một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH CHỦ ĐỘNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Người thực hiện: Đoàn Mạnh Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA,NĂM 2013 A ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vơ tỉ (chứa ẩn căn) dạng tốn thường gây khó khăn cho em học sinh, đặc biệt em tham gia kì thi học sinh giỏi ,kì thi vào Cao đẳng – Đại học Để giải dạng tốn địi hỏi học sinh cần phải có tư định, phải biết phân tích lựa chọn cách giải cho phù hợp Ngoài hai cách giải thơng thường, là: bình phương đặt ẩn phụ đơn giản dạng tốn cịn có thêm số phương pháp giải đăc biệt khác Do thời lượng chương trình giáo khoa hạn chế nên phần lớn em không tiếp cận nhiều với phương pháp Chính thế, tơi lựa chọn đề tài: “một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vơ tỉ” Qua tơi mong muốn giúp em có nhìn tổng qt giải phương trình B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I – Cơ sở lí luận - Phương trình vơ tỉ dạng toán quan trọng thường dùng kì thi đặc biệt kì thi học sinh giỏi kì thi vào đại học –cao đẳng Để giải tốt tốn địi hỏi người học phải có tư nhạy bén kỹ tính tốn tốt -Nếu học sinh chưa tiếp cận với phương pháp giải phương trình vơ tỉ vịêc giải tốn gặp khơng khó khăn II Thực trạng vấn đề - Ngoài dạng phương trình vơ tỉ bản, hầu hết dạng mở rộng khác không đề cập SGK, lại thường khai thác kì thi học sinh giỏi,kì thi vào đại học – cao đẳng Vì em lúng túng gặp dạng toán dẫn đến bế tắc việc định hướng giải phương trình III Giải pháp tổ chức thực hiện: - Tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỉ - Đưa giải số ví dụ minh hoạ Các phương pháp giải pháp giải phương trình vơ tỷ: 1/Phương pháp nhân lượng liên hợp: a/ Phương pháp: Nhẩm nghiệm x0 Từ đó, ta xử lý nhân lượng liên hợp để đưa tích ( x − x0 ) A( x) = Sau đó, ta giải A ( x ) = Thông thường ta ý điều kiện có nghĩa điều kiện có nghiệm phương trình để chứng minh A ( x ) = vơ nghiệm b/ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x − (1) Phân tích phương trình: Nếu phương trình mà bình phương hai vế đưa phương trình bậc 4, khó khăn cho việc giải sau Còn việc đặt ẩn phụ phức tạp Tuy nhiên, ta nhận thấy x = thoả mãn phương trình Do đó, ta tìm cách đưa phương trình tích có chứa thừa số x – 3, từ ta thêm bớt để nhân lượng liên hợp Giải: Điều kiện: x ≥ −1 Ta có x + = x − ⇔ ⇔ ( ) x + − = x2 − ( x − 3) x +1 + = ( x − 3) ( x + 3) x − = ⇔  = x + ( 1' )  x+2+2  Pt (1’) vơ nghiệm vì: VT = ≤1 x +1 + VP = x + ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x − + x + + 3x − x − = (2) Phân tích phương trình: Ta nhẩm thấy x = thoả mãn phương trình Từ xử lý ví dụ Giải: Điều kiện: x ≥ ) ( Phương trình (2) ⇔ ( x − − 1) + ( x + − ) + x − x + = ⇔ x−2 x−2 + + ( x − ) ( x − 1) = x −1 +1 x+2+2 x − = ⇔ 1  + + ( x − 1) = ( ' )  x −1 +1 x+2+2  Ta thấy phương trình (2’) vơ nghiệm vì: với x ≥ VT = 1 + + ( x − 1) > x−1+1 x+ + Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 12 + = x + − x (3) Phân tích phương trình: ta thấy : x =- thoả mãn phương trình (3) Giải: Phương trình (3) ⇔ x + 12 − = x + − − x − x2 − ⇔ x + 12 + = x2 − x +5+3 − 3( x + 2) x + =  x−2 ⇔  x−2 − = ( 3' )  x2 + + x + 12 +  Từ phương trình ( 3' ), suy ra: Vì Nên x + 12 − x + = −3x − −5 x + 12 − x + > nên điều kiện có nghiệm x < x−2 x +5 +3 − x−2 x + 12 + < suy (3’) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là: x=-2 Ví dụ 4: Giải phương trình sau : x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + (4) 2 Phân tích phương trình ta thấy : ( 3x − x + 1) − ( 3x − 3x − 3) = −2 ( x − ) 2 Và ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Giải: 3 x − x + ≥   Điều kiện:  x − ≥  x − x − ≥  phương trình (4) ⇔ −2 x + x − x + + ( x − x + 1) = 3x − x − + x − 3x +   ÷= ⇔ ( x − 2)  + 2  x − + x − 3x + 3x − 5x + + 3( x − x − ) ÷   x =  =0 ' ⇔   ÷ (4 ) +  3x − x + + ( x − x − ) ÷  x − + x − x +    Dễ thấy phương trình ( 4' ) vơ nghiệm x=2 thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x=2 x + − − x + x − 14 x − = (4) Ví dụ : Giải phương trình sau : (trích đề thi đại học khối B-2010) Giải: Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình (4) ⇔ ( ⇔ 3( x − 5) 3x + + + 3x − − ) + (1− x −5 + ( 3x + − x +1 ) − x + x − −14 x − = ) ( x − 5) = x =  + 3x + =  +  3x + + − x +1  Ta thấy phương trình + + x + = vơ nghiệm 3x + + − x +1   + + x + > 0, ∀x ∈ − ;6  3x + + − x +1   Vậy phương trình có nghiệm x=5 2/Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai: a/ Phương pháp: Chọn đặt ẩn u, v thích hợp để đưa phương trình bậc hai α u + β uv + γ v = Khi đó, ta giải cách: + Xét v = xem có thoả phương trình khơng + Khi v ≠ , chia hai vế pt cho v u u ta pt α   + β + γ =  ÷ v v 2, Chú ý: Trong phương pháp ta cần để ý đến việc sử dụng đẳng thức: ( ) x3 + = ( x + 1) ( x − x + 1)  x − = ( x − 1) x + x +  ( ) ( )( )  x4 + x2 + = x2 + − x2 = x2 + x + x2 − x + ( ) ( )( )  x4 + = x2 + − x2 = x2 + x + x2 − x + b/ Các ví dụ minh hoạ: ( ) ( ) Ví dụ 1: Giải phương trình: x − 3x + − 3 x x + = (1) Giải: Điều kiện: x ≥ Đặt u = 3x , v = x + ( u ≥ 0, v > ) ( ) u u Phương trình (1) trở thành: v − u − 3uv = ⇔   + − =  ÷ v v u v = ⇔  u = −2 ( loai ) v   x = + 35 u = ⇔ 3x = x + ⇔ x − 12 x + = ⇔  Với v  x = − 35  Ta thấy hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = + 35 x = − 35 Ví dụ 2: Giải phương trình: x − x − = x3 + (2) Giải: Điều kiện: x ≥ −1 ( x + 1) ( x − x + 1) Phương trình (2) ⇔ x − x + − ( x + 1) = Đặt u = x + 1, v = x − x + ( u ≥ 0, v > ) u u Phương trình (2) trở thành: v − 2u = uv ⇔   + − =  ÷ v v u v = ⇔  u = −1 ( loai ) v   + 37 x = u 2 Với = ⇔ x + = x − x + ⇔ x − x − = ⇔  v  − 37 x =  Ta thấy hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = + 37 − 37 x = 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x − x + − x + x + = (3) Giải: ( ) Phương trình (3) ⇔ x + x + + x − x + − ( x2 + x + 1) ( x2 − x + 1) = Đặt u = x + x + 1, v = x − x + ( u > 0, v > ) u v =1 u u Phương trình (3) trở thành: u + 2v − 3uv = ⇔  ÷ − + = ⇔  v u = v v  Với u = ⇔ x2 + x + = x2 − x + ⇔ x = v Với u = ⇔ x + x + = x − x + ⇔ 3x − x + = (phương trình vơ v nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm là: x=0 Ví dụ 4: Giải phương trình: x + x + − x + = (4) Giải: ( ) ( ) ( x2 + 2x + 1) ( 2x2 − 2x + 1) = Phương trình (4) ⇔ 2 x + x + − x − x + − Đặt u = x + x + 1, v = x − x + ( u > 0, v > ) u u Phương trình (4) trở thành: 2u − v − uv = ⇔   − − =  ÷ v v 2 u v =1 ⇔  u = − ( loai ) v  Với u = ⇔ x2 + x + = x2 − x + ⇔ x = v Vậy phương trình có nghiệm là: x=0 Ví dụ 5: Giải phương trình: ( x + ) =5 x3 + (5) Giải: ( ) Phương trình (5) ⇔ x − x + + x + = u = x + 1, v = x − x + ( u ≥ 0, v > ) Phương trình (5) trở thành: ( ) u2 + v2 = 5uv u v = u u ⇔ 2 ÷ − + = ⇔  v v u = v  ( x + ) ( x − x + 1) Với u = ⇔ x + = x − x + ( phương trình vơ nghiệm) v  + 37 x = u 2 Với = ⇔ x + = x − x + ⇔  v  − 37 x =  Ta thấy hai nghiệm thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = + 37 − 37 x = 2 Ví dụ 6: Giải phương trình: x − − x + = x − (6) Giải: Điều kiện: x ≥ Đặt u = x − 1, v = x + ( u ≥ 0, v > ) Phương trình (6) u  u  ⇔ 3u − v = 2uv ⇔  ÷ −  ÷− = v v u v =1 ⇔  u = − ( loai ) v  Với u = ⇔ x − = x + ( phương trình vơ nghiệm) v Vậy phương trình cho vô nghiệm 3/phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình: a/ Phương pháp:đặt u=u(x),v=v(x)sau đưa giải hệ phương trình theo u,v đơn giản b/ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: − x + x − − 4 x − x − = −2 Giải: 3 − x ≥ ⇔1≤ x ≤ Điều kiện:  x − ≥ Đặt u = − x ≥ 0; v = x − ≥  u + v − 4uv = −2 u =  − x =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=2 Phương trình v =1  x −1 =1 u + v2 =     Vậy phương trình có nghiệm x=2 Ví dụ : Giải phương trình sau : 3x − + − x − = (trích đề thi đại học khối A-2009) Giải: Điều kiện: x ≤ Đặt u = 3 x − 2; v = − x ≥ Ta có hệ:  − 2u  − 2u  u + 3v − = v =  v = v = 3 ⇔ ⇔ ⇔  5u + 3v =  u = −2  5u3 + 3v2 = 15u3 + 4u2 − 32u + 40 =    − 5x = v =  ⇔ ⇔ x = −2 Với  u = −2 x − = −2   Vậy phương trình có nghiệm x=-2 Ví dụ 3: Giải phương trình sau : x + 34 − x − = Giải: Đặt u = x + 34; v = x −  u =  u − v = 12  v = ⇔ Ta có hệ:  3   u = −3 u − v = 37    v = −4   x + 34 = u =  ⇔ ⇔ x = 30 Với  v = 3 x − =   x + 34 = −3 u = −3  ⇔ ⇔ x = −61 Với  v = −4  x − = −4  Vậy phương trình có nghiệm x=30 x=-61 Ví dụ 4: Giải phương trình sau : x3 + x + + x3 + x − = Giải: Đặt u = x + x + ≥ 0; v = x + x − ≥ u + v = u =  ⇔ Ta có hệ:  2 u − v = v =  u = ⇔ x3 + x − = ⇔ x = Với  v = Vậy phương trình có nghiệm x=1 4/Phương pháp đổi biến khơng hồn tồn: a/ Phương pháp: Đổi biến khơng hồn tồn tức sau đặt ẩn phụ ẩn cũ ta thường xem ẩn cũ tham số b/ Ví dụ minh hoạ: ) ( 2 Ví dụ 1: Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: t = Đặt t = x + , ta có phương trình : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔  t = x −1  Với t=3 ⇔ x + = ⇔ x = ± Với  x ≥ −1  t = x +1⇔ x + = x +1⇔  ⇔x= 2  x + = ( x + 1)  Vậy phương trình có nghiệm là: x = ± x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − = ( x + ) x + x − (2) Giải:  x ≥ −1 + Điều kiện : x + x − ≥ ⇔   x ≤ −1 −  Đặt t = x + x − ( t ≥ ) Phương trình(1) trở thành: t = t + 3x − = ( x + ) t ⇔ t − ( x + ) t + 3x − = ⇔  t = x − x =  x = −5 2 Với t = ⇔ x + x − = ⇔ x + x − 15 = ⇔  x −1 ≥  Với t = x − ⇔ x + x − = x − ⇔  2⇔ x=  x + x − = ( x − 1)  Kết hợp với điều kiện ta thấy ba nghiệm thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm là: x=-5,x=3 x= Ví dụ 3: Giải phương trình: ( x − 1) x3 + = x3 + x + (3) Giải: Điều kiện : x ≥ −1 ( ) Phương trình (2) ⇔ ( x − 1) x3 + = x3 + + x − Đặt: t = x3 + ( t ≥ ) Pt trở thành: ⇔ 2t − ( x − 1) t + x − =  t= ⇔  t = x − Với t = 1 ⇔ x3 + = ⇔ x = − 2  x ≥ ⇔x=2 Với t = x − ⇔ x + = x − ⇔   x3 − x + x =  Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 Bài 4: Giải phương trình : ( x + 1) x − x + = x + Giải: Đặt : t = x − x + 3, t ≥ ⇔ x + − ( x + 1) t = Khi phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn là: t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − x = − t = ⇔ x2 − 2x + = ⇔  Với x = +  Với t = x − ⇔ x − x + = x − phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm là: x = − x = + 5/Phương pháp hàm số : (Phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số) a/ Nhận xét:  Nếu f(x) hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng K u, v ∈ K phương trình f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v  Nếu f(x) hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng K phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm K b/ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 + x − x + = ( 3x − ) x − (1) Giải: Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Phương trình ⇔ x3 + x = ( 3x − ) + ( 3x − ) (1’) Xét hàm f ( t ) = 2t + t ⇒ f ' ( t ) = 6t + 2t > 0, ∀t > ⇒ f(t) đồng biến khoảng ( 0;+ ∞ ) Ta có () 1' ⇔ f ( x ) = f ( x ≥ x =  ⇔ 3x − ⇔ x = 3x − ⇔  x =  x = 3x −  ) Vậy phương trình có nghiệm là:x=1 x=2 Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + 1)  +   x + x +  + x  + x +  = (2) ÷  ÷    Giải:   Phương trình (2) ⇔ ( x + 1)  +   ( x + 1) +  = −3x  + ( −3 x ) + ÷ ÷    Mặt khác xét hàm số f ( t) = t( + t + ) t2 ⇒ f '( t ) = + t + + t +3 > 0, ∀t ∈ R Suy ra, f(t) đồng biến R Do đó, phương trình (2) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) ⇔ x + = −3x ⇔ x = − Vậy phương trình có nghiệm: x= − Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 15 = 3x − + x + Giải: Xét phương trình: f ( x ) = 3x − + x + − x + 15 = -Nếu x〈 f ( x ) 〈 phương trình vơ nghiệm - Nếu x ≥ x ' ta có f ( x ) = + 2 x +8 x − x + 15 >0 3  ⇒ f ( x ) đồng biến  ; +∞ ÷ vµ f ( x ) = x = 2  Vậy phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x5 + x3 − − 3x + = Giải: 1  Xét phương trình: f ( x ) = x5 + x − − 3x + = có tập xác định  −∞;  3  1  f ' ( x ) = 5x + 3x + > ⇒ f ( x ) đồng biến  −∞;  f ( x ) = 3 − 3x  x = −1 Vậy phương trình có nghiệm x=-1 Ví dụ 5: Giải phương trình: ( x + ) ( x − 1) − x + = − ( x + ) ( x − 1) + x + Giải: Xét phương trình: f ( x ) = ( x + ) ( x − 1) − x + + ( x + ) ( x − 1) − x + = ( *) 1  có tập xác định  ; +∞ ÷ 2  ta có ( * ) ⇔ ( x+6 + x+2 )( ) x − − = ( * *) từ ( * * ) ⇒ x − − ≥ ⇔ x ≥ ' xét hàm g ( x ) = x + + x + ⇒ g ( x ) = 1 + > 0, ∀x ≥ x+6 x+2 > 0, ∀x ≥ 2x − Suy hàm g ( x ) , h ( x ) hàm đồng biến nên f ( x ) hàm đồng biến với ∀x ≥ Mặt khác f ( x ) = x=7 Vậy phương trình có nghiệm x=7 h ( x ) = x − − ⇒ h' ( x ) = IV/ Hiệu áp dụng: * Phần lớn em hứng thú tiếp cận với phương pháp này, đặc biệt em giỏi, em luyện thi Đại học * Qua đề tài này, em cảm thấy tự tin giải phương trình vơ tỉ Kết cụ thể : Tôi chọn 30 học sinh lớp 12A1 30 học sinh lớp 12A2: Lớp 12A1 lớp thực nghiệm lớp 12A2 lớp đối chứng Tơi dùng câu giải phương trình vơ tỷ (tương đương với câu đề thi đại học thực với đề bài) làm kiểm tra trước tác động với thời gian làm 20 phút Đề bài:giải phương trình − x − = − x + Bảng thống kê điểm kiểm tra (quy sang thang điểm 10) trước tác động: Lớp Số HS Điểm/số HS đạt điểm Điểm TB 10 12A1 30 2 5,93 12A2 30 2 5 5,76 Độ chênh lệch: 0,17 Kết kiểm tra cho thấy kết trung bình hai lớp tương đương Tơi sử dụng thiết kế kiểm tra sau tác động nhóm tương đương Tơi dùng câu giải phương trình vơ tỷ (tương đương với câu đề thi đại học thực với đề bài) làm kiểm tra sau tác động với thời gian làm 20 phút Đề bài:giải phương trình x + − x = Bảng thống kê điểm kiểm tra(quy sang thang điểm 10) sau tác động: Lớp Số HS Điểm/số HS đạt điểm Điểm TB 10 12A1 30 0 12A2 30 2 Độ chênh lệch: 1,46( >0 ) 5 7 7,26 5,8 Bảng kết chứng minh tác động kiểm chứng thật có ý nghĩa Trên hai lớp tương đương, sau thực tác động kết kiểm chứng cho thấy độ chênh lệch điểm trung bình 1,46( > 0) Chênh lệch kết điểm trung bình nhóm thực nghiệm nhóm đối chứng không ngẫu nhiên mà kết tác động C KẾT LUẬN: I/ Ý nghĩa đề tài công tác: Đề tài giúp thân tơi có thêm tư liệu để giảng dạy tài liệu nhỏ để em học sinh tham khảo vận dụng có hiệu vào kì thi Đại học –Cao đẳng kì thi học sing giỏi II/ Bài học kinh nghiệm hướng phát triển: Qua đề tài giúp tơi có hội nâng cao trình chun mơn có thêm tư liệu hỗ trợ cho cơng tác giảng dạy thân,từ có nhiều học sinh giỏi,nhiều học sinh đậu vào trường Đại học-Cao đẳng III/ Đề xuất, kiến nghị: Bài viết trình bày theo kinh nghiệm cá nhân q trình giảng dạy, chắn cịn nhiều thiếu xót chưa thật hồn chỉnh Vì tơi mong đồng nghiệp góp ý chân thành cho sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Đoàn Mạnh Hùng ... nhiều với phương pháp Chính thế, tơi lựa chọn đề tài: ? ?một số phương pháp giúp học sinh chủ động giải phương trình vơ tỉ? ?? Qua tơi mong muốn giúp em có nhìn tổng quát giải phương trình B GIẢI QUYẾT... hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỉ - Đưa giải số ví dụ minh hoạ Các phương pháp giải pháp giải phương trình vơ tỷ: 1 /Phương pháp nhân lượng liên hợp: a/ Phương pháp: Nhẩm nghiệm x0 Từ đó,... ⇔ x − = x + ( phương trình vơ nghiệm) v Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3 /phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình: a/ Phương pháp: đặt u=u(x),v=v(x)sau đưa giải hệ phương trình theo u,v