Đề tài Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Nhưng ngược lại đối với kết quả bài làm của học sinh lớp 11A2 tôi thấy rất khả quan hầu hết các em đều làm được bài tập đầu còn bài tập 2 một số em đã không biết chuyển từ đầu bài về dạn[r]

I Đặt vấn đề Trong chương trình toán trường phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho người làm toán trí th«ng minh, sù s¸ng t¹o, ngoµi cßn cã c¶ sù khÐo lÐo, mçi kÕt qu¶ cña nã lµ công cụ sắc bén toán học Nhưng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, là học sinh, các em tỏ lúng túng chọn cho mình công cụ để chứng minh hiệu Đã có nhiều tài liệu đưa số phương pháp tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn: - Phương pháp sử dụng các tính chất bất đẳng thức - Phương pháp sử dụng tam thức bậc - Phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển - Phương pháp sử dụng phản chứng - Phương pháp sử dụng quy nạp - Phương pháp sử dụng đạo hàm - Phương pháp sử dụng hình học - Phương pháp sử dụng hàm lồi Mặc dù song là chưa đủ sáng tạo người làm toán là vô hạn Chính vì bài viết này tôi muốn đề cập "Một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số Phương pháp lượng giác hoá đã số sách các tác giả đề cập giáo sư Phan §øc ChÝnh, gi¸o s­ Phan Huy Kh¶i, phã tiÕn sÜ Vò ThÕ Hùu viÕt Nh­ng cấu trúc mục tiêu các sách đó mà các tác giả không sâu vào phương pháp này hay nói cách khác là chưa thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó Là giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tượng học sinh khá giỏi các lớp chọn tôi đã phân chia phương pháp này thành dạng bài tập Nhằm cung cấp cho học sinh nhận các dấu hiệu ban đầu để thực các bước lượng giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để dùng các kết bất đẳng thức lượng giác chứng minh bất đẳng thức đại số Qua thực tế giảng dạy các lớp chọn khối 11 trường THPT tôi nhận thấy viÖc ph©n chia d¹ng cña t«i lµ hîp lý, l«gÝc cô thÓ, cã thÓ nhanh chãng t×m phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách áp dụng các phương ph¸p t­ nµy cña t«i Tôi trình bày hiệu phương pháp này học sinh phần kÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn C¸c tµi liÖu tham kh¶o Bất đẳng thức giáo sư Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995 Các bài toán chọn lọc bất đẳng thức tập giáo sư Phan Huy Khải - NXB Gi¸o dôc Hµ Néi 2000 Phương pháp lượng giác hoá PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002 Lop10.com II giải vấn đề C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1 C¸c hÖ thøc c¬ b¶n  (    k) cos  + + cotg2 = (  k) sin  + cos   sin   + + tg2 = k ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos(  ) = cos cos  sin sin + sin(  ) = sin cos  cos sin tg  tg  ( ;    k) + tg (  ) =  tg tg cot g cot g  + cotg(  ) = (;   k) cot g  cot g 1.3 C«ng thøc nh©n + sin2 = sin cos + cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - = - 2sin2 tg   (    k ) + tg2 =  tg  + tg cotg = (  cot g   k + cotg2 = (  ) cot g + sin3 = 3sin - 4sin3 + cos3 = 4cos3 - 3cos 3tg  tg 3   (    k + tg3 = )  3tg 3 1.4 C«ng thøc h¹ bËc  cos 2  cos 2 + cos2 = + sin2 = 2   cos 2 (   k) + tg2 =  cos 2 1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:    cos + cos + cos = 2cos 2  +   sin + cos - cos = - 2sin 2  +   cos + sin + sin = 2sin 2 Lop10.com    sin 2  sin(  ) (;    k) + tg  tg = cos  cos  1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng: + cos.cos = [cos(  )  cos(  )] + sin.sin = [cos(  )  cos(  )] + sin.cos = [sin(  )  sin(  )] + sin - sin = = - 2cos Néi dung cña s¸ng kiÕn Qua quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác nhiều sách đưa các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác mơ hồ chưa có hệ thèng, ch­a ph©n chia thµnh c¸c d¹ng bµi tËp Víi c¸c kiÕn thøc vÒ chøng minh bất đẳng thức phương pháp lượng giác mà tôi biết tôi đã phân chia thµnh d¹ng bµi tËp c¬ b¶n mµ t«i sÏ giíi thiÖu sau ®©y Trong dạng bài tập tôi đưa phương pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển vế bất đẳng thức đại số phải chứng minh biểu thức lượng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lượng giác các bất đẳng thức lượng giác đơn giản như: | sin  |  1;| cos  |  1; sin n   1; cos n   (n  N *) * Để học sinh nắm kiến thức cách hệ thống tôi đã lập bảng số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lượng giác sau có nghĩa) Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự + x2 + tg2t 4x3 - 3x 2x2 - 4cos3t - 3cost 2cos2t - tgt  tg t cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tgt = tg2t  tg t tgt  tg t tgt = sin2t  tg t tg  tg  tgtg tg  tg = tg(+)  tgtg 1 cos   = tg2 cos  2x 1 x2 2x 1 x2 xy  xy x2 - Công thức lượng giác 1+tg2t = Lop10.com số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x  sin  a) Nếu thấy x2 + y2 = thì đặt  víi   [0, 2]  y  cos  x  a sin  b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt  víi   [0, 2] y  a cos   C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng:   S = a(c+d) + b(c-d)  Gi¶i: a  sin u c  sin v §Æt  vµ   S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b  cos u d  cos v    S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)    S  sin (u  v)    [ , ]    S  a (c  d)  b(c  d)  (®pcm) 4  VD2: Cho a2 + b2 1   25  = Chøng minh r»ng:  a     b    a   b   Gi¶i: Đặt a = cos và b = sin với    2 Thế vào biểu thức vế trái biến đổi 2     1     sin    a     b     cos      a   b   cos    sin    = cos4 + sin4 1 cos   sin  4 +    cos   sin   4 cos  sin  cos  sin        = cos   sin  1  4 4  cos  sin      = cos   sin   cos  sin  1  4 4  cos  sin   16  17 25    1 = 1  sin 2 1  (®pcm)    1  (1  16)     2   sin 2   2 Bây ta đẩy bài toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 Lop10.com VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a  b  3ab  2(1  )a  (4  )b    Gi¶i: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = a   sin  a   sin    A  sin   cos   sin  cos  §Æt  b   cos  b   cos  A  sin 2  cos 2   sin 2  cos 2  sin(2  )  (®pcm) 2 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a  12b  = 13 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a)  - Gi¶i: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a)  -  (a-1)2 + (b + 1)2  a   R sin  §Æt  víi R   b   R cos  a  R sin    (a  1)  (b  1)  R  b  R cos   Ta cã: 5a  12b   13  5(R sin   1)  12(R cos   1)   13  5R sin   12R cos   13   R 12 5  sin   cos   R sin    arccos   R 13 13 13   Từ đó  (a-1)2 + (b+1)2 = R2   a2 + b2 + 2(b - a)  - (đpcm) II D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin  | ; | cos  |  1 Phương pháp: a) Nếu thấy |x|  thì đặt      x  sin      ;      x  cos    0;        x  m sin      ;  b) Nếu thấy |x|  m ( m  ) thì đặt     x  m cos    0;   C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p  2p  |x|  ;  P  Gi¶i: Đặt x = cos với   [0, ], đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p Lop10.com p p           =  cos    sin   p  cos p  sin p   p  cos  sin   p 2  2 2 2    (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng:   A  3a  2a  a   Gi¶i: Tõ ®k - a2   |a|  nªn Đặt a = cos với      1 a = sin Khi đó ta có: A= 3a  2a  a  cos   cos  sin   (1  cos 2)  sin 2     = 2 cos 2  sin 2    sin  2       A   (®pcm) 3    VD3: Chøng minh r»ng:   a  (1  a)   (1  a )3  2   2a (1) Gi¶i: Tõ ®k |a|  nªn §Æt a=cos víi [0,]   a  sin (1)  sin   ;  a  cos ;  a  sin  2        cos 2 cos3  sin   2  2 sin cos 2 2 2                 sin  cos  cos  sin  cos  sin cos  sin    sin cos 2  2  2 2 2            sin  cos  cos  sin   cos  sin  cos   đúng  (đpcm) 2  2 2     VD4: Chøng minh r»ng: S = (1  a )3  a  a   a  Gi¶i: Tõ ®k |a|  nªn: Đặt a = cos với   [0, ]   a = sin Khi đó biến đổi S ta có: S= 4(sin   cos3 )  3(cos   sin )  (3 sin   sin )  (4 cos3   cos )   = sin 3  cos 3  sin  3     (®pcm) 4    VD5: Chøng minh r»ng A = a  b  b  a  ab  (1  a )(1  b )  Lop10.com Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: - a2  ; - b2   |a|  ; |b|  nªn    §Æt a = sin, b = sin  víi ,    ;   2 Khi đó A = sin  cos   cos  sin   cos(  ) =   cos(  )  sin (  )    = sin(  )  cos(  )  sin(  )  2 3  (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26|  a  [1; 3] Gi¶i: Do a  [1, 3] nên a-2  nên ta đặt a - = cos  a = + cos Ta có: A = 4(2  cos )3  24(2  cos )  45(2  cos )  26  cos3   cos   cos 3  (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a  a  3a    a [0, 2] Gi¶i: Do a  [0, 2] nên a-1  nên ta đặt a - = cos với   [0, ] Ta có: A= 2(1  cos )  (1  cos )  3(1  cos )    cos   cos  1    = sin   cos   2 sin   cos    sin      (®pcm) 3  2  III D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 =  1 (    k)  tg    cos  cos  1) Phương pháp: a) NÕu |x|  hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc thì đặt x =     3  víi  0;   ,  cos   2   b) NÕu |x|  m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc thì đặt x = x2 1 x  m2 m     3  víi  0;   ,  cos   2   C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng A = a2 1    a 1 a Lop10.com Gi¶i: Do |a|  nªn : §Æt a = A=     3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi đó: a 1     ( tg  ) cos   sin   cos   sin      (®pcm) a 3   12 a  VD2: Chøng minh r»ng: -  A =   a 1 a2 Gi¶i: Do |a|  nªn: §Æt a =     3  víi  0;   ,   cos   2   a   tg   tg Khi đó: 5(1  cos 2)  12 a   sin 2 A= = (5-12tg)cos2 = 5cos2-12sincos= 2 a 13  12 5  13  =   cos 2  sin 2    cos 2  arccos  2  13 13 13   2  -4= 13 13   13  (1)  A   cos 2  arccos     (®pcm) 2 2 13  2  VD3: Chøng minh r»ng: A = a   b2  1 ab  a ; b 1 Gi¶i: Do |a|  1; |b|  nªn §Æt a = 1     3  ;b= với  0;   ,  Khi đó ta có: cos  cos   2   A = ( tg  tg) cos  cos   sin  cos   sin  cos   sin(  )  (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a 1  2  a 1 Gi¶i: Do |a| > nªn: §Æt a = a 1   víi   0;   Khi đó:   cos   2 a  cos  tg  sin  Lop10.com a+ a a2 1  1 1 2     2 (®pcm) cos  sin  cos  sin  sin 2 VD5: Chøng minh r»ng y x   y    xy 26  x ; y  Gi¶i: Bất đẳng thức  x2   x Do |x|; |y|  nªn §Æt x =  y     26 (1) x y y   1   ; y= víi ,   0,  cos  cos   2 Khi đó: (1)  S = sin + cos(4sin + 3cos)  26 Ta cã: S  sin + cos (4  32 )(sin   cos )  sin   cos   (12  52 )(sin   cos  )  26  (®pcm) IV D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos  Phương pháp:    a) Nếu x  R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với     ,   2    b) Nếu x  R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với     ,   2 C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: S = 3x 1 x  4x 3 (1  x ) 1 Gi¶i:    §Æt x = tg víi     ,    x  , đó biến đổi S ta có: cos   2 S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3|  (®pcm)  8a  12a VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1  2a ) Gi¶i:  tg   3tg     §Æt a = tg víi   ,  th× ta cã: A = (1  tg )  2 Lop10.com cos   sin  cos   sin   3(sin   cos )  sin  cos  = 2 (cos   sin ) sin 2 sin 2 =3  3  A  3  2 3 2 2  Víi  =  a = th× MaxA = ; Víi  =  a = th× MinA = VD3: Chøng minh r»ng: (a  b)(1  ab)   a, b  R (1  a )(1  b ) Gi¶i: Đặt a = tg, b = tg Khi đó = cos  cos  (a  b )(1  ab) (tg  tg)(1  tgtg)  (1  a )(1  b ) (1  tg )(1  tg 2) sin(  ) cos  cos   sin  sin  cos  cos  cos  cos  1 sin2(  )  (®pcm) 2 |a b| |bc| |ca| VD4: Chøng minh r»ng:   a , b, c 2 2 2 (1  a )(1  b ) (1  b )(1  c ) (1  c )(1  a ) = sin(  ) cos(  )  Gi¶i: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi đó bất đẳng thức  | tg  tg | | tg  tg | | tg  tg |    (1  tg )(1  tg 2) (1  tg 2)(1  tg  ) (1  tg  )(1  tg )  cos  cos  sin(  ) sin(   ) sin(   )  cos  cos   cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos  cos   sin(-)+sin(-)  sin(-) Biến đổi biểu thức vế phải ta có: sin(-)= sin[(-)+(-)] = sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)=sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)  sin(-).1 + sin(-).1 = sin(-) + sin(-)  (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab  cd  (a  c)(b  d ) (1) a , b, c, d  Gi¶i: (1)  ab cd  1 (a  c)(b  d ) (a  c)(b  d ) cd ab  1  c  b   c  b  1  1   1  1    a  d   a  d  10 Lop10.com c d §Æt tg2= , tg2= víi ,  a b  (1  tg 2)(1  tg 2)     0,   Biến đổi bất đẳng thức  2 tg 2.tg 2 (1  tg 2)(1  tg 2)  cos  cos   sin  sin    cos cos + sin sin = cos(-)  đúng  (đpcm) DÊu b»ng x¶y  cos(-) =  =  c d  a b VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 6a  | a  | a2 1 Gi¶i: §Æt a = tg  Khi đó A = tg      | tg  | tg tg  2  2     tg  1  tg tg  2 A = 3sin  + |cos|  sin + 4.0 = 3sin  3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sin + |cos|)2  (32 + 42)(sin2 + cos2) = 25  A  Víi sin =  a = th× MinA = - ; víi sin  | cos  | th× MaxA =  V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp:   x; y; z  A; B; C  (0; ) a) NÕu  th× ABC :  2 x  y  z  xyz   x  cos A; y  cos B; z  cos C   x; y; z  A; B; C  (0; ) b) NÕu  th× ABC :  x  y  z  xyz x  tgA; y  tgB; z  tgC   A; B; C  (0; )   x ; y, z  x  cot gA; y  cot gB; z  cot gC c) NÕu  th× ABC :  A; B; C  (0; ) xy  yz  zx    A B C x  tg ; y  tg ; z  tg  2 11 Lop10.com C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S= 1    3( x  y  z) x y z Gi¶i: Từ < x, y, z < nên đặt x = tg      ; y = tg ; z = tg víi , ,    0,  2  2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2   tg  tg        tg      cot g   tg  tg  tg  = - tg tg  2 2 2  tg  tg  tg  2 2 2 2 Do xy + yz + zx = nªn tg                    tg    tg        2 2 2 2 2 2 2 S=        1    3( x  y  z) = cotg + cotg + cotg -3  tg  tg  tg  2  2 2 x y z              S =  cot g  tg    cot g  tg    cot g  tg   2 tg  tg  tg  2  2  2  2 2      S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2 tg  tg  tg  2     S = (cotg+cotg-2tg ) + (cotg+cotg-2tg ) +(cotg+cotg-2tg ) 2 §Ó ý r»ng: cotg + cotg = sin(  ) sin  sin    sin  sin  sin  sin  cos(  )  cos(  )   sin cos sin  sin  2  tg   cot g  cot g  tg        cos(  )  cos  2 cos 2 T đó suy S  Với x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < vµ th× MinS = x y z xyz     x  y  z (1  x )(1  y )(1  z ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 12 Lop10.com Gi¶i: Do < x, y, z < nên đặt x = tg Khi đó tg =     ; y = tg ; z = tg víi , ,   2    0,   2 2y 2x 2z ; tg = ; tg = và đẳng thức giả thiết  y2 1 x2  z2 2y 8xyz 2x 2z + + =  tg+tg+tg = tg.tg.tg 2 2 (1  x )(1  y )(1  z ) 1 x 1 y 1 z  tg + tg = - tg(1-tg.tg)  tg  tg = - tg  tg(+) = tg(-)  tg.tg   Do , ,    0,  nên  +  =  -    +  +  =  Khi đó ta có:  2 tg       tg + tg tg + tg tg =  xy + yz + zx = MÆt kh¸c: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) =   ( x  y)  ( y  z )  ( z  x )   S = x2 + y2 + z2  xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS =  x , y, z  x y z VD3: Cho  Chøng minh r»ng: S =    x  yz y  zx z  xy x  y  z  Gi¶i: xz   tg ; y §Æt yz   tg ; x Do yz zx zx xy xy yz   =x+y+z=1 x y y z z x nªn tg xy   tg víi , ,   z    0,   2       tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2               tg    = cotg  tg    = tg     + = 2 2 2 2 2 2 2 2           2 S=   2y   2z  x y z  x      1    1    1  x  yz y  zx z  xy  x  yz   y  zx   z  xy  13 Lop10.com  yz  zx xy   1    x  yz y  zx z  xy   y x z         =   x  yz y  zx z  xy  2   yz  zx  xy   x y z   = 3 (cos + cos + cos) + = cos   cos .1  (cos  cos   sin   sin ) 2 2  1 (cos   cos 2  1)  (sin   sin )  cos  cos      (®pcm)  2  4 C¸c bµi to¸n ®­a tr¾c nghiÖm Trước tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến tôi cho học sinh lớp 11A1 và 11A2 trường tôi, tôi đã bài nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước thời gian tuần Với các bài tập sau: Bµi 1: Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3|  13 Bµi 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b  10 a; b  Bµi 3: Cho  CMR: a4 + b4  a3 + b3 a  b  Bµi 4: Cho a; b ; c  1   1      CMR:  a   b   c     a   b   c   b  c  a  a  b  c  x; y; z  Bµi 5: Cho  2 x  y  z  xyz  a) xyz  b) xy + yz + zx  c) x2 + y2 + z2  d) xy + yz + zx  2xyz + e) CMR: 1 x 1 y 1 z    1 x 1 y 1 z Bµi 6: CMR: 1 a2  1  b2   a, b  (0, 1]  ab Bµi 7: CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  (ab + bc + ca)  a, b, c > 14 Lop10.com  x , y, z  x y z 3 CMR :    Bµi 8: Cho  2 2 1 x 1 y 1 z xy  yz  zx  x , y, z  x y z CMR :    Bµi 9: Cho  1 x2  y2  z2 x  y  z  xyz x, y, z  1 2x 2y 2z CMR :      Bµi 10: Cho   x  y2  z2  x  y2  z2 xy  yz  zx  Sau tuần các em không làm các bài tập này mặc dù tôi đã gợi ý là dùng phương pháp lượng giác hoá Sau đó tôi đã dạy cho các em sáng kiến tôi buổi sinh hoạt chuyên đề (3 tiết) thì thu kết tốt KÕt qu¶ tr¾c nghiÖm thùc tÕ cña s¸ng kiÕn §Ó thÊy ®­îc kÕt qu¶ s¸t thùc cña s¸ng kiÕn phÇn «n tËp kú I cña líp 11 tôi đã chọn lớp 11A1 và 11A2 là lớp chọn đó 11A1 là lớp chọn A cßn 11A2 lµ líp chän B v× vËy víi kiÕn thøc cña c¸c em líp 11A1 kh¸ h¬n líp 11A2 tôi dùng lớp này để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên tôi đã bài nhà cho các em các bài tập 1, 4, 10 bài tập trên Yêu cầu các em lớp 11A1 và 11A2 làm bài tập này giấy và tôi đã thu ®­îc kÕt qu¶ nh­ sau: Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB 3-4 0-2 11A1 11A2 50 52 0 0 0 48 52 Víi kÕt qu¶ tæng hîp b¶ng trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i thÊy hÇu hÕt c¸c em kh«ng lµm ®­îc ë líp 11A1 Mét sè em biÕt lµm bµi tËp b»ng phương pháp đặt "a=sin", "b=cos" xong chưa đến bất đẳng thức cần chứng minh, líp 11A2 hÇu hÕt c¸c em kh«ng lµm ®­îc hoÆc bÕ t¾c hoµn toµn §øng trước thực trạng tôi định đưa sáng kiến tôi dạy cho lớp 11A2 lµ líp cã vèn kiÕn thøc yÕu h¬n so víi líp 11A1 Tôi đã tập trung các em lớp 11A2 học ngoại khoá vào tiết buổi chiều tiết này tôi đã truyền thụ hết nội dung phương pháp dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số tôi sau đó tôi đã bài nhà bài tập 2, 5, phÇn 10 bµi tËp trªn vµ yªu cÇu häc sinh c¶ líp vÒ nhµ gi¶i KÕt qu¶ thu ®­îc nh­ sau: Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB 3-4 0-2 11A1 50 0 12 38 11A2 52 20 25 15 Lop10.com Nh×n vµo kÕt qu¶ trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña häc sinh t«i nhËn thÊy c¸c em häc sinh cña líp 11A1 mÆc dï cã t­ chÊt h¬n líp 11A2 song kh«ng ®­îc biÕt các phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thưc nên hầu hết không làm bài tập tôi đã cho Nhưng ngược lại kết bài làm học sinh lớp 11A2 tôi thấy khả quan hầu hết các em làm bài tập đầu còn bài tập số em đã không biết chuyển từ đầu bài dạng để giải số khác đã biết biến đổi bất đẳng thức để có thể áp dụng dạng xong chưa biến đổi để đến bất đẳng thức lượng giác cần thiết vì kết chưa cao vì số em lớp 11A2 tiếp thu các phương pháp chậm, ứng dụng giải bài tập chưa sáng tạo Vì tôi định thực nghiệm lần thứ 3, tôi dạy lớp 11A1 và 11A2 vào buổi chiều tiết dạy đầy đủ phương pháp và các ví dụ minh hoạ, tôi gọi các em lên bảngáp dụng giải các ví dụ lớp thấy các em làm tốt, sau đó t«i cho bµi tËp 3, 6, 8, 10 vÒ nhµ vµ yªu cÇu c¸c em nép cho t«i vµo ngµy h«m sau KÕt qu¶ thu ®­îc nh­ sau: Líp SÜ sè Giái Kh¸ TB YÕu 11A1 50 30 13 11A2 52 25 21 Víi kÕt qu¶ nh­ trªn vµ thùc tÕ bµi lµm cña c¸c em t«i nhËn thÊy c¸c phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số mà tôi đưa có kết tốt, nó là công cụ hữu hiệu để giúp các em có thêm cách để chứng minh bất đẳng thức đại số bổ sung cho các em phương pháp lượng gi¸c ho¸ c¸c bµi to¸n nãi chung lµm cho c¸c em tù tin h¬n gÆp c¸c bµi tËp chứng minh bất đẳng thức tất các thi khó, chính vì tôi nghĩ số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số tôi ®­a lµ rÊt kh¶ quan III kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ Tr¶i qua thùc tÕ c«ng t¸c gi¶ng d¹y to¸n phæ th«ng, qua mét thêi gian lµm tr¾c nghiÖm t«i nhËn thÊy: Việc chứng minh bất đẳng thức đại số là công việc khó khăn và đòi hỏi người chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất các kiến thức đã biết để chứng minh bất đẳng thức Trong giai đoạn chúng ta tập trung cho cải cách giáo dục, đó có phần quan trọng là cải tiến phương pháp giảng dạy Để phát huy tính tích cực học sinh, việc tiếp thu kiến thức và công việc giải toán thì người thầy giáo phải là người tiên phong việc phát huy tính tích cực mình để tìm phương pháp giải toán mới, tìm công cụ để ngày càng hoàn thiện thân và cống hiến cho người làm toán công cụ hữu hiệu để có thể ®i s©u vµo thÕ giíi cña to¸n häc 16 Lop10.com Trên đây là ý kiến tôi số phương pháp lượng giác để giải các bất đẳng thức đại số nhằm giúp cho người chứng minh bất đẳng thức có phương pháp tư chứng minh bất đẳng thức đại số Do kinh nghiệm chưa có nhiều nên bài viết tôi không tránh khỏi khuyếm khuyết mặc dù tôi đã cố gắng xắp xếp mặt phương pháp, lượng bài tập và cấu trúc bài viết Rất mong nhận đóng góp ý kiến các bạn đồng nghiệp để bài viết tèt h¬n Cuèi cïng t«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n! H­ng Yªn, ngµy 04 th¸ng 04 n¨m 2008 17 Lop10.com