Đang tải... (xem toàn văn)
* Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh nắm chắc các kiến thức có liên quan đến bài toán bất đẳng thức: - Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc: Trong các đường xiên và đường vuôn[r]
A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trường THCS mơn tốn có vị trí vơ quan trọng Học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn khoa học khác Đồng thời mơn tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức phẩm chất trị người cơng dân Trong tương lai, học sinh lực lượng lao động nòng cốt, chủ nhân chiếm lĩnh khoa học kỹ thuật, kiến thức, kỹ tốn học đóng góp phần không nhỏ lĩnh vực Kiến thức, kỹ toán học vận dụng sâu vào sống người góp phần tạo cải, vật chất cho xã hội ngày đại Trong chương trình Tốn THCS, tốn bất đẳng thức hình học đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toán bất đẳng thức hình học, giáo viên cần có biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ nhận thức bậc học THCS Người học cần phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách hệ thống Trong trình giảng dạy, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thân nhận thấy em khơng có hứng thú với loại tốn này, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp tốn bất đẳng thức hình học vận dụng kiến thức để giải tập khác Tìm số biện pháp bồi dưỡng HS giỏi bậc THCS đổi phương pháp dạy học toán khắc phục tồn cần thiết Với kinh nghiệm thân, thực tế giảng dạy năm qua với học hỏi đồng nghiệp xin đưa “Cách khai thác toán bất đẳng thức hình học phẳng nhằm nâng cao chất lượng mơn toán trường THCS Thạch Long ” B GiẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận: Như biết luật giáo dục năm 2005 ( điều ) quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Trong thực tế, dịng sơng lớn bắt nguồn từ suối nhỏ, tốn khó bắt nguồn từ toán đơn giản Trong học toán để học sinh học giỏi mơn tốn, trước hết phải yêu cầu học sinh nắm vững biết vận dụng tốn từ giải tốn có tầm suy luận cao Muốn làm điều người dạy phải hướng dẫn học sinh biết phát triển, mở rộng kết tốn để em có suy nghĩ tìm tịi kết sau toán II Thực trạng vấn đề: Thực trạng vấn đề: Bài tốn bất đẳng thức hình học THCS dạng tốn khó, nhiều học sinh gặp tốn dạng khơng biết phải đâu phương pháp giải Thực tế tốn bất đẳng thức hình học phẳng có nhiều chương trình tốn THCS, chủ yếu phần hình học Giải tốn bất đẳng thức hình học cịn góp phần phát huy trí thông minh, sáng tạo học tập tạo tảng cho kỳ thi vào lớp 10 đặc biệt thi cấp huyện, cấp tỉnh, Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi năm qua, thân tơi tìm hiểu nhiều tài liệu thấy dạng tốn khó Tuy nhiên, phần nhiều tài liệu số giáo viên giảng dạy đưa toán giải toán chưa khai thác phát triển toán Đối với học sinh việc giải tốn em hiểu tốn đó, việc vận dụng để giải tập khác vơ khó khăn Các tốn bất đẳng thức hình học gắn tốn học với thực tiễn việc chứng minh bất đẳng thức việc tìm tối ưu thường đặt đời sống kỹ thuật Thực trạng Trường THCS Thạch Long năm học trước phổ biến Cuối năm học 2012 – 2013 tiến hành khảo sát 35 em học sinh lớp 9A trường THCS Thạch Long Cụ thể sau: Đề kiểm tra: (Thời gian làm 60 phút) Bài 1: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh SABC AB AC Bài 2: (2,0 điểm) Trong hình bình hành có hai đường chéo 4cm 6cm Hình có diện tích lớn nhất? tính diện tích lớn Bài 3: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật thang cân ABCD (AB//CD) Chứng minh: AD2 + AB.CD = AC2 Bài 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm C nằm đường tròn Xác định dây AB qua điểm C cho góc OAB đạt giá trị nhỏ Kết sau: Lớp TS HS Chất lượng Giỏi Khá TB Yếu Kém 9A 35 0% 8,6% 10 28,6% 15 42,8% 20% Số học sinh yếu, nhiều chứng tỏ học sinh chưa giải tốn bất đẳng thức hình học phẳng Nguyên nhân thực trạng: * Đối với giáo viên: Trong q trình ơn thi học sinh giỏi giáo viên hướng dẫn cho học sinh tiếp thu kiến thức mới, áp dụng kiến thức vào giải tập thơng qua tiết lí thuyết tiết luyện tập Tuy nhiên, việc rèn luyện cho học sinh áp dụng lí thuyết vào tập đơi hạn chế như: - Trong hướng dẫn học sinh giải tập thường tập trung tìm kết tốn - Trong q trình ôn luyện, giáo viên ý tới yêu cầu như: Qua giải tập cần củng cố lại kiến thức nào? Dạng tổng quát tập sao? Có phát triển tốn hay không?, * Đối với học sinh: Học sinh chưa trọng việc tìm tịi phương pháp giải dạng này, em khơng có khả tổng hợp thống kê, phân dạng tốn; kiến thức hình học THCS chưa đủ quên; thiếu kiến thức chưa tự tin để giải toán bất đẳng thức II Giải pháp tổ chức thực Các giải pháp đã thực hiện: Để khắc phục tình trang tơi đưa giải pháp sau: * Giải pháp 1: Tìm hiểu nội dung kiến thức mơn Tốn THCS nói chung mơn hình học nói riêng từ làm sở để chọn phương pháp dạng tập phù hợp Từ lớp học sinh làm quen với khái niệm bất đẳng thức tam giác, quan hệ đường xiên đường vng góc Đến lớp học sinh học liên hệ cung dây cung, sau nắm kiên thức học sinh tìm hiểu mối liên hệ tốn bất đẳng thức hình học toán bất đẳng thức đại số * Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh nắm kiến thức có liên quan đến tốn bất đẳng thức: - Sử dụng quan hệ đường xiên đường vuông góc: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn - Sử dụng bất đẳng thức đường tròn: Trong tất dây đường trịn, đường kính dây lớn - Sử dụng bất đẳng thức Cô-si: x+ y ≥ √ xy Dấu “=” xảy Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có: x = y Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau: x 2+ y ≥ ¿ ¿; ¿ ¿; xy ¿ ¿ x+ y ; ; ¿¿ ¿¿ - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 2n số thực (n2): a1 , a2 , an ; b1 , b2, bn Ta ln có : (a1b1 + a2b2 + + anbn) (a1 + a2 + + an )2(b1 + b2 + + bn )2 Dấu ‘ = ‘ xẩy a a2 a = = = n b b b - Sử dụng cơng thức tính diện tứ giác có hai đường chéo vng góc: Diện tích hình tứ giác có hai đường chéo vng góc với nửa tích hai đường chéo * Giải pháp 3: Giúp học sinh phát triển tốt tư sáng tạo thơng qua vận dụng xác linh hoạt lí thuyết vào giải tập thơng qua phát triển tốn bất đẳng thức hình học phẳng 2 Tổ chức thực hiện: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Chứng minh SABC AB AC Hướng dẫn giải A H C B - GV đặt yêu cầu : để tính diện tích tam giác ta cần thêm yếu tố nào? - HS được: Cần thêm yếu tố đương cao Kẻ BH AC (H AC) - HS nêu được: SABC = BH.AC Ta có BH đường vng góc, BA đường xiên xuất phát từ B đến AC 1 nên: BH BA ⇒ SABC = BH.AC AB.AC - GV giúp HS hiểu được: Trong tốn ta kẻ đường cao xuất phát từ C đến AB Bằng cách chứng minh tương tự ta có SABC AB AC - GV nêu: cách suy nghĩ cho ta bất đẳng thức tương tự: S ABC 1 AB BC; SABC BC AC 2 - GV đặt vấn đề: Bằng cách suy nghĩ ta mở rộng tốn cho tứ giác Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD lồi Chứng minh SABCD (AB.BC + CD.DA) B C A D Hướng dẫn giải - GV giúp HS hiểu khơng có cơng thức tính diện tích tứ giác (trừ trường hợp đặc biệt) Vậy để tính diện tích tứ giác ta làm nào? - HS nêu : ta phải chia tứ giác cho thành tam giác Nối A với C Khi ta có: SABCD = SABC + SACD Mà theo toán SABC AB AC; SACD 1 CD DA ⇒ SABCD (AB.BC + CD.DA) 2 - GV nêu yêu cầu: Tại không nối B với D? - HS nêu được: nối B với D SABCD = SABD + SBCD Bằng cách chứng minh tương tự không cho ta kết theo yêu cầu toán - GV kết luận: tứ giác ABCD lồi ta ln có S ABCD (AB.BC + CD.DA) ; SABCD (AB.AD + BC.CD) - GV đặt vấn đề: Bằng cách cách chia tứ giác thành tam giác để sử dụng bất đẳng thức toán cho ta toán Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD lồi Chứng minh SABCD AC.BD Dấu ‘ = ‘ xẩy ? Hướng dẫn giải A B O D C - GV giúp HS hiểu được: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Khi SABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SAOD , vận dụng toán vào tam giác ta ba bất đẳng thức tương ứng - GV nêu yêu cầu: Theo tốn tam giác ta có bất đẳng thức nào? 1 1 - HS nêu được: SAOB AO.BO ; SBOC BO.CO ; SCOD CO.DO ; SAOD AO.DO ⇒ SABCD (AO.BO + BO.CO + CO.DO + AO.DO) Mà AO.BO + BO.CO + CO.DO + AO.DO = BO(AO + CO) + DO(AO + CO) = BO.AC + DO.AC = AC(BO + DO) = AC.BD ⇒ SABCD AC.BD (đpcm) - GV đặt vấn đề: Nếu tứ giác ABCD tứ giác lồi S ABCD AC.BD có cịn khơng ? - u cầu HS đạt được: Nếu tứ giác ABCD tứ giác lồi SABCD AC.BD ln A H D K O B C - HS nêu : ta phải chia tứ giác cho thành hai tam giác Nối B với D (hoặc nối A với C) Ta SABCD = SABD + SBCD - GV đặt yêu cầu : để tính diện tích tam giác ta cần thêm yếu tố nào? - HS được: cần thêm yếu tố đương cao Kẻ AH BD, CK BD (H, KBD) 1 Ta có: SABCD = SABD + SBCD = AH.BD + CK.BD = BD.(AH + CK) (1) - GV nêu yêu cầu: Tổng AH + CK có quan hệ với AC ? - HS nêu được: Gọi O giao điểm AC BD Ta có AH đường vng góc, AO đường xiên xuất phát từ A đến BD nên: AH AO Tương tự: CK CO Vậy AH + CK AO + CO = AC (2) 1 Từ (1) (2) ⇒ SABCD = BD.(AH + CK) BD.(AO + CO) = AC.BD AC.BD (đpcm) Dấu ‘ = ‘ xảy ⇔HOK⇔AC BD ⇒ SABCD Bài toán 4: Cho lục giác ABCDEF lồi Chứng minh SABCDEF (AC.BD + AE.DF) Hướng dẫn giải B C A D F E - GV nêu yêu cầu: Để áp dụng toán em cần phải Làm ? - HS nêu được: Chia lục giác cho thành hai tứ giác Bằng cách Nối A với D - GV nêu yêu cầu: Tại không nối B với E ? - HS biết được: biểu thức cho có biểu thức : AC.BD Nên phải nối A với D - HS nêu được: Ta có: SABCDEF = SABCD + SADEF Áp dụng tốn ta có: 1 SABCD AC.BD SADEF AE.AF ⇒ SABCDEF = SABCD + SADEF ⇒ SABCDEF (AC.BD + AE.DF) (AC.BD + AE.DF) (đpcm) - GV giúp học sinh hiểu: Từ tốn ta có hai bất đẳng thức khác: Nếu nối F với C SABCDEF (AC.BF + CE.DF) Nếu nối B với E SABCDEF (AE.BF + CE.BD) - GV đặt vấn đề: Trong chương trình lớp em học tứ giác nội tiếp Ở toán tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O ; R) ta bất đẳng thức hình học khác Bài tốn 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R) Cho Chứng minh SABCD 2R2 Dấu ‘=’ xảy nào? Hướng dẫn giải B C O A D - GV nêu yêu cầu: Áp dụng toán ta bất đẳng thúc nào? - HS nêu được: theo tốn SABCD AC.BD (1) - GV nêu yêu cầu: Em so sánh AC BD với đường kính đường trịn (O ; R)? - HS nêu được: AC 2R , BD 2R (2) (liên hệ đường kính dây cung) Do SABCD AC.BD 2R2 (đpcm) ⇒ SABCD 2R2 (đpcm) - GV nêu yêu cầu: Làm ta biết dấu ‘ = ‘ xảy nào? - HS được: Ta cần xét dấu ‘=’ (1) (2) xảy Dấu ‘ = ‘ (1) xảy ⇔ AC BD Dấu ‘ = ‘ (2) xảy ⇔AC BD đường kính đường trịn (O ; R) ⇒ Max SABCD = 2R2 ⇔ ABCD hình vng có hai đường chéo qua tâm O đường tròn - GV kết luận: Như để giải toán ngồi việc phải vận dụng tốn 3, biết vận dụng liên hệ dây cung đường kính - GV đặt vấn đề: Qua toán mở đầu ta phát tứ giác ABCD nội tiếp (O ; R); B, C, D cố định C trung điểm cung BD Thì diện tích tam giác ABD lớn ⇔diện tích tứ giác ABCD lớn ⇔AC lớn nhất⇔A trung điểm cung BD (cung không chứa điểm C) Ta đến với toán sau: Bài toán 6: Cho BD dây cố định đường tròn (O, R) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABD lớn Hướng dẫn giải A O B D C - GV nêu yêu cầu: A vị trí diện tích tam giác ABD lớn - HS nêu được: A trung điểm cung BD Do khoảng cách từ trung điểm cung BD đến BD lớn - GV nêu yêu cầu: Cịn hướng khác để giải tốn khơng? - HS nêu được: Gọi C trung điểm cung BD Do B, D cố định nên C cố định ⇒ SBCD cố định Mà SABCD = SABD + SBCD ⇒ SABD = SABCD - SBCD Ta có: SABD(Max) ⇔ SABCD(Max) SABCD AC.BD Do BD cố định nên SABCD(Max) ⇔AC (Max) ⇔A trung điểm cung BD - GV kết luận: Qua toán ta cần vận dụng khéo léo toán tốn giải nhanh khoa học - GV đặt vấn đề: Theo toán ta có: S ABCD AC.BD Bất đẳng thức tốn có chứa tích AC.BD Cho ta suy nghĩ tới bất đẳng thức quen thuộc: AC.BD ¿ ¿(Bất đẳng thức Cơ-si ) Bài tốn 7: Cho tứ giác ABCD Chứng minh SABCD ¿ ¿ Hướng dẫn giải - GV nêu yêu cầu: Để giải toán ta dùng kết có - HS nêu được: Theo tốn ta có: SABCD AC.BD Theo bất đẳng thức Cô-si: AC.BD ¿ ¿ ⇒ SABCD ¿ ¿ - GV đặt vấn đề: theo bai tốn ta có S ABCD ¿ ¿, bất đẳng thức lại xuất bình phương tổng Cho ta suy nghĩ đến bất đẳng thức khác: (AC + BD)2 (12 + 12)(AC2 + BD2) ⇒(AC + BD)2 2(AC2 + BD2) (bất đẳng thức Bunhiacopski) Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD Chứng minh SABCD AC2+ BD2 Hướng dẫn giải - GV nêu yêu cầu: Để giải toán ta dùng kết có - HS nêu được: Theo tốn ta có: SABCD ¿ ¿ Theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(AC + BD)2 2(AC2 + BD2) ⇒ SABCD AC2+ BD2 - GV đặt vấn đề: Gọi O giao điểm AC BD cho ta suy nghĩ khác: AC = AO + CO ; BD = BO + DO A B O D C Ta có: AC + BD = AO + BO + CO + DO Mà theo tốn ta có SABCD ¿ ¿⇒ SABCD ¿ ¿ Một lần bất đẳng thức vừa tìm đươc lại xuất bình phương tổng Nên ta lại có tốn hay hơn, khó cách giải nhanh sau : Bài toán 9: Cho tứ giác ABCD với O giao điểm AC BD Chứng minh: SABCD ( AO2+ BO+CO 2+ DO2) Dấu ‘ =’ xảy nào? Hướng dẫn giải A D B O C - GV nêu yêu cầu: Dựa vào kiến thức học nhận xét bạn trình bày tốn - HS nêu được: Theo tốn ta có : SABCD ¿ ¿ Vì O giao điểm AC BD nên: AC + BD = AO + BO + CO + DO ⇒ SABCD ¿ ¿ Theo bất đẳng thức Bunhiacopski: (AO + BO + CO + DO) 4(AO2 + BO2 + CO2 + DO2) ( AO2+ BO+CO 2+ DO2) Dấu ‘ = ‘ xảy ⇔ABCD hình vng O tâm hình vng ⇒ SABCD - GV đặt vấn đề: Ai biết đến bất đẳng thức tam giác Với ba điểm A, B, C mặt phẳng, ta có: AB + BC AC Dấu xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A C Vậy với bốn điểm A, B, C, D mặt phẳng ta có bất đẳng thức nào? Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AC.BD AB.DC + BC.AD Dấu ‘=’ xảy nào? Hướng dẫn giải B x A y I D C - GV giúp HS hiểu được: phải dựng hai tam giác đồng dạng với hai tam giác ABC tam giác DAC - HS nêu được: Dựng tia Dx góc ADC cho: ∠CDx = ∠BAC Dựng tia Cy cho: ∠DCy = ∠ACB Dx Cy cắt I ΔABC(g.g) Do ΔDIC ⇒ ID DC IC = = AB AC BC ⇒AC.ID = AB.CD IC BC Xét ΔIBC ΔDAC có ∠ICB = ∠DCA ; DC = AC Do ΔIBC ⇒ ΔDAC (c.g.c) IB BC AC.IB = BC.AD = ⇒ AD AC Mà IB + ID BD nên: AC.BD AC.(IB+ID) = AC.IB + AC.ID = AB.DC + BC.AD ⇒ AC.BD AB.DC + BC.AD Dấu ‘=’ xảy ⇔B, I, D thẳng hàng ⇔∠BAC = ∠BDC⇔ ABCD tứ giác nội tiếp - GV kết luận: B tốn bất đẳng thức Ptolemy Để giải toán ta cần sử dụng tính chất tam giác đồng dạng bất đẳng thức tam giác Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: SABCD (AB.DC + BC.AD) Hướng dẫn giải - GV nêu yêu cầu: theo toán ta có bất đẳng thức nào? - HS nêu được: Theo tốn ta có: SABCD AC.BD - GV nêu yêu cầu: theo toán 10 ta bất đẳng thức nào? - HS nêu được: theo tốn ta có AC.BD AB.DC + BC.AD ⇒ SABCD (AB.DC + BC.AD) (đpcm) - GV kết luận: Trong toán ta sử kết toán toán 11 Bài toán 12: Cho tam giác nhọn ABC, M điểm nằm tam giác Chứng minh rằng: AM.BC + BM.AC + CM.AB4SABC Hướng dẫn giải A M C B - GV nêu u cầu: Trong hình vẽ có tứ giác tứ giác lồi ? - HS nêu được: Gồm có tứ giác ABMC; ACBM ; ABCM - GV nêu yêu cầu: Em nêu mối quan hệ SABMC + SACBM + SABCM với SABC - HS nêu được: SABMC + SACBM + SABCM = 2SABC - GV nêu yêu cầu: Áp dụng toán viết bất đẳng thức có từ tứ giác - HS nêu được: Theo toán ta có: 1 SABMC AM.BC; SACBM CM.AB; SABCM BM.AC ⇒SABMC + SACBM + SABCM (AM.BC + BM.AC + CM.AB) ⇒ (AM.BC + BM.AC + CM.AB) 2SABC ⇒ (AM.BC + BM.AC + CM.AB) 4SABC Dấu ‘=’ xảy ⇔M trực tâm tam giác ABC - GV giúp học sinh hiểu: Bài tốn phát triển lên: Cho tứ giác ABCD, M điểm nằm tứ giác Thì ta bất đẳng thức nào? - HS nêu được: AM.BD + BM.AC + CM.BD + DM.AC 4SABCD A M D B C - GV kết luận: Bằng cách suy luận ta cịn nhiều tốn Bài tốn 13: Cho tam giác ABC có M trọng tâm tam giác ; Gọi ma, mb, mc tương ứng trung tuyến từ A, B, C AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh rằng: (ma.a + mb.b + mc.c) 6SABC Hướng dẫn giải A M C B - GV nêu: Ta tiếp tục xét M tâm tam giác ABC Gọi ma, mb, mc tương ứng trung tuyến từ A, B, C Và AB = c, AC = b, BC = a - GV đặt yêu cầu: Điểm M nằm tam giác ABC ta bất đẳng thức nào? - HS nêu được: Theo tốn 12 AM.BC + BM.AC + CM.AB 4SABC 2 Ta có AM = ma ; BM = mb ; CM = mc Do (ma.a + mb.b + mc.c) 4SABC ⇒ (ma.a + mb.b + mc.c) 6SABC - GV giúp HS hiểu được: dấu “=” xảy ⇔Tam giác ABC tam giác Bài tốn 14: Cho đường trịn (M ; r) nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: AM + BM+ CM 6r Hướng dẫn giải A M C B - GV đăt yêu cầu: Em nêu mối quan hệ SACMB với SAMB + SAMC - HS nêu được: SACMB = SAMB + SAMC Mà SACMB = SAMB + SAMC = r.(AB+AC) 1 - GV giúp HS hiểu được: r.(AB+AC) AM.BC ⇒r.(AB+AC) AM.BC ⇒AM r ( AB AC + ) BC BC AB BC AC BC Tương tự BM r ( AC + AC ), CM r ( AB + AB ) Như AM + BM+ CM 6r - GVgiúp HS hiểu được: dấu“=” xảy ⇔tam giác ABC tam giác - GV đặt vấn đề: Nếu M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta bất đẳng thức nào? Bài toán 15: Cho tam giác ABC, gọi (M, R) (N, r) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: R 2r Hướng dẫn giải - HS nêu được: Do M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên: AM = BM = CM = R ( R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) Mà theo toán 12 ta lại có AM.BC + BM.AC + CM.AB 4SABC ⇒R(AB + AC + BC) 4SABC - GV giúp HS hiểu được: Bất đẳng thức R(AB + AC + BC) 4SABC chưa phải bất đẳng thức cuối cùng, đến ta nhận thấy AB + AC + BC = 2P ( P nửa chu vi tam giác ABC) Mà S ABC = P.r (r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) - HS nêu được: Ta có R(AB + AC + BC) 4SABC ⇒2R.P 4P.r⇒R 2r A N M B C - GV đặt vấn đề: Bằng cách suy luận trên, sử dụng cơng thức tính diện abc tích tam giác đặc biệt khác S = R cho ta bất đẳng thức (Với a, b, c ba cạnh tam giác ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đó) Bài tốn 16: Cho tam giác ABC nhọn có cạnh a, b, c Gọi (M, 1) đường tròn tâm M, bán kính ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : a + b + c abc Hướng dẫn giải - GV nêu yêu cầu: Theo toán 12 ta có bất đẳng thức nào? - HS nêu được: AM.BC + BM.AC + CM.AB 4SABC Mà AM = BM = CM = R =1 ⇒ BC + AC + AB4SABC Mặt khác ta lại có S = abc abc = ⇒ a + b + c abc 4R Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R) có góc BAD góc tù AC vng góc với BD Chứng minh : SABCD < 2R2 Bài 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi S diện tích tứ giác ABCD Chứng minh : AC + BD 2√ S Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) có AC đường kính, BD dây cung vng góc với AC Xác định BD để diện tích tứ giác ABCD lớn Bài 4: Cho tứ giác ABCD có diện tích S, điểm O nằm tứ giác Xác định dạng tứ giác ABCD vị trí điểm O để tổng AO2+ BO+CO 2+ DO2 đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho nửa đường trịn đường kính BC = 2R tâm O cố định Điểm A di động nửa đường tròn Goi H hình chiếu vng góc A lên BC Goi D, E hình chiếu H lên AC AB Xác định vị trí A cho diện tích tứ giác AEHD lớn Tính giác trị lớn theo R Bài 6: Cho điểm M tứ giác ABCD CMR: MA.AB + MB.BC + MC.CD + MD.DA2SABCD Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Chứng minh rằng: MA +MB + MC a√ Bài 8: Cho tứ giác ABCD có tổng bình phương cạnh hai đường chéo p p Chứng minh SABCD Bài 9: Cho hình vng ABCD có cạnh 1, M điểm nằm cung nhỏ AB đường tròn ngoại tiếp ABCD Chứng minh MC.MD > 3√ 3MA.MB Bài 10: Cho hai đường tròn đồng tâm, bán kính đường trịn gấp đơi đường tròn ABCD tứ giác lồi nội tiếp đường tròn nhỏ Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn lớn A’, B’, C’, D’ Chứng minh chu vi tứ giác A’B’C’D’ lớn hai lần chu vi tứ giác ABCD Bài 11: Cho tam giác ABC có AB + AC = Vẽ tam giác BCE vuông cân E (E A nằm khác phía BC) Chứng minh AE 2√ Bài 12: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi diện tích tứ giác ABCD S Chứng minh AC + BD 2√ S III KIỂM NGHIỆM Sau điều tra thực trạng 35 học sinh lớp 9A năm học 2012 -2013 tiến hành dạy thực nghiệm 35 học sinh lớp 9A năm học 2013 -2014 biện pháp nêu trường THCS Thạch Long Tôi áp dụng đề kiểm tra khảo sát cho 35 học sinh lớp 9A năm học 2012 – 2013 Kết cụ thể sau: Lớp 9A TS HS 35 Chất lượng Giỏi Khá TB Yếu Kém 14,3% 10 28,6% 18 51,4% 5,7% 0% Như sau thực nghiệm số học sinh có điểm từ trung bình trở lên tăng, số học sinh điểm yếu giảm nhiều, đặc biệt không học sinh bị điểm chứng tỏ giải pháp đưa thành công C ĐỀ XUẤT VÀ KẾT LUẬN Nâng cao chất lượng dạy học toán trường phổ thông cần thiết Làm để bồi dưỡng học sinh giỏi toán vấn đề nhiều giáo viên quan tâm trăn trở Từ việc phát triển toán bất đẳng thức hình học phẳng thành chuỗi tốn góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS Để đạt điều người giáo viên cần không ngừng bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ để nâng cao chất lượng, hiệu giảng dạy giáo dục Giáo viên ln phải biết tìm tịi, sáng tạo giảng dạy để tìm đường ngắn để học sinh đến với kiến thức cần đạt Giáo viên phải tạo cho học sinh có hứng thú học mơn tốn, xác định động học mơn tốn Thơng qua việc học tập mơn tốn học tốn cách sáng tạo giúp em áp dụng phương pháp học tập vào môn học tự nhiên khác, biết cách giải tốn bất đẳng thức hình học phẳng biện pháp hữu hiệu Học tốn cịn giúp em có phương pháp nghiên cứu khoa học, biết áp dụng vào thực tiễn để với môn khoa học khác em có tảng tri thức tồn diện, đủ hành trang bước vào đời Trên kinh nghiệm nhỏ tơi q trình dạy học, chắn cịn hạn chế, mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để hoàn thành trọng trách chức môn học hệ thống giáo dục Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Trường Quân ... thực tiễn để với mơn khoa học khác em có tảng tri thức toàn diện, đủ hành trang bước vào đời Trên kinh nghiệm nhỏ trình dạy học, chắn cịn hạn chế, mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để hồn thành trọng