Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phép phân tích đi lên trong việc giải quyết các bài toán hình học

Phần mở đầu I. Bối cảnh của đề tài Đề tài được thực hiện trong năm học 2011 − 2012 tại trường THPT Trần Trường Sinh, trong đề tài bản thân muốn trao dồi cùng các đồng nghiệp trong việc nghiên cứu chuyên môn. Nội dung cơ bản của đề tài là hướng dẫn học sinh sử dụng phép phân tích đi lên trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là hình học không gian. II. Lý do chọn đề tài Trong các năm học vừa qua, tỉ lệ học sinh yếu kém ở bộ môn toán còn cao. Cụ thể năm học 2010-2011, số học sinh yếu kém là 291/730 học sinh, chiểm tỉ lệ 39,9% - một tỉ lệ khá cao và qua khảo sát, nhiều học sinh không giải được các bài toán hình học mặc dù các em đã học thuộc nhiều công thức nhưng vẫn không áp dụng được. Sau khi tìm hiểu nguyên nhân, bản thân đã thấy được sở dĩ học sinh không làm được bởi các em chưa phân tích được đề bài, chưa tìm được một phép suy luận logic để đi đến lời giải của bài toán nên các em thường bị mất phương hướng trong quá trình giải quyết bài toán dẫn đến các em chưa sử dụng thành thạo các phương pháp giải các dạng bài toán hình học thường gặp. III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu − Phạm vi nghiên cứu: Đề tài giúp học sinh giải quyết được mặt hạn chế trong việc phân tích bài toán và hình thành lời giải các bài toán hình học, đặc biệt là hình học không gian lớp 11, 12 và phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12. − Đối tượng nghiên cứu: Qua các bài kiểm tra hình học của học sinh lớp 11, 12; kiến thức môn hình học lớp 11, 12 và phương pháp dạy học môn Toán sở trường trung học phổ thông. IV. Mục đích của đề tài: Qua việc nghiên cứu và viết đề tài này, bản thân muốn trao dồi thêm về nghiệp vụ sư phạm và phát triển một phương pháp dạy học nhằm đạt hiệu quả hơn trong công tác giảng dạy đặc biệt với đa số học sinh trung bình, yếu kém nhằm giúp các em không còn “ngán ngại” khi giải quyết các bài tập hình học, đồng thời giúp các em học Trang 1 sinh khá giỏi vận dụng hiệu quả phương pháp này để hoàn thiện kỹ năng giải toán hình học và tìm tòi kiến thức mới. Ngoài ra, qua đề tài bản thân mong muốn trao đổi thêm cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm và phương pháp dạy học hay để áp dụng trong công việc giảng dạy của bản thân. V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu − Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một phương pháp dạy học hiệu quả đối với môn toán đặc biệt là với các bài toán hình học, những bài toán mang tính tư duy cao. − Sáng kiến này đặt ra một vấn đề mới đối với công tác phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi là hoàn chỉnh một phương pháp dạy học đề cao tính tự học, chủ động tìm tòi kiến thức và sáng tạo của học sinh. Trang 2 B. PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Phương pháp nghiên cứu sáng kiến này dựa trên cơ sở: − Các kiến thức về lý luận dạy học toán học; − Các kiến thức bộ môn hình học ở chương trình trung học phổ thông; − Các phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở trường trung học phổ thông: trong các phương pháp đã thực hiện trong chương trình trung học phổ thông, giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. − Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Cách lập luận đó không có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã được dạy và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng lập luận phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đã biết cái kia, biết vấn đề A từ cơ sở của vấn đề B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để chứng minh (…) ta cần chứng minh (cần có) gì? Như vậy, muốn chứng minh A không có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc chứng minh B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi lên. Nhằm hỗ trợ tốt cho phương pháp này, trong quá trình hướng dẫn học sinh, giáo viên cần hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi giúp học sinh phân tích đề bài theo hướng đi từ kết luận đến giả thiết của bài toán. Sau đó hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ giải bài toán dựa trên các câu trả lời. Lưu ý: Khi phân tích thì phân tích từ kết luận đến giả thuyết nhưng khi trình bày lời giải bài toán thì đi theo chiều ngược lại dựa trên sơ đồ phân tích. II. Thực trạng của vấn đề Sáng kiến này được hình thành xuất phát từ thực trạng phần lớn học sinh trung học phổ thông rất ngán ngại khi học bộ môn Toán và các em lại rất “sợ” môn hình học dẫn đến các em rất yếu về kỹ năng giải toán hình học. Qua tìm hiểu, tham khảo Trang 3 các ý kiến phân tích thực trạng trên của những nhà nghiên cứu và tình hình thực tế tại đơn vị, tôi nhận thấy rằng: học sinh “sợ” môn hình học cũng có lý do của nó, bởi đây là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình học còn đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic. Trong khi đó, một số giáo viên hiện vẫn đi theo phương pháp giảng dạy truyền thống, chưa có sự tìm tòi sáng tạo ra những cách dạy mới hay cải tiến những cách dạy truyền thống để phát huy tính tích cực và khả năng sáng tạo, tư duy của học sinh. Sáng kiến này đề cập đến một vấn đề là giúp học sinh vận dụng thành thạo phép phân tích đi lên trong việc giải các bài toán hình học, từ đó rèn luyện kỹ năng suy luận và giải toán cho các em. III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 1. Đặt vấn đề Khi tiếp cận với một bài toán hình học, đa số học sinh đều tóm tắt được bài toán, tức là các em đều nêu được giả thiết và kết luận của bài toán. Vấn đề còn lại là từ giả thiết và kết luận của bài toán làm thế nào để gải được và giải đúng bài toán đã cho. Hầu hết các bài toán hình học ở chương trình trung học phổ thông giả thiết và kết luận của chúng vốn “gần” nhau, tức là giữa chúng có một mối quan hệ gần gũi với nhau, mối quan hệ đó thể hiện qua các định nghĩa, định lí, tính chất, mà các em đã được học. Nhiệm vụ của học sinh là tìm cách bắc những nhịp cầu logic làm cho mối quan hệ đó rõ ràng hơn, tường minh hơn và thông qua các bước trình bày các mối quan hệ đó thì bài toán sẽ được giải quyết tức là các em đã giải xong bài toán. Qua các năm giảng dạy, tôi thấy có 2 vấn đề sau: Thứ nhất là để khơi dậy sự tư duy và độc lập suy nghĩ của học sinh thì một số bài toán giả thiết và kết luận của bài toán được làm cho chúng “xa” nhau hơn tức là có nhiều mối quan hệ giữa chúng hơn; thứ hai là đối với hầu hết các em học sinh, khả năng suy luận logic còn rất yếu. Hai vấn đề trên đã gây rất nhiều khó khăn cho các em học sinh khi giải quyết các bài toán hình học, mặc dù các em đều nêu được giả thiết và kết luận của bài toán nhưng vẫn bị “lạc đường” trong việc giải bài toán. Lúc này, phương pháp phân tích đi lên xem như là “người chỉ đường” hiệu quả cho các em gải quyết bài toán. 2. Nội dung phương pháp và giải quyết vấn đề Trang 4 Dưới đây là một số bài toán điển hình sử dụng phương pháp phân tích đi lên để giải quyết các bài toán hình học không gian lớp 11 và lớp 12. Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và SC. Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD). Hình vẼ: Phân tích: Đây là bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng và là bài toán dễ. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng qui nạp, qua cách giải bằng qui nạp thì có thể một số học sinh sẽ không hiểu cơ sở nào mà giáo viên chứng minh được như thế. Từ bài toán dễ này, phương pháp phân tích đi lên được vận dụng như sau: Trước hết, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp này bằng một số câu hỏi và thiết lập sơ đồ: Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên 1. Để chứng minh MN // (ABCD), ta chứng minh như thế nào? Trả lời: Chứng minh MN song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng ABCD (định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng). Ta chọn đường thẳng DC. 2. MN có song song với DC không? Trả lời: MN // DC. Trang 5 Tóm tắt bài toán: Giả thiết S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N là trung điểm SD, SC Kết luận MN // (ABCD) 3. Giải thích vì sao MN // DC? Trả lời: MN là đường trung bình của tam giác SDC. Từ các câu hỏi trên, ta thiết lập sơ đồ phân tích đi lên như cột bên Qua hệ thống câu hỏi và sơ đồ trên, lời giải của bài toán được trình bày như sau: Lời giải Xét tam giác SDC, ta có: M là trung điểm SD, N là trung điểm SC ⇒ MN là đường trung bình của tam giác SDC ⇒ MN // CD Mà CD ⊂ (ABCD) ⇒ MN // (ABCD) (đpcm) Sau đây, ta sẽ xét bài toán khó hơn để thấy được hiệu quả của phương pháp này Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh; ( )SA ABCD⊥ . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các đường thẳng SB và SD. Chứng minh: ( )SC AMN⊥ Hình vẽ: Trang 6 MN // (ABCD) MN // DC MN là đường trung bình của tam giác SDC M là trung điểm SD N là trung điểm SC Hướng phân tích đi lên H ư ớ n g t r ì n h b à y l ờ i g i ả i Phân tích: Đây là bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, học sinh sẽ vận dụng định nghĩa và định lí của bài “đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” để giải quyết bài toán trên. Sau khi tóm tắt bài toán, chỉ với 2 dữ kiện ,AM SB AN SC⊥ ⊥ thì nhiều học sinh sẽ bị mất phương hướng trong việc tìm ra lời giải của bài toán trên vì so với bài toán 1 thì bài toán này mức độ phức tạp cao hơn. Sau đây là hệ thống câu hỏi và sơ đồ phân tích đi lên Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên 1. Để chứng minh ( )SC AMN⊥ , ta chứng minh như thế nào? Trả lời: Chứng minh SC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (AMN) (định lí về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Ta chọn hai đường thẳng AM và AN. 2. Làm thế nào để chứng minh SC AM⊥ ? Trả lời: Ta chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng chứa SC. Ta chọn mặt phẳng (SBC). 3. Làm thế nào để chứng minh ( )AM SBC⊥ ? Trang 7 Tóm tắt bài toán Giả thiết Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. ( )SA ABCD⊥ ,AM SB AN SC⊥ ⊥ Kết luận ( )SC AMN⊥ ( )SC AMN⊥ SC AM⊥ SC AN⊥ ( )AM SB gt AM BC ⊥   ⊥  ( ) ( ) BC AB gt BC AM BC SA do SA ABCD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥ ⊥  Chứng minh tương tự như bên Trả lời: Ta chứng minh ,AM SB AM BC⊥ ⊥ . 4. Làm thế nào để chứng minh ?AM BC⊥ Trả lời: Ta chứng minh ( )BC SAB⊥ hay ,BC SA BC AB⊥ ⊥ . Tương tự, lặp lại câu hỏi 2, 3, 4 ta sẽ chứng minh được SC AN⊥ . Từ sơ đồ trên, ta có lời giải bài toán 2 như sau: Lời giải Ta có: ( )SA ABCD SA BC⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác, ta có BC AB⊥ (do ABCD là hình vuông) ( ) (1) BC SAB BC AM ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Ta lại có ( ) (2)AM SB gt⊥ Từ (1) và (2) ( )AM SBC AM SC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Chứng minh tương tự, ta được AN SC⊥ Từ đó suy ra ( )SC AMN⊥ (đpcm). Bình luận: Ở câu hỏi 2, học sinh sẽ nhận thấy rằng không thể chứng minh SC AM⊥ trực tiếp được nên sẽ chứng minh gián tiếp SC AM⊥ thông qua chứng minh ( )AM SBC⊥ . Đây là câu hỏi kích thích sự tư duy của học sinh. Cứ theo lối ấy, học sinh sẽ trả lời được câu hỏi 4. Qua bài toán 2, ta nhận thấy rằng khi sử dụng phương pháp này chính là giúp học sinh suy luận và rèn tư duy suy luận qua phân tích đi lên. Giáo viên thường hướng dẫn học sinh đi từ kết luận để suy diễn sao cho điểm ban đầu là kết luận và điểm cuối cũng là kết luận, các bước trung gian phải sử dụng khai thác triệt để các dữ kiện mà Trang 8 đầu bài đã cho. Trong quá trình giải các bài tập mẫu, giáo viên đặt ra hệ thống câu hỏi để giúp học sinh tư duy, vì vậy khi gặp một bài toán hình học, học sinh cũng sẽ tự đặt ra cho mình những câu hỏi và từ những câu hỏi đó, các em sẽ thiết lập được sư dồ phân tích. Bài toán 3: (Bài tập 17 sách giáo khoa hình học 11 nâng cao trang 103) Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Phân tích: Đây cũng là dạng bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, tuy nhiên đối với bài tập này, mức độ phức tập hơn so với bài tập 2 vì kiến thức vận dụng rộng hơn so với bài tập 2. Trên thực tế, khi cho học sinh lớp 11A1 giải bài tập này, hơn hai phần ba học sinh không tìm được lời giải. Sau đây là hệ thống câu hỏi và sơ đồ phân tích đi lên. Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên Kẻ ( )OH ABC⊥ Gọi M AH BC= ∩ ; N BH AC= ∩ 1. Để chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC, ta cần chứng minh điều gì? Trả lời: Chứng minh AM, BN lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC. Tức là ta chứng minh ;AM BC BN AC⊥ ⊥ Trang 9 Tóm tắt bài toán Giả thiết Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC) Kết luận H là trực tâm tam giác ABC Việc chứng minh ;AM BC BN AC⊥ ⊥ là tương tự nhau, nên ta chọn chứng minh .AM BC ⊥ 2. Để chứng minh AM BC ⊥ ta cần chứng minh như thế nào? Trả lời: Ta chứng minh ( )BC OAH⊥ . Mặt phẳng (OAH) chứa AM. 3. Để chứng minh ( )BC OAH⊥ , ta chứng minh thế nào? Trả lời: Ta chứng minh BC OA BC OH ⊥   ⊥  4. Để chứng minh BC OA⊥ , ta chứng minh thế nào? Trả lời: Ta có ( ) OA OB OA OBC OA OC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  5. Để chứng minh BC OH ⊥ , ta chứng minh thế nào? Trả lời: ( ) ( )OH ABC gt⊥ Lời giải Ta có: ( ) ( ) (1)OH ABC gt OH BC⊥ ⇒ ⊥ Ta có (gt) ( ) (2) OA OB OA OBC OA BC OA OC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  Từ (1) và (2), suy ra ( )BC OAH⊥ mà ( )AM OAH⊂ . Suy ra AM BC ⊥ . Chứng minh tương tự, ta được BN AC ⊥ . Vậy H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm) Trong phạm vi giới hạn của sáng kiến này nên tôi chỉ đưa ra 03 ví dụ tượng trưng cho phương pháp này. Trên thực tế có rất nhiều dạng bài tập có thể áp dụng phương pháp này hiệu quả. Lúc đầu khi lập sơ đồ, nhiều học sinh còn lúng túng nhưng qua một thời gian ngắn rèn luyện kỹ năng, hầu hết học sinh đều phân tích được Trang 10 H là trực tâm tam giác ABC H ư ớ n g t r ì n h b à y l ờ i g i ả i [...].. .bài toán và lập được sơ đồ phân tích và giải quyết được bài toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh Một đi u lưu ý là khi phân tích thì phân tích từ kết luận phân tích đi lên, nhưng khi trình bài lời giải của bài toán thì đi từ giải thuyết đi xuống theo sơ đồ đã lập IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến này có thể triển khai ứng dụng trong chương trình giảng dạy môn toán trung học phổ... đó, học sinh còn biết thể hiện các nội dung kiến thức bằng ngôn ngữ toán học và dựa vào hình vẽ để phân tích - Giáo viên phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lý, câu hỏi nhiều mức độ dành cho nhiều đối tượng học sinh, kèm theo là sơ đồ phân tích bài toán để có thể từng bước hướng dẫn học sinh biết thực hiện phân tích và trình bày lời giải bài toán - Từng bước cho học sinh làm quen dần cách phân tích. .. quyết được các bài toán giáo viên đưa ra khi đó các em sẽ yêu thích bộ môn toán hơn Trang 11 C PHẦN KẾT LUẬN I Những bài học kinh nghiệm Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, tôi thấy phương pháp phân tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh (bao gồm tư duy phân tích và tư duy tổng hợp) Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó Trong quá... giúp học sinh cải thiện đáng kể trong việc hình thành kỹ năng giải toán hình học của mình III Khả năng ứng dụng, triển khai Đề tài được ứng dụng trong các lớp của trường THPT phổ thông Trần Trường Sinh và có thể được áp dụng được tại các trường bạn Đề tài có thể được triển khai đến các em học sinh xem như là một tài liệu nghiên cứu để bổ sung thêm phương pháp giải toán cho các em IV Những đề xuất, kiến. .. pháp dạy học hiệu quả, đồng thời chia sẻ với quí đồng nghiệp và các em học sinh một số kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy khoảng trong thời gian giảng dạy bộ môn toán Các nội dung trong sáng kiến này sẽ khai thác hiệu quả phương pháp dạy học tích cực, lấy học sinh làm trung tâm, thúc đẩy quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh trong đó nổi bật là tư duy logic, tư duy phân tích và tư... và các học sinh ôn tập thi tốt nghiệp và đại học Để đạt được hiệu quả cao trong công việc thì giáo viên cần phải có tinh thần nghiên cứu và sáng tạo, học sinh cần phải chuẩn bị bài nghiêm túc và có tinh thần say mê nghiên cứu, say mê học toán, say mê tìm tòi có như vậy giáo viên mới phát hiện ra các vấn đề mới trong ứng dụng và học sinh ngày càng yêu thích môn toán hơn vì chỉ khi nào các em giải quyết. .. nghị Để học sinh có thể làm quen và rèn kỹ năng giải toán bằng phương pháp phân tích đi lên, giáo viên cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện: - Hình vẽ luôn chính xác, đầy đủ các ký hiệu trên đó Học sinh phải trang bị các dụng cụ học tập cần thiết như thước kẻ, com-pa, thước đo độ, bút chì, máy tính, … Trang 12 - Hệ thống được các kiến thức đã tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi lặp... Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết Khi ôn tập, giáo viên nên đưa ra các dạng sơ đồ như: sơ đồ định nghĩa và sơ đồ dấu hiệu Do đó, khi dựa vào sơ đồ phân tích, học sinh dễ hiểu bài hơn và trình bày bài giải chặt chẽ hơn và tránh bị “lạc đường” II Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến này nhằm trình... cho học sinh áp dụng phương pháp này khi học ở lớp dưới thậm chí ở cấp trung học cơ sở, đồng thời hướng dẫn thao tác tổng hợp để trình bày lại bài giảng - Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì học sinh mới hiểu và có thói quen sử dụng thường xuyên Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quí báu từ quí đồng nghiệp, các em học sinh Hi vọng sáng kiến này sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc. .. sử dụng thường xuyên Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quí báu từ quí đồng nghiệp, các em học sinh Hi vọng sáng kiến này sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở trường trung học phổ thông Giao Thạnh, tháng 03 năm 2012 Người viết Mai Hoàng Nhi Trang 13 . hướng dẫn học sinh sử dụng phép phân tích đi lên trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là hình học không gian. II. Lý do chọn đề tài Trong các năm học vừa qua, tỉ lệ học sinh yếu. g i ả i bài toán và lập được sơ đồ phân tích và giải quyết được bài toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh. Một đi u lưu ý là khi phân tích thì phân tích từ kết luận phân tích đi lên, nhưng khi. cần hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi giúp học sinh phân tích đề bài theo hướng đi từ kết luận đến giả thiết của bài toán. Sau đó hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ giải bài toán dựa trên các câu