Thông tin tài liệu
www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN CẦN NHỚ 1/Định nghĩa A B A B A B A B 2/Tính chất + A>B B A + A>B B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 A B 3/Một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + - A 0) + A B A B ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp ( x y) ( x z) ( y z) với x;y;z R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z = b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 b2 a b ; a) b) a2 b2 c2 a b c 3 c) Hãy tổng quát toán Giải: a2 b2 a b 1 2a b a 2ab b = = 2a 2b a b 2ab = a b 2 4 4 a2 b2 a b Vậy Dấu xảy a=b a) Ta xét hiệu b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c 2 = a b b c c a Vậy 3 a2 b2 c2 a b c 3 Dấu xảy a = b =c a a a n2 a1 a a n c)Tổng quát n n Tóm lại bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn n mp p mq q m 1 Toán NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 2 2 m m m m n p q 1 (luôn đúng) 2 2 2 2 m m n 0 n m m p0 m2 p Dấu xảy m n p q q 0 m q 2 m 22 m Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a b c abc(a b c) Giải: Ta có : a b c abc(a b c) , a, b, c a b c a bc b ac c ab 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab a2 b2 2a b b c 2b c c a 2a c 2a bc 2b ac 2c ab a2 b2 b 2 c2 a2 b2 b2 c2 Đúng với a, b, c c c 2 a2 (a b b c 2b ac) (b c c a 2c ab) (a b c a 2a ab) a2 ab bc bc ac ab ac 2 2 0 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau: A B2 A2 AB B A B C 2 A2 B C AB AC 2BC A B3 A3 3A2 B 3AB B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2 ab b) a b ab a b c) a b c d e ab c d e a) a Giải: b2 ab 4a b 4ab 4a 4a b 2a b b2 (BĐT đúng) Vậy a ab (dấu xảy 2a=b) 2 b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) a) a a 2ab b a 2a b 2b Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Bất đẳng thức cuối (a b) (a 1) (b 1) 2 Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 c) a b c d e ab c d e 4 a b c d e 4ab c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c a 2b a 2c a 2d a 2c 2 2 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10 a b a b8 a b Giải: a 10 b10 a b a b a b a12 a10b a b10 b12 a12 a 8b a b8 b12 2 2 6 a 8b a b a b b a a b (a -b )(a -b ) 2 2 2 a b (a -b ) (a + a b +b ) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x y Giải: x2 y2 Chứng minh 2 x y x2 y2 2 2 :x y nên x- y x +y 2 ( x-y) x y 2 x +y - 2 x+ 2 y x +y +2- 2 x+ 2 y -2 2 x +y +( ) - 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- ) Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y y xy y x, y R b/ a b c a b c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z 1 1 x yz x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) (vì < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh : a b c 2 ab bc ac Giải: Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 1 a a (1) ab abc ab abc b b c c (2) , (3) Tương tự ta có : bc abc ac abc Ta có : a b a b c Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c (*) ab bc ac a ac Ta có : a a b ab abc b ab (5) , Tương tự : bc abc (4) c cb ca abc (6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c 2 ab bc ac (**) Từ (*) (**) , ta : a b c (đpcm) ab bc ac Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x y xy b) x y xy dấu( = ) x = y = c) x y 2 xy a b b a d) Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 xy Tacó a b2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 2 2 a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b , ta có: a b ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1 a a n n n a1 a a n a a a n a1 a a n n Dấu “=” xảy a1 a2 an n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số khơng âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x x x x x 1 1 Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt a x , a, b b x Khi phương trình có dạng : a b b 1 a 1 a b Vế trái phương trình: a b a b 1 a b 1 a b 1 1 1 1 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 1 1 a b c b 1 a 1 a b 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 3 3 a 1b 1a b 3 a 1b 1a b 2 Vậy phương trình tương đương với : a 1 b 1 a b a b 2x 4x x Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = x y z x 1 y 1 z 1 Giải : P = 3- ( 1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > x 1 y 1 z 1 a b c 3 abc 1 1 1 1 1 33 a b c a b c abc a b c a b c a b c 1 x 1 y 1 z 1 Vậy max P = x = y = z = Suy Q = Ví dụ 3: -Q 9 nên P = – Q 3- = 4 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 abc 2abc a bc b ac c ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a bc 2a bc 1 1 a bc a bc ab ac Tương tự : 1 1 1 1 b ac b ac bc ab c ab c ab ac bc 2 abc a bc b ac c ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c (*) bca ca b a bc Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc 33 (1) bca c a b a bc (b c a)(c a b)(a b c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b c a)(c a b) (b c a c a b) c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b c a)(c a b)(a b c) abc abc (3) (b c a)(c a b)(a b c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: 0 a b c Chứng minh rằng: 0 x, y, z Cho by cz x y z a c x y z 2 a c 4ac Giải: Đặt f ( x) x (a c) x ac có nghiệm a,c b Mà: a b c f (b) b (a c)b ac ac y a c yb ac a c y b b x y z xa ac ( yb ac ) ( zc ac ) a c x a c y (a c) z a b c x y z xa yb zc ac a c x y z a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 xa yb zcac x y z a c x y z a b c x y z 2 4xa yb zcac a c x y z a b c x y z a c x y z 2 (đpcm) xa yb zcac 4ac a b c Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n ): a1 , a2 , an , b1 , b2 , , bn Ta ln có: (a1b1 a2b2 an bn ) (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) a a a Dấu “=” xảy n b1 b2 bn Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Hay b b1 b2 n (Quy ước : mẫu = tử = ) a1 a an Chứng minh: 2 a a1 a a n Đặt 2 b b1 b2 bn Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức Nếu a,b > 0: b , i i i 1,2, n , Thế thì: 12 22 n2 12 22 n2 a b Mặt khác: i i i2 i2 1 1 n n ( 12 22 n2 ) ( 12 22 n2 ) 2 Suy ra: a1b1 a b2 a n bn a.b Đặt: i Lại có: a1b1 a2 b2 an bn a1b1 a2 b2 an bn Suy ra: (a1b1 a2b2 an bn ) (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) i 1,2, , n a a a i Dấu”=” xảy i n dáu b1 b2 bn n n 1 Ví dụ : Chứng minh rằng: x R , ta có: sin x cos x Giải: Ta có: sin x cos x 1, x R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: sin x.1 cos x.1 sin x cos x 12 12 1 sin x cos x sin x cos x Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: 1 sin x.1 cos x.1 sin x cos8 x 12 12 sin x cos x 4 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P tan A tan B tan B tan C tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , , ci )(i 1,2, , m) Thế thì: (a1a2 am b1b2 bm c1c2 cm ) (a1m b1m c1m )(a2m b2m c2m )(amm bmm cmm ) Dấu”=” xảy bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m t i cho: a ti , b ti bi , , c t i ci , Hay a1 : b1 : : c1 a2 : b2 : : c2 an : bn : cn a12 a 22 a n2 Ví dụ 1: Cho n Z, n Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Chứng minh rằng: a a1 a n 2 n 1 Giải: k N * ta có: k2 k2 1 1 k k 2 1 1 k k k 2 1 1 1 1 1 5 1 n n n 2 2 n 2 2 Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: a a1 a2 1 n a12 a 22 a n2 (đpcm) 2 n 1 3 n Ví dụ 2: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: (a c) (b d ) a b c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a b c d mà a c2 b d 2 a b 2ac bd c d a2 b2 a2 b2 c2 d c2 d (a c) (b d ) a b c d 1 Ví dụ 3: Chứng minh : a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có (a b c ) 1.a 1.b 1.c a b c a b c 2ab bc ac a b c ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu xảy 2 2 a=b=c Phương pháp 6: Kiến thức: 2 Bất đẳng thức Trê- bư-sép a1 a a n b1 b2 bn a)Nếu a1 a a n b1 b2 bn a1b1 a b2 a n bn n n n a a a n Dấu ‘=’ xảy b1 b2 bn a a a n b)Nếu b1 b2 bn a1 a a n b1 b2 bn a1b1 a b2 a n bn n n n Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp a1 a a n b1 b2 bn Dấu ‘=’ xảy Ví dụ 1: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = sin A sin 2a sin B sin B sin C sin 2C 2S sin A sin B sin C S diện tích tan giác chứng minh ABC tam giác Giải: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sư A B C Suy ra: sin A sin B sin C sin 2a sin B sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A sin B sin C sin A sin B sin 2C 3sin A sin A sin B sin B sin C sin 2C sin A sin A sin B sin B sin C sin 2C (sin A sin B sin 2C ) sin A sin B sin C sin A sin B sin C ABC dêu Dấu ‘=’ xảy sin A sin B sin 2C Mặt khác: sin A sin B sin 2C sin( A B) cos( A B) sin 2C sin C cos( A B) cos C sin C cos( A B) cos( A B) sin C.2 sin A sin B sin A sin B sin C (2 R sin A)(2 R sin B) sin C a.b sin C 2S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin 2a sin B sin B sin C sin 2C 2S sin A sin B sin C Dấu ‘=’ xảy ABC Ví dụ 2(HS tự giải): 1 9 a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y)(1 z) a/ Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: b/ c/ Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: a b c bc ca ab d)Cho x ,y thỏa mãn x y Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 ;CMR: x+y a b c Chứng minh a3 b3 c3 bc a c a b Giải: a2 b2 c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b c a c a b Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Ví dụ 6: Cho n , , bi R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: a1 a a n a12 a 22 a n2 ( ) n n Giải: n=1: Bất đẳng thức n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ( a1 a a k a12 a 22 a k2 ) k k n= k+1 Ta cần chứng minh: ( a1 a a k 1 a12 a 22 ak21 (1) ) k 1 k 1 a a3 a k 1 k VP (1) (a12 k a 2ka1a) k 1 2 a 22 a32 a k21 2 a a3 a k 1 k.a1 k a1 k k k (k 1) Đặt: a a12 a 22 a k21 k 1 Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: n n Giải: n=2 (n 1) n 1 3 n n (n 1) n1 , n , n n n (n 1) n1 n=k : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k (k 1) k 1 n= k+1:Ta c ó: k k (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) 2k 2 (k 1) [(k 1) ]k 1 (k 1) (k 2k ) k 1 (k 2k ) (vì (k 1) k 2k k 2k ) k k (k 2) k (k 1) k 1 (k 2) k Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy n n (n 1) n1 , n , n Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx n sin x , n , x R Giải: n=1: Bất đẳng thức n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx k sin x n= k+1 Ta cần chứng minh: sin(k 1) x (k 1) sin x a b a b , a, b R Ta có: sin x , cos x 1, x R Nên: sin(k 1) x sin kx cos x cos kx sin x sin kx cos x cos kx sin x sin kx sin x k sin x sin x (k 1) sin x Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sin nx n sin x , n , x R + Phương pháp 16: Kiến thức: Chứng minh phản chứng Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vơ lý , điều vơ lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q” Muốn chứng minh p q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh thực hiên sau: Giả sử khơng có q ( q sai) suy điều vô lý p sai Vậy phải có q (hay q đúng) Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định suy trái với điều D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải: Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a < b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a 4b , c 4d Giải: Giả sử bất đẳng thức : a 4b , c 4d cộng vế ta (1) a c 4(b d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) (2) a c 2ac hay a c 2 (vô lý) Vậy bất đẳng thức a 4b c 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1 có ba số lớn x y z Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp x y z =x + y + z – ( ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1 x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Cịn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn Ví dụ 4: Cho a, b, c a.b.c=1 Chứng minh rằng: a b c (Bất đẳng thức Cauchy số) Giải: Giả sử ngược l ại: a b c (a b c)ab 3ab a b b a cab 3ab a b (a 3a)b Xét : f (b) a b (a 3a)b Có (a 3a) 4a = a 6a 9a 4a a(a 6a 9a 4) = a(a 1) (a 4) (Vì a, b, c a ) f (b) vô a b c lý Vậy: abc3 Ví dụ 5: Chứng minh khơng tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): (1) a bc (2) b ca (3) c ab Giải: Giả sử tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: (1’) (a b c)(a b c) a b c (b c) a (2’) b c a (c a) b (a b c)(a b c) (a b c)(a b c) (3’) c a b (a b) c Nhân (1’), (2’) (3’) vế với vế ta được: [(a b c)(a b c)(a b c)]2 Vơ lý Vậy tốn chứng minh Phương pháp 17 : Sử dụng biến đổi lượng giác Nếu x R đặt x = Rcos , 0, ; x = Rsin , , 2 Nếu x R đặt x = 3.Nếu x a 2 y b2 R cos 0, c ,3 2 x a R cos , ( 2 ) R , ( 0) đặt y b R sin x aR cos , ( 2 ) y bR sin Nếu toán xuất biểu thức : ax 2 b , a, b 0 b Thì đặt: x tg , , a 2 x y Nếu R a, b đặt a b 2 Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp Ví dụ 1: Cmr : a b b a ab 1 b 1 a 2, a, b 1,1 Giải : a 1, b a cos b cos , 0, Đặt : Khi : a b b a ab 1 b 1 a 2 cos sin cos sin cos cos sin sin sin( ) 3.cos( ) cos( ) 2, 2 ( dpcm) Ví dụ : Cho a , b Chứng minh : a b b a1 ab Giải : a cos Đặt : b cos , 0, 1 tg tg (tg cos tg cos ) 2 tg tg cos cos cos cos cos cos (sin 2 sin 2 ) sin( ) cos in( ) ab 2 2 2 cos cos cos cos cos cos a b 1 b a 1 a (a 4b) 2 2 Ví dụ 3: Cho ab Chứng minh : 2 a 4b Giải :Đặt: a 2btg , , 22 2 a (a 4b) tg (tg 2) 4(tg 1).cos 2 a 4b tg 2sin 2 2(1 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 ) 2 sin(2 ) 2 2, 2 Phương pháp 18: Sử dụng khai triển nhị thức Newton Kiến thức: Công thức nhị thức Newton n a bn Cnk a nk b k , n N * , a, b R k 0 Trong hệ số Cnk n! (0 k n ) (n k )!k! Một số tính chất đặt biệt khai triển nhị thức Newton: + Trong khai triển (a + b)n có n + số hạng Tốn NĐT-Trao Trí Thức-Gửi Niềm Tin ... =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng... 2 0 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng... Thức- Gửi Niềm Tin www.youtube.com/c/NĐTOFFICIAL Tuyệt kĩ BĐT 20 Phương pháp a/ Cho số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c hứng minh : a 12 + a22 a32 a2003 200 3
Ngày đăng: 29/10/2017, 21:27
Xem thêm: 20 Phương Pháp Bất Đăng thức
