Là chuyên đề đầu tiên, chuyên đề phương Trình Vô Tỷ (PTVT) sẽ cố gắng trình bày các phương pháp giải toán, các dạng bài tập, ... • Chuyên đề phục vụ cho các bạn thi Đại Học nên không đề cập đến những bài toán quá cao siêu, cũng không nói tới những bài toán quá sơ cấp. • Các bài toán được lấy trên các diễn đàn Toán học như diendantoanhoc (VMF) hay k2pi, do đó nếu có gì thắc mắc các bạn có thể trao đổi trên diễn đàn. • Chuyên đề viết trong trạng thái tự kỉ nên không khỏi những sai sót, mong các bạn đón nhận và ủng hộ • Mở đến những trang 10 11 12 để xem qua các phương pháp đã sử dụng trong chuyên đề này. • Mọi góp ý xin gửi về hòm thư: vietpro213tbgmail.com
Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình Chuyên Đề phương Trình Vô Tỷ Tác giả: Bùi Thế Việt - 12 Toán (12 - 15) - THPT Chuyên Thái Bình I Nói Lời Đầu: • Là chuyên đề đầu tiên, chuyên đề phương Trình Vô Tỷ (PTVT) cố gắng trình bày phương pháp giải toán, dạng tập, • Chuyên đề phục vụ cho bạn thi Đại Học nên không đề cập đến toán cao siêu, không nói tới toán sơ cấp • Các toán lấy diễn đàn Toán học diendantoanhoc (VMF) hay k2pi, có thắc mắc bạn trao đổi diễn đàn • Chuyên đề viết trạng thái "tự kỉ" nên không khỏi sai sót, mong bạn đón nhận ủng hộ • Mở đến trang 10 - 11 - 12 để xem qua phương pháp sử dụng chuyên đề • Mọi góp ý xin gửi hòm thư: vietpro213tb@gmail.com II Các Dạng Bài Tập Hướng Giải Quyết: Dạng I: a f (x) + b g(x) = h(x) a) Hướng giải: • Tìm ĐKXĐ (nếu khó tìm đkxđ ta cần nói f (x) ≥ g(x) ≥ 0) Hướng 1: Bình phương vế (thường dùng cho dạng dài) • PTVT ⇒ Bình phương vế, chuyển vế ⇒ Bình phương vế (lưu ý dấu "⇒") • Tìm nghiệm, ta thử lại vào PTVT ban đầu ĐKXĐ để xác định nghiệm PT Hướng 2: Nhân liên hợp (thường dùng cho dạng với PTVT có nghiệm nguyên với nghiệm vô tỷ nhiều nghiệm nguyên cần phải có kỹ thuật riêng) • Tìm nghiệm, ta xét PT có nghiệm nguyên x0 • Tính giá trị m = • Viết PT dạng a f (x0 ) n = f (x) − m + b g(x0 ) g(x) − n = nhân liên hợp, ta lời giải ngắn gọn b) Ví dụ: √ √ VD 1: [aniston96 - VMF] Giải PT: 3x + − − x + 3x2 − 14x − = Hướng giải: • ĐKXĐ: − ≤ x ≤ • Hướng 1: Thật khó giải theo cách bình phương vế cần nhẩm qua thấy PTVT ban đầu thành PT bậc !!! Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình • Hướng 2: Nhẩm x = 5, ta bắt đầu nhân liên hợp: √ √ thấy nghiệm 3x√+ − − x + 3x − 14x −8=0 √ ⇔ 3x + − − − x − + 3x2 − 14x − = ⇔ (x − 5) √ + 3x + = +√ 6−x+1 3x + + 1 ⇔ x = √ +√ + 3x + > ∀ x ∈ − , 6−x+1 3x + + √ √ VD 2: [tungthanhphan - k2pi] Giải PT: x + + − x2 − + x = Hướng giải: • ĐKXĐ: −1 ≤ x ≤ √ √ − x2 − + x = • Hướng 1: Ta có: x + + √ √ ⇔ − x2 − + x √ = −4x −√3 ⇒ −4x + 16x + 20 − 16 − x2 + x = 16x2 + 24x + √ √ ⇔ 16 − x2 + x = −20x2 − 8x + 11 ⇒ 256(1 − x2 )(1 + x) = (−20x2 − 8x + 11)2 ⇔ (4x2 − 3)(100x2 + 144x√ + 45) = 36 − 19 nghiệm PTVT Thử lại thấy x = − 50 • Hướng 2: Vì PTVT nghiệm nguyên nên việc nhân liên hợp khó khăn, không phải√ không làm √được Các bạn xem thử lời giải sau: x + + 1√ − x − √1 + x = ⇔ 12x + + + x − x − = √ √ √ √ √ ⇔ 12x + + + x − − x − − x − + 1−x+1 1−x−4 =0 √ √ √ √ ⇔ + 10x − − x + + x − − x − − x − = √ √ 1−x−4 √ ⇔ + 10x − − x + √ =0 1+x+ 1−x+1 √ √ √ √ √ Chú ý: + x − − x − + x + − x + = + 10 x − − x √ √ • Q: Tại lại liên hợp + x với − x + ??? A: Thực cách giải để minh họa cho việc dùng nhân liên hợp cho toán Lời giải toán √ ngắn gọn √ thôi: x + + 1√− x2 − √1 + x = 0√ √ √ √ ⇔ 4x + − + x + + x + x − − x − + x + x + + = √ √ √ √ ⇔ + 10x − + x − + x + x − − x − = √ √ √ √ √ √ √ ⇔ 1+x− 1−x−1 1+x+ 1−x−1 −2 1+x 1+x− 1−x−1 =0 √ √ √ √ 1+x+ 1−x−1 =0 ⇔ 1+x− 1−x−1 √ √ • Q: Vậy lại biết nhân tử + x√ − − x − để phân tích ??? 36 − 19 A: Thực nhân tử chứa nghiệm − PT (trong Hướng 1) 50 √ √ √ √ √ 36 − 19 −1 + 19 + 19 Để ý rằng: Khi x = − − x = + x = 50 10 √ √ 10 Vậy ta muốn tìm nhân tử dạng a + x + b − x + c với a, b, c ∈ Q lấy √ √ 1+x− 1−x−1 √ để 19 • Q: Muốn tìm nhân tử phải biết nghiệm, nghiệm lấy đâu ? Hay lại phải theo Hướng để lấy nghiệm ? A: Với giúp đỡ máy tính bỏ túi CASIO hay VINACAL việc tìm nghiệm trở lên đơn giản Bạn đọc tìm đọc thủ thuật Phân Tích phương Trình Vô Tỷ Bằng CASIO mạng (Hỏi thôi, mệt quá) Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình • Q: (chịu rồi) VD 3: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: x + Hướng giải: √ √ 2x + − − x + = • ĐKXĐ: x ≥ − √ √ • Hướng 1: x + x + − − x+2=0 √ √ ⇔ 2x + − √x + =√1 − x ⇒ 11x √ 2x + 2x + = x − 2x + √ + 21 − ⇔ 2x + x + = −x + 13x + 20 ⇒ 36(2x + 3)(x + 2) = (−x2 + 13x + 20)2 ⇔ (x − 23)(x − 1)(x2 − 4x√− 8) = Thử lại ta x = + nghiệm phương trình • Hướng 2: Vì PT có nghiệm vô tỷ nên dùng nhân liên hợp để làm toán làm toán dài ví dụ • Q: Nếu làm theo hướng 1, bình phương phương trình bậc thời gian để phân tích thành nhân tử không ? A: Thực cần dùng CASIO (hoặc VINACAL), ta phân tích nhân tử cách nhanh chóng (xem mạng để biết thêm chi tiết) • Q: VD tương tự VD 2, có hướng làm lời giải VD không ? A: Tạm gọi hướng giải hướng 3, ta có bước sau: • Hướng 3: √ – Tìm nghiệm PTVT, giả sử toán ta nghiệm vô tỷ + √ √ 2x + = + √3 – Thế nghiệm tính giá trị thức: √ x+2=1+ √ √ √ – Tìm mối liên hệ thức: Dễ thấy 2x + − x + = làm √ √ – Phân tích PTVT theo nhân tử vừa tìm: 2x + − x + − Ta lời giải: √ √ x + √2 x + −√ 1−3 x+2=0 √ 2x + − x + − + x − x + = ⇔ √ √ √ √ √ √ ⇔ 2x + − x + − + 2x + − x + − 2x + + x + + = √ √ √ √ ⇔ 2x + − x + − 2x + + x + + = √ √ √ √ √ • Q: Tại lại lấy x − x + = 2x + − x + − 2x + + x + + ??? √ √ √ 2x + − x + − nên ta nhân A: Để phần lại x − x + chứa nhân tử vừa tìm √ √ √ √ √ liên hợp 2x + − x + − với 2x + + x + + để 2x + + x + + √ có chứa x + giống phần lại • Q: Coi việc PTVT có nghiệm vô tỷ xong Vậy trường hợp nhiều nghiệm hữu tỷ ? A: Bạn đọc đến với VD √ √ VD 4: [NBN - k2pi] Giải PT: 2x2 − 4x − + 5x + + 7x + 11 = Hướng giải: • Hướng 1: Thật khó giải theo cách bình phương vế cần nhẩm qua thấy PTVT ban đầu thành PT bậc !!! • ĐKXĐ: x ≥ − Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình • Hướng 2: Nhẩm√thấy nghiệm √ x = −1, ta bắt đầu nhân liên hợp: + + 7x + 11 = 2x2√− 4x − + 5x √ ⇔ 5x + − + 7x + 11 − + 2x2 − 4x − = ⇔ (x + 1) √ +√ + 2x − = 5x + + 7x + 11 + Loay hoay với biểu thức ngoặc, ta nhẩm thấy x = nghiệm Nếu nghĩ tiếp hướng để giải ngoặc lại, ta dùng phương pháp hàm số, nhân liên hợp lần 2, dài ! Tóm lại làm theo hướng thời gian Tuy nhiên, không dùng√nhân liên hợp ! Xem lời giải bạn Duy Thái sau: √ 2x − 4x − + √5x + + 7x + 11 =√0 (x2 − x − 2) + 5x + − (x + 2) + 7x + 11 − (x + 3) = 1 =0 ⇔ (x2 − x − 2) − √ −√ 5x + + x + 7x + 11 + x + 1 5 ⇔ x2 − x − = (Vì √ ≤ √ < ) 5x + + x + 7x + 11 + x + √ √ • Q: Sao lại nhân liên hợp 5x + với x + 7x + 11 với x + ??? A: Biểu thức nhân liên hợp tổng quát √ 5x + + ax + b √ 5x + − ax − b = 5x + − (ax + b)2 Để đặt nhân tử chung, ta phải tìm a, b thỏa mãn 5x + − (ax + b)2 = với x = −1 x=2 √ Để ngắn gọn, ta cần làm sau: Giả sử 5x + + ax + b = với x = −1 x = 2, ta 1−a+b=0 a = −1 hệ: ⇔ + 2a + b = b = −2 √ Vậy nhân liên √ hợp 5x + − x − Tương tự với 7x + 11 + cx + d = với x = −1 x = ta hệ: 2−c+d=0 c = −1 ⇔ + 2c + d = d = −3 √ Vậy nhân liên hợp 7x + 11 − x − • Q: Làm để tìm nghiệm phương trình ? A: Nếu bạn có tư tốt nhẩm nghiệm nguyên cách nhanh chóng Nếu bạn lười, dùng CASIO VINACAL để tìm nghiệm Thông tin chi tiết xem mạng • Q: Thôi, nói hướng A: (bắt đầu chém) • Hướng 3: Bài toán có thể√giải √ cách phân tích thành nhân tử x + + a x + 11 + b Khi nhân tử chứa nghiệm Giả sử PTVT có nhân tử + 2a + b = a = −1 x = −1 x = PTVT Từ ta hệ: ⇔ + 5a + b = b=1 √ √ Vậy ta phân tích PTVT theo x + − x + 11 + được: √ √ 2x − 4x − √ + 5x + + 7x√+ 11 = √ √ ⇔ (x + 2) x + + (x + 1) x + 11 + x + x + 11 + x + √ √ x + − x + 11 + = • Q: Loằng ngoằng Nhìn mà nản !!! A: Thì chứng cho việc phân tích nhân tử cho PTVT Tốt làm theo hướng khi: – PTVT có nghiệm vô tỷ nhiều nghiệm hữu tỷ √ √ – PTVT có dạng: ax + b + c mx + n + d px + q = Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình PTVT phân tích thành u f (x) + v g(x) + t d f (x) + e g(x) + f = √ √ • Q: Liệu hướng khác cho dạng ax2 + bx + c + d mx + n + e px + q = ??? A: Có cách dựa vào Hướng 2, dùng phương pháp đánh giá: √ √ • Hướng 4: Nếu x > 2x2 − 4x − + 5x + + 7x + 11 > − + + = Nếu −1 < x < √ √ −x2 + x + x2 3x −x2 + x + ⇒ 5x + < − + +3 5x + − x − = √ < 1−1+2 2 5x + + x + √ √ −x2 + x + −x2 + x + x2 5x 7x + 11 − x − = √ ⇒ 7x + 11 < − + + < 2−1+3 4 7x + 11 + x + 2 3x x 5x x + +3− + + = (x − 2)(x − 1) < Suy V T < 2x2 − 4x − − 2 4 Nếu x < −1 thì: √ √ √ √ 2x2 − 4x − + 5x + + 7x + 11 = 2(x − 3)(x + 1) − + 5x + + 7x + 11 > −3 + + = Nếu x = −1 x = thỏa mãn • Q: Vậy làm theo Hướng Còn cách khác không ??? A: Hỏi nhiều quá, tự tư ! (chán rồi) √ √ VD 5: [Ispectorgadget - VMF] Giải PT: x + − 2x + x + − = Hướng giải: • ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ √ √ • Hướng 1: x + − 2x + x+2−9=0 √ √ ⇔ − 2x + √x + =√9 − x ⇒ 40√ − 28x +√16 − 2x x + = x2 − 18x + 81 ⇔ 16 − 2x x + = x2 + 10x + 41 ⇒ 256(2 − 2x)(x + 2) = (x2 + 10x + 41)2 ⇔ (x2 + 18x + 657)(x + 1)2 = Thử lại, ta nghiệm x = −1 • Hướng √ nghiệm x = −1, ta bắt đầu nhân liên hợp: √ 2: Nhẩm thấy x + − 2x +√2 x + − = 0√ ⇔ (x + 1) + 4( − 2x − 2) + 2( x + − 1) = ⇔ (x + 1) − √ +√ =0 − 2x + x+2+1 Thấy biểu thức ngoặc lại chứa thêm nghiệm x = −1, liên hợp tiếp mệt ! Thử dùng đánh Hướng xem: 8 +√ >1− + =0 Nếu −2 ≤ x < −1 thì: − √ 2+2 1+1 − 2x + x+2+1 8 Nếu −1 < x ≤ − √ +√ 2x − − − = (x − 1) > 2+2 1+1 x+1 x+3+2 2x 2x Nếu ≤ x < 2x − − √ − = (x − 1) < −√ < 2x − − 2+2 1+1 x+1 x+3+2 √ √ • Hướng√3: 2x2 + √ x + − 2x x + − x = √ √ √ √ ⇔ x + − x − x + + (2 x + 11) x + (4 x + 4) x + + x + x = • Hướng 4: Không khả thi ! √ √ • Hướng 5: 2x2 + x + − 2x x + − x = ⇔ • Hướng 6: Không vui ! √ x + − 2x √ + ( x − 1) = • Q: Em xin, xin anh xin anh xin anh tha cho em lần A: Lèo nhèo còng tay cho mày lên thùng • Q: Ơ anh em bảo A: Không trình bày hết ! • Q: Ơ A: Đã trình bày cách, định bật anh ! √ √ VD 8: [hoaadc08 - VMF] Giải PT: −1 − x = x + x2 − x − Hướng giải: • ĐKXĐ: x ≤ −1 √ √ 2−x−1 • −1 − x = x + x√ √ ⇔ −1 − x − x =√ x2 − x − ⇒ x2 √ − x − − 2x −1 − x = x2 − x − ⇔ 2x −1 − x = ⇔ x = ∨ x = −1 Thử lại ta nghiệm x = −1 √ √ VD 9: [phuocthinh02 - VMF] Giải PT: x − + − x = 2x2 − 5x − Hướng giải: Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình • ĐKXĐ: ≤ x ≤ √ √ • x√− + − x√= 2x2 − 5x − ⇔ x − − + − x − = 2x2 − 5x − 1 −√ − 2x − = ⇔ (x − 3) √ x−2+1 4−x+1 1 ⇔x=3 √ −√ − 2x − < − − − < x−2+1 4−x+1 √ √ VD 10: [summoned skull - VMF] Giải PT: − x + x + = x3 + x2 − 4x − Hướng giải: • ĐKXĐ: −2 ≤ x ≤ √ √ • −√ x + x + = x3 + x − √4x − ⇔ 3 − x − (5 − x) + x + − x − = 3x3 + 3x2 − 12x − 12 1 ⇔ (x − 2) (x + 1) √ + √ +x+2 =0 3−x+5−x x+2+x+4 1 + √ ⇔ x = x = −1 − ≤ x ≤ ⇒ √ +x+2>0 3−x+5−x x+2+x+4 √ √ VD 11: [badboykmhd123456 - VMF] Giải PT: x2 − 4x + = 2x2 − 5x + + −3x2 + 9x − Hướng giải: • ĐKXĐ: 2x2 − 5x + ≥ −3x2 + 9x − ≥ √ √ + −3x2 + 9x − • x2 −√4x + = 2x2 − 5x + √ 2 x2 − x + − + −3 x2 + x − − + (x − 2)2 = ⇔ ⇔x=1 √ √ VD 12: [Binh Le - VMF] Giải PT: x2 + 15 = 3x − + x2 + Hướng giải: √ • Nếu x < −1 V T > x2 + > V P √ √ • Nếu x > −1 ta có: x2 + 15 = 3x − + x2 + x+1 x+1 ⇔ (x − 1) √ −√ −3 =0 x2 + 15 + x2 + + x+1 x+1 ⇔ x = √ −√ − < −3 < x2 + 15 + x2 + + √ √ VD 13: [trannguyen1998 - VMF] Giải PT: + − 8x = 6x + 4x − Hướng giải: • ĐKXĐ: ≤ x ≤ √ √ • + √3 − 8x = √ 6x + 4x − √1 √ ⇔ − 8x − 4x − − 8x + 4x − + = ⇔x= √ √ VD 14: [sasuke4598 - VMF] Giải PT: 13 2x2 − x4 + 2x2 + x4 = 32 Hướng giải: • ĐKXĐ: 2x2 − x4 ≥ Trang Bùi Thế Việt 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình √ √ • 13 2x2 − x4 + 2x2 + x4 = 32 2 12 15 √ 65 √ 2 + + (5 x2 − 8) = 2x − x4 − 2x + x4 − ⇔ 8 √ 10 ⇔x=± √ √ VD 15: [Missyou12aBG - k2pi] Giải PT: 2x2 − x + + 3x − 3x2 = x2 − 2x + Hướng giải: • ĐKXĐ: 2x2 − x ≥ + 3x − 3x2 ≥ √ √ 2−x+ + 3x − 3x • 2x√ √ = x − 2x + 2 ⇔ x2 − x − + + 3x − 3x2 − + (x − 1)2 = ⇔x=1 √ √ VD 16: [trangthao - k2pi] Giải PT: 3x − + (4x − 7) − x = 32 Hướng giải: • ĐKXĐ: ≤ x ≤ √ √ • 3x − + (4x − 7) − x = 32 √ √ ⇔ 3x − + − x = 64 √ 11 ± 2 ⇔x= √ √ VD 17: [Hoangtien - k2pi] Giải PT: 8x2 + + = 2x2 − 2x + + 8x Hướng giải: √ √ √ √ x2 + + 2 x2 − x + − x2 + − 2 x2 − x + = • PT ⇔ √ √ √ VD 18: [Hungdang - k2pi] Giải PT: x − + x + + − x = x2 + Hướng giải: √ √ √ √ √ • PT ⇔ x+1+ − 2+1 x−1 − 2−x+ − x − − x (x − 1) = √ √ 3−2 3−2 √ √ √ +1 =0 ⇔ x (x − 1) √ +√ x+1− − 2+1 x+1 2−x− 2−1 x+ VD 19: [vannhonbclt - k2pi] Giải PT: √ √ 45 x2 + 2x + − x2 − 4x + 40 = x2 + 5x + Hướng giải: √ x + 2x + − √ (x + 3)2 + = 4 √ √ VD 20: [catbuilata - k2pi] Giải PT: 4x2 + 3x + = 4x x + + 2x − Hướng giải: √ √ 2 • P T ⇔ 2x − x + + 2x − − = • PT ⇔ + x2 − x + 40 + √ √ VD 21: [catbuilata - k2pi] Giải PT: (x2 − 6x + 11) x2 − x + = 2(x2 − 4x + 7) x − Hướng giải: √ √ √ √ √ √ • PT ⇔ x2 − x + − x − x2 − x + + x − x2 − x + − x − = Trang Bùi Thế Việt 12 Toán VD 22: [daihaclam - k2pi] Giải PT: Hướng giải: THPT Chuyên Thái Bình √ √ 4x − + 4x2 − = √ 4x +√ 4x2 − f (x) = √ > ∀x ∈ TXĐ 4x − 4x2 − √ √ VD 23: [Phạm Kim Chung - k2pi] Giải PT: x2 + 9x − + x 11 − 3x = 2x + Hướng giải: √ √ • Xét hàm f (x) = x2 + 9x − + x 11 − 3x − 2x − với x ∈ TXĐ • Xét hàm f (x) = √ 4x − + 85 3(44 − 9x) − < ∀x ∈ TXĐ 3/2 + 9x − 1) 4(11 − 3x)3/2 10 • Từ ta chứng minh PTVT có nghiệm x = x = 3 √ √ VD 24: [Phạm Kim Chung - k2pi] Giải PT: x + + 22 − 3x = x2 + Hướng giải: √ √ • Xét hàm f (x) = x + + 22 − 3x − x2 − với x ∈ TXĐ − − < ∀x ∈ TXĐ • Có f (x) = − (x + 2)3/2 4(22 − 3x)3/2 • Có f (x) = − 4(x2 • Từ ta chứng minh PTVT có nghiệm x = −1 x = √ √ VD 25: [haptrung - k2pi] Giải PT: x2 − 9x + + x 2x2 + = 6x − Hướng giải: x +√ 6x − + x + x2 + + x + √ √ VD 26: [catbuilata - k2pi] Giải PT: 12 x + x − = 3x + Hướng giải: √ √ √ √ • PT ⇔ x − x − − x + x − − = • P T ⇔ (x2 − x + 2) + √ =0 √ √ VD 27: [catbuilata - k2pi] Giải PT: 2x x2 − x + + 3x + = 2x2 + 2x + Hướng giải: √ √ 2 • PT ⇔ x2 − x + − x + 3x + − = √ √ VD 27: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: 3x2 + 2x + = 2x x2 + 3x + 3x + Hướng giải: √ √ 2 • PT ⇔ x2 + x − x + x + − + (x − 1)2 = √ √ VD 28: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: x2 + x + = x2 x + + x Hướng giải: √ √ • PT ⇔ x − x + x x + + = VD 29: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: x4 + x2 = Hướng giải: Trang 10 √ 5+x+ √ − x + 268 Bùi Thế Việt • f (x) = x4 + x2 − 12 Toán THPT Chuyên Thái Bình √ √ + x − − x − 268 ⇒ f (x) = 12x2 + + 1 + 3/2 4(5 + x) 4(5 − x)3/2 • PTVT có nghiệm x = ±4 √ √ VD 30: [langtu96 - k2pi] Giải PT: x2 + x − + x − x2 + = x2 − x + Hướng giải: √ √ 2 • PT ⇔ x2 + x − − + −x2 + x + − + (x − 1)2 = √ √ VD 31: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: x + 2x + = + x + Hướng giải: √ √ √ √ • PT ⇔ 2x + − x + − 2x + + x + + = √ √ VD 32: [Lê Đình Mẫn - k2pi] Giải PT: x2 + x2 − = x4 − x2 + Hướng giải: √ √ x2 − √ • PT ⇔ x − +3 =0 x2 + x4 − x2 + √ √ VD 33: [catbuilata - k2pi] Giải PT: 4x2 + 5x + − x2 − x + = 9x − Hướng giải: √ √ √ √ • PT ⇔ x2 + x + − x2 − x + x2 + x + + x2 − x + − = √ √ VD 34: [Phạm Kim Chung - k2pi] Giải PT: − x4 + x3 + x − = Hướng giải: √ √ 2 −x4 + − + x3 + x − − + (x2 + x + 1) (x − 1)2 = • PT ⇔ √ √ VD 35: [phatthientai - k2pi] Giải PT: x2 + 3x + + 2x2 − = 3x + Hướng giải: √ √ • P T ⇒ x2 + x + + x2 + x + x2 − = 9x2 + 6x + ⇒ (x2 + 3x + 6) (2x2 − 1) = (6x2 + 3x − 4) ⇔ (4x2 + 4x − 5)(7x2 − 4x − 8) = VD 36: [phatthientai - k2pi] Giải PT: 3x + √ 9x2 + − (x + 1) + √ x2 + 2x + = Hướng giải: • Xét hàm f (t) = t + √ t2 + ⇒ f (t) = + • P T ⇔ f (3x) = f (x + 1) ⇔ x = √ t2 + + √ t2 >0 t2 + VD 37: [Nguyễn Duy Hồng - k2pi] Giải PT: x− √ 1+x+ x+ √ 1−x=x Hướng giải: √ √ √ √ √ • PT ⇔ + x − − x − + x − − x + − x2 = √ √ √ √ √ √ √ √ 1+ 1− ⇔ 1+x− 1−x 1+x+ 1−x− 1+x+ 1−x− 2 Trang 11 =0 Bùi Thế Việt 12 Toán VD 38: [Phạm Kim Chung - k2pi] Giải PT: x− THPT Chuyên Thái Bình √ 4x + + x + √ − 2x = (x + 1)2 − Hướng giải: √ √ √ =x x+2+ x+2 4x + + − 2x √ √ 4x + + 1 − 2x + • Ta có: < 4x + + − 2x ≤ + =x+2 2 √ √ 1 √ ≤x+2− 1) VD 41: [Windows8 - k2pi] Giải PT: Hướng giải: • Xét hàm f (x) = x2 + x + − √ x+ √ 3x + = x2 + x + √ √ x − 3x + ⇒ f (x) = − 3/2 − −2