CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình a) Phương pháp  Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau  và ta sử dụng phép thế : ta được phương trình : b) Ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa  Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bình phương vế phương trình a) Phương pháp Thông thường ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương vế , điều lại gặp khó khăn giải ví dụ sau   ta sử dụng phép : b) ta phương trình : Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương vế không âm phương trình ta được: , để giải phương trình dĩ nhiên không khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa  Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , ta biến đổi phương trình dạng : sau bình phương ,giải phương trình hệ Bài Giải phương trình sau : CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Giải: Điều kiện : Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế chuyển nào? Ta có nhận xét : sau : , từ nhận xét ta có lời giải Bình phương vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : ta biến đổi Trục thức 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm trình đưa dạng tích chứng minh phương trình để ta đánh gía b) phương ta giải phương trình vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm vô nghiệm Ví dụ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Dễ dàng chứng minh : Bài Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x=3 2.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp  Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : dây C hàng số ,có thể biểu thức Ta giải sau : , đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : nghiệm Xét Trục thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Giải phương trình : Ta thấy : , không thỏa mãn điều kiện Ta chia hai vế cho x đặt Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) toán trở nên đơn giản (OLYMPIC 30/42007) Phương trình biến đổi tích  Sử dụng đẳng thức Bài Giải phương trình : Giải: Bi Giải phương trình : Giải: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ + , nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: pt Bài Giải phương trình : Giải: Đk: Chia hai vế cho :  Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Bài Giải phương trình : Giải: Đk: pt đ cho tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đk: phương trình tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải : pttt II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường  Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải đặt ý điều kiện phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến quan trọng ta giải phương trình theo việc đặt phụ xem “hoàn toàn ” Nói chung phương trình mà đặt hoàn toàn thường phương trình dễ Bài Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét Đặt phương trình có dạng: Thay vào tìm Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đặt Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm bốn nghiệm là: Do nên nhận gái trị Từ tìm nghiệm phương trình l: Cách khác: Ta bình phương hai vế phương trình với điều kiện Ta được: , từ ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản ta đặt : ẩn phụ đưa hệ) đưa hệ đối xứng (Xem phần dặt Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt phương trình trở thnh: ( với Từ ta tìm giá trị Bài (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Giải: đk Đặt pttt Bài Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải Bài Giải phương trình : Giải: Đặt t= nghiệm , Chia hai vế cho x ta được: , Ta có : Bài tập đề nghị Giải phương trình sau CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nhận xét : cách đặt ẩn phụ giải lớp đơn giản, phương trình lại khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  Xét Chúng ta biết cách giải phương trình: (1) cách phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)   Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: 10 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt ta đưa hệ phương trình sau: Vậy Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt Khi ta hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II  Ta tìm nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : giải hệ đơn giản  việc 17 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt , cho (2) , ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại đưa hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : dựng phương trình dạng sau : đặt , ta xây , ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao : Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : v đặt để đưa hệ , ý dấu ??? Việc chọn thông thường cần viết dạng : chọn Bài Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình viết lại là: 18 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đặt ta đưa hệ sau: Trừ hai vế phương trình ta Giải ta tìm nghiệm phương trình là: Bài Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình sau: Đặt ta hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm phương trình Các em xây dựng sồ hệ dạng ?  Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : hệ đối xứng loại giải hệ , từ hệ xây dưng toán phương trình sau : Bài Giải phương trình: 19 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nhận xét : Nếu nhóm phương trình trước : Đặt giải không thu hệ phương trình mà Để thu hệ (1) ta đặt : , chọn thể giải , (đối xứng gần đối xứng ) cho hệ có Ta có hệ : Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): mong muốn có nghiệm Nên ta phải có : Ta có lời giải sau : Điều kiện: , ta chọn , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm phương trình là: 20 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Chú ý : làm quen, tìm trình cách viết lại phương ta viết lại phương trình sau: đặt , đặt hệ mong muốn , ta thấy dấu không thu dấu với dấu trước Một cách tổng quát Xét hệ: m=m’, để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B Nếu từ (2) tìm hàm ngược thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối ta cần xem xét để có hàm ngược tìm hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 1) 4) 2) 5) 6) 3) Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em xây dựng phương trình dạng ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : 21 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  Từ đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình phương trình : ta khai triển có Dùng bất đẳng thức  Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: dấu ỏ (1) (2) dạt nghiệm phương trình Ta có : Dấu khi x=0 Vậy ta có phương trình: Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng : , dấu : Nếu ta đoán trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá  Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk 22 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ta có : Dấu Bài Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu Bài giải phương trình: Ta chứng minh : Bài tập đề nghị Giải phương trình sau 23 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Xây dựng toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho véc tơ: có ta   Dấu xẩy hai véc tơ ý tỉ số phải dương hướng , , dấu xẩy 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác   Nếu tam giác giác, ta có tam giác , với điểm M mặt phẳng tam với O tâm đường tròn Dấu xẩy  Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn cạnh AB,BC,AC góc Bài tập 1) 2) 24 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết : “ Nếu hàm đơn điệu xây dựng phương trình vô tỉ ” ta  Xuất phát từ hàm đơn điệu : trình : ta xây dựng phương , Rút gọn ta phương trình Từ phương trình toán khó Để gải hai toán làm sau : Đặt được: ta có hệ : cộng hai phương trình ta = Hãy xây dựng hàm đơn điệu toán vô tỉ theo dạng ? Bài Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , hàm đồng biến R, ta có Bài Giải phương trình 25 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Giải Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , hàm đơn điệu tăng Từ phương trình Bài Giải phương trình : V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Một số kiến thức bản:  Nếu có số t với với  cho : số y cho Nếu có số t với cho : số y với cho  Với số thực x có  Nếu : , cho : hai số thực thỏa: , có số t với , cho Từ có phương pháp giải toán : 26 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  Nếu : đặt với  Nếu  Nếu : ,  Nếu , ta đặt : hợp khác đặt , với hai số thực thỏa: , đặt , với với , với với , tương tự cho trường x số thực thi đặt : Tại lại phải đặt điều kiện cho t ?  Chúng ta biết đặt điều kiện phải đảm bảo với có , điều kiện để đảm bào điều (xem lại vòng tròn lượng giác ) Xây dựng phương trình vô tỉ phương pháp lượng giác ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: phương trình vô tỉ Chú ý : Nếu thay (2) ta có phương trình vô tỉ: , ta tạo (1) ta lại có phương trình : 27 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Nếu thay x phương trình (1) : (x-1) ta có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) (3) không đơn giản chút ? Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác Một số ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : ta đặt : (ptvn) Khi phương trình trở thành: phương trình có nghiệm : Bài Giải phương trình sau : 1) HD: 2) Đs: HD: chứng minh 3) vô nghiệm Bài Giải phương trình sau: Giải: Lập phương vế ta được: 28 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Xét : , đặt Khi ta phương trình bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình mà Bài .Giải phương trình Giải: đk: , ta đặt Khi ptt: Phương trình có nghiệm : Bài Giải phương trình : Giải: đk Ta đặt : Khi pttt Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải phương trình sau 29 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/42007) 30 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 31 ... thức vô tỉ nhận phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : Như phương trình giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: 10 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH... Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình viết lại là: 18 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đặt ta đưa hệ sau: Trừ hai vế phương trình ta Giải ta tìm nghiệm phương trình là: Bài Giải phương trình: ... xây dựng phương trình dạng ! III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : 21 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  Từ đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình phương trình :