Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để giải một số bài toán nhị thức newton

“Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến .3 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.2.Một số ví dụ vận dụng …………… 2.3.3 Hệ thống tập tự luyện………………………………………………11 2.4 Hiệu sáng kiến .12 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 13 3.1 Kết luận 13 3.2 Kiến nghị .14 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ A.ĐẶT VẤN ĐỀ Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trước chương Đại số tổ hợp chương cuối chương trình Giải tích lớp 12 Khi học sinh học qua cơng cụ mạnh đạo hàm, tích phân Vì vậy, người ta kết hợp lý thuyết nhị thức Newton với cơng cụ đạo hàm, tích phân để đưa nhiều tốn khó tổng số tổ hợp, mà chúng xuất nhiều đề thi Đại học – Cao Đẳng Hiện chương Đại số tổ hợp xếp vào cuối học kì lớp 11 Do đó, theo truyền thống, muốn giải toán học sinh phải đợi đến cuối năm học lớp 11( lúc học đạo hàm) cuối năm học lớp 12( lúc học tích phân) Tuy nhiên sách giáo khoa lớp 11 có viết đơi tổng chứa số tổ hợp đơn giản Điều khiến cho học sinh ham tìm hiểu quan tâm đến toán dạng tài liệu tham khảo, với thực tế năm có nhóm học sinh lớp 11 hỏi toán dạng Mỗi lần vậy, việc phải trả lời em sau em có đủ kiến thức để giải làm lịng tơi thấy áy náy chưa làm thỏa mãn tính hiếu học em Chính vậy, với mong muốn đáp ứng ham học hỏi học sinh lớp 11 học nhị thức Newton, nghiên cứu viết đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh 1.2 Mục đích nghiên cứu Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận làm quen với cách học, cách làm nhanh toán nhị thức Newton , từ phát huy tối đa hiệu làm bài, nhằm đạt kết cao Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn định hướng để học sinh đưa hướng giải tự nhiên phù hợp với kiến thức học “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ học sinh lớp 11 tốn có liên quan đến việc tính tổng số tổ hợp chưa học đạo hàm, tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức nhị thức Newton - Kiến thức đạo hàm, tích phân hàm số - Học sinh lớp 11A, 12A năm học 2019 – 2020 trường THPT Nga Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Hai tính chất số tổ hợp k k −1 +) kCn = nCn −1 +) ( ≤ k ≤ n) 1 Cnk = Cnk++11 ( ≤ k ≤ n ) k +1 n +1 2.1.2 Đạo hàm số hàm số +) ( C ) = +) ( u ± v ) = u / ± v / +) ( x ) = +) ( uv ) = u / v + uv / / / +) ( x n ) = n.x n−1 ( n ∈ N , n > 1) 2.1.3 Nguyên hàm số hàm số / +) ∫ xα dx = xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 / / +) ( u n ) = n.u / u n −1 ( n ∈ N ,n > 1) / +) ∫ uα du = uα +1 + C , α ≠ −1 α +1 2.1.4 Định nghĩa tích phân “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ Cho hàm số f (x) liên tục đoạn  a;b Giả sử F (x) nguyên hàm b f (x) đoạn  a; b Khi đó: ∫ f (x)dx = F ( x) = F ( b) − F ( a) a b a 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ Sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton” cần thiết lí sau: Thứ nhất: Mơn Tốn có thay đổi việc viết sách giáo khoa: Ngày trước chương Đại số tổ hợp chương cuối chương trình Giải tích lớp 12 chương Đại số tổ hợp xếp vào cuối học kì lớp 11, từ địi hỏi học sinh lớp 11 phải giải tốn liên quan đến tính tổng số tổ hợp mà chưa phép sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân Thứ hai: Ngồi việc trực tiếp giải dạng tập học sinh cần nắm vững kiến thức đạo hàm, tích phân … nhiều kiến thức có liên quan khác Trong viết này, tơi đưa số tốn nhị thức Newton có liên quan đến tính tổng số tổ hợp , thấy kết đạt tốt phù hợp đối tượng học sinh trường 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan Các khai triển bản: n • ( + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + x3Cn3 + + x nCnn Với x = , ta có: Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn = 2n • ( − x ) = Cn0 − xCn1 + x Cn2 − x 3Cn3 + + ( −1) x n Cnn n n Với x = , ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + ( −1) Cnn = n • C20n + C22n + C24n + + C22nn = C21n + C23n + C25n + + C22nn −1 = 22 n −1 Hai tính chất : • kCnk = nCnk−−11 ( ∗) , ( ≤ k ≤ n ) “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ 1 Cnk = Cnk++11 ( ∗ ∗) , ( ≤ k ≤ n ) k +1 n +1 2.3.2 Một số ví dụ áp dụng • • Sử dụng tính chất kCnk = nCnk−−11 số toán nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước số tổ hợp có dạng: Tăng dần từ 1, 2,3, , n giảm dần từ n, n − 1, n − 2, , 2,1 Tức hệ số • khai triển có dạng kCnk Là tích số tự nhiên liên tiếp: 1.2; 2.3;3.4; ; ( n − 1) n Tức hệ số • k khai triển có dạng k ( k − 1) Cn Hoặc hệ số biến đổi để đưa dạng Các bước thực hiện: Chứng minh tính chất kC k = nC k −1 ( ∗) ( ≤ k ≤ n ) n n −1 • n ( n − 1) ! n! k = = nCnk−−11 Thật vậy: kCn = k k !( n − k ) ! ( k − 1) !  n − − ( k − 1)  ! • ( ≤ k ≤ n) Áp dụng lần nhiều lần tính chất ( ∗) để đưa tổng cần tính tổng đơn giản Ví dụ 12 Rút gọn tổng sau: S = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước số tổ hợp tăng dần từ 1, 2,3, , n nên xử lí tốn theo hai cách: phương pháp đạo hàm sử dụng tính chất ( ∗) để giải toán.Cụ thể cách giải sau: Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp đạo hàm n Ta có: ( + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + x3Cn3 + + x nCnn , ∀x ∈ ¡ , n ∈ ¥ ∗ Đạo hàm bậc hai vế, suy ra: n −1 n ( + x ) = Cn1 + xCn2 + 3x 2Cn3 + + nx n −1Cnn , ∀x ∈ ¡ , n ∈ ¥ ∗ Cho x = , ta được: n ( + 1) n −1 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn , n ∈ ¥ ∗ Khi đó: S = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n.2n −1 Cách 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp Số hạng tổng quát tổng có dạng kCnk “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số tốn nhị thức Newton’’ Áp dụng tính chất ( ∗) ta có: kCnk = nCnk−−11 , ( ≤ k ≤ n ) n −1 Khi đó: S = n ( Cn −1 + Cn −1 + Cn −1 + + Cn −1 ) = n ( + 1) n −1 = n.2n −1 Nhận xét: • Cách thứ phổ biến, mang tính chất truyền thống học sinh thường lúng túng đưa nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, tổng phức tạp cần sử dụng đạo hàm cấp 2, cấp 3, Mặt khác, chương trình học: “ Nhị thức Newton ’’ học trước chương “ Đạo hàm ” nên muốn giải toán theo cách học sinh phải học chương Đạo hàm trình & khảo Giải số tích Ví dụở1 cuối chương tham khảo từ tàiĐại liệusố tham 11 • Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình học, tự nhiên áp dụng nhiều dạng tập tương tự, phức tạp Ví dụ 23 Tìm số nguyên dương n ( ≤ n ∈ ¥ ) thỏa mãn: 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + ( 3n + ) Cnn = 1600 Phân tích: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn tổng vế trái Số hạng tổng quát VT chưa có dạng kCnk , nhiên phép biến đổi đơn giản ta đưa tổng mà số hạng tổng quát có dạng Lời giải k k k Số hạng TQ tổng VT là: ( 3k + ) Cn = 3k Cn + 2.Cn , ( ≤ k ≤ n ) Như vậy, VT tách thành tổng đơn giản hơn: VT = ( Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn ) + ( Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn ) = 3n.2n −1 + 2.2n = 2n −1 ( 3n + ) Theo ta có: 3n + = 25 n −1  n + = 25.2 ( )   2n −1 ( 3n + ) = 1600 ⇔  ⇒ n − = ⇔ n = 5 ≤ n ∈ ¥ 5 ≤ n ∈ ¥  Vậy: n = giá trị cần tìm Nhận xét: Sau tách VT thành tổng đơn giản, tính tổng số hạng VT theo n, sau ta tìm n cách đồng hai vế phương trình Ví dụ 33: Tìm số nguyên dương n cho: C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + + ( 2n + 1) 22 n C22nn++11 = 2021 Lời giải Áp dụng tính chất ( ∗) ta có: kC2kn +1 = ( 2n + 1) C2kn−1 , ( ≤ k ≤ 2n + 1) VT = ( 2n + 1) ( C20n − 21 C21n + 22 C22n − 23 C23n + + 22 n C22nn ) “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ = ( 2n + 1) ( − ) = 2n + Theo ra, ta có: 2n + = 2021 ⇔ n = 1010 Nhận xét: Tương tự ví dụ 3, rút gọn tổng VT giải phương trình bậc để tìm n Ví dụ 43: Tính tổng sau n a S1 = 2.1.Cn + 3.2.Cn + 4.3.Cn + + n ( n − 1) Cn 2n 2020 + 22.C2020 + 32.C2020 + + 20202 C2020 b S2 = 12.C2020 n c S3 = 1.2.3.Cn + 2.3.4Cn + 3.4.5Cn + + ( n − ) ( n − 1) nCn Ví dụ 2,3,4 tham khảo từ tài liệu tham khảo số Phân tích: Các tổng trên, dạng, giúp thành thạo việc áp dụng tính chất số tổ hợp để tính tổng phức tạp, cụ thể cách tính sau: Lời giải k a Số hạng tổng quát tổng có dạng ( k − 1) k Cn Áp dụng tính chất ( ∗) liên tiếp hai lần ta có: ( k − 1) k Cnk = n ( k − 1) Cnk−−11 = n ( n − 1) Cnk−−22 , ( ≤ k ≤ n ) Khi đó: n−2 S1 = n ( n − 1) ( Cn0− + Cn1− + Cn2− + + Cnn−−22 ) = n ( n − 1) ( + 1) = n ( n − 1) n − k b Số hạng tổng quát tổng có dạng k C2020 k k k k −1 k −1 Ta có: k C2020 = k ( k − 1) C2020 + kC2020 = 2020 ( k − 1) C2019 + 2020C2019 k −2 k −1 = 2020.2019C2018 + 2020C2019 , ( ≤ k ≤ 2020 ) 1 2018 Vậy: S2 = C2020 + 2020.2019 ( C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 ) 2019 +2020 ( C2019 + C2019 + + C2019 ) = 2020.2019 ( + 1) + 2020 + 2020 ( + 1) − 1   2018 2019 2018 = 2020.2019.2 + 2020.2 = 2020.2021.2 k c Số hạng tổng quát tổng có dạng ( k − ) ( k − 1) k Cn Áp dụng tính chất ( ∗) liên tiếp ba lần ta có: ( k − ) ( k − 1) k.Cnk 2018 2019 = n ( k − ) ( k − 1) Cnk−−11 = n ( n − 1) ( k − ) Cnk−−22 = n ( n − 1) ( n − ) Cnk−−33 , ( ≤ k ≤ n ) Vậy: S3 = n ( n − 1) ( n − ) ( Cn0−3 + Cn1−3 + + Cnn−−33 ) = n ( n − 1) ( n − ) ( + 1) n −3 = n ( n − 1) ( n − ) 2n −3 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ Nhận xét: Nhìn vào số hạng tổng , ta xác định số hạng tổng quát áp dụng tính chất ( ∗) để biến đổi Tùy thuộc vào tốn, áp dụng tính chất ( ∗) liên tiếp hai, ba lần để dãy tổng đơn giản quen thuộc Từ đó, dễ dàng rút gọn tính tổng cho theo u cầu tốn Ví dụ 53: Chứng minh rằng, ∀n ∈ ¥ ∗ ta có: (C ) n + ( Cn2 ) + + n ( Cnn ) = nC2nn −1 2 PhânVítích: dùng khó phức tạp dụ 5Bài đượctoán thamnày khảo từ tài liệuđạo thamhàm khảota sốthấy sử dụng tính chất ( ∗) toán giải cách nhẹ nhàng Lời giải Số hạng tổng quát tổng VT có dạng k ( Cnk ) ,1 ≤ k ≤ n Áp dụng tính chất ( ∗) ta có: k ( Cnk ) = k Cnk Cnk = n.Cnk−−11.Cnk , ≤ k ≤ n VT = n ( Cn0−1 Cn1 + Cn1−1 Cn2 + + Cnn−−11.Cnn ) = n ( Cnn−−11 Cn1 + Cnn−−12 Cn2 + + Cn0−1.Cnn ) Đẳng thức cần chứng minh trở thành: Cnn−−11 Cn1 + Cnn−−12 Cn2 + + Cn0−1 Cnn = C2nn −1 ( I ) Việc chứng minh đẳng thức (I) khơng khó khăn Thật vậy: n −1 n n −1 Xét khai triển ( + x ) ( + x ) = ( + x ) Trong khai triển ( + x ) ( + x ) hệ số x n Cnn−−11 Cn1 + Cnn−−12 Cn2 + + Cn0−1 Cnn ( 1) n −1 n n Trong khai triển ( + x ) hệ số x n C2 n −1 ( ) Từ ( 1) ( ) suy đẳng thức ( I ) chứng minh, tức đẳng thức ban đầu chứng minh Nhận xét: Trong tốn trên, sau áp dụng tính chất ( ∗) ta cịn sử dụng tính n −1 k n −k chất Cn = Cn , ( ≤ k ≤ n ) mảng kiến thức “ Đồng hệ số” khai triển nhị thức Newton để xử lí tốn Đây mảng kiến thức hay dùng để giải tốn tính tổng số tổ hợp phức tạp, dạng toán xuất đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Thanh Hóa 1 Cnk = Cnk++11 số tốn nhị thức Sử dụng tính chất k +1 n +1 Newton Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước số tổ hợp có dạng: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ 1 1 , tức hệ số khai triển có dạng , , , , Cnk n +1 k +1 1 1 Tức hệ số khai triển có dạng Cnk • 1.2 , 2.3 , 3.4 , , n ( n + 1) k ( k + 1) Hoặc hệ số biến đổi để đưa dạng • • Các bước thực hiện: 1 k C = Cnk++11 ( ∗ ∗) ( ≤ k ≤ n ) n • k +1 n +1 ( n + 1) ! n! Cnk = = Thật vậy: k +1 ( k + 1.) k !( n − k ) ! ( n + 1) ( k + 1) ! n + − ( k + 1)  ! Chứng minh tính chất Cnk++11 ( ≤ k ≤ n ) n +1 Áp dụng lần nhiều lần tính chất ( ∗ ∗) để đưa tổng cần tính tổng đơn = • giản Ví dụ : Tính tổng 2020 C2020 C2020 C2020 C2020 S= + + + + 2021 Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước số tổ hợp có dạng , , , , 2021 nên xử lí tốn theo hai cách: phương pháp tích phân sử dụng tính chất ( ∗ ∗) để giải toán Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân 2020 2020 + xC2020 + x C2020 + x3C2020 + + x 2020 C2020 Ta có: ( + x ) = C2020 Suy ra: ∫ ( 1+ x) ⇔ ( + x) 2021 2021 2020 1 2020 dx = ∫ ( C2020 + xC2020 + x 2C2020 + x 3C2020 + + x 2020C2020 ) dx  x2 x3 x4 x 2021 2020  =  xC2020 + C2020 + C2020 + C2020 + + C2020 ÷ 2021  0 C2020 C2 C3 C 2020 22021 − + 2020 + 2020 + + 2020 = 2021 2021 Cách 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp ⇔ S = C2020 + “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ k C2020 Số hạng tổng quát tổng có dạng k +1 k k +1 Áp dụng tính chất ( ∗ ∗) ta có: C2020 = C2021 , ≤ k ≤ 2020 k + 2021 1  2021 − 2021 2021  C + C + + C = + − = Vậy: S = ( ) ( 2021 2021 2021 )  2021 2021  2021 Nhận xét: • Cách thứ phổ biến, mang tính chất truyền thống học sinh thường lúng túng đưa nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, đồng thời sau đưa biểu thức để lấy tích việc chọn cận gây nhiều khó khăn cho em Mặt khác, chương trình học: “ Nhị thức Newton ’’ dụở6 chương tham khảoĐại từ tài số 4cịn “Tích phân” phải đến kì Ví học trình sốliệu & tham Giải khảo tích 11, chương trình Giải Tích 12 học sinh học, hai mảng kiến thức cách xa mặt thời gian nên dễ gây khó khăn định cho học sinh • Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình học, tự nhiên áp dụng nhiều dạng tập tương tự, phức tạp 1 n −1 22 n − Ví dụ : Chứng minh C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = 2n 2n + 1 1 Phân tích: Hệ số đứng trước số tổ hợp có dạng , , , , nên 2n xử lí tốn cách áp dụng tính chất ( ∗ ∗) , áp dụng chọn giá trị k số lẻ, cụ thể sau: Lời giải C2kn , k ∈ { 1;3;5; ; 2n − 1} Số hạng tổng quát VT có dạng k +1 1 Áp dụng tính chất ( ∗ ∗) ta có: C2kn = C2kn++11 , k ∈ { 1;3;5; ; 2n − 1} k +1 2n + 1 C22n +1 + C24n +1 + + C22nn+1 ) Vậy: VT = ( 2n + 1 = C20n +1 + C22n +1 + C24n +1 + + C22nn+1 − 1) = 22 n − 1) = VP → ( ( 2n + 2n + đpcm Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, số hạng tổng quát tổng cho có dạng Cnk ,vì vậy, áp dụng tính chất ( ∗ ∗) Trong trường hợp số k +1 10 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ hạng tổng qt tổng chưa có dạng cần biến đổi trước áp dụng tính chất Cụ thể, ta xét ví dụ sau: 1 C22nn Ví dụ 82: Tính tổng S = C2 n + C2 n + C2 n + + 2n + Lời giải C22nk Số hạng tổng quát tổng có dạng 2k + Biến đổi số hạng tổng quát áp dụng tính chất ( ∗ ∗) ta có: 2k + 1 2k + 1 2k + − 1 C22nk = C22nk = C22nk++11 = C22nk++11 2k + 2k + 2k + 2k + 2 n + 2k + 2n + 1  k +1 1  k +1  k +1  = Ví dụ 7,8 C2từ = tham khảo C22nk++22 ÷ n +1 −tham khảo n +tài ÷liệu −  C2được  C2 n +số 2n +  2k + 2n +  2n +   1 = C22nk++11 − C22nk++22 , ( ≤ k ≤ n ) 2n + 2n + 2n + Vậy: 1 S= C21n +1 + C23n +1 + + C22nn++11 ) − C22n + + C24n + + + C22nn++22 ) ( ( 2n + ( 2n + 1) ( 2n + ) 22 n 22 n +1 − 2n + ( 2n + 1) ( 2n + ) Nhận xét: Trong tổng trên, số hạng tổng quát tổng cho chưa có dạng Cnk , vậy, để áp dụng tính chất ( ∗ ∗) , ta cần phải biến đổi số hạng k +1 tổng quát cách “thêm, bớt” hệ số số hạng, từ ta dãy tổng số tổ hợp quen thuộc để xử lí tính tổng cho = Ví dụ 93: Tính tổng 2  Cn0   Cn1   Cnn  S = ÷ +  ÷ + +  ÷      n +1 Phân tích: Bài tốn dùng tích phân ta thấy khó phức tạp sử dụng tính chất ( ∗ ∗) tốn giải cách nhẹ nhàng Lời giải  Cnk  Số hạng tổng qt tổng có dạng  ÷ ,0 ≤ k ≤ n k +   11 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ Áp dụng tính chất ( ∗ ∗) ta có: 2  Cnk  1 C k +1 = Cnk++11.Cnn+−1k ,0 ≤ k ≤ n  ÷ = ( n +1 ) ( n + 1) ( n + 1)  k +1 C1 Cnn+1 + Cn2+1 Cnn+−11 + + Cnn++11 Cn0+1 ) Khi đó: S = ( n +1 ( n + 1) ( + x ) ( + x ) = ( + x ) n +1 n +1 Trong khai triển ( + x ) ( + x ) hệ số n +1 Xét khai triển: n +1 2n+ x n +1 là: Cn0+1 Cnn++11 + Cn1+1 Cnn+1 + Cn2+1 Cnn+−11 + + Cnn++11 Cn0+1 = + Cn1+1.Cnn+1 + Cn2+1.Cnn+−11 + + Cnn++11.Cn0+1 ( 1) Trong khai triển ( + x ) Từ ( 1) , ( ) suy ra: 2n+ n +1 hệ số x n +1 là: C2 n + ( ) Ví dụ tham khảo từ tài liệu +tham Cn1+1 khảo Cnn+1 số + C3 n2+1.Cnn+−11 + + Cnn++11 Cn0+1 = C2nn++12 ⇔ Cn1+1 Cnn+1 + Cn2+1.Cnn+−11 + + Cnn++11 Cn0+1 = C2nn++12 − Vậy: S= ( n + 1) (C n +1 2n+ − 1) Nhận xét: Trong toán trên, sau áp dụng tính chất ( ∗ ∗) ta cịn sử dụng k n −k tính chất Cn = Cn , ( ≤ k ≤ n ) mảng kiến thức “ Đồng hệ số” khai triển nhị thức Newton để xử lí tốn Thơng qua phương pháp ví dụ tương ứng thấy, khơng có phương pháp Vạn năng, phương pháp có ưu điểm riêng, có toán ta cần sử dụng kết hợp nhiều phương pháp với để tìm lời giải kết cách nhanh Dưới hệ thống tập tự luyện để củng cố thêm kĩ xử lí tốn tính tổng số tổ hợp cho học sinh 2.3.3.Hệ thống tập tự luyện n Bài tập 1: Rút gọn tổng sau S = Cn + 2Cn + 3Cn + 4Cn + + ( n + 1) Cn Bài tập 2: Chứng minh 2.1.Cn1 + 3.2.Cn2 + + ( p + 1) p.Cnp + ( n + 1) n.Cnn = n ( n + ) n − 12 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ n   Bài tập 3: Tìm hệ số x khai triển  x8 + ÷ x   2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n ( n − 1) Cnn = 3584, ≤ n ∈ ¥ 14 , biết rằng: n Bài tập 4: Tìm n ∈ ¥ , biết 2Cn + 3Cn + 4Cn + + ( n + ) Cn = 320 1 Cnn Bài tập 5: Tính tổng S = Cn + Cn + Cn + + n +1 1 n −1 2 n − C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n = Bài tập 6: Chứng minh 2n 2n + 1 2 n n Bài tập 7: Tính tổng S = Cn + 2Cn + 6Cn + + ( n − n + ) Cn Bài tập 8: Tính tổng sau S = ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( n + n ) ( Cnn ) 2 Bài tập 9: Tính tổng S = ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + n ( Cnn ) 2 (C ) S= n (C ) + n 2 (C ) + + n n Bài Tínhđược tổngtham khảo từ tài liệu tham khảo số Bàitập tập10: 1,2, ,9 n +1 Bài tập 11: Tính tổng (C ) S= n (C ) + n (C ) n n + + 1.2 2.3 ( n + 1) ( n + ) 1 1 Cn + Cn + + Cnn Bài tập 12: Tính tổng S = 1.2 2.3 ( n + 1) ( n + ) n Bài tập 13: Tính tổng S = 3Cn + 4Cn + 5Cn + + ( n + ) Cn Bài tập 14:Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − + ( −1) n −1 nCnn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tế cho thấy, với cách làm tạo cho học sinh nhanh nhẹn, kiên trì, linh hoạt, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho phần toán Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ơn tập kiến thức tính chất số tổ hợp , học sinh tự giải tập tài liệu, đề thi học sinh giỏi tập 13 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ nằm đề thi thử THPT Quốc gia trường nước thời gian gần Đồng thời biết tự xây dựng cho phương pháp giải tập phù hợp với nội dung kiến thức học giải tập tương tự đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục đào tạo Qua tơi nhận thấy em học sinh thích phương pháp phương pháp truyền thống đồng thời hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, tơi phải mày mị nghiên cứu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực khá, giỏi lớp mà giảng dạy lớp 12A lớp 11A năm học 2019 – 2020 Với toán: Chứng minh rằng: n tham khảo số n −3 2.1.Cn1 + Bài 3.2.tập Cn2 10,11,12,13,14 + + ( p + 1) p.Cnptham + (khảo n + 1từ) tài n.Cliệu n = n ( n + 3) Tôi chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có lực học ngang nhau, làm theo hai cách: Cách 1: Sử dụng phương pháp đạo hàm Cách 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp Kết thu thể bảng sau: Nhóm Số học Số học sinh có lời giải sinh Nhóm I( Sử dụng 15 Số lượng 10 phương pháp đạo hàm) Nhóm II( Sử dụng tính 15 15 % 66,7% 100% Số học sinh có lời giải Số lượng % 46,7% 14 93,3% chất số tổ hợp) Qua bảng thống kê ta thấy, kết học tập học sinh vượt trội sau em tìm lời giải phù hợp với khả kiến thức toán cụ thể Kết luận, kiến nghị 14 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ 3.1 Kết luận Sau thực dạy chuyên đề rút kinh nghiệm sau: + Phương pháp biến đổi số hạng tổng quát để đưa tổng cần xử lý tổng phù hợp với nhận thức học sinh khá, giỏi lớp 11 + Việc dạy cho học sinh phương pháp(chứ công cụ) đáp ứng kích thích hứng thú, ham tìm hiểu học sinh khá, giỏi Phản ứng tích cực mà nhận từ em học sinh làm cho cảm nhận niềm vui nghề nghiệp làm cho quan hệ thầy trị gắn bó + Khó khăn việc áp dụng phương pháp học sinh phải nhận số hạng tổng quát tổng Đây khó khăn nội kiểu toán mà phương pháp đạo hàm, tích phân khơng khắc phục Trong thời đại cơng nghệ thơng tin nay, học sinh có nhiều nguồn tài liệu tham khảo Những học sinh ham học hỏi cị thể gặp kiến thức giống kiến thức học tốn nâng cao mà em khơng giải Việc giải đáp tư vấn thấu đáo cho đối tượng học sinh điều cần thiết không khó khăn, địi hỏi giáo viên phải nghiên cứu, cập nhật kiến thức, phương pháp phù hợp để giảng dạy tốt Phương pháp sử dụng đạo hàm, tích phân rõ ràng phương pháp mạng Nó khơng dùng để giải tốn mà cịn giúp sáng tạo nhiều tốn Sáng kiến kinh nghiệm khơng phủ nhận điều mà nhằm cung cấp cho học sinh hướng giải toán cách tự nhiên, từ đặc điểm nội toán 3.2 Kiến nghị Đề tài khơng lạ người u thích nghiên cứu Tốn Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá học sinh trao đổi với đồng nghiệp Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm tài liệu 15 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ tham khảo cho bạn đồng nghiệp trình giảng dạy học sinh khá, giỏi lớp 11 Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯởNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày 03/07/2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Mai Phi Thường 16 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục [2] Các giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2018 – Phan Đức Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam [4] Đề thi thử THPTQG trường THPT – Nguồn internet 17 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Phi Thường Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn Kết Năm học Cấp đánh TT Tên đề tài SKKN đánh giá đánh giá xếp giá xếp loại xếp loại loại Rèn luyện kĩ xác định Sở GD&ĐT tỉnh Thanh C đoạn vng góc chung tính Hóa 2014 - 2015 khoảng cách hai đường thẳng chéo Kinh nghiệm hướng dẫn học Sở GD&ĐT sinh giải số dạng tốn tỉnh Thanh tính đơn điệu hàm số Hóa theo hình thức thi trắc nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số tập bất phương trình vơ tỷ theo hình thức trắc nghiệm Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa C 2016 - 2017 C 2018 - 2019 18 “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton’’ 19 ... 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp Số hạng tổng quát tổng có dạng kCnk ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton? ??’ Áp dụng tính chất. .. kiến thức tính chất số tổ hợp , học sinh tự giải tập tài liệu, đề thi học sinh giỏi tập 13 ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton? ??’... Cách 2: Sử dụng tính chất số tổ hợp ⇔ S = C2020 + ? ?Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp hai tính chất số tổ hợp để giải số toán nhị thức Newton? ??’ k C2020 Số hạng tổng quát tổng có dạng