SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia
Trang 2CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập — Tw do — Hanh phic
MO TA SANG KIEN
Mã số (do thường trực HĐ ghi)
I Tên sáng kiến: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn
II Mơ tả bản chất của sáng kiến: 1 Tình trạng giải pháp đã biết:
Chúng ta đã biết có rất nhiều SKKN, đề tài, bài viết đề cập đến vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi phục vụ cho việc giảng dạy môn toán Tuy nhiên từ trước đến nay đa số các tài liệu ấy đều hướng dẫn để học sinh nắm vững các tính năng cơ bản như các phép toán, tính giá trị của hàm sô, tính đạo hàm tại một điểm, thử lại kết quả của tích phân Các kỳ thi học sinh giỏi máy tính Casio thì đề Ta với các sỐ liệu gần đúng và kết quả cũng là một số gần đúng Trong khi đề thi THPT quốc gia mơn tốn thì kết quả của một bài toán phải là một sô đúng chứ không phải là số gần đúng SKKN này đưa ra giải pháp biến các kết quả gần đúng mà máy tính đưa ra thành các kết quả đúng Hiện nay đề thi THPT quốc g1a mơn tốn được ra theo hướng điểm được phân bố như sau: 6 điểm dành cho học sinh trung bình, 7 điểm dành cho học sinh khá và 8 đến 10 điểm dành cho học sinh giỏi Ba câu khó trong đề thi các năm qua tập trung vào các vấn đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Vậy muốn đạt được điểm cao thì học sinh phải vượt qua các câu hỏi nầy Bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình là bài tốn khó đơi đã làm thực nghiệm cho 2 nhóm học sinh một nhóm toàn học sinh khá và một nhóm gồm các học sinh trung bình giải các bài toán trong đề thi THPT quốc gia về phương trình, hệ phương trình Nhóm khá tôi chỉ dạy các phương pháp truyền thống từ trước đến nay như đặt ân phụ, phân tích thành nhân tử, phương pháp ham số Trong khi nhóm trung bình ngoài các phương pháp truyền thống tôi còn truyền thụ cho các em các thủ thuật cao cấp về kỹ năng sử dụng máy tính Casio Kết quả làm bài thử nghiệm chỉ có 40% học sinh khá đạt yêu câu trong khi nhóm trung bình là 70% đạt yêu cầu Điều đó cho thấy dù với đối tượng học sinh trung bình nhưng với phương pháp giảng dạy tốt của giáo viên thì kết quả sẽ được nâng cao Thực tế hiện nay đa số GV dạy toán còn nghiên cứu rất ít về máy tính Casio và thường chỉ sử dụng các tính năng cơ bản chưa hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính Casio làm công cụ dự đoán và tư duy trong giải toán SKKN nầy mong muốn được phô biến rộng rãi đến các giáo viên dạy toán của tỉnh nhằm chia sẽ các kinh nghiệm mà tôi đã nghiên cứu trong các năm qua
2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Nội dung của giải pháp đề cập đến các thủ thuật giúp học sinh tư duy các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bang may tinh CASIO Cac thao tac co ban về CASIO không đề cập đến trong tài liệu nầy vi đã có trên các tài liệu hiện hành Điểm mới
Trang 3
của SKKN này là tập trung vào việc giới thiệu các phương pháp tư duy mới với sự trợ giúp của máy tính CASIO Nếu GV rèn luyện tốt các thủ thuật dưới đây sẽ giúp học sinh giải quyết thật tốt câu hỏi về phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia
thuật:
a)
b)
d)
Một số kỹ năng cơ bản mà GV cần hướng dẫn cho HS trước khi đi vào các thủ
Tính giá trị của hàm số: Ta dùng chức năng
Giá sử cần tính giá trị của hàm số ƒ(%) = x3 — 3x? + 5 tại x = 5;x = ; Ta thực
hiện như sau:
+ Nhập vào hàm số ƒ ()
+ Nhắn phím , máy hỏi x ? ta nhập vào số 5 và nhắn phím [=]
+ Tiếp tục nhắn phím nhập vào số : và nhân phím [=] Tìm nghiệm của một phương trình bất kỳ: Ta dùng chức năng
Giá sử cần giải phương trình: Vx2 + x + 1+ V3x+1=x+3 ˆ
+ Ta nhập vào phương trình
+ Ta nhắn các phím | Shiƒt| + [SOLVE]
+ Máy yêu cầu nhập vào một giá trị của x, ta nhập vào số 0 + Nhân phím [E] sẽ được kết quả x =
Chú ý 1: Chức năng chỉ tìm một nghiệm trong lân cận của giá trị x mà ta nhập vào Trong ví dụ trên máy tìm một nghiệm tại lân cận của x = 0 đó là nghiệm
x=l Muôn tìm nghiệm nữa ta thực hiện lại quy trình trên
Chú ý 2: Khi nhập phương trình ta nên đưa pt đã cho vé dang f(x) = 0, rồi nhập vào f(x) mà thôi, sau đó nhân phím [=] Việc làm nây làm cho máy nhớ biểu thức ƒ(+) giúp ta không phải nhập lai f (x) nhiéu lan
Dủng chức năng bảng [TABLE |
Chức năng Table dùng để tính giá trị cha ham s6 f (x) tai nhiéu giá trị:
Vi dụ: Cho hàm sé f(x) = x? — 3x + 1, ta can tính các giá tri:
ƒ(~10); ƒ(—9); ; ƒ(0); ƒŒ); ƒ(); (0)
Ta thực hiện như sau:
+ Nhắn phím nhấn tiếp phím [7| để chọn chức năng [Table]
+ Máy hỏi ƒ(+) =, ta nhập vào biêu thức x3 — 3x + 1
+ Máy hỏi ta nhập vào —10 ( Giá trị đầu tiên của x)
+ Máy hỏi ta nhập vào 10 (Giá trị cuối cùng của x) + Máy hỏi ta nhập vào 1 (Công sai)
Khi đó máy sẽ hiển thị bảng bảng các giá trị của f(x) voi x = —10; —9; ; 9; 10 Chú ý: Chức năng Table giúp ta dự đoán tính đơn điệu của hàm số ƒ(%) trên một
Trang 4-3-+ Nhấn phím[(—)| ( Phím ký tự A màu đỏ nằm phía trên phím dấu (—)
Chú ý: Ta đùng chức năng gán biến này trong trường hợp khi giải phương trình bằng chức năng và được các nghiệm là các số thập phân (gần đúng), lúc nầy ta sẽ
gan nghiệm thứ nhất cho A, gán nghiệm thức hai cho B; Sau đó ta thực hiện các phép tính A + B; A.B; Vấn đề 1 Thủ thuật CALC 100 Xét ví dụ sau: ¬ 2y“ + (x — 3)? = y3(x — 6) + 2xy +9 (1) Giai HPT: vx —2+,/y—2 = 6 (2)
Ta xét lời giải của đáp án như sau:
* Điều kiện: x > 2,y > 2
* Xem (1)là phương trình bậc hai theo x, ta có:
(1) & x? — (y3 + 2y + 6)x + (2y? + 6y) = 0
Ta có: A = (y3 + 2y + 6)? — 4(2y + 6y?) = y® — 4y* — 12y? + 4y? + 24y + 36
Vậy A = (y — 2y — 6)?
_ (y3 +2y + 6) + (2 —2y—6) | 2°
= 5 =| ys
Tiếp theo chỉ uiệc thế x = 2y + 6 vax = y? vao (2) va giai tiép
Nhận xét: Đối với một học sinh trung bình thì rất khó thực hiện được công đoạn:
A = yŠ — 4y* — 12y3 + 4y? + 24y + 36 = (yŸ — 2y — 6)2
Chỉ các học sinh giỏi mới thực hiện được Ta có thể hướng dẫn học sinh tìm ra kết quả:
Nền x
x=2y+6Vx= y như sau:
« Gan y = 100 (100 > Shift RCL)
+ Viết (1) © x? — (y3 + 2y + 6)x + (2y* + 6y*) =0
* Dùng chức năng giải phương trình bậc hai của CASIO:
nhập a = 1;b = —(y3 + 2y +6);c = (2y? + 6y)
Sẽ được 2 nghiệm: x = 206 và x = 1.000.000
Ta dự đoán hư sau:
x = 206 = 2y +6; x = 1.000.000 = 1003 = yẻ Còn khi trình bày lời giải thì HS sẽ viết:
Trang 5©(Œ-2y-6)&- y) =0 =2 6 e lỄ y+ x=yÌ Sau khi GV hướng dẫn kỹ thuật nây thì mọi học sinh đều có thể thực hiện dễ dàng Chú y:
Thủ thuật CALC 100 dùng để phân tích 1 biểu thức 2 biến số P(x, y) thành nhân tử
Cách thực hiện như sau:
Gán y = 100
Nhập vào biểu thức P(, y)
Dùng chức năng SOL,VE để tìm nghiệm x
Dịch kết quả có được để có kết quả x tính theo y
Ví dụ 1 Phân tích thành nhân tử: F=x—3 xy+ 2y +4x—5y+3
* Bước Í: Ta gán y = 100 qua Iénh: 100 shift - RCL - y
* Bước 2: Nhập vào biểu thức: x” — 3xy +2” +4x— 5y +3
( Phải nhắn đầu bằng đề dùng lại biểu thức lần sau)
* Bước 3: Dùng chức năng Shift-Slove 2 lần sẽ tìm được 2 nghiệm: x = Ì97 vẻ x = 99,
Kết quả: -
+ Với x =99 ta hiệu như sau: x = 99 = 100 — l=y — 1
+ Với x = 197 ta hiểu như sau: x= L97 =200 — 3 =2 y — 3
Vay: =(x—y + 1)-(x—2y +3)
Chú ý: Ở Bước 3 ta có thê dùng chức năng giải PT bậc 2 của CASIO bởi vì:
x—3xy+2y?+4x—5y+3=x+(-3y+4)x+2y?—5y +3
Trang 6Vi du 3: Giải hệ phương trình: x+y +x=3 (1) 2 gg ey ee x ay + yy 1 (2) Giải DK:x+y—1 #0 PT(2) (x? —4y")-(x ty —1) +2xy+(x+y—1)=0 &x'+(y—1)x2+(-4y?+2y+1)x—4y)(y—1)+y—1=0 Gan y= 100 và dùng chức năng giải PT bậc 3 của Casio, ta tìm được 3 nghiệm, trontg đó có l nghiệm x =- 199 =-200 + ] =-2y + 1
Dung Hoocne, ta được:
(2) ®(2y+x—=1) b —xy—2y ?“+y+l1}= =0 Vậy ta giải 2 HPT: x +y +x=3 2y+x—-i1=0 Giải hệ này được 2 nghiệm: 1.2 3 1 1 2 34 œy)=[~$ +2 V1: =5 I2).Í-ÿ—§ 14; +501] x +y°+x=3 (3) * Hệ (): “HedD: | „ , xX—xy—2y +y+I1=0 (4) Lấy (3) - (4):397 + (x—1)y+x—4=0 Giải PT nây tìm được: 4—x yer l;y= 3 Giải Hệ (II) được nghiệm: \ (my) =(-25-1), 5-1 Ds (“495 F9 |
Tóm lại HPT có 6 nghiệm như trên
Vấn đề 2 Dùng CASIO giải phương trình bậc 4
Nhận thấy việc trang bị cho học sinh kỹ năng giải phương trình bậc bốn dạng:
ax† + bx3 + cx? + dx +e= 0(a #0) một cách thành thạo là rất cần thiết vì khi giải một phương trình vô tỉ khi bình phương 2 về có thể dẫn đến một phương trình bậc bốn Phương pháp giải phù hợp với kiến thức của chương trình toán THPT là phân tích về trái của phương trình về dạng tích của hai tam thức bậc hai Thủ thuật nầy tôi có trao đối với các GV dạy toán của tỉnh trong các đợt tập huấn chuyên môn trong các năm trước
Trang 7
Phương pháp:
Bước 1 Nhập vào về trái của pt bậc 4 (ax' + bx + ox + dx + e)
Chú ý: sau khi nhập xong ta nhấn dẫu bằng (=) dé các lần sau khi muốn dùng lại biểu
thức này ta chỉ cần bấm vào các phím mũi tên thì máy sẽ hiển thị lại biểu thức, khỏi mất
công nhập lại
Bước 2 Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm gần đúng ( bam Shift - Call)
May sé cho Ì nghiệm gân đúng
Bước 3 Ta gán nghiệm gan dung nay cho bién A ( bam Shift - RCL réi nhan phim (-)) Chú ý nhắn phím dâu (-) tức là phím A (không phải nhắn alpha - A)
Bước 4 Dùng các phím mũi tên để tìm lại biêu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lại /(x) : (X— 4) Lại tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gân đúng thứ hai và gán cho B
Bước 5 Dùng các phím mũi tên dé tìm lại biểu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lại /(x) :((X— 4) :(X— B)) Lại tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gân đúng thứ ba và gán cho C
Bước 6 Dùng các TU mũi tên để tìm lại biểu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lai f(x) : ((X— A) -(X— B)-(X—C)) Lai tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gần đúng thứ tư và gán cho D,
Bước 7 Ta bắm A + B và A.B nếu được kết quả là số nguyên hay không? Giả sử A+B= 5 và A.B = -9 thì có một nhân lax —Sx—9.Néud+Bla một số thập phân không đẹp thì ta thử với cặp (44, C); (4D)
Như vậy ta đã phân tích tage vé để thành tích của hai tam thức bậc hai
Chú ý: Có thể dùng cách này để giải các phương trình bậc 5, bậc 6
Nhận xét:
Cách trên có phần bất tiện là mỗi lần Shift-Solve ta phải sửa lại biểu thức như các bước 4,
5, 6
Ta có thể thực hiện như sau:
* Trước hết ta dùng chức năng TABLE cho hàm số f{x) với:
Start = - 9; End = 9 va Step = 1 ( Nghiệm pt thường thudc khoang (-9; 9) )
* Giả sử qua TABLE ta biết được pt có 4 nghiệm thuộc các khoảng:
(-5; -4); (<2; -1); (0; 1); (4; 5)
* Vậy ta chỉ cần Shift-Solve 4 lần là xong Với mỗi lần ta chỉ ra các giá trị x lần lượt là: -4.5 ;-1.5 ; 0.5 và 4.5
Cách khác (Hay nhat)
Dat f(x) zax thx + ex +dxte
* Nhan xét: Néu pt f(x) =0 co 4 nghiém phan biét thi hàm số f(x) cd 3 cực trị œ < B < Y
Khi d6 4 nghiém cua pt f(x) =0 c6 vj tri: x, <a<x,< B< x, <¥<x,
Vậy quy trình giải PT bậc 4 như sau:
Bước 1: Ding CASIO giải pL/"(x) = 0 để tìm các điểm cực trị
Bước 2: Dùng SOLVE 4 lần và mỗi lần cho x các giá trị thuộc các khoảng chứa nghiệm
Trang 9Bình phương 2 về ta được: x =2x) cư 9x) +x —22x—7=0 Œ®9) Dùng chức năng SOLVE tìm được 2 nghiệm: -0.3027756377, 3.302775638 Ta có: -0.3027756377 + 3.302775638 = 3.000000000 ~0.3027756377-3.302775638 = - 1.000000000 Vậy có 1 thừa số là: x" — 3 x — 1 Chia đa thức đưa (*) về dạng: (Ì—3x— 1) (4x +3x +x+7)=0 4, 3 2 — 2/2 2 Tacó:x +x +3x +x+7=xv (x +x + 1) + (2x +x+7) >0,VxER Vay x’ —3x—1=0 exe 3tV 13 2 Thit lai thdy chi c6 x= 2 t-¥ 13 — là nghiệm của PT Vi du 4 Giải pt:2x7—6x— I=J4x+5 Giải Điều kiện: 2x” — 6x — l >0 Bình phương 2 về, ta được: x =6x` +8x7 +2x—l1=0 (*) Dùng SOL VE tìm được 4 nghiệm: ~0.4142135624, 0.2679491924, 2.414213562, 3.732050808 Ta có: ( -0.4142135624) + (2.414213562) =2.000000000 (~0.4142135624) - (2.414213562) = -0.9999999999 = - 1 (0.2679491924) + (3.732050808) =4.000000000 (0.2679491924) - (3.732050808) = 1.000000000 Vậy (*) 2 (x? —2x—-1)-(? —4x4+1) =0 <x =2 +V/3:x=lI +V2
Thử lại điều kiện được KQ:x=2 + V3 ;x=1-/ 27
Van đề 3 Thủ thuật khai triển một biểu thức bằng CASIO
Thủ thuật sau đây giúp học sinh khai triển biểu thức 1 biến số, khi giải một phương trình ta thường phải khai triển một biểu thức Đối với học sinh trung bình có thê không
thực hiện được khâu nầy, đo đó khơng hồn thành được công việc giải một phương trình Nếu được trang bị thủ thuật sau đây thì học sinh sẽ giải quyết được vấn đề một cách dễ
Trang 102
Vi dy : Khai trién biểu thức: A = (xŠ+2x—4) + (2x—1)?-(3x+2)° Bước 1: Nhập biểu thức vào máy
Bước 2: CALC 1000 được kết quả: 1011974978011 ta bắm chia cho 10004 duge 1.0120
vậy hệ số của xˆ là 1
Bước 3: Dùng Phim mũi tên hướng lên # để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm: (x? +2x-4) +(2x-1)° —(3x+2)° _ (+) nhắn phim "=" được số :
11974978011 ta bắm chia cho 1000"
sẽ được 1 1.975 nghĩa là hệ số cha x? 1a 12
Bước 4: Dùng phím mũi tên hướng lên ƒ† để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:
2
(7? +2x—-4) +(2x-1)° ~ (3x +2)?— (x†+ 12x”) nhắn phím "= " được số: ~25021989 ta bấm chia cho 10007 sé được -25.022 nghĩa là hệ số của xˆ là -25 Bước 5: Dùng phím mũi tên hướng lên f để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:
2
(2+2x—4) +(2x—1))—(3x+2)7~ (+ 12x” — 2537) nhắn phím "=" được
số : ~21989 ta bấm chia cho 1000 sẽ được -21.989 nghĩa là hệ số của x là -22,
Bước 6: Dùng phím mũi tên hướng lên đề hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:
(Ê+2x—4} +(2x—~L)Ê— (3x+2)2— (xể + 123Ê —25 x2 —22 x) nhắn phím "=" được số : J1 vậy hệ số tự do là lỊ, Vay A= =x" +12x'— —25x7—22x+ 11 Chú ý: Sau khi tính xong trên màn hình còn hiển thị: 2 (2+2x—4} +(2x—1))—(x+2)?- (6 f+12xŸ—25x2—22x + H) Ta ding CALL tai một số giá trị ngẫu nhiên nếu cùng được KQ là 0 thi KQ khai triển là đúng Hãy thực hành khai triển các biểu thức sau: 2 d NA=(3°-2x41) —(4x +3) E0 ~176 v` — 134x°— 112x— 26 2B=(5x+2)`(6x+1) ~ ( "ean Hổ T20 x4 + 1019 xỞ + 499 x2 + 102 x +7 C=(8—-3 42x41) — (2 42x42) * expand x5 —=6x) +12x2—14x'— 10x2—4x—3 Ví dụ: Giải hệ phương trình: fr ty any +850” y?—xy— 2y+4=0 (2)
Hệ phương trình nầy có nhiều cách giải nhưng trong phòng thi có thể học sinh không có thời gian để nghĩ ra cách giải hay thì phương pháp thế là phương pháp đơn giản nhất Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Xét y # 0, từ (2) ta suy ra:
Trang 11
2_2y+4
x= —— thay vao (1) ta được:
2_2y4+4)\° 2_2y4+4\"
EPH ops CBE) ran
© (y2 — 2y + 4)? + yŠ — 3y?(y? — 2y + 4)? + 8y? =0
Bằng thủ thuật như trên ta khai triển và được PT:
y® — 6y> + 12y* — 48y? + 96y — 64 = 0
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được 2 nghiệm là x = +2 thực hiện phép chia đa thức ta
sẽ được:
3 2 y=2
G-2)G+2)0“—2y+4)=0 ® | j~ _2
Kết quả HPT có 2 nghiệm: (x; y) = (2; 2);(—6; —2)
Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy nếu trong phòng thi HS chưa nghĩ ra cách giải khác mà kỹ năng tính toán yếu thì khi đùng phép thế sẽ không khai triển được do đó sẽ bỏ qua câu hỏi nay Việc trang bị thủ thuật khai triển biểu thức bằng CASIO giúp HS trung bình có thể giải quyết được vấn dé dé dàng
Van đề 4 Phương pháp nhân liên hợp đối với phương trình vô tỉ có nghiệm vô tỉ
Khi giải phương trình vô tỉ thì một trong những phương pháp rất hữu hiệu đó là phương pháp nhân liên hợp, nhưng việc tìm biểu thức liên hợp cho mỗi căn thức là không đơn giản nhất là Khi hi phuong tr trình ä h ay có nghiệm l las số vô tỉ
"Phương pháp:
| Tư duy CASIO khi giải dạng toán này như Sau:
| * Dùng chức năng TABLE dự đoán pt có may nghiệm | * Dùng chức năng SOLVE để tìm các nghiệm gan dung a ay
, * Lan lượt thé các nghiệm gần đúng vào các căn thức có mặt trong phương trình dé tim ra
Trang 121 :x>-¬— DK: x > 3 Ding SOLVE tim duge cac nghiém gan đúng là: x = ~0.2360679775 va x = 4.236067977
Ta cần tìm mối quan hệ giữa nghiệm và các căn thức
* Thay x ~-0.2360679775 vào J 8x +5 ta được: 1.763932022 không tìm thấy sự liên hệ gì * Thay x = 4.236067977 vào 8x +5 ta được: 6.236067977 vậy: §x+§ =x+2 * Thay x = 4.236067977 vào /'6x +2 ta được: 5.236067977 vậy: ý 6x+2 =x+] * Vậy ta sẽ thêm bớt để làm xuất hiện (x +2- 8x +5 } và (x+1-/'6x +2) PT âx)+4x+3-(x+L)-/Đx+5 -/6x+2 =0 ex" +4x+3+(x+l): -(x+2- V§x+5)+Íx+l -/6x+2)— (x+1)- +2) —(x+1)=0 o> (x+1)-(x+2-f8x¥5 ) +(x+1-f6x42 ) = - (x+1)- xẴ—4x— 1) + x —4x-1 =0 x+2+V8x+5 x+l+V6x+2 = b2~4x=1}- x11 ! |- ea Yh + feed? Dox > -Ì nên xl >0 3 x+2+/§x1+5S —.= Vậy PT ©xÌ—4x— =0 ®x=2 + 5 So với điều kiện ta được kết quả x=2 + V 5 Vị dụ Giải PT: x” — x—2 =/j3—x +/x Hướng dẫn Phân tích:
Ding SOLVE tim duoc x = 2.618033989 Thay nghiệm nây vào 2 căn thức ta được:
{3 —x =2.618033989 =x—2 JX = 1618033989 = x-1
Vậy các biểu thức liên hợp cần tìm là: (x—2-/3—x ); (x—1-x)
Trang 13Lời giải x2 Điều kiện: — ©2<x<3 PT = P—x—-2-f/3—x-fx =0 @ x —x—-24 (x—-2 -J3—x) +(x—1-/x)=0 ey —3xt1 +(x—2)-V3—x)+(x—1-/x) =0 (x —2)? — (3 —x) , =? =x x—2+3—x x—l+Vx x—3x+1 "-— x—2+/3 “3 Pca 2 £ => —3x+l1j-| 1+ ts ) \ _ 1P HD TH ty Vậy PT œx”—3x+L=0 ox —3x+1+ =0 «x `—3x+1+ Đ02 < x < 3 nên l + Kết quả: PT có nghiệm duy nhất: x = 31/5, 2 Ví dụ Giải PT:x"—3x—2=(x—1)-/2x+T Phân tích: |
: Ding SOLVE ta tim duge x ~ -0.4142135624
i Thay nghiệm nầy vào {2x +1 taduge: {2x +1 = 04142135623 =-x
Trang 14Vi du
Giai PT:2x+/ 4x7 -—Sxt+2 =/8x—-1+/3x41
Phan tich:
* Ding SOLVE tim được các nghiệm: x ~ 1.866025404 va x = 0.1339745962
* Thay giá trị x ~ 0.1339745962 vào các căn thức trên được: ý 4x —5x+2 1.184028627 V8x—1 = 0.2679491929 ¥ 3x+1 = 1.184028627 * Thay giá trị x ~ 1.866025404 vào các căn thức trên được: ý 4x —S5x+2 = 2.568672072 J 8x—1 = 3.732050808 V3x+1 = 2.568672072 Từ kết quả trên ta thấy các biêu thức liên hợp là : @ 4x2—5x+2 —J3xtl ) và (2x-J8x+1 ) Lời giải: Điều kiện x >> PT = (2x —/8x-1 ) )+ (Jar —5x+2-J3x4+1 rT) =0 4x° — (8x- oy 4x2—5x+2—(3x+1) =0 7x+8x-1 "Tak —5x+2 +V8x—I 2 | \ (4x —8x+1)- =0 TH J43z? _5x+? +/8x=T1 ƑƑ Dox > + nén L >0 8 2x+8x+1 "Tag ~ 8x te +4 8x-1 Vay PT <2 4x? —8x + 1-0 {x =i++L LF, {x ral +5) 2 2+3 KQ: PT có 2 nghiệm: x= 2av3
Van dé 5 Tha thuat bién déi phwong trinh vé dang f(u) = f(v)
Trong khi giải phương trình, hệ phương trình ta thường dùng tính chất sau:
Tính chất: Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng K thì ta có:
ƒ(w) = ƒ(0) ©u = 0,Vu,0 €K Vấn đề là làm sao biến đổi phương trình về dạng: ƒ(w) = ƒ(0) ?
Trang 15
Ta xét cac vi du sau:
Ví dụ 1 Xét PT: yp? +3 y? + 10 p=125x° +225 x7 + 170x440 (1) Ta sẽ biến đối PT(1) về dang f(z) =f(v) nhu sau:
Nhận thấy về trái của (1) có dạng don giản Vậy ta sẽ biển đổi về phải của (1)
về đạng vệ trái của (1) như sau: * Gan A = 100 * Nhập vào máy: 125° +225x° + 170x+40=4° +34" + 104 * Dung SOLVE tim duge x = 19.6 = = aA = => Á=5 x +2 Nghia la: 125 x° + 225x° + 170x + 40=(Sx +2)° +3 (Sx +2)? +10 (5x +2) Vay PT(1) @ +397 + 1Oy=(Sx +2) +3 (Sx +2)? +10 (Sx +2) Xét ham 86 f() =P +37 +106 /() =3% +614+10>0VIER
nên hàm số /(¿) đồng biến trên íR
Vay (1) fly) =f(Sx+2) =y=5x+2
Vi dy 2 Xét PT:2y° +4y° +3 y=(4x4+1) f2x—-1 +8x—4 (1)
Ta bién d6i PT(1) vé dang f(y) =/(z) nhw sau: * Gan A = 100 * Nhập PT: (4x +1) V2x—T +8x—4=24Ì+442+34 10001 _ 1002+1 _ 4+! 2 2 2 * Dùng SOLVE tìm được: x = Vay A= 2x—1 Nghia Ia: 3 2 (4x+1)/2x—-1 +8x—4=2(f/2x—-1) +4(J2x—-1) +3 /2x-1 3 2
Vay (1) @2y 449° +3y=2(f2x—-1) +4(f2x—-1) +3V2x0-1
Xét ham sé f(t) =2 +4 Ê +3 ¡ đồng biến trên R ()(y)=/(V2x—1) ey=/2x—1
Trang 16-Vi du 3 Giải PT: fx +1 '(x+6)=/2x—3 -{2x+50) —24x—4§ (1) Giải -— 3 Điều kiện: x > 5" Dat yx +1 =u>0=x=u2—1 VT =u (+5) = + Su Đặt/2x—3 =v>0=2x=v2+3 vp =v-(7 +53) —12-(? +3) —48 =v — 127 +53 v— 84 Vậy pt(1) có dạng: t +5u=y —12v7+53v—84 (2) Dùng CASIO: Gán A = 100 Nhập vào ptX” — 12 X” + 53X— 84=4” +5 A (6 day ta hiểu X là v) Ding Solve tim duge: X= 104 = X=Á +4 = Á=XT—4 Vay: X° — 12.7 +53 X—84=(X—4)? +5 (X—4) Nghia la: v — 12 +53 v-84=(vy—4)° +5-(v—4) Vay (2) ou +5u=(v—4) +5-(v—4) (3)
Xét ham sé f(t) =Ÿ + 5 ¡ đồng biến trên R
Trang 173 Đặt y=/ 21x” +64x + 131 Ta có HPT: x —6x +14x+9=3y (1) 21x2+64x+13l=y ` (2) (1) + (2): (x? — 6x7 + 14x49) + (2197 +64x4 131) =) +3 =x°+15x”+78x + 140=y°+3y (3) Ta sẽ biến đổi pt(3) về dạng ƒ(y) =/(z) như sau: * Dùng Casio - Gan A = 100 - Giải pt XŸ + 15 X” +78 X + 140=4” +3 4 được nghiệm: X=95 = X=4—5 = A=X+5 Vậy: XÌ + 15 X” +78 X+ 140=(X+5)°+3(X+5) Suy ra (3) y`+3y=(x+5)Ì+3(x+5) (4 Xét hàm số /(/) = + 2 r đồng biến trên RR 3 (4) 2 fly) =f(x +5) @yaxt5 ® J21x7+64x+131 =x+5 œ(x+5)Ì=2lx”+64x + 131 ex —6x + lix—6=0 KQ: Tập nghiệm: Š= {1; 2; 3}
Vấn đề 5 Phương trình vô tỉ có 2 nghiệm
a) PT vô tỉ có 2 nghiệm la số hiữu tỉ
Bài 1 Giải pt: /9x+7 + 13x+23 =x —5x+14 (1)
Giải
Điều kiện: x > - z
Dung Table thay pt cd 2 nghiém x= 1;x=2
Trang 18-17-Vậy (1) ©(/9x+7 - (x+3)) +(VTäx+23 - (x+5))=x - 7x46 “| ~(x—=l)'(x~=2) J*{ “(xm1)'(x—2) Jze~D:&~2)-x+3) /9x+7 +(x+3) {V13x+23 +(x+5) 1 1 =r~1):~2)|x‡3+ + |: ¥9Ox+7 + (x4+3) ¥ 113x423 + (x+5) Dox >-— a xt 3 + 1 + ! >0 9 V9x+7 +(x+3) 13x+23 + (x+5) Vậy (1) % (x—1)'(x—2)=0 %x=l Vx=2 Tóm lại pt có 2 nghiệm: x= 1;x =2, b) PT vô tỉ có 2 nghiệm là số vô tỉ Bài 2 Giải pt: /T2x +2 + 14x +9 =x —5x +3x+14 (1) Giải VÀ va I Điều kiện: x > - 6: Dùng Table và Solve tìm được 2 nghiệm gần đúng là: x ~ 1.585786438; x = 4.414213562
Ta gán các nghiệm nay cho A va B Gan A= 1.585786438; B=4.414213562
Trang 19* Có các biểu thức liên hợp rồi ta tiếp tục giải pt(1) như sau: )/T2x+2 + T4x+5 =x`—5x +3x+14 «+ (/T12x+2 —(x+3))+(V T4x+5 —(x+4))=x —5x2+x+7 2 aye “| (2x+2)-(x+3) J*| (14x+9) - (x+4) ]~e+b tể~sx+? VT†2x+2 +(x+3) J 14x49 + (x+4) 2 “| x +6x + L4 14x +9) (x+4)” ]>er+U tể=6x+?) 12x+2 +(x+3) ý 14x+9 +(x+4) =(#—6x+?)-Í [etl + + I cod J ae tua v da+? +(x+4) 1 Đox>-— =>=x+lÌ+ >0 6 12x+2 +(x+3) TÙ 14x+9 +(x+4) Vay (1) =x°—6x+7=0 œx=3+/2 Kết quả: PT có 2 nghiệm:x=3 + V27 Nhận xét: Trong lời giải trên kỹ thuật Casio đã giúp ta tìm ra các biểu thức liên hợp: J 12x42 ~ (x +3); J 14x49 — (x +4)
Nếu không biết ứ ứng dụng các kỹ thuật Casio thì sẽ gặp khó khăn ở bước nay
Ta đã tìm các biểu thức liên hợp bằng 2 cách trên Nhận thay cach I nhanh hon
Tuy nhiên cách 2 tông quải hơn, ở cách 1 ta đi tìm mỗi quan hệ giữa căn thức và nghiệm,
nếu mối quan hệ nây phức tạp ví dụ: 12x +2 = sa thì cách ï khó nhận ra,
° z ~ ` 4 3 fr 4 a 4 ` ~ a
trong khi cách 2 ta sẽ tìm được: a = 5° b = 5 —, Noi chung tuy tinh hudng ma ta sé van
dung cach | hay cach 2
©) Có thể sáng tạo ra các pt dang nay nhu thế nào ?
Giải thích cách tao ra Bai |:
Bài 1 Giai pt: JOxt+7 +f13x423 =x —Sx+14 (*)
Budc 1: Ta tạo ra một pt có dang J A = B mà có chứa 2 nghiệm nguyên theo ý của ta
Ở đây ta sẽ tạo ra pt dạng J4 = 8 mà có 2 nghiệm x= l;x =2
Trang 20Bước 3: Tạo ra một pt bậc 3 cũng có 2 nghiệm x = 1;x =2 và một nghiệm khác Chẳng bạn pt: (xT— 1)-(x—2)-(x+3)=0 %xÌ~7x+6=0 (3) Bước 4: Tạo ra pt (*) như sau: Xét pt: V7(1) + VT(2) =VT(3) e (fOx47 = (+3) + (JB xF2 - (x+5)=0)}=x`—7xz+6 ŸẮ 9x 1+7 +(13x1+21 =x —=§5x +14 (*)
Vậy Bài toán 1 đã được tạo ra theo quy trình như trên
Tóm lại ta đã tạo ra pt(*) bằng cách tạo ra 3 pt cùng có chung 2 nghiệm là x= 1;x=2 mà trong đó có 2 pt dạng 4 =B và một pt bậc 3 Sau đó tổ hợp lại 3 pt nây để được pt(* )- Giải thích cách tạo ra Bài 2:
Bai 2 Gidi pt (12x22 +y 14x49 =x —5x°4+3x414 Œ)
Bước |: Ta tạo ra một pt có dang {A =B ma cé chita 2 nghiém 1a sé v6 ti theo ý của ta
O day ta sé tao ra pt dang (A =B ma cé 2 nghiệm x, =3 -/2 vàx =3 +/2
Ta có:x, +x, =6;x,:x, =7 Vậy ptx”—6x+7=0 có 2 nghiệm x=3 + /2 Biến đổi: xŸ — 6x +7=0 ov =6x-7 (x +3)? -6x-9=6x—7
@ (x+3)=12x4+2
Vay pt: ViT12=x+3® (T2x+2 ~ ( x+3)=0 (1) có 2 nghiệm x=3 +2
Trang 214)4/ 36x — 26 +4 52x +14 =8xÌ—36x” + 14x + 145 KQ: nghiệm x = 2; j= > Ấ5)4./ 4ó — 36x +4/TIR—55r =~8x" +12z +34x +93 -1 -3 KQ: nghiệm x = 5 {x= 2 6)16/2 3x +8V/16— 14x =-8x`—28x” + 10x + 115 KQ: nghiệm x=~ 2- +/2 1) 27f6 48x +9/ 123 + 84x =8§x —48x +391 KQ: nghiém x =4 +? 8)8/§8+18x +8 /T6+21x =27x°—63x—15x+115 KQ: nghiệm xed + + V2 9)25 (170 —180x +25 365 —210x =-27x° — 171 x +39 x + 1808 KQ: nghigm x =~ +37 10) {fox—21 +J18x—6 =x —9x° 4 14427 KQ: nghiệm x=5 + (3`
3 Khả năng áp dụng của giải pháp:
- GV môn toán có thể áp dụng và phát triển các kỹ thuật nầy vào việc giảng dạy chuyên đề phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ôn thi THPT quốc gia
- Kết hợp các phương pháp truyền thống như đặt ấn phụ, phân tích thành nhân tử, phương pháp đánh giá, phương pháp hàm số, phương pháp nhân liên hợp cùng với kỹ thuật tư duy Casio sẽ giúp học sinh học tập tích cực và thu được hiệu quả cao
4 Hiệu quả thu được do áp dụng sáng kiến:
Qua thời gian giảng dạy các lớp ôn thi THPT quốc gia tôi đã thu được các hiệu quả sau:
- Hoc sinh học tập tích cực và hứng thú
- Phát huy được tính sáng tạo của học sinh
- Học sinh trung bình không lo lắng về việc tính toán
- Học sinh không còn sợ câu khó về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia
- Nâng cao tỉ lệ đỗ vào các trường đại học chất lượng cao
Trang 225 Những người tham gia tô chức áp dụng sáng kiến lần đầu:
- Tập thé giáo viên tổ Toán của nhà trường
- Chia sẽ cho các giáo viên toán của nhiều trường THPT của tỉnh
- Nhiều chuyên đề trong SKKN nầy đã được đăng trên Facebook được đông đảo học sinh và giáo viên trên cả nước ủng hộ
Bến Tre, ngày 10 tháng 3 năm 2016