SKKN một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân liên hợp, giúp học sinh đưa ra lời giải nhanh và chín

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Một số phương pháp giải phương trình sau nhân liên hợp 2.3.1 Phương pháp đánh giá hai vế 2.3.2 Phương pháp lũy thừa hai vế 2.3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.4 Phương pháp hàm số 2.3.5 Phương pháp dùng đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 6 10 12 16 18 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn “giải phương trình vơ tỷ” tốn hay khó Khi gặp tốn giải phương trình vơ tỷ học sinh dựa vào cơng cụ hỗ trợ máy tính cầm tay dễ dàng biết phương trình có nghiệm việc nhìn cách giải em lúng túng thường mắc nhiều sai sót trình giải Trong đề thi Đại học - Cao đẳng năm, đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh từ trước đến hay đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi, tốn “giải phương trình vơ tỷ” cách nhân lượng liên hợp thường xuất Để giải tốn học sinh thường sử dụng cách giải phương trình vơ tỷ Tuy nhiên áp dụng học sinh thường gặp phải khó khăn việc nhìn cách giải thích hợp phương trình sau nhân lượng liên hợp Trong đề tài này, tơi xin trình bày “Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp,giúp cho học sinh đưa lời giải nhanh xác” khắc phục khó khăn thường em học sinh gặp tốn giải phương trình vơ tỷ, tập đưa nhằm phục vụ cho mục đích Với mục đích giúp em học sinh giải dễ dàng đa số tốn “giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp” có phương pháp vững giải phương trình vơ tỷ 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp em học sinh Trung học phổ thơng có kiến thức phương pháp vững để giải tốn giải phương trình chứa thức phương pháp nhân lượng liên hợp đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh, Đồng thời rèn luyện cho em kỹ giải trình bày tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Để hồn thành đề tài nói nghiên cứu dựa phương pháp giải phương trình chứa thức chương trình Đại số Giải tích thuộc mơn Tốn Trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài thực phương pháp nghiên cứu như: - Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu phương trình chứa thức chương trình Tốn Trung học phổ thơng - Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh giải tốn có chứa thức cách nhân lượng liên hợp - Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy tiết học Tự chọn Ôn thi Trung học phổ thông Quốc Gia, ôn thi học sinh giỏi phần “phương trình vơ tỷ” Khi giải tập tốn, học sinh phải trang bị kiến thức lớp dưới, kỹ phân tích đề để từ suy luận quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, toán làm tốn làm, hình thành phương pháp giải toán bền vững sáng tạo Các tiết dạy tập phải thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh, kích thích óc tìm tòi, sáng tạo học sinh Hệ thống tập phải giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo vào giải thuật tốn Từ học sinh có hứng thú tạo động học tập tốt mơn Tốn, đồng thời phát triển lực phẩm chất người học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy phương trình, bất phương trình vô tỷ, dạng tập mức độ vận dụng vận dụng cao, phương pháp giải phương pháp nhân đại lượng liên hợp, thấy học sinh giải vấn đề nhân lượng liên hợp gặp phương trình sau nhân liên hợp đa số em lúng túng thường giải sai khơng giải tiếp tốn, Từ tơi nghĩ phải nghiên cứu trang bị cho em số phương pháp để giúp em giải tốt phương trình vơ tỷ gặp phải sau nhân lượng liên hợp giúp em bớt ngại gặp toán giải phương trình vơ tỷ Sau thời gian nghiên cứu thấy đưa hệ thống cách giải phương trình vơ tỷ gặp phải sau nhân lượng liên hợp giải vấn đề khó khăn em học sinh thường gặp Đánh giá thực trạng: Năm học 2017-2018, phân công tiếp tục giảng dạy lớp đầu khối 11A5 (khối A) lớp 11A3 (khối D) lớp đại trà nhà trường, từ đầu năm học để kiểm tra kiến thức em tích lũy lớp 10, kiến thức ôn đội tuyển học sinh giỏi để kiểm nghiệm sử dụng phương pháp thực khảo sát hai lớp 11A5 11A3, lớp 10 em học sinh có lực – giỏi trở lên tập sau: Bài Giải phương trình x + x + + x − x + = 3x Bài Giải phương trình x − + x = x3 − Kết thu sau: Giải Bài Lớp phương trình sau nhân lượng liên hợp 11A5 10/10 10/10 8/10 11A3 10/10 8/10 6/10 11A5 10/10 9/10 7/10 11A3 10/10 6/10 5/10 Từ kết tơi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý khâu mở đầu, em tìm nghiệm nghiệm phương trình cách xử dụng máy tính nhân lượng liên hợp Tuy nhiên số lượng em học sinh không giải trọn vẹn tốn sau nhân lượng liên hợp nhiều Trong đó, chưa có kỹ định hướng phương pháp giải chủ yếu Một số giải pháp Trước trình bày số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau nhân lượng liên hợp, xin trình bày phương pháp nhân lượng liên hợp tốn giải phương trình chứa thức Kỹ thuật nhân lượng liên hợp *) Lý thuyết bản: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D Nếu x = x0 nghiệm phương trình f ( x ) = x0 ∈ D ; f ( x0 ) = Theo định lí Bơzu x = a nghiệm đa thức P ( x ) P ( x ) = ( x – a ) P1 ( x ) Từ ta có nhận xét: Nếu x = x0 nghiệm phương trình f ( x ) = ta đưa phương trình f ( x ) = dạng ( x – x0 ) F ( x ) = việc giải phương trình f ( x ) = quy giải phương trình F ( x ) = *) Một số đẳng thức: Đặt điều kiện phương trình Nhân lượng liên hợp x2 − y = ( x − y ) ( x + y ) x − y = ( x − y ) ( x + xy + y ) x4 − y = ( x − y ) ( x + y ) ( x2 + y ) x n − y n = ( x − y ) ( x n −1 + x n− y + + xy n −2 + y n−1 ) Từ đẳng thức ta tìm biểu thức liên hợp tương ứng tốn giải phương trình chứa thức như: A− B = A+ B = A− B ; A2 + B2 > ; A ≥ ; B ≥ A+ B A− B ; A2 + B2 > ; A ≥ ; B ≥ ; A ≠ B … A− B *) Phương pháp nhân lượng liên hợp đưa phương trình dạng: ( x – x0 ) F ( x ) = Sau tơi xin đưa số ví dụ minh họa cách tìm đại lượng liên hợp để biến đổi phương trình dạng tích ( x – x0 ) F ( x ) = , mà chưa đưa cách giải triệt để toán Ví dụ Giải phương trình x − x + 12 x − 10 + x + = Lời giải Sử dụng máy tính cầm tay nhẩm nghiệm ta thấy x = nghiệm phương trình Từ ta biến đổi phương trình sau: Điều kiện: x ≥ −2 x − x + 12 x − 10 + x + = ⇔ x − x + 12 x − + x + − = x−2  = ⇔ ( x − 2)  x2 − x + + x+2+2  Đến đây, việc giải nghiệm x = dễ dàng ⇔ ( x − 2) ( x2 − x + 4) + Vì ( x − x + 4) + x+2+2  ÷= x+2 +2 >0 Ví dụ Giải phương trình x + 48 x + 7 x + − 21 = Lời giải Học sinh nhẩm nghiệm nghiệm x = sử dụng máy tính nghiệm x = 0,14285714286 Nhưng em ấn chuyển phân số từ ta biến đổi phương trình theo cách sau: Điều kiện: x ≥ − x= Phương trình x + 48 x − + ( ) x + − = ⇔ ( x − 1) ( x + ) + 7x −1 =0 7x + +   ⇔ (7 x − 1) ( x + 7) +  = 7x + +   Từ việc đưa phương trình tích trở tìm nghiệm x = trở nên đơn giản Ví dụ Giải phương trình 3x − x + − x − = x − x − − x − x + Lời giải ( 1 +  ; +∞ ÷   Điều kiện: x ∈ −∞; −  ∪  Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình, phương trình phân tích dạng ( x – ) F ( x ) = Ta nhận thấy: (3 x − x + 1) − (3 x − x − 3) = −2 x + = −2( x − 2) ; (x − ) − ( x − 3x + ) = 3x − = ( x − ) Từ ta biến đổi phương trình sau: 3x − x + − x − = 3x − 3x − − x − 3x + ⇔ 3x − x + − 3x − 3x − = x − − x − 3x + Nhân liên hợp hai vế ta được: −2 x + = 3x − 3x2 − x + + 3x − 3x − x − + x2 − 3x +  x=2 ⇔ −2  = (*) 2  x − x + + x − x − x − + x − 3x + Ví dụ Giải phương trình x + x − = ( x + ) x − x + Lời giải Đối với này, học sinh bấm máy nghiệm x1 = 3,828427125 Đến nhiều em bỏ chọn sang hướng giải khác Tuy nhiên ta tiếp tục sử dụng máy tính biết phương trình có thêm nghiệm x2 = −1,828427125 Từ em thấy biểu thức quen thuộc x1 + x2 = x1.x2 = −7 Như tốn đưa nhân tử chung x − x – Vấn đề khó khăn tốn giải Mặc dù vậy, khơng phải em sử dụng tính giải nghiệm phương trình chứa Vậy ta có cách khác để giải vấn đề không? Đối với em không sử dụng máy tính giải nghiệm em sử dụng phương pháp đồng hệ số để tìm biểu thức cần nhân liên hợp Tơi xin quay lại Ví dụ đưa cách khác để tìm nhân tử chung x − x – sau: Do x = −2 không thỏa mãn nên ta giả sử: x2 + x − − ( ax + b ) x+2 − a ) x − ( + ab ) x + − b ( − a ) x + ( − 2a − b ) x − − 2b ( ⇔ = x+2 x − x + + ( ax + b ) x − x + − ( ax + b ) = − a 2 ( + ab ) b − a = = Từ ta chọn , b thỏa mãn hệ thức: − a 2a + b − 2b + Suy a = b = thỏa mãn Chú ý Trước nhân liên hợp phải xét xem thử biểu thức mẫu sau nhân liên hợp có triệt tiêu hay không Trên số ví dụ minh họa số cách để tìm biểu thức nhân liên hợp Ngoài cách có số cách khác mà đề tài xin không đề cập hết 2.3 Một số phương pháp giải phương trình sau nhân lượng liên hợp Sau nhân liên hợp, định hướng học sinh suy nghĩ cách xử lý toán theo hướng sau nội dung đề tài 2.3.1 Phương pháp đánh giá hai vế Đối với phương pháp dựa vào điều kiện toán để đánh giá trực tiếp đánh giá qua đại lượng trung gian, hàm số,… Ví dụ (Khối B - 2010) Giải phương trình x + − − x + x − 14 x − = ; x ∈ R Lời giải Điều kiện: − ≤ x ≤ Sử dụng máy tính nhẩm nghiệm ta thấy x = nghiệm phương trình Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta có: ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − = 3( x − 5) x−5 + ( x − ) ( x + 1) = 3x + + + − x  x=5 ⇔  + + x + = (*)  x + + + − x   + + x + > 0; ∀x ∈  − ;6  Ta có 3x + + + − x   ⇔ +   Vì ∀x ∈ − ;6   3x + + > 0; 1+ − x > 0;3 x + > Suy phương trình ( *) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x − + − x = x − x − (Tạp chí THTT ) Lời giải ≤ x ≤ Điều kiện: Nhận thấy phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến cách giải phương trình phương pháp nhân lượng liên hợp x − − + − x − = x2 − 5x − ⇔ x−3 x−3 − = ( x − 3) ( x + 1) x − +1 − x +1 x=3   ⇔ 1  − = x + (*)  x − + − x +1 Ta có: (*) ⇔ x − +1 = − x +1 + 2x + VT(*) ≤ tử mẫu lớn VP(*) ≥ với ≤ x ≤ Suy phương trình ( *) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình x + ( x − 1) x + = x + Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Ta thấy phương trình có nghiệm x = nên ta biến đổi phương trình sau: x + ( x − 1) x + = x + ⇔ ( x − 1) ( ) x + − + x − 3x − =  x=3 ( x − 3) ( x + 3) = ⇔  x − + x + = (*) x +1 +  x + + x −1 x −1 ≥ −1 x + ≥ Suy + 2x + ≥ Với x ≥ −1 ta có: x +1 + x +1 + Dấu đẳng thức xảy x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = −1 Ví dụ Giải phương trình x + + x + = x − x − ( x − 1) ( x − 3) + ⇔ Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Khi phương trình cho trở thành:  x = (t/m)  x + − + 2x + − = x2 − x − ⇔  + = x + (*)  x + + 2x + + Với x ≥ −1 , ta có: x + + ≥ x + + ≥ 1 + ≤ + = ≤ x + x > −1 Suy x +1 + 2x + + 2  + =1  ⇔ x = −1 2x + + Do phương trình ( *) tương đương với:  x + +  x + =1  Vậy phương trình có nghiệm x = −1 ; x = Nhận xét Từ Ví dụ Ví dụ nhiều em đặt câu hỏi: Tại ta khơng biến đổi tốn tích có thừa số ( x + 1) mà lại chọn ( x – 3) ? Ở ta thấy biểu thức ( x + 1) nằm dấu thức nên ta đưa nhân tử ( x + 1) biến đổi phương trình phương trình ( *) phức tạp việc giải tiếp toán khó khăn Nên việc chọn biểu thức liên hợp ảnh hưởng nhiều đến việc giải tốn sau nhân liên hợp Ví dụ Giải phương trình x − x + = − x Lời giải Điều kiện: − 6 ≤x≤ , 3 Ở này, khó chỗ ta khơng thể nhẩm nghiệm phương trình để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với hỗ trợ máy tính Casio fx570vn chuyện dễ dàng hơn! Thật vậy, ta dùng chức Shift Solve để tìm nghiệm phương trình là: x1 = −0,6180339887 ; x2 = 1,618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B Bây ta thử tìm xem A B có mối quan hệ với hay khơng cách tình A + B AB , ta thu kết “đẹp” sau: A + B = , AB = −1 Điều chứng tỏ A , B hai nghiệm phương trình: X − X − = Và từ đây, ta dự đốn x − x − nhân tử phương trình Như vấn đề khó khăn giải Ta viết phương trình cho lại thành: x − 3x + − ( px + q ) − − 3x + px + q = ⇔ x − 3x + − ( px + q ) + ⇔x ( px + q ) (p − ( p + 3) x + − q + − ( − 3x ) − x + px + q =0 + 3) x + pqx + q − = (1) − x + px + q Đến đây, để xuất nhân tử x − x − ( p + 3) x + pqx + q − = k ( x − x − 1) với k hệ số Chọn k = ta cặp ( p, q ) thỏa mãn ( p, q ) = ( −1;2 ) Khi (1) trở thành: x − 2x −1 +   = ⇔ ( x − x − 1)  x + + ÷= − 3x + − x − 3x + − x   x2 − x −  x − x − = (1) ⇔  x +1+ = (*)  − 3x + − x 1± Phương trình ( 1) ⇔ x = Xét phương trình ( *) : x + + =0 − 3x + − x 6 Xét hàm f ( x ) = − 3x + − x − ≤x≤ 3 −3 x −3 x − ⇒ f ′( x) = ⇔ = ⇔ x = − Ta có: f ′ ( x ) = − 3x2 − 3x Ta có bảng biến thiên: ⇒ f ( x) ≤ 6+4 6 6+4 ⇒ < f ( x) ≤ kết hợp với x ≤ 3 ⇒ x +1+ − 3x + − x = x +1+ 12 ≥− +1+ > nên phương trình f ( x) 6+4 ( *) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x= 1± Nhận xét Việc đánh giá phương trình (*) trực tiếp gián tiếp thông qua số, biểu thức trung gian, dùng hàm số Từ giúp chứng minh phương trình (*) vơ nghiệm có thêm nghiệm Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: a) 3x + x + = + x + 12 b) x − + x = x − 2.3.2 Phương pháp lũy thừa hai vế +/ Ta có số phép biến đổi bình phương hai vế: a) b) c)  f ( x ) ≥ ( g ( x ) ≥ ) f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x ) = g ( x )  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x ) = g ( x ) f ( x) ± g ( x) = c d) f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) (Đặt điều kiện, lũy thừa hai vế đưa dạng b) +/ Thơng thường gặp phương trình A + B = C + D , ta thường bình phương hai vế, nhiên nhiều trường hợp điều lại gặp khó khăn +/ Đối với phương trình dạng A + B = C => A + B + 3 AB ( A + B ) = C , ta sử dụng phép A + B = C ta phương trình A + B + 3 ABC = C Ví dụ Giải phương trình x − + x + − x − = Lời giải Điều kiện: x ≥ Ta thấy x = nghiệm phương trình, ta đưa phương trình dạng: ( x – 3) F ( x ) = nên ta biến đổi phương trình sau: ( x − 3) + x + − x − = ⇔ ( x − 3) − 8( x − 3) =0 x+6 +3 x−2  x=3 ⇔ 2 − = 0(*) x+6 +3 x−2  Như vậy, việc giải phương trình x − + x + − x − = đến ta cần giải phương trình ( *) 10 Ta có: − = ⇔ x+6 +3 x−2 = x+6 +3 x−2 ⇔ x+6+6 ( x + ) ( x − ) + ( x − ) = 16 ⇔ ( x + ) ( x − ) = 14 − x 14  x≤ ⇔ 9 ( x + ) ( x − ) = ( 14 − x )  Giải ta nghiệm x = 11 − thỏa mãn 11 − 2x − − x −1 = x − Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = Ví dụ Giải phương trình x − ( ) Lời giải Ta thấy ( x − ) − ( x − 1) = x − , nên từ ta nghĩ tới việc nhân liên hợp, biến đổi phương trình dạng tích có nhân tử ( x – 3) sau: Điều kiện: x ≥ Ta có: x − ( x−3 = x−3 2x − + x −1 ) 2x − − x − = x − ⇔ 5x −  x = (t/m) ⇔  x − = x − + x − (*) Với x ≥ , ta có: pt(*) ⇔ x − = x − + x − ⇔ x −1 + ( x − ) ( x − 1) + x − = x − ⇔ ( x − ) ( x − 1) = ( x + ) (Do x ≥ 2)  x=0 nên suy ⇔  Đối chiếu điều kiện ta có x = 10 thỏa mãn  x = 10 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ; x = 10 2 Ví dụ Giải phương trình ( x − 3x + 1) x + = x − x + Lời giải Điều kiện: x ≥ − Ta thấy phương trình có nghiệm x = nên ta biến đổi phương trình cho sau: ( x − 3x + 1) ( 4x + − ) (x = ( x − 1) ⇔ − x + 1) ( x − ) 4x + + = ( x − 1)  x = (t/m) ⇔  x − x − = x + (*) 11 Đến ta nhận thấy phương trình ( *) có nghiệm nghiệm không “đẹp” nên việc giải tiếp trở nên khó khăn Tuy nhiên ta đặt t = x + , t2 − Thay vào (*) ta có phương trình sau: t − 10t + 25 2 − ( t − ) − = t ⇒ t − 22t − 8t + 27 = 16 2 ⇒ ( t + 2t − ) ( t − 2t − 11) = t ≥ x = Ta tìm nghiệm là: t1,2 = −1 ± 2 ; t3,4 = ± Do t ≥ nên nhận giá trị t1 = −1 + 2 ; t3 = + Từ ta tìm nghiệm phương trình (*) x = − x = + Vậy phương trình cho có nghiệm x =1; x = − x = + Nhận xét Ở Ví dụ 3, việc đặt t = x + tốn đở phức tạp hơn, chất tốn giải cách bình phương hai vế phương trình ( *) Nếu bạn xem ( x + ) ẩn phương trình để nguyên bình phương hai vế giải cách bình thường Tất nhiên làm gặp khó khăn việc phân tích thành phương trình tích để tìm nghiệm ( )( ) x + − 3x + Ví dụ Giải phương trình − x = x + x + Lời giải Điều kiện: x ≥ Đối với phương trình ta thấy việc nhân tung vế phải để giải không khả quan làm cho toán trở nên rắc rối Tuy nhiên xem xét x + − x + ta có: ( x + 3) − ( x + 1) = − x , từ gợi cho ta cách biến đổi phương trình sau: (2 − 2x = ) x + 2x + ( − 2x ) x + + 3x +  x = ( t/m )  ⇔  x + 2x + = ( *)  x + + x + Ta thấy bình phương hai vế khơng âm phương trình (*): x + + 3x + = x + x + Ta + ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + ) , để giải phương trình phức tạp Phương trình đơn giản ta biến đổi giải sau: x + + 3x + = x + x + ⇒ 3x + − x + = x − x + ( 3x + 1) ( x + ) = x + − x ( x + 3) ( 3x + 1) ( x + ) = x ( x + 3) ⇒ x = Vậy phương trình có nghiệm ⇒ 5x + − ⇒ x = 12 Nhận xét Nếu phương trình F ( x ) = có dạng f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) mà có f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) ta biến đổi dạng f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x) sau ta bình phương giải phương trình hệ Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: a) x + ( ( ) x + − x − = − 3x ) b) x − − ( x − x ) = x − 2.3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Trong phần này, đưa số dạng phương trình giải cách đặt ẩn phụ mà em học sinh gặp phải sau nhân lượng liên hợp a)Đặt ẩn phụ đưa hệ ẩn Nếu phương trình F ( x ) = có dạng f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) , mà f ( x ) − g ( x ) = α h ( x ) , h ( x ) số, biểu thức chứa x Ta giải sau: f ( x) − g ( x) f ( x) + g ( x) = h( x) ⇒ Khi đặt f ( x) = a ; f ( x) − g ( x) = h ( x) ⇒ f ( x) − g ( x) = α g ( x) = b  f ( x) − g ( x) = α  ⇒ f ( x) = α + h( x) Ta có hệ   f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) ( *) Từ ta sử dụng phương pháp hợp lý để tìm nghiệm phương trình (*) Ví dụ Giải phương trình x + x + = x + − x − x + Lời giải x ∈ R Điều kiện: 2 Ta thấy x + x + − ( x − x + 1) = ( x + ) x = −4 nghiệm Xét x ≠ −4 , ta có 2x2 + x + = x + − 2x2 − x + ⇒ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + Nhân liên hợp vế trái ta được: ( x + 4) 2x + x + − 2x − x + 2 = x + ⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = a − b = ⇒ 2a = x + Đặt a = x + x + ; b = x − x + Ta có hệ:  a + b = x + Thay trở lại giải phương pháp lũy thừa ta nghiệm x = ; x = Thử lại ta thấy hai nghiệm thỏa mãn phương trình 13 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = Ví dụ Giải phương trình x − x + 10 = x + x − 12 x + 20 Lời giải x≤2 Điều kiện:   x ≥ 10 Cũng cách kiểm tra, ta thấy phương trình nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình dạng phương trình tích xuất nhân tử ( x − 1) Ta biến đổi sau: phương trình ⇔  x − x + 10 − ( x + 1)  =  x − 12 x + 20 − ( x + )  (1)     Để ý hai phương trình x − x + 10 + ( x + 1) = vô nghiệm nên nhân lượng liên hợp hai vế (1) ta có: −18 ( x − 1) = x − 12 x + 20 + ( x + ) = −16 ( x − 1) x − x + 10 + x + x − 12 x + 20 + x + x = ⇔  = ( *) 2  x − x + 10 + x + x − 12 x + 20 + x + Phương trình ( *) ⇔ x − x + 10 − x − 12 x + 20 = x + 10 Đến ta có thấy việc bình phương hai vế để khử thức không khả quan Nhưng đặt a = x − x + 10 ; b = x − 12 x + 20 8a − 9b = x + 10 ⇒ 5a = x −  2a − b = x Ta có hệ sau:  Thay trở lại ta có phương trình: x − x + 10 = x − 5  15 + 5 x ≥ ⇔ ⇔x= , thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn  x − 15 x + 25 =  15 + 5 phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1, x = Ví dụ Giải phương trình x + 24 + 12 − x = Lời giải Điều kiện: x ≤ 12 Nhận thấy phương trình có nghiệm x = Ta biến đổi phương trình dạng tích sau: ( x − 3) ( ) 12 − x − ( x + 24 ) − 3 x + 24 − =  x=3 ⇔  12 − x − ( x + 24 ) − 3 x + 24 − = ( *) 14 Kết hợp phương trình ( *) với phương trình ban đầu ta có: ( x + 24 )  x = −24 + x + 24 = ⇔   x = −88 thử lại ta thấy hai nghiệm thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm: x = ; x = −24 x = −88 Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu Ta ý phép biến đổi phép biến đổi hệ sau giải xong ta phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Đối với phương trình dạng này, khơng cần đặt ẩn phụ mà để nguyên biểu thức phương trình sau nhân lượng liên hợp kết hợp với phương trình ban đầu để đưa hệ Việc đặt ẩn phụ trường hợp có tác dụng làm cho hệ phương trình gọn dễ nhìn b) Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai ẩn Chúng ta biết cách giải phương trình a + mab + nb = ( 1) Với b = thử trực tiếp vào phương trình ( 1) a a Với b ≠ , phương trình trở thành:  ÷ + m + n = b b Các phương trình có dạng sau đưa phương trình dạng (1) Phương trình dạng a A ( x ) + b.B ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình dạng P ( x ) = α Q ( x ) giải phương pháp  P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = a A ( x ) + b.B ( x )  Xuất phát từ đẳng thức: x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x − x + 1) ( x + x + 1) …… Ví dụ Giải phương trình x = ( x + ) ( ) x3 + − Lời giải Điều kiện: x ≥ −1 Nhân liên hợp vế phải phương trình với biểu thức phương trình x + + ≠ ta  x = (t/m) ⇔ x3 + +  x + = x + ( *) Xét phương trình ( *) Đặt u = x + , v = x − x + 5x = (2 x + 9) x 2 Phương trình trở thành: ( u + v ) = 5uv suy u = 2v; u = v 15 Từ ta giải nghiệm x = ± 37 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = ± 37 Phương trình dạng au + bv = α u + β v Phương trình sau nhân liên hợp cho dạng thường khó phát cách giải, ta bình phương hai vế đưa dạng từ dễ dàng đưa lời giải Ví dụ Giải phương trình 3x + x + ( ) x2 + x − x − = x2 + Lời giải 2 Ta nhận thấy ( x + x ) − ( x − 1) = x + nên ta biến đổi phương trình dạng Điều kiện: x ≥ x + x + ( x + 1) x2 + 2x + 2x − = x + ⇔ x + x + x − = x + x + (*) Bình phương vế phương trình (*) ta có: (x + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) u = x + x 1− 1+ v ; u= v Ta đặt:  Khi ta có: uv = u − v hay u = 2  v = x − 1+ 1+ v ⇒ x2 + 2x = 2x −1 Do u > 0, v ≥ ⇒ u = 2 1+ Bình phương hai vế ta nghiệm x = thỏa mãn 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: a) ( ) x − 14 x + + x − x − 20 x + = x − 13x + 29 ; b) x − x + + x − = x + 10 − 10 x2 2.4 Phương pháp hàm số Trong phần tơi trình bày phương pháp sử dụng lý thuyết sau để giải phương trình gặp phải sau nhân lượng liên hợp: Định lí: Nếu hàm số y = f ( x ) ln đồng biến (hoặc ln nghịch biến) số nghiệm phương trình f ( x ) = k không nhiều f ( u ) = f ( v ) u = v 16 Ví dụ (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) Giải phương trình tập số thực: x2 + 2x − = ( x + 1) x2 − 2x + ( x+2 −2 ) Lời giải Đối với đa số học sinh nhận x = nghiệm phương trình Nhưng sau nhân liên hợp việc giải tốn lại vấn đề khó mà em gặp phải Đa số em giải được: Với x ≥ −2 , nhân liên hợp vế phải ta phương trình:  x=2 x +1   x+4 − =0⇔  x+4 ( x − 2)  x +1   − = ( *) x + + 2  x − 2x +  x − x + x+2+2 Đến đây, học sinh sử dụng máy tính cầm tay phát phương trình ( *) có thêm nghiệm “xấu” nhiều em giải tiếp Ta có ( *) ⇔ ( x + ) ( )( ( ) x + + = ( x + 1) ( x − x + 3) ) + ÷ = ( ( x − 1) + ) ( ( x − 1) + ) ( 1)  Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( t + ) [ 0; +∞ ) x + +   x+2 2 Ta có f ′ ( t ) = 3t + 4t + > 0; ∀t ∈ [ 0; +∞ ) , nên hàm số y = f ( t ) đồng biến [ 0; +∞ ) Khi ( 1) ⇔ f ( ) x + = f ( x − 1) ⇔ x + = x − x ≥ x ≥1 + 13  ⇔ ⇔ ⇔x= ± 13  x − 3x − = x =  + 13 Vậy phương trình có nghiệm x = ; x = Ví dụ Giải phương trình 3(1 − x )( + x + x − 1) = (4 x + 2)( x + 1)(2 − x + 3) Lời giải Nhận xét Nhìn vào phương trình đa số em học sinh không nghĩ cách giải Nhưng để ý ta thấy đề có gợi ý phương pháp 2 nhân liên hợp, là: ( + x + x − 1) = x ( x + 1) − ( x + 3) = − x Từ ta có cách giải phương trình sau: 3( − x2 ) ⇔ ( ) + x + x − = ( x + ) ( x + 1) 3( − x2 ) ( x + x2 ) + x + x2 + = ) 9x2 + − ( x + ) ( x + 1) ( x − 1) + 9x2 +  ( − x ) ( x + 1) = ⇔ 3 x + x + + ( x + )  ( ( ( ) ) ( 1) + x + x + = ( *) 17 (1) ⇔ x = −1; x = ± Ta thấy phương trình ( *) có nghiệm (− ;0) ( pt ( *) ⇔ ( −3 x ) + ( ( −3x ) ) ( ) ( + = ( x + 1) + ⇔ u + u + = v + v2 + ) ( x + 1) +3 ) ( 1) Với u = −3x , v = x + ; u, v > Xét hàm số f ( t ) = 2t + t + 3t với t > Ta có f ′ ( t ) = + 2t + 3t t + 3t > 0; ∀t > Phương trình ( *) ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ −3x = x + ⇔ x = − nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = ± ; x = − Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: a) x + − x + = x + − x b) 162 x + − 27 x − x + = 2.5 Phương pháp sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức quen thuộc Một số bất đẳng thức quen thuộc: + a + b ≥ 2ab Dấu " = " xảy a = b 1 + ≥ ; với a, b > Dấu " = " xảy a = b a b a+b 2  a+b + ÷ ≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab Dấu " = " xảy a = b   a b + + ≥ ; với a, b > Dấu " = " xảy a = b b c 2 2 + ( a + b ) ( x + y ) ≥ ( ax + by ) Dấu " = " xảy ay = bx + +/ Bất đẳng thức côsi: Cho n số không âm a1 , a2 , , an a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n Dấu " = " xảy a1 = a2 = = an Ta có: +Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai số: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ ( a12 + a2 + + an ) ( b12 + b2 + + bn ) a1 a2 a = = = n b1 b2 bn 2x − = x x+3−2 Ví dụ Giải phương trình 9x −1 Dấu " = " xảy ( ) 18 Lời giải  x ≥ −3  Điều kiện:   x ≠ Khi phương trình cho trở thành:  x = (t/m) x ( x − 1) 2x − = ⇔ 9x −1 x+3+2  x + = x − x − (*) ( )  + x + = 3x 2 Ta có x + = x − x − ⇔ + x + = x ⇔  1 + x + = −3 x 3 x − ≥ ⇔ x =1 9 x − x − = +/ + x + = 3x ⇔ x + = 3x − ⇔  −3 x − ≥ −5 − 97 ⇔x= 18  9x + 5x − = +/ + x + = −3x ⇔ x + = −3x − ⇔  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = −5 − 97 18 Như phương pháp ta biến đổi phương trình dạng k k [ f ( x) ] = [ g ( x)] Ví dụ Giải phương trình 2x2 + 4x + x + 10 x + 14 − x + x + = − x − x2 2 Lời giải Điều kiện: x ≠ −1 ± 2 Nhận thấy ( x + 10 x + 14 ) − ( 3x + x + ) = x + x + nên ta có: 2x2 + 4x + x + 10 x + 14 + x + x + = x2 + x + − 2x − x2 ⇔ x + 10 x + 14 + x + x + = − x − x ( *) Đến ta thấy lũy thừa hai vế để khử thức không khả quan Nhưng để ý hệ số biểu thức dấu ta thấy: x + 10 x + 14 = 5( x + 1) + x + x + = 3( x + 1) + Từ gợi cho ta ý tưởng đánh giá hai vế phương trình ( *) Thật vậy, ta có: − x − x = − ( + x ) ≤ ⇒ VT ( *) ≥ VP ( *) Dấu “ =” xảy x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x = −1 Bài tập đề nghị Giải phương trình sau: a) x − − x + = b) ( x − 12 x + 40 ) ( x4 − 2x2 − x4 + ) x − − 10 − x = x − 12 19 2.6 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm việc áp dụng phương phải giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp Trong năm học 2017-2018 triển khai ý tưởng phương pháp buổi học theo yêu cầu chọn học sinh để khảo sát - Đối tượng áp dụng: Học sinh có lực – giỏi mơn Tốn; - Thời gian thực hiện: buổi (6 tiết) Kết thực nghiệm Sau thử nghiệm dạy nội dung đề tài cho 20 em học sinh – giỏi lớp 11A5 11A3 (Mỗi lớp 10 em), tiến hành cho em làm kiểm tra với nội dung câu mức độ vận dụng Tôi thu kết sau: Giải Bài Lớp phương trình sau nhân lượng liên hợp 11A5 10/10 10/10 8/10 11A3 10/10 8/10 6/10 11A5 10/10 9/10 7/10 11A3 10/10 6/10 5/10 Căn vào kết ta thấy đề tài bước đầu có tác dụng việc trang bị cho em học sinh lực, kỹ giải toán sau nhân lượng liên hợp Đặt điều kiện phương trình Nhân lượng liên hợp KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Xuất phát từ thực tế công tác giảng dạy thân qua trình học tập học sinh, từ thích nghiên cứu, tìm tòi ham học hỏi em giải tốn, tơi thấy việc đưa cho học sinh cách giải cách nhìn khác tốn cần thiết Qua thời gian nghiên cứu tìm tòi, tổng hợp đưa vào vận dụng học sinh lớp 11 có lực – giỏi ơn thi THPT Quốc Gia, Ơn thi học sinh giỏi Tơi thấy đa số em học sinh nắm nội dung phương pháp đề tài, vận dụng thành thạo vào toán cụ thể Tuy nhiên áp dụng vào đối tượng học sinh lớp 10, 11 theo mức độ nhận thức, học lực kiến thức học em mà ta đưa tập áp dụng phương pháp phù hợp 3.2 Kiến nghị Phương pháp giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp phù hợp với học sinh có lực – giỏi nên xem tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh ôn thi học sinh giỏi Ơn thi Trung học phổ thơng Quốc gia Không nên giảng dạy đại trà cho tất đối tượng học sinh 20 Nếu đề tài đánh giá tốt, mong phổ biến rộng rãi học sinh tài liệu tham khảo bổ ích ơn thi học sinh giỏi; ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Mặc dù cố gắng sưu tầm, nghiên cứu tìm tòi nhiều vấn đề khác mà đề tài chưa nghiên cứu Tôi hy vọng đồng nghiệp nghiên cứu tiếp Tôi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô trước bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện, mở rộng có ứng dụng vào thực tế nhiều XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Thị Thu Thủy Thanh Hóa, ngày 24 tháng 04 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Vũ Thị Hằng TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số 10 – NXB GD 21 Đại số Giải tích 11 – NXB GD Giải tích 12 – NXB GD Hướng dẫn giải tập từ đề thi quốc gia mơn tốn - Trần Thị Vân Anh - NXB ĐHQG HN – 2009 Phương pháp giải toán trọng tâm – Phan Huy Khải – NXB ĐHSP – 2010 Bồi dưỡng Đại số Giải tích 11 - Phạm Quốc Phong – NXB ĐHQG HN – 2007 Bồi dưỡng Giải tích 12 - Phạm Quốc Phong - NXB ĐHQG HN – 2008 Bộ đề thi thử trọng tâm mơn Tốn – TS.Lê Xn Sơn – Th.S Lê Khánh Hưng – Th.S Lê Mạnh Linh – NXB ĐHQG HN - 2013 Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Th.s Lê Hồng Đức- Vương Ngọc Lê Viết Hòa- Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc 10 Một số toán, viết trang thư viện Violet, trang mạng INTERNET, 22 ... hướng phương pháp giải chủ yếu Một số giải pháp Trước trình bày số phương pháp giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp, tơi xin trình bày phương pháp nhân lượng liên hợp tốn giải phương trình. .. cách giải thích hợp phương trình sau nhân lượng liên hợp Trong đề tài này, tơi xin trình bày Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ sau nhân lượng liên hợp ,giúp cho học sinh đưa lời giải nhanh. .. em số phương pháp để giúp em giải tốt phương trình vơ tỷ gặp phải sau nhân lượng liên hợp giúp em bớt ngại gặp tốn giải phương trình vơ tỷ Sau thời gian nghiên cứu thấy đưa hệ thống cách giải phương