20 Phương Pháp Bất Đăng thức

www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN CẦN NHỚ 1/Định nghĩa A  B  A  B   A  B  A  B  2/Tính chất + A>B  B  A + A>B B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B C > D  A+C > B + D + A>B C >  A.C > B.C + A>B C <  A.C < B.C + < A < B < C B >  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > A >  A m > A n + m > n >  1  A B 3/Một số bất đẳng thức + A  với  A ( dấu = xảy A = ) + An  với  A ( dấu = xảy A = ) + A  với A (dấu = xảy A = ) + - A 0) + A  B  A  B ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp   ( x  y)  ( x z)  ( y  z)  với x;y;z  R Vì (x-y)2  vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2  vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2  với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z  xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z = b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)  với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz với x;y;z  R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2  b2  a  b    ;   a) b) a2  b2  c2  a  b  c    3   c) Hãy tổng quát toán Giải: a2  b2  a  b      1 2a  b  a  2ab  b = = 2a  2b  a  b  2ab = a  b 2   4 4 a2  b2  a  b   Vậy Dấu xảy a=b    a) Ta xét hiệu   b)Ta xét hiệu   a2  b2  c2  a  b  c  2   = a  b   b  c   c  a   Vậy 3   a2  b2  c2  a  b  c    3   Dấu xảy a = b =c a  a   a n2  a1  a   a n  c)Tổng quát   n n   Tóm lại bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1          Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m m   n 0 n  m  m   p0  m2 p  Dấu xảy    m n  p  q    q 0 m q  2   m  22 m     Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a  b  c  abc(a  b  c) Giải: Ta có : a  b  c  abc(a  b  c) , a, b, c   a  b  c  a bc  b ac  c ab   2a  2b  2c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2    2a b  b  c    2b c  c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2    b   2  c2  a2  b2  b2  c2 Đúng với a, b, c   c   c 2  a2   (a b  b c  2b ac)  (b c  c a  2c ab)  (a b  c a  2a ab)   a2   ab  bc   bc  ac   ab  ac  2 2 0 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau:  A  B2  A2  AB  B  A  B  C 2  A2  B  C  AB  AC  2BC  A  B3  A3  3A2 B  3AB  B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2  ab b) a  b   ab  a  b c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e a) a  Giải: b2  ab  4a  b  4ab  4a  4a  b   2a  b  b2 (BĐT đúng) Vậy a   ab (dấu xảy 2a=b) 2 b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b) a) a   a  2ab  b  a  2a   b  2b   Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Bất đẳng thức cuối  (a  b)  (a  1)  (b  1)  2 Vậy a  b   ab  a  b Dấu xảy a=b=1 c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e  4 a  b  c  d  e   4ab  c  d  e  a  4ab  4b   a  4ac  4c   a  4ad  4d   a  4ac  4c    a  2b  a  2c   a  2d   a  2c   2 2 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10  b10 a  b   a  b8 a  b  Giải: a 10  b10 a  b   a  b a  b   a12  a10b  a b10  b12  a12  a 8b  a b8  b12 2 2 6  a 8b a  b   a b b  a    a b (a -b )(a -b )  2 2 2  a b (a -b ) (a + a b +b )  Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x  y Giải: x2  y2 Chứng minh 2 x y x2  y2 2  2 :x  y nên x- y   x +y  2 ( x-y) x y 2  x +y - 2 x+ 2 y   x +y +2- 2 x+ 2 y -2  2  x +y +( ) - 2 x+ 2 y -2xy  x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- )  Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y  y  xy  y   x, y  R b/ a  b  c  a  b  c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z   1 1     x yz  x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  (vì   < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh :  a b c   2 ab bc ac Giải: Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 1 a a    (1) ab abc ab abc b b c c  (2) ,  (3) Tương tự ta có : bc abc ac abc Ta có : a  b  a  b  c  Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c    (*) ab bc ac a ac  Ta có : a  a  b  ab abc b ab  (5) , Tương tự : bc abc (4) c cb  ca abc (6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c   2 ab bc ac (**) Từ (*) (**) , ta :  a b c    (đpcm) ab bc ac Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x  y  xy b) x  y  xy dấu( = ) x = y = c) x  y 2  xy a b b a d)   Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  xy Tacó a  b2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac 2 2  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b  , ta có: a  b  ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1  a   a n  n n a1 a a n  a  a   a n   a1 a a n    n   Dấu “=” xảy a1  a2   an n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số khơng âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x    x x x x 1 1  Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt a  x , a, b   b  x Khi phương trình có dạng : a b    b 1 a 1 a  b Vế trái phương trình:  a   b     a  b 1  a  b 1  a  b 1   1    1    1      3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1  1     a  b  c         b  1   a  1   a  b    3  b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b   3 3 a  1b  1a  b  3  a  1b  1a  b  2 Vậy phương trình tương đương với : a 1  b 1  a  b  a  b   2x  4x   x  Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = x y z   x 1 y 1 z 1 Giải : P = 3- ( 1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c >   x 1 y 1 z 1 a  b  c  3 abc  1 1 1 1 1   33  a  b  c           a b c abc a b c a b c a b c 1     x 1 y 1 z 1 Vậy max P = x = y = z = Suy Q = Ví dụ 3: -Q   9 nên P = – Q  3- = 4 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 abc    2abc a  bc b  ac c  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a  bc  2a bc  1 1      a  bc a bc  ab ac  Tương tự : 1 1  1 1            b   ac b ac  bc ab  c   ab c ab  ac bc  2 abc     a  bc b   ac c   ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c    (*) bca ca b a bc Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc    33 (1) bca c a b a bc (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b  c  a)(c  a  b)  (b  c  a  c  a  b)  c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)  abc  abc  (3) (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: 0  a  b  c Chứng minh rằng: 0  x, y, z Cho   by  cz  x  y  z   a  c  x  y  z 2 a c 4ac Giải: Đặt f ( x)  x  (a  c) x  ac  có nghiệm a,c b Mà: a  b  c  f (b)   b  (a  c)b  ac  ac y  a  c  yb  ac  a  c  y b b x y z    xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c  y  (a  c) z a b c  x y z  xa  yb  zc  ac     a  c x  y  z  a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 xa  yb  zcac x  y  z   a  c x  y  z  a b c x y z 2  4xa  yb  zcac     a  c  x  y  z  a b c  x y z  a  c  x  y  z 2 (đpcm)  xa  yb  zcac     4ac a b c Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n  ): a1 , a2 , an , b1 , b2 , , bn Ta ln có: (a1b1  a2b2   an bn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) a a a Dấu “=” xảy     n b1 b2 bn Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Hay b b1 b2    n (Quy ước : mẫu = tử = ) a1 a an Chứng minh: 2  a  a1  a   a n Đặt  2   b  b1  b2   bn  Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức  Nếu a,b > 0: b ,  i  i i  1,2, n  , Thế thì: 12   22    n2  12   22    n2 a b Mặt khác:  i  i   i2   i2 1  1       n  n  ( 12   22    n2 )  ( 12   22    n2 )  2 Suy ra:  a1b1  a b2   a n bn  a.b Đặt:  i    Lại có: a1b1  a2 b2   an bn  a1b1  a2 b2   an bn Suy ra: (a1b1  a2b2   an bn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 )     i  1,2, , n  a a a i Dấu”=” xảy   i     n     dáu b1 b2 bn n n  1 Ví dụ : Chứng minh rằng: x  R , ta có: sin x  cos x  Giải: Ta có: sin x  cos x  1, x  R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:      sin x.1  cos x.1  sin x  cos x 12  12   1  sin x  cos x   sin x  cos x   Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa:         1  sin x.1  cos x.1   sin x  cos8 x 12  12  sin x  cos x  4 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P   tan A tan B   tan B tan C   tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , , ci )(i  1,2, , m) Thế thì: (a1a2 am  b1b2 bm   c1c2 cm )  (a1m  b1m   c1m )(a2m  b2m   c2m )(amm  bmm   cmm ) Dấu”=” xảy   bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m  t i cho: a  ti , b  ti bi , , c  t i ci , Hay a1 : b1 : : c1  a2 : b2 : : c2  an : bn : cn a12  a 22   a n2  Ví dụ 1: Cho   n  Z, n  Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Chứng minh rằng: a a1 a    n  2 n 1 Giải: k  N * ta có:   k2 k2   1  1   k   k    2  1   1 k k k 2        1 1   1  1  1                 5 1 n      n n  2  2 n  2 2   Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: a a1 a2 1    n  a12  a 22   a n2      (đpcm) 2 n 1 3 n Ví dụ 2: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: (a  c)  (b  d )  a  b  c  d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  a  b c  d mà  a  c2  b  d 2  a  b  2ac  bd   c  d   a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d 1 Ví dụ 3: Chứng minh : a  b  c  ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c)  ta có   (a  b  c )  1.a  1.b  1.c   a  b  c   a  b  c  2ab  bc  ac   a  b  c  ab  bc  ac Điều phải chứng minh Dấu xảy 2 2 a=b=c Phương pháp 6: Kiến thức: 2 Bất đẳng thức Trê- bư-sép a1  a   a n b1  b2   bn a)Nếu  a1  a   a n b1  b2   bn a1b1  a b2   a n bn  n n n a  a   a n Dấu ‘=’ xảy  b1  b2   bn a  a   a n b)Nếu  b1  b2   bn a1  a   a n b1  b2   bn a1b1  a b2   a n bn  n n n Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp a1  a   a n b1  b2   bn Dấu ‘=’ xảy  Ví dụ 1: Cho  ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = sin A sin 2a  sin B sin B  sin C sin 2C 2S  sin A  sin B  sin C S diện tích tan giác chứng minh  ABC tam giác  Giải: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sư  A  B  C  Suy ra: sin A  sin B  sin C  sin 2a  sin B  sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin 2C    3sin A sin A  sin B sin B  sin C sin 2C  sin A sin A  sin B sin B  sin C sin 2C  (sin A  sin B  sin 2C ) sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin C  ABC dêu Dấu ‘=’ xảy   sin A  sin B  sin 2C  Mặt khác: sin A  sin B  sin 2C  sin( A  B) cos( A  B)  sin 2C  sin C cos( A  B)  cos C   sin C cos( A  B)  cos( A  B)  sin C.2 sin A sin B  sin A sin B sin C  (2 R sin A)(2 R sin B) sin C  a.b sin C  2S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin 2a  sin B sin B  sin C sin 2C 2S  sin A  sin B  sin C Dấu ‘=’ xảy   ABC Ví dụ 2(HS tự giải): 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y)(1  z) a/ Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: b/ c/ Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: a b c    bc ca ab d)Cho x  ,y  thỏa mãn x  y  Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 ;CMR: x+y  a  b  c  Chứng minh a3 b3 c3    bc a c a b Giải:  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Ví dụ 6: Cho  n   , , bi  R, i  1,2, , n Chứng minh rằng: a1  a    a n a12  a 22    a n2 ( )  n n Giải: n=1: Bất đẳng thức n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ( a1  a    a k a12  a 22    a k2 )  k k n= k+1 Ta cần chứng minh: ( a1  a    a k 1 a12  a 22    ak21 (1) )  k 1 k 1 a  a3    a k 1 k VP (1)  (a12  k a  2ka1a) k 1 2 a 22  a32    a k21   2 a  a3    a k 1   k.a1  k a1  k  k k (k  1)   Đặt: a   a12  a 22    a k21 k 1 Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: n n  Giải: n=2   (n  1) n 1 3 n n  (n  1) n1 , n  , n   n n  (n  1) n1 n=k  : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k  (k  1) k 1 n= k+1:Ta c ó: k k (k  1) k 1  (k  1) k 1 (k  1) k 1  (k  1) 2k 2 (k  1)  [(k  1) ]k 1 (k  1)  (k  2k ) k 1 (k  2k ) (vì (k  1)  k  2k   k  2k )  k k (k  2) k  (k  1) k 1  (k  2) k  Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy n n  (n  1) n1 , n  , n  Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx  n sin x , n    , x  R Giải: n=1: Bất đẳng thức n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx  k sin x n= k+1 Ta cần chứng minh: sin(k  1) x  (k  1) sin x  a  b  a  b , a, b  R Ta có:    sin x , cos x  1, x  R Nên: sin(k  1) x  sin kx cos x  cos kx sin x  sin kx cos x  cos kx sin x  sin kx  sin x  k sin x  sin x  (k  1) sin x  Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sin nx  n sin x , n    , x  R + Phương pháp 16: Kiến thức: Chứng minh phản chứng Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vơ lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q” Muốn chứng minh p  q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh thực hiên sau: Giả sử khơng có q ( q sai) suy điều vô lý p sai Vậy phải có q (hay q đúng) Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P  Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định suy trái với điều D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải: Giả sử a  từ abc >  a  a < Mà abc > a <  cb  a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) >  b + c < a < b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a  4b , c  4d Giải: Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d cộng vế ta (1) a  c  4(b  d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) Từ (1) (2)  a  c  2ac hay a  c 2  (vô lý) Vậy bất đẳng thức a  4b c  4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1 có ba số lớn   x y z Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp x y z =x + y + z – (   ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1   x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Cịn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn Ví dụ 4: Cho a, b, c  a.b.c=1 Chứng minh rằng: a  b  c  (Bất đẳng thức Cauchy số) Giải: Giả sử ngược l ại: a  b  c   (a  b  c)ab  3ab  a b  b a  cab  3ab  a b  (a  3a)b   Xét : f (b)  a b  (a  3a)b  Có   (a  3a)  4a = a  6a  9a  4a  a(a  6a  9a  4) =  a(a  1) (a  4)  (Vì a, b, c    a  )  f (b)   vô  a  b  c  lý Vậy: abc3 Ví dụ 5: Chứng minh khơng tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): (1) a  bc (2) b  ca (3) c  ab Giải: Giả sử tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: (1’)  (a  b  c)(a  b  c)  a  b  c  (b  c)  a (2’) b  c  a  (c  a)  b  (a  b  c)(a  b  c)   (a  b  c)(a  b  c)  (3’) c  a  b  (a  b)  c Nhân (1’), (2’) (3’) vế với vế ta được:  [(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)]2   Vơ lý Vậy tốn chứng minh Phương pháp 17 : Sử dụng biến đổi lượng giác Nếu x  R đặt x = Rcos  ,   0,   ; x = Rsin ,     ,   2   Nếu x  R đặt x = 3.Nếu x  a 2   y  b2 R cos      0, c    ,3  2   x  a  R cos  , (  2 )  R , (  0) đặt   y  b  R sin   x    aR cos  , (  2 )   y    bR sin  Nếu toán xuất biểu thức : ax 2  b , a, b  0 b   Thì đặt: x  tg ,     ,  a  2 x    y    Nếu      R a, b  đặt a b     2 Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp   Ví dụ 1: Cmr : a  b  b  a  ab  1  b 1  a   2, a, b   1,1 Giải : a  1, b  a  cos  b  cos   ,   0,   Đặt :  Khi :  a  b  b  a  ab  1  b 1  a   2  cos  sin   cos  sin    cos  cos   sin  sin     sin(   )  3.cos(   )  cos(    )   2, 2  ( dpcm) Ví dụ : Cho a , b  Chứng minh : a b   b a1  ab Giải :  a  cos  Đặt :  b   cos        ,   0,      1 tg  tg (tg  cos   tg cos  ) 2 tg   tg     cos  cos  cos  cos  cos  cos  (sin 2  sin 2 ) sin(   ) cos in(   )     ab 2 2 2 cos  cos  cos  cos  cos  cos   a b 1  b a 1  a  (a  4b)  2 2 Ví dụ 3: Cho ab  Chứng minh :  2   a  4b   Giải :Đặt: a  2btg ,     ,   22  2 a  (a  4b) tg   (tg  2)    4(tg  1).cos  2 a  4b  tg   2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )    2 sin(2  )    2  2, 2   Phương pháp 18: Sử dụng khai triển nhị thức Newton Kiến thức: Công thức nhị thức Newton n a  bn  Cnk a nk b k , n  N * , a, b  R k 0 Trong hệ số Cnk  n! (0  k  n ) (n  k )!k! Một số tính chất đặt biệt khai triển nhị thức Newton: + Trong khai triển (a + b)n có n + số hạng Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin ... =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng... 2 0 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng... Thức- Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp a/ Cho số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1  c hứng minh : a 12 + a22  a32   a2003 200 3