nếu y   61 (do x  ) z ta x  8; x   Vậy phương trình có ba nghiệm Ví dụ Giải phương trình x  x  4x  , với x  28 4x   ay  b , sau bình 28 phương lên ta “cố ý” biến đổi hệ đối xứng với hai ẩn x, y Từ ta biết giá trị a, b Với toán ta tìm a  1; b  (Nếu a = b = mà giải phương trình đơn giản, ta không xét đây) Nhận xét: Dạng phương trình ta thường đặt HD: Đặt 4x   y  , x  nên 28 4x  9   , từ y  28 28  7 x  x  y   6  50  Ta hệ 7 y  y  x  Giải hệ bình thường theo dạng ta x  14   x, y    Ví dụ Giải phương trình x    x3 Nhận xét: Khi giải phương trình lúc có nghiệm thực, có phương trình vô nghiệm cho học sinh làm ta kiểm tra lực học sinh trình bầy lời giải toán Chẳng hạn toán ví dụ HD: Đặt 3  x  y  x    x = y với y  Khi ta hệ  từ  x   y phương trình ban đầu ta có x   Xét hiệu hai phương trình hệ ta phương trình ( x  y )( x  xy  y  x  y )  Với x   y x   x  , dẫn đến vô nghiệm Còn x  xy  y  x  y  ( y  x )(1  x)  y  với y  x   Do hệ vô nghiệm hay phương trình cho vô nghiệm 1.3 Một số tập tương tự Bài Giải phương trình sau: x2   x  2x2  x 1) (HD: Đặt y   x ; y  , ta ( y  1)( y  y  1)(2 y  y  4)  Từ y  1; y  x  1; x  1 33  ;y nghiệm phương trình 1 33  ;x   ) x2  x   x3  2) (HD: Từ phương trình suy x  Đặt x2  x 1  y , bình phương dẫn đến x 1 y   Phương trình trở thành y  y   , ta y  Từ x   ) Bài Giải phương trình (4 x  1) x   x  x  (HD: Đặt nghiệm x  x   y , với y  Từ ta y   y  x  Phương trình có ) Bài Giải phương trình sau: 3(2  x  2)  x  x  1) (HD: Đặt x   y , x   z , với y  0; z  Ta x   y  z  Từ phương trình có nghiệm x  3; x   2(1  x)  x  2) (HD: Đk  x   Đặt 11  )  2(1  x)  y  y  1 x x  z  z  x với y  0; z   2( y  z )  1(1) 1 Suy  Từ (1) thay y   z vào (2) ta ( z  1)2  ( z  )  2  y  z   1(2) 1 Xét hiệu hai bình phương suy z   34 (HD: Đặt 3) x3 3  17 3  17  y  ,được x   (loại), x  1 x  ) 4 27 x  18 x  x  , với x  (HD: Tương tự, ta x  5  37 ) 18 PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 2.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f ( x)  g ( x ) ) phương pháp đánh giá, thường để ta phương trình có nghiệm (nghiệm nhất).Ta thường sử dụng bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái tổng bình phương biểu thức, đồng thời vế phải Ta sử dụng tính đơn điệu hàm số (có thể thấy sử dụng đạo hàm xét biến thiên hàm số) để đánh giá cách hợp lý Thường ta đánh sau:  f ( x)  g ( x)   f ( x )  C ( C )  f ( x)  g ( x)  C , đánh giá  g ( x )  C ( C )  f ( x)  g ( x ) f ( x)  g ( x ) … Ngoài cụ thể ta có cách đánh giá khác Cũng có số phương trình vô tỷ có nhiều ẩn mà ta giải phương pháp đánh giá 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình x 1  4x2 1  HD: Bài toán có đề thi vào Đại học Bách Khoa ĐHQG năm 2001 Bài có nhiều cách giải, đáp án sử dụng đạo hàm Ta làm đơn giản sau: Ta thấy x  Nếu x  Vt > = Vp Nếu x  Vt < = Vp nghiệm phương trình Do phương trình nghiệm hai trường hợp Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình 3x  x   x  10 x  14   x  x HD: Bài đơn giản, đánh giá Vt  Vp  , hai vế Ta phương trình có nghiệm x  1 x  x  19  x  x  13  13 x  17 x   3( x  2) Ví dụ Giải phương trình HD: Bài cách giải tự nhiên cách “cố ý” cho Giáo viên học sinh sáng tác kiểu Đk x  2 Với đk Vt = 75 ( x  )2   (2 x  1)2  3( x  2)  (2 x  1)2  (4 x  3)2 4  75  x2  4x   3  3( x  2)  (4 x  3) 2  3.( x  2) = Vp Dấu đẳng thức xảy x  1 Vậy phương trình có nghiệm x  2 Ví dụ Giải phương trình 27 x  24 x  28 27  1 x6 HD: Phương trình cho tương đương với phương trình 24 (9 x  4) 3(9 x  4)   1 , đk x   Đặt (9 x  4)  y , suy y  y2 3y y2 3y Khi ta   1 4   1  y (bình phương hai vế) 3 Theo BĐT Cô-si ta 6y   y2  y6 y2 ,   y       ( y  2) 2    y  48  y  12 y  12  y  12 y  36   ( y  6)  Từ ta y  , suy x  thỏa mãn đk Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình x  3x  x  x3  x  x   HD: Phương trình cho tương đương với 3x  x  (2 x  x  1)  ( x  3)  (1) Phương trình xác định với 2 x số thực Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta Vt(1)  Vp(1) (2 x  x  1)( x  3)  Do (1)  x  x   x   x  x   Từ phương trình có nghiệm x  1 x  Ví dụ Giải phương trình  x2   1   4 x   x x     x   Với đk đó, phương trình cho tương đương với HD: Đk   x   phương trình  x2   1  x   4(1) x x (  x  x)2  (  x  x.1)   2 Theo BĐT Bunhiacopxki, ta  1  1          1  x x  x x     x2  x   Suy Vt (1)  = Vp (1) Do (1)   , nghĩa dấu hệ xảy 1  2   x x  Từ phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình 2  x  x9 x 1 HD: Đk x  Theo BĐT Bunhiacopxki, ta  Vt =  2  2 x  x    x 1   Vp   ( x  9)   x 1 x 1   x 1 x 1  Phương trình có nghiệm dấu đẳng thức xảy hay Vậy phương trình có nghiệm x  2  x 1 Ví dụ Giải phương trình 13 x  x  x  x  16 HD: Đk 1  x  Với đk phương trình tương đương với x 1  x  x x 1 x (13  x   x )  16  x (13  x   x )2  256(1) Theo BĐT Bunhiacopxki, ta (13  x   x )  ( 13 13  x  3  x )  (13  27)(13(1  x )  3(1  x ))  40(16  10 x )  10 x  (16  10 x )  Theo BĐT Cô-si cho hai số dương ta 10 x (16  10 x )     64   2 Do Vt(1)  4.64  256 , ta   x2 2   x2  9  x   x (1)    Từ dẫn đến x   10 x  16  10 x 20 x  16  Vậy phương trình có hai nghiệm x   Ví dụ Giải phương trình x    x3 Nhận xét: Trong phần giải phương trình vô tỷ Phương pháp đặt ẩn phụ ta giải toán này, ta giải phương pháp đánh sau HD: Đk  x3   x  x  Giả sử x nghiệm phương trình Khi x     , ta x    x   Mũ hai vế suy x  x  x  12 x  x   (*) Cách thứ ta biến đổi Vt thành x  x  x ( x  x  1)  12 x  x  biểu thức âm x   Cách thứ hai ta biến đổi Vt thành x  x (6 x  1)  12 x3  x  biểu thức âm x   … Ta biến đổi tiếp phương trình (*) sau chia hai vế cho x   , ta x8  x  x  x  x  x  x  x    x ( x  x  1)  x ( x  1)  x ( x  1)  4(2 x  1)  vô nghiệm Vt dương x   Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 10 Giải phương trình ( x  2)(2 x  1)  x    ( x  6)(2 x  1)  x  HD: Biến đổi phương trình thành ( x   x  2)( x   3)  , suy x  Vt hàm số đồng biến đoạn  5;   Từ dẫn đến x  nghiệm phương trình cho Ví dụ 11 Giải phương trình x  11x  21  3 x   HD: Phương trình tương đương với 12( x  3) ( x  3)(2 x  5)  (4 x  4)2  x   Ta thấy x  nghiệm phương trình 12 Nếu x  phương trình tương đương với (2 x  5)  (4 x  4)2  x   (1) Nếu x  Vt(1) > > Vp(1) Nếu x  Vt(1) < < Vp(1) Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 12 Giải phương trình x   x  3x   x  x   x  x  Nhận xét: Với toán ta sử dụng đánh giá gặp sau đây: f ( x)  g ( x)   f ( x )  0; g ( x )  , với a, b hai số f ( x)  ah( x)  g ( x)  bh( x )   h( x )  thực dương HD: Biến đổi phương trình 2 x   0; x  x   x   x  3x   x   2( x  2)  x  x   2( x  2)   x   Từ ta phương trình có nghiệm x  2 Ví dụ 13 Giải phương trình 16  x  1996  10  ( x  1996  y  2008) y  2008 Nhận xét: Với toán này, ta thấy phương trình gồm hai ẩn Do ta nghĩ đến biến đổi phương trình thành phương trình có Vt tổng bình phương, Vp HD: Biến đổi phương trình thành 4  4 x  1996      y  2008  x  1996      0 y  2008  Từ ta phương trình có nghiệm ( x; y )  (2012; 2009) Ví dụ 14 Giải phương trình x y   y x   HD: Đk x  1; y  xy Ta có x y   y x    y ( x  x  1)    y ( x   1)2  x( y  y  1)  xy 2 x( y   1)2  xy 2  x  1; y   Khi phương trình cho tương đương với  2 y ( x   1)  x ( y   1)   Từ ta phương trình có nghiệm ( x; y )  (2; 2) PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 3.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp lượng giác ta đặt    f ( x )  sin  f ( x)   1;1 với điều kiện     ;  f ( x )  cos  với điều kiện  2    0;   Cũng có đặt f ( x)  tan  ; f ( x)  cot  … để đưa phương trình cho phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác từ tìm nghiệm phương trình cho 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình x 1  4x2 1  Nhận xét: Bài toán (đã xét trên) giải phương pháp lượng giác, nhiên với cách giải lượng giác mang tính chất tham khảo  4 x   cos y   HD: Đặt  ; y  0;  Khi ta phương trình  2  x 1  sin y cos8 y  cos y  8cos y    (cosy  1)( )   (cos y  1)(cos y  cos y  cos y  7)   cos y  Do phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình 1  2 x  x2 HD: Đặt x  cos y, y  (0;  ), y   Phương trình cho trở thành 1   2  sin y  cos y  2.sin y Đặt sin y  cos y  z ,   z  cos y sin y suy sin y  2sin y cos y  z  , ta z  z   Với z  y  Với z   2  , x  2 1 11 y  , x   12 2 Vậy phương trình có nghiệm x  1 x   2 Ví dụ Giải phương trình x  (1  x )3  x 2(1  x ) HD: Đk 1  x     Đặt x  sin y, y    ;  suy cos y   2 Khi phương trình trở thành sin y  cos y  sin y cos y Đặt sin y  cos y  z , z    2;  (chính xác z   1;  ), biến đổi phương trình ta z  2.z  z    ( z  )( z   1)( z   1)   z   z  1 Nếu z  thì y   , x  Nếu z   sin y  cos y    x   x     x2    x  x 1  2 1 Vậy phương trình có nghiệm 3.3 Một số tập tương tự Bài Giải phương trình x3  3x   x   5 3  (HD: Đặt x  cos y , phương trình có tập nghiệm S  cos ; cos ; cos   ) 8     Bài Giải phương trình   x  x  (1  x )3 Bài Giải phương trình x  x 2 x 1 Bài Giải phương trình (  x)  x  x  x Bài Giải phương trình x (1  x )   x2 1 x Bài Giải phương trình (1  x )3   x2 x  20 x  x Bài Giải phương trình x   x  x  x  MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC 4.1 Một số lưu ý Ngoài phương pháp thường gặp trên, ta có lời giải khác lạ số phương trình vô tỷ Cũng ta sử dụng kết hợp phương pháp để giải phương trình 4.2 Một số ví dụ x  2.x   x  2.x  16  Ví dụ Giải phương trình HD: Nếu x  Vt     = Vp (phương trình nghiệm) Nếu x  ta xét tam giác vuông ABC với A  900 , AB = 4; AC = Gọi AD phân giác góc A, lấy M thuộc tia AD Đặt AM = x, xét ACM  CM  x   2.x xét ABM  BM  x  16  2.x Từ suy Vt = CM  BM  BC  Dấu đẳng thức xảy M  D ,hay CM  BM  16C M  9BM  x    x  12  x  Vậy phương trình có nghiệm x  12 2 x  x   x x  12  x  x   x  y  y    y  x  16 Ví dụ Giải phương trình Nhận xét: Bài toán không khó, kiểm tra tính cẩn thận học sinh mà sau đặt điều kiện tìm giá trị x Tuy nhiên học sinh học hời hợt ngồi nhìn mà không làm HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta x  Khi phương trình trở  3 thành y    y , suy y  Vậy phương trình có nghiệm ( x; y )   2;   2 Ví dụ Giải phương trình x   x  x   x  8x   HD: Đặt y  x  1;  z  x  x  8; t  x  x  , suy y  z  t  y  z  t  (1) Mặt khác  y  z  t   (2) Từ (1) (2) ta ( y  z  t )3  ( y  z  t )  3( y  z )( z  t )(t  y )  y  z   y   z (3)    z  t    z  t (4) t  y  t   y (5) Xét (3) ta x  1  x  , xét (4) x  (5) x   x  Vậy tập nghiệm phương trình S  1;0;1;9 x  x  20  x  x  29  97   HD: Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ a  ( x  2; 4) b  ( x  2;5) Ví dụ Giải phương trình      Khi ta a  b  (4;5) , suy a  b  97 ta có a  x  x  20 ,        b  x  x  29 Phương trình trở thành a  b  a  b , đẳng thức xảy a b chiều  x  x  2  Từ ta phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình  x  x   x  x  2( x  1)4 (2 x  x  1) 0  y  HD: Đặt y  x  x   ( x  1)2 , suy  2 ( x  1)   y Ta  y   y  2(1  y )2 (1  y )(1) Mặt khác  y   y    y   y (2) Từ (1) (2), suy 2(1  y ) (1  y )   y Đặt y  z , ta  z  2(1  z )2 (1  z )   z  z (4 z  10 z  7)   z  (do z  10 z   ) x  Do z  , suy y  hay x  x    x  Vậy phương trình có nghiệm x  x  §2 MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI CỦA MỘT SỐ QUỐC GIA Thực tế toán giải phương trình vô tỷ kỳ thi học sinh giỏi quốc gia không khó Tuy nhiên để làm việc lớn trước hết phải làm tốt việc nhỏ, học sinh muốn đoạt giải từ khuyến khích trở lên phải làm tốt toán Dù biết học sinh xuất sắc vượt qua Bài (1995 - Bảng A VMO) Giải phương trình x  x  x  40  4 x   HD: Đk x  1 Khi xét f ( x)  x  x  x  40 g ( x )  4 x  đoạn  1;   Ta f ( x)  g ( x ) Áp dụng BĐT Cô-si cho bốn số không âm, ta g ( x )  24.24.24 (4 x  4)  (2  24  24  (4 x  4))  x  13(1) Đẳng thức xảy x   24  x  Mặt khác x  x  x  40  x  13  ( x  3)( x  9)   ( x  3) ( x  3)  0(2) Đẳng thức xảy x  Từ (1) (2), ta g ( x )  x  13  f ( x ) Cả hai đẳng thức xảy x  , thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x  Nhận xét: Ta sử dụng đạo hàm để xét biến thiên hàm số f ( x ) g ( x) đoạn  1;   , ta f ( x )  f (3)  13 max g ( x )  g (3)  13  1:   1:  Hoặc ta đặt 4 x   y , với y  sau dùng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số f ( y )  y12  24 y  16 y  512 y  2816 ( f '( y )  2( y  2).h( y ) với h( y )  ) Bài (1995 - Bảng B VMO) Giải phương trình x  11x  21  3 x   HD: Đặt Khi x  4x   y y3  y  y  16 suy x  Từ ta có phương trình 6 11 ( y  y  16)  ( y  4)  y  21   y  14 y  24 y  96  0(1)  ( y  2) ( y  y  12 y  18 y  14)  0(2) Do y  Vt(1) dương, ta xét y  , y  y  12 y  18 y  14  Nên từ (2) ta thấy y  hay x   , ta x  Thử lại Vậy phương trình có nghiệm x  Bài (2002 - Bảng A VMO) Giải phương trình  10  3x  x  HD: Cách (Đáp án) Đk 74 10  x  Với điều kiện phương trình cho tương đương với phương trình 27  10  3x  x  x   9(10  x)  x (4  x)  x  x  16 x  27 x  29   ( x  3)( x  2)( x  x  15)   x  (do đk x  x  15  với x thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm x  Cách 2: Đặt 10  3x  y , suy  y  10  y  y2 (1) x   x2 0 3 với y thỏa mãn (1) Khi ta  3y   y2 y  y  16   3y   y  y  27 y  20   ( y  1)( y  4)( y  x  5)   y  Hay ta 10  x   x  Vậy phương trình có nghiệm x  Bài (1998-CMO) Giải phương trình x  x  1  1 x x Nhận xét: Đây toán thi học sinh giỏi Canada, nói đơn giản, nhẹ nhàng với học sinh tinh ý đầy cạm bẫy với học sinh Thật vậy, từ đk xác định phương trình ta phải dẫn đến x  Với đk đó, phương trình tương đương với x   1  x x x 2  1  1   x      x   (do hai vế không âm với x  ) x  x   ( x  1)  x ( x  1)  x   ( x   x )2   x   x  Từ suy x  1 Cũng từ ( x  1)  x ( x  1)  x  , chuyển x( x  1) sang vế phải bình phương hai vế, sau đặt x  1  y ta phương trình trùng phương ẩn y  , giải 2 phương trình tìm y  1 Từ suy x  cách dài 2 Vậy phương trình có nghiệm x  1 §3 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LÀM Bài Giải phương trình sau: 1) x2  x   x  x2   x  x  2)   x  x(1   x ) 3)  x x  x2  x  x2 4) x    x  2x2  5x 1 5) 3x  x  2001  3x  x  2002  x  2003  2002 Bài Giải phương trình sau: 1) x  x   x  x   3x  3x 42 60   5 x 7x 2) 3) ( x  2) x   x   4) 5) x  x  10  x  x  10 3x    x  x   x   Bài Giải phương trình sau: 1) x  (2004  x )(1   x )2 3x  x 2) 3x x x x x5 5 3) 4) 16 x   x  x 5) x  x  ( x  2)3  x  Bài Giải phương trình sau: 5x 1   x  x  3x 1 1) 28 27  1 x6 2) 27 x  24 x  3) 13 x   x   16 x 4) x  86  x   5) x  x  ( x  4) x   x  28  Bài Giải phương trình sau: 1) 2 x 2 x   2 x  2  2 x 2) 2 x    x  x  16 3) x  x   2( x  21x  20) 4) x3  3x  x  5) x  x  x  x   ( x3  x )  x2 x Bài Giải phương trình sau: 1) x3   x   2)  x   x  2x  x x x 3) x  x   x  x3  3x  x  4)  x  x2  x    x  5) 2  1 x    x  3  2 Bài Giải phương trình sau:     x    x  3x  x  1) 2) 2( x  2)  x  3) 64 x  112 x  56 x    x 4)   x2 5) 1 1 x    (1  x )3  (1  x )3    x (1  x )  (1  x )   x2   3 Bài Giải phương trình sau: 1) x3  6 x    2) 2( x  3x  2)  x  3) x   x   x2  4) x  15  3 x  x   5) x  x (1  x )2  (1  x)3   x  x  x (1  x ) Bài Giải phương trình sau: 1) x3   3 3x  2) x 3) x  11x  21  3 x   4) x  x  x  x  x  x  10  5) x x2 1  35 12 x2  x   x  x   x2   32 x (2 x  3) Bài 10 Giải phương trình sau: 3x 1) x 2) ( x  1) x   x   x   3) 10 x  14 x  19  (5 x  38) x  4) ( x  1) x  x   x   x2  5)  x  x2   x Bài 11 Giải phương trình sau: 1) 1 x 1  4x   x 2) x3  3x  x   3) x3  x  x    4) x2   x2  x  x2  1  5) x  x   x  12     Bài 12 Giải phương trình sau: 1) 2( x  8)  x  2) x  x   10  x 3) ( x  3) (4  x)(12  x )  28  x 4) x    x  ( x  1)(9  x )  38  10 x  x  x3 5) x  22 x  28  x  x  13  31x  14 x   3( x  2) Bài 13 Giải phương trình sau: 1) 2)   4 x y  16 x y   x y  y   x   x   1 1 x   x    x   x  x   x3  3x  x  4 4 Trong biểu thức vế trái có tất 2008 dấu thức bậc hai ... Khối A GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ *Đặt ẩn phụ hoàn toàn: +Đưa bất phương trình +Đưa hệ A-PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN ĐƯA VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH... SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.1 Một số lưu ý Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp đặt ẩn phụ ta gặp dạng như: 1.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình. .. với ẩn ẩn phụ 1.1.2 Đặt ẩn phụ mà ẩn chính, ta tính ẩn theo ẩn 1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hệ hai phương trình với hai ẩn hai ẩn phụ, hai ẩn gồm ẩn ẩn phụ, thường ta hệ đối xứng 1.1.4 Đặt