Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Chính vì vậy mỗi khi gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng không biết cách giải hoặc trình bày không hợp lý * Mặt khác trong nội dung bồi dưỡn[r]

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG PHẦN

PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

*Bậc học THCS bậc học tạo tảng đặt sở cho việc hình thành, phát triển toàn diện nhân cách người, tạo móng vững cho tồn hệ thống giáo dục nói riêng

* Cùng với mơn học khác, mơn Tốn mơn học bắt buộc bậc THCS Nó chiếm vị trí quan trọng việc hình thành phát triển phẩm chất nhân cách lực trí tuệ cho học sinh Mơn Tốn lớp hệ thống hố, khái qt hố tồn kiến thức Tốn bậc học THCS đồng thời tạo tiền đề cho học sinh lên lớp

Chương trình lớp 8, có nhiều tốn cần đến kiến thức bất đẳng thức, nhiên kiến thức nhắc sơ qua cuối năm lớp 8, học sinh chưa tìm hiểu sâu Chính gặp tốn có liên quan đến bất đẳng thức (BĐT) học sinh thường lúng túng cách giải trình bày khơng hợp lý * Mặt khác nội dung bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán chứng minh BĐT quan trọng, tốn phát triển tư cần phải có tư học Vậy nên tốn phù hợp học sinh giỏi

II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

1- Khẳng định tầm quan trọng BĐT chương trình Tốn nói riêng chương trình Tốn THCS nói chung

2- Nhằm giúp cho học sinh có kiến thức BĐT, phục vụ trực tiếp cho học sinh học sinh lớp

III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tìm số giải pháp nhằm nâng cao hiệu việc giảng dạy BĐT cho học sinh

IV/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu:

- Các toán chứng minh Bất đẳng thức Phạm vi nghiên cứu:

- Chương trình Tốn THCS đặc biệt lớp lớp PHẦN II

2 CHƯƠNG I

CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1- Định nghĩa bất đẳng thức

Cho a b hai số thực Khi đó:

a nhỏ b, kí hiệu a < b a - b < a lớn b, kí hiệu a > b a - b >

a nhỏ b, kí hiệu a  b a - b  a lớn b, kí hiệu a  b a - b 

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay dạng a < b, a  b, a  b) bất đẳng thức a gọi vế trái, b vế phải bất đẳng thức

2- Các tính chất bất đẳng thức * Tính chất 1: Tính chất phản xứng

a > b  b < a * Tính chất 2: Tính chất bắc cầu

a > b , b > c  a > c

* Tính chất 3: Tính chất cộng với số a > b  a + c > b + c

Hệ quả: a + c > b  a > b - c

* Tính chất 4: Tính chất cộng hai BĐT chiều a > c, b > d  a + b > c + d * Tính chất 5: Tính chất nhân với số khác

a > b, c >  ac > bc a > b, c <  ac < bc

* Tính chất 6: Tính chất nhân hai BĐT chiều a > b  , c > d   ac > bd * Tính chất 7: Các tính chất luỹ thừa

a > b  an > bn

a > b  an > bn với n lẻ

a > b  an > bn với n chẵn CHƯƠNG II- CƠ SỞ THỰC TẾ

3 trình, tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ nhất, toán phương trình bậc hai

CHƯƠNG III- NỘI DUNG CỤ THỂ:

PHẦN THỨ NHẤT

I/ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

Khi đứng trước toán chứng minh BĐT việc định hướng cho lời giải quan trọng Do cần cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh BĐT có sau:

I 1- Phương pháp dùng định nghĩa: * Cấu trúc phương pháp:

Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B sau chứng minh A - B > kết luận Ví dụ 1: Cho a, b, c số tuỳ ý chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Giải:

Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)

Suy 2M = a2 + 2b2 + 2c2 - ab - 2bc - ca

= (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

Vì: (a - b)2  (b - c)2 (c - a)2

Do (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

Suy a2 + 2b2 + 2c2 - ab - 2bc - ca  hay a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)  Vậy: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca

Dấu "=" xảy a = b = c

Ví dụ 2: Cho a, b, c số tuỳ ý chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 3

4  a + b + c

Giải:

Xét biểu thức: N = a2 + b2 + c2 + 3

4 - (a + b + c)

= (a2 - a + 1

4) + (b

2 - b + 1

4) + (c

2 - c + 1

4)

= (a -

2)

2 + (a - 1

2)

2 + (c - 1

2)

4 Vì (a -

2)

2  0; (a - 1

2)

2  0; (c - 1

2)

2  Do (a - 1

2)

2 + (a - 1

2)

2 + (c - 1

2

)2

Suy a2 + b2 + c2 +

4 - (a + b + c) 

 a2 + b2 + c2 + 3

4  a + b + c

Dấu "=" xảy a = b = c =

2

I.2- Phương pháp biến đổi tương đương * Cấu trúc phương pháp:

Để chứng minh A > B ta dùng tính chất BĐT để biến đổi cho: A > B  …  C > D

Trong bất đẳng thức C >D BĐT (được thừa nhận) Từ đến kết luận

Ví dụ 1: Cho a b hai số dấu: Chứng minh rằng: a b

b  a

Giải

Giả sử: a b b  a (1)

 a2 + b2 2ab (vì a b dấu nên ab > 0)  a2 + b2 - 2ab 

 (a - b)2 (2)

Vì BĐT (2) BĐT Mặt khác phép biến đổi tương đương nên BĐT (1) BĐT

Vậy a b

b a (với a b dấu)

Dấu "=" xảy a = b Ví dụ 2:

Cho a b hai số thực thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab

2

 Giải:

Giả sử a3 + b3 + ab

2

 (1)  a3 + b3 + ab

2

 

 (a + b)(a2 + b2 - ab) + ab - 1

5  2

b a

ab a b

a b 4ab



 



  

 a2 + b2 -

2  (vì a + b = 1)

 a2 + b2 - 

 2a2 + 2(1 - a)2 -  (vì b = 1- a)  4a2 - 4a + 

 (2a - 1)2 (2)

Bất đẳng thức (2) BĐT đúng, mặt khác phép biến đổi tương đương nên BĐT (1) BĐT

Vậy a3 + b3 + ab

2

 (với a + b = 1) Dấu "=" xảy a = b =

2

Ví dụ 3: Cho a b hai số dương Chứng minh rằng: 1

a  b ab

Giải

Giả sử: 1

a  b ab (1)

(vì a > b > 0)  a2 + 2ab + b2 - 4ab 

 a2 - 2ab + b2

 (a - b)2 (2)

Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT

Vậy: 1

a  b ab (với a > 0, b > 0)

Dấu đẳng thức xảy a = b

Ví dụ 4: Cho a, b, x, y số thực Chứng minh rằng: (ax + by)2  (a2 + b2)(x2 +

y2)

Giải

Giả sử (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) (1)

 (ax)2 + axby + (by)2 (ax)2 + (ay)2 + (bx)2 + (by)2  (ay)2 + (bx)2 - ay bx 

 (ay - bx)2 (2)

Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu "=" xảy chi ay = bx hay a b

x y

Ví dụ 5: Cho x y số thực Chứng minh rằng: x  y  x y

6 Giả sử x  y  x y (1)

  2

x  y  xy2

 x2 2 xy y2 x2 2xyy2

 xy xy (2)

Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy : x  y  x y

Dấu"=" xảy xy 

Ví dụ 6: Cho a b hai số không âm Chứng minh rằng: a b ab

  Giải

Giả sử a b ab



 (1)  a + b 2 ab

 a b ab 0



( a  b ) 0 (2)

Vì BĐT (2) BĐT nên BĐT (1) BĐT Vậy: a b ab

2

 

với a  b  Dấu "=" xảy a = b

I.3- Phương pháp dùng bất đẳng thức I.3.1 - Các bất đẳng thức thường áp dụng * BĐT bình phương biểu thức

A2 với giá trị A

Dấu "=" xảy A =

* BĐT Cơsi (Cauchy - Nhà tốn học người Pháp 1789 - 1857) + Cho hai số a b khơng âm , ta ln có: a b ab

2



 Dấu "=" xảy a = b

+ Cho ba số a, b, c không âm , ta ln có: a b c abc

   Dấu "=" xảy a = b = c

+ Tổng quát:

Cho n số a1, a2 ,…, an khơng âm, ta ln có:

1 n n

1 n

a a a

a a a n

   

Dấu "=" xảy a1 = a2 = …=an

(Trung bình cộng n số khơng âm khơng nhỏ trung bình nhân chúng) * BĐT Bunhiacốp xki (Bunhiacơpxki - Nhà tốn học người Nga 1804 - 1889) + Cho số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2 (a12 + a22) (b12 + b22)

Dấu "=" xảy 1

a a

7 + Tổng quát: Cho hai số (a1, a2,…an) (b1, b2, …bn) ta ln có :

 2  2 2 2 2

1 2 n n n n

a b a b   a b  a a   a b b   b

Dấu "=" xảy    n n

a a a

b b b

(Bình phương tổng tích khơng lớn tích tổng bình phương) * BĐT tổng nghịch đảo hai số dấu:

Với hai số dấu a b ta có: a b

b a Dấu "=" xảy a = b

* BĐT 1

a  b ab với a b hai số dương

Dấu "=" xảy a = b I.3.2- Cấu trúc phương pháp:

Để chứng minh A > B ta tiến hành sau:

- Từ BĐT biết C > D ta biến đổi C > D  …  A > B trả lời

Ví dụ 1: Cho a , b, c ba số dương: Chứng minh rằng: a b c 1

bc caab   a b c

Giải

Cách 1:Theo BĐT Cô si: Với x , y không âm ta có: x y xy

  Ta có: a b a b

bc ca  bc ca  c

b c b c

2

ca  ab ca ab  a

a c a c

2

bc  ab  bc ab  b

Suy ra:2 a b c 1

bc ca ab a b c

       

   

   

Vậy: a b c 1

bc ca ab a b c

       

   

    Dấu "=" xảy chi a = b = c

Cách 2:

Theo BĐT Tổng hai nghịch đảo ta có : Với hai số dấu a b ta có: a b

b  a

Do đó: a b a b

bc ca c b a c

 

    

 

b c b c

ca ab a c b a

 

    

 

c a c a

ab cb b a c b

 

    

8

Suy a b c 1

bc ca ab a b c

       

   

   

Vậy: a b c 1

bc ca ab a b c

       

   

    Dấu "=" xảy chi a = b = c Ví dụ 2: Cho hai số a b thoả mãn 2a + b = Chứng minh rằng: 2a2 + b2

3

Giải

Theo BĐT Bunhia cốp xki:

Với số a1,a2; b1, b2 ta có: (a1b1 + a2.b2)2 (a12 + a22) (b12 + b22)

Dấu "=" xảy 1

a a

b  b

Ta có :         

2

2

2 2

1  2ab  2a 1.b  ( 2) 1 2a b

 3(2a2 + b2) 

 2

2a b

3

  (đpcm)

Dấu "=" xảy

2a b

1

2a b



 



   

 a = b =

3

Ví dụ 3:Cho a ,b, c ba cạnh tam giác : Chứng minh rằng:

1 1 1

a b c c b a a c b  a b c

Giải

Theo BĐT 1

x y xy với x y hai số dương

Ta có: 1

a b c c a b b

1

c b a a c b c

1

a c ba b c  a

Suy ra: 1 1

a b c c b a a c b a b c

       

         

   

Vậy 1 1 1

a b c c b a a c b   a b c

Dấu "=" xảy a = b = c (tức tam giác cho tam giác đều) I.4- Phương pháp phản chứng

* Cấu trúc phương pháp

9 - Chứng tỏ điều giả sử sai (tức mâu thuẫn với kiến thức biết) - Kết luận yêu cầu cần chứng minh

Ví dụ: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thoả mãn BĐT

1

a

b

  ; b c

  ; c a

  Giải

Giả sử tồn ba số dương a, b, c thoả mãn ba BĐT

1

a

b

  ; b c

  ; c a

  Suy :a b c

b c a

       a b c

a b c

        

     

      (*)

Mà: a a

  (a > 0) ; b b

  (b > 0) ; c c

  (c > 0)

1 1

a b c

a b c

     

        

     

Do (*) vơ lý

Vậy: Khơng có số dương a, b, c thoả mãn BĐT

1

a

b

  ; b c

  ; c a

  I.5 - Phương pháp làm trội, làm giảm

Ví dụ 1:

Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a b c

a b b c c a

   

  

Giải

Ta có : a a

a b c ab ;

b b

a b c  bc ;

c c

a b c ca

Suy ra: a b c a b c

a b ca b ca b cabbcca

 a b c

a b b c c a

  

  

Ta lại có: a a c

a b a b c

 

   (điều dễ chứng minh được)

Tương tự b a b

b c a b c

 

  

c c b

c a a b c

 

  

Suy ra: a b c a b c

a b b c c a a b c

 

  

     =

 a b c

10

Vậy: a b c

a b b c c a

   

  

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n lớn thì:

12 12 12

2 3   n 

Giải Ta có :

 

2

1 1 1

k  k.k k k 1  k 1 k

Nên 12 1

2  1

12 1

3  2

……

12 1

n  n 1  n

Suy

2 2

1 1

2 3   n   n <1

Vậy: 12 12 12 3   n 

II Một số loại chứng minh bất đẳng thức thường gặp Bài 1:

* Cấu trúc: Cho đẳng thức A = B, chứng minh bất đẳng thức C > D * Cách giải thường dùng: Dùng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Cho hai số a b thoả mãn a - b = Chứng minh rằng: a3 - b3 - ab 

2

Giải:

Giả sử a3 - b3 - ab 

2 (1)

 (a - b)(a2 + ab + b2) - ab 

2

 a2 + ab + b2 - ab 

2 (vì a - b = 1)

 2a2 + 2b2

 2(b + 1)2 + 2b2 1 (vì a = b + 1)

 2b2 + 4b + + 2b21

 4b2 + 4b + 

 (2b + 1)2 (2)

11 Vậy a3 - b3 - ab 

2 với a - b =1 Dấu "=" xảy

1 a

2 b

2

       

Ví dụ 2: Cho a b hai số thực thoả mãn: a + b = Chứng minh rằng: 4 3

a b a b

Giải * Cách

Giả sử: 4 3

a b a b (1)  2(a4 + b4) 3

4 (a + b)(a

3 + b3) (vì a + b = 2)

 2a4 + 2b4 a4 + a3b + ab3 + b4

 a4 + b4 - a3b - ab3

 (a- b)(a3 - b3) 

 (a - b)2(a2 + ab + b2)  (2)

Vì (a - b)2 a2 + ab + b2 = (a + 1

2 )

2 + 3

4  nên BĐT (2) BĐT Do

đó BĐT (1) BĐT

Vậy 4 3

a b a b với a + b = Dấu "=" xảy a = b = * Cách 2:

Giả sử: 4 3

a b a b (1)  2(a4 + b4)

4 (a + b)(a

3 + b3) (vì a + b = 2)

 2a4 + 2b4 a4 + a3b + ab3 + b4  a4 + b4 - a3b - ab3

 (a- b)(a3 - b3)  (3)

Xét trường hợp sau: * TH: a > b suy a3 > b3

Do (a- b) > ( a3 - b3) > nên BĐT (3) BĐT

* TH: a = b hiển nhiên BĐT (3) BĐT * TH : a < b suy a3 < b3

Do (a- b) < ( a3 - b3) < nên BĐT (3) BĐT

Vậy trường hợp BĐT (3) BĐT

Suy (1) BĐT Dấu "=" xảy a = b = Nhân xét:

- Cách giải ưu việt cách giải áp dụng để giải toán tổng quát (xét phần sau)

Bài 2:

* Cấu trúc: Cho BĐT C  D, chứng minh A  B * Cách giải :

12 - Chứng minh: (A - B) + (D - C) 

- Dùng giả thiết C  D để suy A  B Ví dụ 1:

Cho a + b  Chứng minh : a2 b2

  Giải

Xét biểu thức M = 2  

a b a b

2

     

 

 

= 2

a b a b

2

   

= 2

a a b b

4                 = 2 1 a b 2               Vì a      

 

2 b      

  nên  

2

a b a b

2

     

 

  

mà a + b  suy - a - b  Do a2 b2

   

 

 

Vậy 2

a b

2

  với a + b  Dấu "=" xảy a b

 

Ví dụ 2: Cho a + b  Chứng minh rằng: 4 3

a b a b

Giải

Xét biểu thức : N =  4 3   a b  a b  2 a b = (a4    a3 a 1) b4   b3 b 1

= (a - 1)(a3 - 1) + (b - 1)(b3 - 1)

= (a - 1)2 (a2 + a +1) + (b - 1)2 (b2 + b + 1)

Vì (a - 1)2 (a2 + a +1)  (b - 1)2 (b2 + b + 1) 

Suy a4   b4 a3 b3  2 a b 

mà a + b  nên - a - b  Do a4   b4 a3 b30

Vậy: 4 3

a b a b

III- Mở rộng số bất đẳng thức

Việc mở rộng BĐT giúp cho học sinh có nhìn tổng qt BĐT đồng thời có tác dụng việc phát triển tư duy, óc tìm tịi sáng tạo học sinh Việc làm nên làm thường xun q trình dạy

Ví dụ 1:

Cho a b hai số dương Chứng minh: a b 1

a b

 

   

13 Mở rộng: Cho n số dương a ,a , ,a1 2 n Chứng minh rằng:

 

1 n

1 n

1 1

a a a n

a a a

 

       

 

* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si để giải Ví dụ 2:

Cho a b hai số dương có tích Chứng minh rằng: a1 b 1  

Mở rộng:

Cho n số dương a ,a , ,a1 2 ncó tích Chứng minh rằng:

a)      n

1 n

a 1 a 1 a  1

b) a1 a2a2 a3a3 a a4  n a12n

Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải Ví dụ 3:

Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh rằng:

2

1 25

a b

b a

      

   

   

Mở rộng:

Cho n số dương a ,a , ,a1 2 ncó tổng Chứng minh rằng:

a)

2 2 2

1 n

2

1 1 n

a a a

a a a n

            

       

     

b)

2 2 2

1 n

1 n

1 1 n

a a a

a a a n

            

       

 

     

* Gợi ý : Dùng BĐT Bu nhi a cốp xki để giải Ví dụ 4:

Cho a b hai số thực thoả mãn a + b = Chứng minh rằng: a4 + b4 a3 + b3

Mở rộng:

1/ Cho a b hai số thực thoả mãn a + b =

Chứng minh rằng: an + bn an-1 + bn-1 (với n số tự nhiên chẵn kháo 0)

* Gợi ý : áp dụng cách giải ví dụ phần số BĐT thường gặp 2/ a) Cho n số thực a ,a , ,a1 n thoả mãn a1  a2 an n

Chứng minh rằng: 4 3

1 n n

a a   a a a   a

b) Cho n số thực a ,a , ,a1 2 n thoả mãn a1  a2 ann

Chứng minh rằng: 4 3

1 n n

a a   a a a   a

*Gợi ý : áp dụng cách giải phần số BĐT thường gặp Ví dụ 5:

Cho a b hai số thực thoả mãn a b Chứng minh rằng: 2

a b

2

14 Cho n số thực a ,a , ,a1 2 n thoả mãn a1 a2 an n

2

    Chứng minh rằng: 2

1 n n

a a a

4

   

* Gợi ý : áp dụng cách giải phần số BĐT thường gặp PHẦN THỨ HAI

CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1- Dùng để giải phương trình:

Ví dụ

Giải phương trình: x   5 x

Giải

áp dụng BĐT x  y  x y Ta có

x  5 x = x  5 x  x  5 x =

Dấu "=" xảy (x - 5)(2 -x)  hay  x  Vậy phương trình có nghiệm với x thoả mãn  x  Ví dụ 2:

Giải phương trình: 2

3x 6x 7 5x 10x 14  4 2xx

Giải:

Ta có : 3x2 6x 7 x 2x 1   x 1  2  4

   2

2

5x 10x 14  x 2x 1  9 x 1  9

Suy Vế trái = 2

3x 6x 7 5x 10x 14 5 Dấu "=" xảy x = -1

mà Vế phải = 2  2

42xx   x1  5 Dấu "=" xảy x = -1

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 IV 2- Dùng để tìm GTLN, GTNN Ví dụ

Cho a , b, c số dương có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức A = a 1  b 1  c 1

Giải:

*Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki

Ta có A2 =     

2

2 2

a 1 b 1 c 1   1 a    1 b c = 12 mà A > Suy A  122 Dấu "=" xảy a = b = c =

3

* Cách 2: Dùng điểm rơi Cơsi

Ta có:    

4 a

3 3

a a 3a

2 2 12

   

 

      

 

15 Tương tự: b 33b 7

12

   ; c 33c 7 12

  

Suy ra: a b c 33 a b c 21 12

         

Dấu xảy a b c

  

Ví dụ 2

1) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác để

A = a b c

bccaab đạt giá trị nhỏ

Giải: Ta có:

A = a b c

bcca ab =

a b c

1 1

b c c a a b

        

        

     

= a b c 1

b c c a a b

 

     

  

 

=

     

1 1

b c c a a b

2 b c c a a b

 

         

     

Vì b c c a a b 1 1.9

2 b c c a a b

 

         

     

Suy A = a b c

bccaab 

2 > Dấu "=" xảy a = b = c

Vậy A = a b c

bc ca ab đạt giá trị lớn a, b, c ba cạnh tam giác

đều

2) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Xác định hình dạng tam giác để

b c a

a b c

      

   

   

Giải:

Xét biểu thức: B = b c a a b b c c a

a b c a b c

  

          

       

       

= a b b c c a

abc

  

Theo BĐT Cô si cho hai sô dương ta có :

a b ab ; b c bc; c a ca

16 nên a b b c c a

abc

  

 hay b c a

a b c

      

   

   

Dấu "=" xảy a = b = c

Vậy với a, b, c ba cạnh tam giác b c a

a b c

      

   

   

3) Dùng để chứng minh phương trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + 2mx + (m - 1) = với m tham số

Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Giải:

Ta có :' = m2 - (m - 1)

= m2 - m + =

2

1

m

2

   

 

  > với giá trị m

Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Ví dụ

Cho a, b, c ba số khác không Chứng minh rằng: ba phương trình sau: ax2 + 2bx + c = (1)

bx2 + 2cx + a = (2)

cx2 + 2ax + b = (3) Có phương trình có nghiệm Giải:

Ta có 1' = b2 - ac; 2' = c2 - ab ; 3' = a2 - bc

Suy ra: 1' + 2' + 3' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca

=      

2 2

a b b c c a

2

    



Từ suy phải có biệt thức 1' 2' 3' lớn

bằng không

Vậy ba phương trình cho phải có phương trình có nghiệm PHẦN THỨ BA: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) 3  

a b ab ab với a, b >

b) 2  

a b c ab2 ab

c)a2 b2 c2 a b c

      

Bài 2: Cho hai số a b thoả mãn điều kiện a + b = Chứng minh: a) a2 b2

2

  b) a3 b3

4

 

c) 4

a b

8

17 Bài 3: Cho a ;b hai số thoả mãn a + b = Chứng minh:

2008 2008 2007 2007

a b a b

Bài 4: Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh:

4 4 16

x y z

3

  

Bài 5: Cho số a, b, c, d dương có tích 1: Chứng minh: ab b c c d d a16

Bài 6: Cho a, b, c, p độ dài ba cạnh nửa chu vi tam giác Chứng minh:

a) 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

b) a b c

b c a c a ba b c

c) 2  

abbccaa b c 2 abbcca

d) a b c b  c ac a babc

Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: a)

3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

b) a b c

bc ca ab2

c) ab bc ca a b c c  a  b   

d)

3 3 3

a b b c c a

a b c

2ab 2bc 2ca

       

e) a b c

bc  ac  ab 

Bài 8: Cho a > c ; b  c ; c > Chứng minh

   

c ac  c bc  ab

Bài 9: Cho ba số x, y, z dương Chứng minh:

a) x y z

y  z x

b)

2 2 2

x y z x y z

y  z  x   y z x

Bài 10 Chứng minh khơng có số dương a, b, c thoả mãn ba BĐT sau: 4a( - b) ; 4b(1 - c) ; 4c(1 - a)

Bài 11: Chứng minh với số tự nhiên lớn tổng:

S = 1 1

2 n

    số tự nhiên Bài 12: Cho 3

18 Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A =

2

a b

b 1 a 1 với a > b >

Bài 14: Cho x 3  0 y Tìm giá trị lớn biểu thức:

B = 3x 4 y 2x 3y

Bài 15: Giải phương trình:

a)

x 2  4 x x 6x 11

b) 3x2 6x 7 5x2 10x 14  4 2xx2

c)

2

2

x 6x 15

x 6x 18

x 6x 11

    