Thông tin tài liệu
Mục lục Phần I : Mở đầu trang Phần II : Nội dung .trang Cơ sở lý luận .trang 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến trang Các giải pháp .trang Hiệu sáng kiến………………………………………………trang 16 Phần III : Kết luận trang 17 Tài liệu tham khảo trang 19 Phụ lục trang 20-21 MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài: Nhiệm vụ trọng tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức phổ thơng, đặc biệt mơn Tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Trong hoạt động dạy học nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầm giải tốn theo hướng tổng qt, từ làm rõ nội dung toán dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu có nhiều hội sáng tạo, đổi phương pháp dạy học Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng kiến thức lượng giác học sinh mẻ, chưa thành thạo Tuy nhiên với số toán bất đẳng thức đại số ta sử dụng kiến thức lượng giác vào giải lại dễ dàng.Với lý đó, tơi nghiên cứu thực đề tài: ‘ Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn, tham khảo tài liệu liên quan - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q trình giảng dạy - Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp năm học 2017-2018 2018-2019 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến +.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ hàm số lượng giác Hàm số y = sinx : -Tập xác định : R -Tập giá trị : 1;1 -Chu kì : 2π Hàm số y = cosx : -Tập xác định : R -Tập giá trị : 1;1 -Chu kì: 2π Hàm số y = tanx �π �2 � -Tập xác định: D �\ � kπ, k ��� -Tập giá trị: R -Chu kì: π Hàm số y = cotx -Tập xác định: D �\ kπ, k �� -Tập giá trị: R -Chu kì: π Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacơpski, ta có kết sau sin x cos x � sin x cos x � sin x cos x � sin x cos x � (*) Vậy ta có: Kết (*) áp dụng nhiều đề tài +.Các dấu hiệu: Dựa vào số dấu hiệu sau để ứng dụng lượng giác vào giải số toán đại số 1) Nếu có điều kiện x x �a (a �0) , ta đặt: � � x a.sin với �� ; �hoặc x a.cos với � 0; 2 � � Trong trường hợp riêng: Nếu �x �a, ta đặt: �� �� 0; 0; �hoặc x a.cos với �� x a.sin với �� � 2� � � 2� Nếu a �x �0, ta đặt : � � � � ; 0�hoặc x a.cos với �� ; � x a.sin với �� �2 � �2 � 2) Nếu có điều kiện x x �a, (a �0) , ta đặt: a a � � � � , �\ 0 x x với �� với � 0; \ � � �2 2� cos sin �2 3) Nếu x R , ta đặt: � � x tan với �� ; �hoặc x cot với � 0; � 2� Trong trường hợp riêng: Nếu x , ta đặt: �� �� 0; �hoặc x cot với ��0; � x tan với �� � 2� � 2� Nếu x �0 , ta đặt : � � � � x tan với �� ;0 �hoặc x cot với �� ; � �2 � �2 � 4) Nếu x, y thỏa mãn điều kiện a x b y c với a, b, c , ta : 2 �ax � �by � � � � � �c � �c � đặt �ax � c sin sin x � � �c � a � với � 0; 2 � � c cos by �y � cos � �c b Trong trường hợp cần sử dụng tới dấu x y ta hạn chế góc Ngoài học sinh cần nắm vững cách giải phương trình lượng giác Chú ý : Vì hàm lượng giác tuần hoàn nên đặt điều kiện biểu thức lượng giác thật khéo léo cho lúc khai khơng có giá trị tuyệt đối, có nghĩa ln dương 5) Các biểu thức thường lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức a2 x2 � � ; x a sin với �� x a cos với � 0; �2 2� � x2 a2 x a sin � � ; \ 0 x với �� �2 2� � a cos với � 0; \ � � x a tan với �� ; �hoặc x a cot với � 0; � 2� 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Hầu hết học sinh kể với học sinh giỏi em cảm thấy “ngại” gặp toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhỏ nhất.Quá trình giảng dạy trường THPT Quan Hóa giúp tơi thấy thực trạng đáng buồn gần 100% học sinh xem “khơng có” bất đẳng thức việc học tập ôn luyện mơn tốn Qua tìm hiểu khảo sát với câu hỏi “Bất đẳng thức gì? Có quan tâm đến toán bất đẳng thức kỳ thi hay không?” nhận kết sau: a2 x2 Trả lời Khơng biết, Biết chút Có quan tâm Biết, quan tâm không quan không thấy muốn tâm quan tâm khó nghiên cứu 81 11 Số HS hỏi 100 Từ thực tế “đáng buồn” dẫn đến việc giáo viên học sinh thường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏ đến kết cuối việc thi cử Với mong muốn phần khắc phục vấn đề tơi thực thí điểm đề tài lớp 11A1, 11A4 tiết tự chọn sẵn có 2.3 Các giải pháp Để thay đổi hình thức tốn từ việc chứng minh bất đẳng thức đại số thành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực theo bước sau đây: -Bước 1: Từ toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ toán bất đẳng thức đại số toán bất đẳng thức lượng giác -Bước 2: Thực việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác Chú ý: Để thực đề tài cách hiệu quả, ta phân loại thành dạng cụ thể, qua cách phân loại áp dụng đề tài giảng dạy cho học sinh học sinh dễ dàng tiếp thu hình thành kỹ sử dụng lượng giác vào chứng minh số toán bất đẳng thức đại số cách rõ ràng Trong khuôn khổ đề tài phân thành số dạng sau: 1- Dạng 1: Nếu cho x �1 Ta đặt: x cos với �[0;π] π π 2 ( đặt x sin với �[ ; ] ) Các ví dụ minh họa dạng 1: Ví dụ 1: Chứng minh x3 (1 x )3 3( x x ) � (1) Giải Điều kiện: – x2 x Đặt x = cos với [0; ] Khi bất đẳng thức (1) biến đổi dạng: cos3 (1 cos 2 )3 3(cos cos 2 ) � (2) 4(cos3 - sin3) – (cos - sin) (4cos3 - 3cos) + (3sin - 4sin3) cos3 + sin3 π cos(3α- ) �1 (đúng) Vậy (1) chứng minh Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x cos , ta chuyển chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) Sử dụng kiến thức lượng giác ta chứng minh bất đẳng thức (2), có nghĩa bất đẳng thức (1) chứng minh Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Chứng minh : (1) 1 � x x x �9 Giải Điều kiện: x �1 Đặt: x = cos với � � Khi (1) trở 5 � x x 4(2 x 1) �5 thành: cos cos2 4( cos2 1) 5 sin 2 cos 2 5 (luôn đúng) Thật theo BĐT 3sin 2 4cos 2 � 32 sin 2 cos 2 Vậy (1) chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh : Bunhiacopxki 2hx x k (2 x 1) � h2 k (1) Giải Điều kiện: x �1 Đặt: x = cos với � � Khi (1) trở thành: 2h cos sin k (2 cos 1) � h k � h.sin 2 k cos 2 � h k (2) Theo BĐT Bunhiacơpski (2) ln đúng, (1) chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh : Nếu x �1 y �1 xy (1 x )(1 y ) ( x 1)( y 1) 1 (1) Giải Từ giả thiết: x �1, y �1 nên ta đặt x cos , y cos với , 0; Khi (1) trở thành: cos cos sin sin cos 2 cos �1 sin 2 sin cos 2 cos 1 cos(2 ) 1 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh 2- Dạng 2: Nếu cho x �a (a �0) Ta đặt: x a cos với �[0;π] π π ( đặt x a sin với �[ ; ] ) 2 Các ví dụ minh họa dạng 2: Ví dụ 1: Chứng minh : x x �15 (1) Giải Điều kiện: x �3 ; Đặt x = 3sin với 2 Khi (1) trở thành : 9sin 4.3.sin �15 cos 12 sin 15 (luôn ) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: với a >0 h a x kx a h k (1) Giải Điều kiện: x �a Đặt: x asin với ; 2 Khi (1) trở thành: h a a sin ka sin �a h2 k a h cos k sin a h k h cos k sin h k (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 3: Với a > Chứng minh 2hx a x k ( x a ) a h k (1) Giải Điều kiện: x �a Đặt: x acos với � 0; Khi (1) trở thành: 2ha.cos a (1 cos ) ka (2 cos 1) �a h k � a 2h.cos sin k cos 2 �a h k � h sin 2 k cos 2 � h k Vậy (1) chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh : Với a > 0, ta có h( x x y y a x ) k ( xy (a x )(a y ) �a h k (1) Giải Điều kiện: x �a, y �a Đặt: Khi ; 2 x = a sin , y = a sin với , (1) trở (sin cos sin cos ) ka (sin sin cos cos ) �a 2 thành: h k 2 a h sin( ) k cos( ) a h k (luôn ) h sin( ) k cos( ) h k Vậy (1) chứng minh 3- Dạng 3: Nếu cho x +y =1 Ta đặt: x cos y sin ( đặt x sin y cos ) Các ví dụ minh họa dạng 3: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu x2+y2 = x y Giải �x cos Vì x2+y2 = 1, nên ta đặt: � Khi đó, ta có: �y sin x y = cos sin sin( ) � 2 2 Ví dụ 2: Cho x + y = ; u + v = Chứng minh a) xu + yv b) xv + yu c) –2 (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) Giải Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb a, b 2 Khi a) xu + yv=cos(a – b) b) xv + yu=sin(a + b) c) (x – y)(u + v) + (x + y) (u – v)=(cosa – sina)(cosb+sinb)+(cosa + sina)(cosb – sinb) sin( a) sin( b) 2cos( a) 2cos( b) = 2cos(a + b) 4 4 Rõ ràng –2 2cos(a + b) nên –2 (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với a, b ta có (a b)(1 ab) (1) (1 a )(1 b2 ) Giải a b ab ) ( ) 1 Ta có : ( 2 2 (1 a )(1 b ) (1 a )(1 b ) ab ab sin , cos Nên ta đặt: (1 a )(1 b ) (1 a )(1 b ) (1) ۣ ab (1 a )(1 b ) ab (1 a )(1 b ) 1 sin cos sin 2 sin 2 1 2 Vậy (1) chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với x , y ta có : (ln đúng) x (1 y ) y (1 x ) 1 (1 x )(1 y ) (1) Giải Ta có : y y2 2 x x2 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 , ( y2 y2 x2 x2 Nên ta đặt: 2x x2 cos , sin x2 x2 2y 1 y2 cos , sin 1 y2 1 y2 Khi (1) trở thành : cos sin cos sin 1 sin( ) 1 (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 5: Cho a �1, b �1 Chứng minh : 1 1 2 2 1 b ab a ab (1) Giải (1) Ta có: a b2 1 ab � a2 2 ( ) ( ) 1 , a a a2 1 b2 1 �1 a b b a (2) b2 2 ( ) ( ) 1 b b a2 1 nên ta đặt: cos , sin , a a b 1 cos , sin b b Khi (2) trở thành: cos sin sin cos 1 sin( ) 1 (luôn đúng) Vậy (2) nên (1) chứng minh 4- Dạng 4: Nếu cho x +y =a Ta đặt: x a cos y a sin ( đặt x a sin y a cos ) Các ví dụ minh họa dạng 4: Ví dụ 1: Cho x y Chứng minh 3x xy y �20 (1) 10 Giải Đặt: x cos , y 2sin 12 cos 32sin cos 12sin �20 Khi (1) trở thành : � 12(cos sin ) 16.2sin cos �20 � 12 cos 2 16sin 2 �20 (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 2: Cho x y R Chứng minh hx 2kxy hy �R h k Giải Đặt: x R cos , (1) y R sin Khi (1) trở thành: hR (cos sin ) kR 2sin cos �R h k � R h cos 2 k sin 2 �R h k � h cos 2 k sin 2 � h k (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 3: Cho x y Chứng minh : x3 3x y y �2 (1) Giải Đặt: x cos , y 2sin 3 Khi (1) trở thành : 8cos cos 6sin 8sin �2 � 2(4 cos 3cos ) 2(3sin 4sin ) �2 � cos 3 2sin 3 �2 (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh 5- Dạng 5: Nếu cho (ax) + (by) = Ta đặt: ax = sin , by = cos ( đặt ax = cos , by = sin ) Các ví dụ minh họa dạng : Ví dụ 1: Cho 4x + 9y = 25 Chứng minh x 12 y 25 (1) Giải 4x + 9y = 25 Đặt: sin � ( 2x y ) ( ) 1 5 3y 2x , cos = 5 11 5 sin 12 cos �25 � 15sin 20 cos �25 (ln đúng) Khi (1) trở thành : Vậy (1) chứng minh x2 y2 Ví dụ 2: Cho 1 Chứng minh ax by a 2 b2 Giải (1) x � sint � �x sint � �� Đặt: � y �y cost � cost � a sin t b cos t � a 2 b Khi (1) trở thành: (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh 2 Ví dụ 3: Cho x y Chứng minh : x y 12 xy � 12 (1) Giải Đặt : 2x = cos , 3y = sin 2 Khi (1) trở thành : cos sin 2sin cos � � cos 2 sin 2 � (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 4: Cho a x b y Chứng minh : h( a x b2 y ) k 2abxy h k (1) Giải Đặt: ax = cos , by = sin Khi (1) trở thành: h(cos sin ) k 2sin cos � h2 k � h cos 2 k sin 2 � h k ( ) Vậy (1) chứng minh 6- Dạng 6: Nếu cho x �a, (a �0) a � � với �[0; ] \ � � cos �2 a ( đặt x = với �[ ; ] \ 0 ) 2 sin Ta đặt: x= Các ví dụ minh họa dạng 6: 12 Ví dụ 1: Cho x �1 Chứng minh : Giải Vì giả thiết x �1 nên ta đặt x x 1 = x Ta có � x2 1 x x2 1 �2 x (1) � � � � , �� 0; ��� ; � cos � � �2 � 1 cos = cos (tan + ) = cos cos sin cos sin �2 (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 2: Cho x �1 Chứng minh rằng: x2 1 � 1 x Giải Vì x �1 nên ta đặt x (1) � � � � , t �� 0; ��� ; � cos t � � �2 � x2 1 cost (tan t ) cost sin t x � x2 1 cos t sin t � x (ln đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 3: Cho x � Chứng minh rằng: x2 2 2 � x Giải Vì x � nên ta đặt x (1) � � � � , t �� 0; � �� ; � cos t � � �2 � 13 x2 tan t x cos t = cos t ( tan t ) sin t cos t 2 = (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 4: Cho a �1, b �1 Chứng minh rằng: a b2 ab (1) Giải (1) ۣ a b2 ab Vì a �1, b �1 nên ta đặt a Khi (2) trở thành : (2) 1 � � � � , b 0; ��� ; � với , �� cos cos � � �2 � tan tan �1 cos cos � cos cos (tan tan ) �1 � sin( ) �1 Vậy (2) nên (1) chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh rằng: x �2 x (luôn đúng) (1) Giải Điều kiện: x2 – x 1 Đặt: x = , với [0; ) cos Khi bất đẳng thức (1) biến đổi dạng: 2 tg cos cos cos sin + cos sin + cos 2 sin ( + ) (luôn đúng) Vậy (1) chứng minh 14 Ví dụ 6: Cho a 1 Chứng minh : 12 a 4 � �9 a2 Giải Đặt a Khi � � � � , t �� 0; ��� ; � cos t � � �2 � A= 12 a (5 12 tan t ) c os 2t 5cos t 12sin t.cos t a 5 (1+cos2t) 6sin2t = cos2t 6sin2t 2 13 5 Vì cos 2t sin 2t ( ) 62 = 2 Nên 13 13 �A � � 4 �A �9 2 2 Ví dụ 7: Cho x c Chứng minh a a b 2c a b x2 c2 a a b 2c ( ) � � ( ) c2 2 x2 c2 2 Giải Vì x c nên đặt : x = c , với t 0; ; cos t 2 2 a bc tan t ( a bc tan t ) cos2 t c c cos t 1 a 2 = ( a cos t bc tan t cos t ) [ (1 cos 2t ) bc sin t.cos t ] c c a = [ (a cos 2t bc sin 2t )] c 2 a b x c2 Khi A = = x2 Vì a cos 2t bc sin 2t a b2 c nên a a b2c a a b 2c ( ) �A � ( ) c2 2 c 2 7- Dạng 7: Nếu cho x �� 2 (hoặc ta đặt x = cot với �(0; ) ) Ta đặt: x = tan với �( ; ) Các ví dụ minh họa dạng 7: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Với x ta có 15 x 24 x �13( x 1) (1) Giải 5( x 1) 24 x 13 Ta có (1) x2 Đặt x = tan với (2) �( ; ) 2 Khi (2) trở thành 5(tan 1) 12.2 tan 5cos 2 12sin 2 �13 tan Vậy (2) nên (1) chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh : Với x ta có ax 2kbx k 2a a b2 ( x k ) (1) Giải a ( x k ) 2kbx a b2 2 x k Đặt x = k tan với �( ; ) 2 (1) (2) Khi (2) trở thành: ak (tan 1) 2k 2b tan a cos 2 b sin 2 � a b 2 k (tan 1) Vậy (2) nên (1) chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh (a + b)4 8(a4 + b4) (1) Giải *Với a = 0: bất đẳng thức hiển nhiên *Với a 0: chia hai vế cho a4 � b� � b 4� (2) (1) � � ��8 � 1 ( ) � a a � � � � b đặt tan = với – < < a 2 Bất đẳng thức (2) trở thành: (1 + tan )4 8(1 + tan4 ) (cos + sin )4 8(cos4 + sin4 ) 8(cos4 + sin4 ) – (cos + sin )4 (3) sin 2 cos 4 4 4 2 2 2 2 Vì sin + cos = (sin + cos ) – 2sin cos = 16 4sin 2 cos 4 Nên: 8(cos4 + sin4 ) – (sin + cos )4 = cos4 – 2sin2 2 Điều hiển nhiên cos4 –1 –2sin2 –2 nên (3) Vậy (1) chứng minh 2.4 Hiệu sáng kiến Qua việc thực đề tài với em học sinh, thấy đề tài: + Ngoài phương pháp chứng minh bất đẳng thức biết, đề tài trang bị cho học sinh thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số cách sử dụng kiến thức lượng giác Đơi số tốn giải theo cách khác việc giải phức tạp sử dụng kiến thức lượng giác vào giải tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên để áp dụng lượng giác vào chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức vềlượng giác, kiến thức bất đẳng thức + Với việc ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số truyền cho học sinh sáng tạo cách học toán, truyền thêm say mê toán học + Với việc ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số đề tài, từ cách tương tự ta vận dụng vào giải số toán đại số khác: chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, giải phương trình, giải hệ phương trình… vận dụng lượng giác giải số tốn hình học Nói cách khác đề tài gợi ý cho ta giải nhiều tốn đại số, hình học dựa vào lượng giác + Thực đề tài với em học sinh lớp 11A1, 11A4 dạy, thấy em hứng thú học tập trang bị cho em thêm phương pháp giải toán bất đẳng thức đề tài thật có ích học sinh Đề tài áp dụng việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; bồi dưỡng đội tuyển, ôn thi Đại học Tuy nhiên để đạt hiệu cao giảng dạy cho học sinh giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là: gặp tốn có dấu hiệu dùng phương pháp lượng giác, đề tài tơi phân loại số dạng toán nhằm tạo cho học sinh nhận biết cách làm dễ dàng, qua hình thành kỹ dùng lượng giác để giải toán KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên số suy nghĩ sau viết nên đề tài này, đề tài mà tơi thực mong đóng góp đồng nghiệp để giúp học sinh thấy mối liên hệ đại số lượng giác với quan trọng có thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số, qua áp dụng giải dạng tốn khác nhau, mục đích mà tơi muốn vươn tới đề tài Tuy nhiên trình (sin + cos )4 = (1 + sin2 )2 = 17 thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài tơi hồn thiện * Kiến nghị đề xuất: - Với nhà trường: Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện để học sinh giáo viên có nhiều tài liệu, sách tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường tổ chức nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, tổ chức buổi trao đổi chuyên môn với trường bạn, mời chuyên viên Sở giáo dục truyền đạt lại số kinh nghiệm dạy học - Với Sở giáo dục đào tạo: Tổ chức đợt tập huấn chun mơn cho giáo viên để nâng cao trình độ Trên đề tài nghiên cứu khoa học tơi Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hà Thị Nga 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Phương (2009), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức [2] G Polya (1978), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục [3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Lê Hữu Trí (2006), Các phương pháp giải phép lượng giác hóa, NXN Hà Nội [4] Võ Thanh Vân, Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2010), Chuyên đề ứng dụng hàm số lượng giác phương trình lượng giác giải tốn THPT, NXB Đại học sư phạm [5] Phan Đức Chính(1997), Một số phương pháp chọn lọc giải tốn sơ cấp , NXB Giáo dục [6] Ngơ Long Hậu, Trần Thanh Phong, Nguyễn Đình Thọ (2011), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng tồn quốc, NXB Hà Nội [7] Tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2014-2015, NXB Giáo dục 19 PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 � Bài : Cho a , b Chứng minh : 2 a b ab Bài 2: Chứng minh x [ (1 x)3 (1 x)3 ] �2 x Bài 3: Cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2) 49 29 Bài 5: Cho hai số thực x, y dương thỏa: x+y=2 3 3 Chứng minh rằng: x y ( x y ) �2 (India MO 2003) Bài 6: Cho a, b, c cạnh tam giác, x y thoả mãn ax + by = c c2 2 Chứng minh rằng: x +y a b2 Bài 7: Cho x2 + y2 = Chứng minh : x6 + y6 2 Bài 8: Cho x + y = Chứng minh rằng: 16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y) 3x 2 �1 Bài 9: Cho x + y = Chứng minh rằng: 2+y Bài 4: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = Chứng minh rằng: x2 + y2 Bài 10: Cho xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x y z 3 2 2 1 x 1 y 1 z Bài 11: Cho a Chứng minh rằng: –2 a a 20 � x, y , z Bài 12: Cho số x, y , z thoả mãn � �xy yz zx Chứng minh : x y z 3 � x2 y2 z2 Bài 13: Cho liên a, b, c, d hệ a c d , b d c Chứng minh a b �1 Bài 14: Cho a, b, c > thỏa mãn a b c Chứng minh (Poland 1999) a b c 3abc �1 x y z �x, y, z � Bài 15: Cho � Chứng minh x yz y zx z xy �x y z Bài 16: Cho a, b, c �(0;1) thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2 � ( ) a2 b2 c2 a b c Bài 17: Cho , i = 1, 2, …, n Chứng minh (1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) 22 Bài 18: Cho số dương a 1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh chọn số cho: a j 0 0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: 1 1 1 �6 a b b c c a (Ukraine 2005) 21 ... đề tài: ‘ Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại... chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức v lượng giác, kiến thức bất đẳng thức + Với việc ứng dụng lượng giác việc chứng minh bất đẳng thức đại số truyền cho học. .. (1) chứng minh Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ tốn bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x cos , ta chuyển chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) Sử dụng kiến thức lượng giác ta chứng minh bất đẳng
Ngày đăng: 22/10/2019, 08:33
Xem thêm: Một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thứ
