Dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Dùng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

G.NTH Các kiến thức cần nắm 1.1 Các hệ thức + cos + sin α = 1 π (α ≠ + kπ) 2 cos α + + cotg2α = (α ≠ kπ) sin α + + tg2α = kπ ) 1.2 C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tgα ± tgβ π + tg (α ± β) = (α ; β ≠ + kπ)  tgα tgβ cot gα cot gβ  + cotg(α ± β) = (α; β ≠ kπ) cot gα ± cot gβ 1.3 Công thức nhân + sin2 = sin cos + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - = - 2sin2α tgα π π + tg2α = (α ≠ + k ) − tg α + tgα cotgα = (α ≠ cot g α − kπ (α ≠ ) cot gα + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tgα − tg 3α π π + tg3α = (α ≠ + k ) − 3tg α 1.4 C«ng thøc h¹ bËc + cos 2α − cos 2α + cos2α = + sin2α = 2 π − cos 2α (α ≠ + kπ) + tg2α = + cos 1.5 Công thức biến đổi tỉng thµnh tÝch: α+β α −β cos + cosα + cosβ = 2cos 2 α +β α β sin + cosα - cosβ = - 2sin 2 α+β α β cos + sinα + sinβ = 2sin 2 α +β α −β sin + sinα - sinβ = = - 2cos 2 + cotg2α = G.NTH sin(α ± β) π (α; β ≠ + kπ) cos cos 1.6 Công thức biến đổi tÝch thµnh tỉng: + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự + x2 + tan2t 4x3 - 3x 2x2 - 2x 1− x2 2x 1+ x2 x+y − xy 4cos3t - 3cost 2cos2t - 1 cos t 4cos3t - 3cost = cos3t 2cos2t - = cos2t tan t − tan t tan t = tan2t − tan t tan t + tan t tan t = sin2t + tan t tan  + tan  − tan  tan  tan  + tan  = tan(α+β) tan tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 −1 − = tan2α 2 cos α cos α mét sè ph­¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1) Phương pháp: x = sin α a) NÕu thÊy x2 + y2 = đặt với [0, 2] y = cos α  x = r sin  víi α ∈ [0, 2π]  y = r cos  b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) đặt Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho số a, b, c, d thoả m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = Chøng minh r»ng: − ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 G.NTH Gi¶i: c = sin v a = sin u vµ  ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) b = cos u d = cos v Đặt ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π  ⇔ S = sin(u + v) −  ∈[− 2, 2] ⇒ − ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ (®pcm) 4  2 1   25  VD2: Cho a + b = Chøng minh r»ng:  a +  +  b +  ≥ a   b   2 Gi¶i: Đặt a = cos b = sin với Thế vào biểu thức vế trái råi biÕn ®ỉi 2     1     a +  +  b +  =  cos α +  +  sin α +  a   b   cos α   sin α   1 cos α + sin α + + = cos α + sin α + +4 cos α sin α cos α sin α = cos4α + sin4α + ( ) [( )   = cos α + sin α 1 + +4 4  cos α sin α  ]   = cos α + sin α − cos α sin α 1 + +4 4  cos α sin α  16  17 25    1 = 1 − sin 2α 1 + (®pcm)  + ≥ 1 − (1 + 16) + = + = 2   sin 2α   Bây ta đẩy toán lên mức độ cao bước để xuất a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + = Chøng minh r»ng: A = a − b + 3ab − 2(1 + )a + (4 − )b + Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = a − = sin a = + sin Đặt ⇒ A = sin α − cos α + sin α cos α b − = cos α b = + cos α A = sin 2α − cos 2α = π sin 2α − cos 2α = sin( 2α − ) ≤ (®pcm) 2 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + = 13 G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) - Giải: Biến đổi bất ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ a − = R sin Đặt với R ⇔ b + = R cos α a = R sin α + ⇔ (a − 1) + (b + 1) = R  b = R cos α − Ta cã: 5a + 12b + = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + = 13 ⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ = R 12 5  sin α + cosα = R sin α + arccos  ≤ R 13 13 13  Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) - (đpcm) II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị | sin | ; | cos α | ≤ 1 Ph­¬ng ph¸p:      x = sin   ∈  − ;      x = cos   ∈ [ 0;  ]  a) NÕu thÊy |x| ≤ đặt x = m sin   ∈  − ;  b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ) đặt x = m cos   ∈ [ 0;  ] Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ ; P Giải: Đặt x = cosα víi α ∈ [0, π], ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α  α α α α α    =  cos  +  sin  = p  cos p + sin p  ≤ p  cos + sin  = p 2  2 2 2    (®pcm) VD2: Chøng minh r»ng: 3−2 3+2 ≤ 3x + x x 2 Giải: Từ đk - x2 ≥ ⇔ |x| ≤ nªn §Ỉt x = cosα víi ≤ α ≤ π ⇒ − x = sinα Khi ®ã ta cã: P= x + x − x = cos  + cos  sin  = (1 + cos 2 ) + sin 2 G.NTH   π  = 2 cos2α + sin 2α + = sin 2α +  + ⇒ − ≤ A ≤ + (®pcm) 3  2  VD3: Chøng minh r»ng: + − a [ (1 + a) ] − (1 − a )3 ≤ 2 + 2a (1) Giải: Từ đk |a| nên Đặt a=cos với [0,] a = sin (1)⇔ + sin α α ; + a = cos ; − a = sin α 2 α α α α α α  cos 2 cos − sin  ≤ 2 + 2 sin cos 2 2 2  α  α α  α α α α α α  α ⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin  ≤ + sin cos 2  2  2 2 2  α  α α α α  α ⇔  sin + cos  cos − sin  = cos − sin = cos α ≤ ®óng ⇒ (®pcm) 2  2 2  ) ( ( ) VD4: Chøng minh r»ng: S = (1 − a )3 − a + a − a Giải: Từ đk |a| nên: Đặt a = cos với [0, π] ⇒ − a = sinα Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= 4(sin α − cos α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − sin α) + (4 cos α − cos α) π  = sin 3α + cos 3α = sin  3α +  ≤ ⇒ (®pcm) 4  ( ) VD5: Chøng minh r»ng A = a − b + b − a + ab − (1 − a )(1 − b ) Giải: Từ điều kiện: - a2 ≥ ; - b2 ≥ ⇔ |a| ≤ ; |b| ≤ nªn  π π §Ỉt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ;   2 Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − cos(α + β) = π  = sin(α + β) − cos(α + β) = sin(α + β) − cos(α + β) = sin(α + β) −  ≤ 2 3  (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ ∀a ∈ [1; 3] G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nên |a-2| nên ta đặt a - = cosα ⇔ a = + cosα Ta cã: A = 4(2 + cosα)3 − 24 + cosα)2 + 45 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1 ( ( (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a − 3a + ≤ ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ nªn ta đặt a - = cos với [0, π] Ta cã: A= 2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) − (1 + cos α ) + = − cos α − cos α 1  π  cos α  = sin  α +  ≤ (®pcm) = sin α − cos α = 2 sin α − 2  3 III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = π 1 ⇔tg2α= −1 (α ≠ + kπ) 2 cos α cos α 1) Ph­¬ng pháp: a) Nếu |x| toán có chứa biểu thức đặt x =   3π  víi α∈ 0;  ∪ π,  cos α  2   b) NÕu |x| m toán có chứa biểu thức đặt x = x2 x m2 m  π   3π  víi α∈ 0;  ∪ π,  cos α  2  Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh r»ng A = a2 −1 + ≤ ∀ a a Giải: Do |a| nên : §Ỉt a = A=  π   3π  víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ cos α  2   a − = tg α = tgα Khi ®ã: a −1 + π  = (tgα + 3) cosα = sin α + cosα = sin α +  ≤ (®pcm) a 3  − 12 a − VD2: Chøng minh r»ng: - ≤ A = ≤ ∀ a ≥1 a2 Giải: G.NTH Do |a| nên: Đặt a =  π   3π  víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ cos α  2   a − = tg α = tgα Khi ®ã: 5(1+ cos2α) 5−12 a2 −1 − 6sin2α = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= 2 a 13  12 5  13  = +  cos 2α − sin 2α  = + cos 2α + arccos  2  13 13 13   2  A = ⇒-4= 13 13   13 + (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos  ≤ + = (®pcm) 2 2 13  2  VD3: Chøng minh r»ng: A = a − + b2 − ≤1 ab ∀ a ; b ≥1 Gi¶i: Do |a| 1; |b| nên Đặt a = 1  π   3π  ;b= víi α∈ 0;  ∪ π,  Khi ®ã ta cã: cos β cos α  2   A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ (®pcm) VD4: Chøng minh r»ng: a + a a −1 ≥ 2 a >1 Giải: Do |a| > nên: Đặt a = a+ a 1  π víi α∈  0;  ⇒ Khi ®ã: = = cos α  2 a − cos α tg α sin α a a2 −1 = 1 1 2 + ≥ = ≥ 2 (®pcm) cos α sin α cos α sin α sin 2α VD5: Chøng minh r»ng y x − + y − + ≤ xy 26 ∀ x ; y Giải: Bất đẳng thức x2 + x Do |x|; |y| nên Đặt x =  y2 −   +  ≤ 26 (1)  x y y   1  π , ; y= víi α, β∈ 0  cosβ cos α  2 G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 + 32 )(sin β + cos β) = sin α + cos α ≤ (12 + 52 )(sin  + cos  ) = 26 (đpcm) IV Dạng 4: Sử dụng công thøc 1+ tg2 = cos α Ph­¬ng pháp: a) Nếu x R toán chứa (1+x2) đặt x = tg với α ∈  − ,   2  b) Nếu x R toán chứa (x2+m2) đặt x = mtg với  − ,   2 C¸c vÝ dơ minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: S = 3x + x2 − 4x (1 + x )3 Giải: Đặt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ + x = , ®ã biÕn ®ỉi S ta cã: cos α  2 S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ (đpcm) + 8a + 12a VD2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = (1 + 2a ) Gi¶i: + tg α + 3tg α  Đặt a = tg với ,  th× ta cã: A = (1 + tg α)  2 cos α + sin α cos α + sin α = = 3(sin α + cos α) − sin α cos α 2 (cos α + sin α) sin 2α sin 2α ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 2 2 π Víi α = ⇒ a = th× MaxA = ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = =3- VD3: Chøng minh r»ng: (a + b)(1 − ab) ≤ ∀ a, b ∈ R (1 + a )(1 + b ) Gi¶i: G.NTH Đặt a = tg, b = tg Khi = cos α cos β (a + b )(1 − ab) (tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ) = 2 (1 + a )(1 + b ) (1 + tg α)(1 + tg 2β) sin(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos α cos β cos α cos β 1 sin[2(α + β)] ≤ (®pcm) 2 | a −b | | b−c| | c −a | VD4: Chøng minh r»ng: + ≥ ∀ , b,c a (1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2) 1 (1+c2)( +a2) = sin(α + β) cos(α + ) = Giải: Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi bất đẳng thức | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ − tg α | ⇔ + ≥ (1 + tg α )(1 + tg β ) (1 + tg β )(1 + tg γ ) (1 + tg γ )(1 + tg α ) ⇔ cos α cos β sin(α − β) sin(β − γ ) sin( γ − α) + cos β cos γ ≥ cos γ cos α cos α cos β cos β cos γ cos γ cos α ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)| BiÕn ®ỉi biĨu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > VD5: Chøng minh r»ng: Gi¶i: (1) ⇔ ab + ( a + c )( b + d ) cd ≤1⇔ ( a + c )( b + d ) cd ab + ≤1 c  b c  b    +  +   +  +   a  d   a  d  c d  Đặt tg2= , tg2= với , 0, Biến đổi bất đẳng thức a b 2 ⇔ (1 + tg α)(1 + tg β) 2 + tg2α.tg2β (1 + tg α)(1 + tg β) 2 = cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β ≤ ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ ®óng ⇒ (®pcm) DÊu b»ng x¶y ⇔ cos(α-β) = ⇔ α=β ⇔ c d = a b 6a + | a | VD6: Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a2 +1 G.NTH Giải: Đặt a = tg Khi A = tg α α α α + | tg − | tg tg − 2 + 2 = α α α tg + 1 + tg tg + 2 A = 3sin α + |cosα| ≥ sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sư dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ Víi sinα = ⇔ a = th× MinA = - ; víi sin α | cos α | th× MaxA = = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp:  x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) a) NÕu  th× ∃∆ABC :  x + y + z + 2xyz =  x = cos A; y = cos B; z = cos C  π  x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) b) NÕu  th× ∃∆ABC :  x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC  π  A; B; C ∈ (0; )  x; y, z >  x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC c) NÕu  th× ∃∆ABC :  A; B; C ∈ (0; π) xy + yz + zx =    A B C x = tg ; y = tg ; z = tg  2 Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > vµ zy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc 1 S = + + − 3( x + y + z) x y z Giải: Từ < x, y, z < nên ®Ỉt x = tg Do xy + yz + zx = nªn tg α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  2  2 α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 10 G.NTH β γ tg + tg α β β γ γ = ⇔ tg β + γ  = cot g α ⇔ tg  tg + tg  = - tg tg ⇔   2 2 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 β γ π α α+β+ γ π β γ  π α = ⇔ α+β+ γ = π ⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 S= 1 α β γ  α β γ + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg  2  x y z 2 2 α α  β β  γ γ  α β γ  S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg  2  2  2  2 2  β γ  α S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg  2  γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 §Ĩ ý r»ng: cotgα + cotgβ = sin(α + β) sin γ sin γ = = sin α sin β sin α sin β cos(α − β) − cos(α + β) γ γ sin cos sin γ sin γ 2 = tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − tg γ ≥ = = ≥ γ − cos(α + β) + cos γ 2 cos 2 T ®ã suy S ≥ Víi x = y = z = VD2: Cho < x, y, z < MinS = x y z xyz + + = 2 2 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y )(1 z ) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: Do < x, y, z < nên đặt x = tg Khi tg = ⇔ α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  2  2 2x 2y 2z ; tg = ; tg = đẳng thức gi¶ thiÕt 1− x2 − y2 − z2 2x 2y 2z 8xyz + + = ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ 2 2 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y )(1 − z ) 11 G.NTH ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ tgα + tgβ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) − tgα.tgβ  π Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π Khi ®ã ta cã:  2 tg α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg = ⇔ xy + yz + zx = Mặt khác: 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = [ ] ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = Víi x = y = z = th× MinS =  x , y, z > x y z + + ≤ VD3: Cho  Chøng minh r»ng: S = x + yz y + zx z + xy x + y + z = Gi¶i: xz β = tg ; y Đặt yz = tg ; x Do  π  0,   2 yz zx zx xy xy yz =x+y+z=1 + + x y y z z x nªn tg xy γ = tg víi α, β, γ ∈ z α β β γ γ α tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 α β γ π α π α β γ  β γ  ⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ α+β+ γ π = ⇔ α+β+ γ = π 2 S=   2y   2z  x y z  x + + =  − 1 +  − 1 +  − 1  + x + yz y + zx z + xy  x + yz   y + zx   z + xy         yz − zx xy   1−  1−  x − yz y − zx z − xy   y x + z + + = =  + + +  x − yz y + zx z + xy  2  + yz + zx + xy     x y z    = 3 (cos + cosβ + cosγ) + = [(cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] + 2 2 12 G.NTH ≤ 1 ((cosα + cosβ)2 +1) + (sin2 α + sin2 β) − cosα cosβ + = + = (®pcm)  4 2   Các toán đưa trắc nghiệm Trước dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến cho häc sinh cđa líp 11A1 vµ 11A2 ë trường tôi, đà nhà cho em, cho em chuẩn bị trước thời gian tuần Với tập sau: Bài 1:Cho a2 + b2 = CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13 Bµi 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = CMR: 2a + b ≤ 10 a; b ≥ Bµi 3:Cho  CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 a + b = Bµi 4:Cho a; b ; c ≥ 1   1      CMR:  a −  b −  c −  ≥  a −  b −  c −  b  c  a  a  b  c  x; y; z > Bµi 5:Cho  2 x + y + z + xyz = a) xyz ≤ b) xy + yz + zx ≤ c) x2 + y2 + z2 ≥ d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + e) CMR: 1− x 1− y 1− z + + ≥ 1+ x 1+ y 1+ z Bµi 6:CMR: 1+ a2 + 1 + b2 ≤ ∀ a, b ∈ (0, 1] + ab Bµi 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > x , y, z > x y z 3 Bµi 8:Cho  CMR : + + ≥ 2 2 1− x 1− y 1− z xy + yz + zx = x , y, z > x y z Bµi 9:Cho  CMR : + + ≤ 1+ x2 + y2 + z2 x + y + z = xyz 13 G.NTH x ,  ,y z>0 1 x y z CMR : + + ≥ + + Bµi 10: Cho  xy + = 1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2  +yz zx 14 ... tan(α+β) tan tan Công thức lượng giác 1+tan2t = 1 −1 − = tan2α 2 cos α cos α mét sè ph­¬ng pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại sè x2 - I D¹ng 1: Sư dơng hƯ thức sin2 + cos2 = 1)... Công thức biến đổi tÝch thµnh tỉng: + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] + tg tg = Biểu thức đại số Biểu thức lượng. .. Víi sinα = ⇔ a = th× MinA = - ; víi sin α | cos α | th× MaxA = = V Dạng 5: Đổi biến số đưa bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp:  x; y; z > A; B; C ∈ (0; ) a) NÕu  th× ∃∆ABC :  x + y +