kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp bất đẳng thức cô si dạng nghịch đảo

s gi¸o dơc VÀ ÀO T O tr êng tHPT S B O TH NG *********(********* S¸ng kiÕn kinh nghiƯm “Kinh nghiƯm h íng dÉn häc sinh ph ¬ng pháp sử dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo Ng êi thùc hiÖn : ÀO KHÁNH LINH Ch c v : Hi u tr ng Năm 2011 A- Phần mở đầu I/ Lý chọn đề t i: Trong thời kỳ đổi đất n ớc yêu cầu giáo dục phải tạo lớp ng ời mới, động sáng tạo Họ sẵn sàng tiếp nhận mới, tinh hoa tri thức khoa học nhân loại, áp dụng cách khoa học vào thực tiễn đất n ớc Vậy làm để phát huy đ ợc tính chủ động sáng tạo học sinh yêu cầu tr ớc mắt, nhằm tập d ợt khả sáng tạo học sinh từ ngồi ghế nhà tr ờng Hiện sách giáo khoa môn toán đ ợc biên soạn theo h ớng đổi mới, ph ơng pháp dạy học là: Tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh t tích cực độc lập sáng tạo nâng cao lực phát giải vấn đề rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú häc tËp cho häc sinh S¸ch gi¸o khoa míi cã toán mở, mục em ch a biết nhằm khơi dậy định h ớng cho em sáng tạo Tuy nhiên h ớng dẫn bảo tận tình ng ời thày cần thiết Nội dung kiến thức bất đẳng thức đ ợc trình bày ch ơng trình PTTH - Đại số 10 Đây phần kiến thức hay nh ng khã ®èi víi häc sinh vỊ BÊt đẳng thức Cô-Si Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá sử dụng Vậy để giúp em làm việc tr ớc hết ng ời thày phải nghiên cứu, h ớng dẫn mặt ph ơng pháp, cung cấp h ớng dẫn cho học sinh thực toán điển hình tạo cho học sinh tiền đề để em tự học, tự nghiên cứu Đứng tr ớc yêu cầu xin trình bày phần nhỏ ch ơng trình dạy bất đẳng thức là: "H ớng dẫn học sinh số ph ơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số ph ơng pháp để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải số toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị H ớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi ) III- Ph ơng pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Tr ờng hợp với hai số không âm +áp dụng hai số d ơng có dạng nghịch đảo +Phân loại tập điển hình xây dựng ph ơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhà tr ờng +áp dụng vào việc giảng dạy cho häc sinh +Rót kinh nghiƯm tõ thùc tÕ gi¶ng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào năm sau IV- Phạm vi v đối t ợng nghiên cứu +Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo toán áp dụng +Chọn toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá, giỏi B - phần nội dung I/Bất đẳng thức Cô-Si: 1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số không âm a b ta có : a b ab (1) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu +Chứng minh: Với hai số a b không âm ta có : ( a b )2 ú a ab b ỳ a b ab Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ a = b 2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch ®¶o +Ta cã : x y y x Víi x.y > y x vµ b = lµ hai sè d ¬ng ta cã : y x ThËt vËy : ¸p dơng (1) víi a = x y y x x y y x Ta cã ®iỊu phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy x y ú *Chó ý: a = y ú x2 = y2 ỳ x = y x (Vì x y dấu ) x y hai số nghịch đảo b = y x II/ áp dụng : Để áp dụng bất đẳng thức ta cần biến đổi làm xuất biểu thức có dạng nghịch đảo " ho n to n" không ho n to n tuỳ thuộc vào đích mà toán cần đạt tới Vậy biến đổi nh ? có ph ơng pháp ? 1/Ph ong pháp biến đổi đồng nhất: a, Một số toán đơn giản ta cần thực phép tính nhân chia xuất dạng nghịch đảo +Bài toán 1: Cho a ; b ; c số d ơng , CM : (1 a b c )(1 )(1 ) b c a b c Gi¶i: Ta cã VT = (1 =1 =2 ( 2 a c )(1 ) c a a b c a b c a b b a a b b a ) ( a c a b b a (1) c b a c c b ) ( a c a c c a c ) b b c c b 2 2 VP Ta cã ®iỊu phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ỳ a = b = c * Víi ph ¬ng pháp mời em làm tiếp toán sau: +Bài toán 2: Cho a ; b ; c số d ơng , CM : (a b c)( a b ) c * Bài mời em tự thực +Bài toán 3: Cho x số d ơng, tìm GTNN cña : A= x2 2x x -NhËn xÐt: Với x d ơng ta cần thực phép chia tử cho mẫu xuất dạng nghịch đảo -Gi¶i: Cã : A = x2 x 2x x x x Ta cã : x x x x Hay A dấu đẳng thức sảy ỳ x Nên x x x x ú x = (v× x > ) VËy Amin = ú x = +Bài toán 4: Cho a, b, c số thực d ơng thoả mÃn a + b +c = Chøng minh r»ng: a bc b c b ca c a c ab a b - NhËn xÐt: Cã a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) T ¬ng tù cã b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) ®ã ta cã: VT (a b)(a c) b c (b a )(b c) c a (a b)(a c) b c (c a)(c b) áp dụng bất đẳng thức C«-si ta cã a b (b a )(b c) c a 2(a b) (a b)(a c) b c (b a )(b c) a c VËy VT 4(a b c) (c a)(c b) a b (c a )(c b) a b hay VT 2( a c ) 2(b c) ĐPCM Đẳng thức xảy ỳ a = b = c = * Mêi c¸c em làm tiếp toán sau: +Bài toán4 : Tìm GTNN cña : B= x 15 x 16 3x C= x 16 x 56 x 80 x 356 x2 2x (víi x d ¬ng ) Gợi ý : Thực phép chia đa thức ta đ ợc : C = 4.( x 2 x 5) 256 x 2x b, Đôi phải "tách" , "nhân trộn" chia xuất đ ợc dạng nghịch đảo +Bài toán5 : Tìm GTNN : D= ( x 16 x 48)( x 12 x 27) x2 -NhËn xÐt: NÕu chia th× D = ( x (víi x số d ơng ) 48 16)( x x 27 12) Sau áp dung (1) x dấu xảy x không đồng thời 48 27 Nên ta phải tìm x x cách "c o bằng" hai số 48 27 May thay hai đa thức tử phân tích đ ợc thành nhân tử ! -Giải : Ta cã : D= = ( x 12)( x 3)( x 9)( x 4) x.x ( x 15.x 36)( x 13.x 36) x.x = (x 36 15)( x x 36 13) x ViƯc lµm tiÕp theo đơn giản ! +Bài toán : Tìm GTNN cña : E= ( x 11x 30)( x x2 22 x 120) (víi x lµ sè d ơng ) * Bài mời em tự thực 2/Ph ơng pháp thêm bớt : a/ Ta thêm bớt số vào biểu thức biến đổi làm xuất dạng nghịch đảo +Bài toán : Tìm GTNN : x A= x x ( Víi < x < ) NhËn xÐt: §iỊu kiƯn < x < làm cho A xác định hạng tử d ơng Phải làm xuất nhân tử (1 - x) Trên tử số hạng thø hai Ta cã Gi¶i : x 5(1 x) x Ta cã : A = x x x x x Nªn A 5(1 x) x 5 5 5x x x Ta cã x x 5(1 x) x x dấu đẳng thức sảy ỳ x x 5(1 x) x ú x2 = 5( - x )2 ú x = VËy A = 5 úx= 5 +Bài toán : Tìm GTNN : 5 B= ( Víi < x < ) x x NhËn xÐt: Ph¶i đồng thời làm xuất nhân tử x tử nhân tử (1 - x ) d ới mẫu Có x Còn Giải : Ta có B = = Ta cã 2x x Nªn cã B 2x x 1 x x x x 2x x 1 x x x x x 2x x x x 2 dÊu đẳng thức sảy ỳ 2 2x x x x ú x = VËy B = 2 úx= Bµi3: Cho a ; b ; c ; d số d ơng CM : a(b 1) b(c 1) c(a 1) abc +H íng dÉn: (1) abc 1 a(b 1) abc 1 b(c 1) abc 1 c(a 1) a a(b 1) b(c 1) b b b(c 1) c(a 1) c c c(a 1) a(b 1) a a a(b 1) a(b 1) a b b(c 1) b(c 1) b c c(a 1) c(a 1) c *T ¬ng tù häc sinh cã thĨ giải toán sau: +Bài toán : Tìm GTNN cña : C = 3x D= x = ( x 1) x2 2 ( víi x > ) x E = ( x 1) H íng dÉn : E = ( x 1) (víi x > - ) x x2 x 2x x 1 ) x 1 = 2( x 1) ( víi x ( x 1) ( x 1) 2 b, Nhiều việc thêm bớt phải dựa việc xác định điểm rơi (điểm cực trị) Bài1: Cho a ; b ; c ; d số d ¬ng CM r»ng : a2 b b2 c c2 d d2 a a b c d NhËn xÐt: NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y a = b = c = d Khi Êy : Gi¶i : Ta cã T ¬ng tù ta cã a2 b b : a2 b : b a2 b b 2a b2 c c 2b c2 d d 2c d2 a a 2d Nh vËy : Hay a2 b b2 c a2 b c2 d b2 c d2 a c2 d a b c d d2 a 2(a b c d ) a b c d Ta cã ®iỊu phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ a = b = c = d Bµi2: Cho a ; b ; c số d ơng CM r»ng : a2 b c b2 c2 a b c a a b c NhËn xÐt : NhËn thÊy dÊu b»ng x¶y a = b = c Khi Êy : Gi¶i : a2 b c b c Ta cã : a2 b c b c a2 b c b c a b2 a c VËy cã : Hay : a2 b c a c b c2 a b T ¬ng tù ta cã : a b c b2 a c a2 b c b2 c a c2 a b a b c c2 a b a b c a b c Ta cã điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ú a = b = c * B»ng c¸ch mời em làm tiếp toán sau : Bài3: Cho a ; b ; c số d ¬ng CM r»ng: a3 a, b b3 c c3 a ab ac bc bc a ac b ab c a b c b, 10 3, Ph ¬ng pháp tách : Ph ơng pháp đ ợc áp dụng cho loại : t ởng nh đà áp dụng đ ợc (1) ngay, nh ng dấu lại xảy Do tr ớc hết phải xác định đ ợc điểm rơi đế tách cách hợp lý áp dụng đ ợc Loại tập phổ biến , ta dành nhiều thời l ợng cho loại tập Bài : Cho a 10; b 100; c 1000 T×m GTNN cđa : A= a b c a b c NhËn xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết l ợng a b c Dự đoán điểm rơi : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 Khi : a HD giải: Có A = 99.10 100 = 99 10 10 b ; 10000 c a ; 100 b 99a 100 a 100 a 9999 100 ( a 100 9999b ) a 10000 9999.100 10000 100 1000000 999999 1000 ( b 10000 b 10000 b 999999c ) b 1000000 999999.1000 1000000 ( c 1000000 c 1000000 c = 1000 Bµi 2: Cho x ; y hai số d ơng thoả mÃn : x + y = T×m GTNN cđa: )( y 2 y ) x2 NhËn xÐt : Ta cã B = x y x y2 B = (x 2 Víi GT trªn ta cần tiêu hoá hết l ợng x2y2 Dự đoán điểm rơi : x y 11 ) c Khi ®ã 256 x y Cã x y Vµ ( x y ) xy x2 y2 ú xy 16 255 256 x y ) 256 x y Gi¶i : Ta cã B = ( x y VËy B 256 x y x2 y2 256 x y ú x y2 16 255 16 = 256 Bµi 3: Cho a ; b ; c số d ¬ng tho¶ m·n : a b c A= a b c a b T×m GTNN cđa: c Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết l ợng a b Dự đoán điểm rơi a b c c ®ã ) (4b a ) (4c b Ta cã : 4a a a T ¬ng tù cã : 4b b c 4a; 4c a Gi¶i : Cã A = (4a 4a Amin = Cßn - ( a+b+c ) VËy A ) 3(a b c) c 15 dÊu đẳng thức xảy ỳ a 15 ỳa b c 12 b c b 4b; c 4c Bµi 4: Cho a ; b ; c số d ơng thoả mÃn : a A= a b c b a b c T×m GTNN cđa: c Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết l ợng a + b +c Dự đoán điểm rơi a b c ®ã 4a a ( a Cßn VËy 4b 4c Amin = ;c 4b 4c 1 b ) c a 15 dÊu đẳng thức xảy ỳ a A ;b 4a c T ơng tự 4a b Giải :Ta cã: a 15 úa b c b c *NhËn thÊy : Bµi Bài với số d ¬ng a ; b ; c ta cã : (a b c)( a b ) c Nªn : a b c a ú b c Tuy nhiên lại phải có cách tách khác Ta có toán ta thay giả thiết : a ; b ; c số d ơng tho¶ m·n: a2 b2 c2 13 5 2a 3b Hc: 2b 3c 2c 3a 3a 3b 2c 3c Hc : 2a Bµi : Cho x ; y hai số d ơng thoả mÃn : x x x y y y2 T×m GTNN cđa: 1 ) (1 y )(1 ) y x C = (1 x)(1 NhËn xÐt : C 5 2b x y x y Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết l ợng : x + y Dự đoán điểm rơi : x 2x T ¬ng tù : y y x 2x 2y x y x ) ( 2y y ) (y 2x Gi¶i: Ta cã : C ( x Cã: x ®ã : x y 1 ( x VËy ) y x 1 ( x 2y ) y 2 1 xy C y ) x ;y 2x x y x 2 y2 Bµi : Cho x ; y hai số d ơng tho¶ m·n : x y D = 3x y x T×m GTNN cđa: y NhËn xÐt: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết l ợng x y 14 Rõ ràng với x = y = không giải đ ợc vấn đề, phải x x Thư tíi x = ; y = ổn Khi : Giải : Ta có D (x D 6 x x x y) y y x y x; 2 y? y y y 19 dấu đẳng thức xảy ỳ x = ; y = VËy Dmin = 19 ú x = ; y = Bài 7: Giả sử x1 x2 nghiệm ph ơng trình : x2 - 4x +7 - m = (1) với m tham số Tìm GTLN : P x1 x x2 x2 NhËn xét: Tr ớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , sở để xác định điểm rơi Giải : Ptrình (1) có nghiệm ú ú m úm Khi ®ã theo Vi-et ta cã : x1x2 = - m m Nªn : P m Ta cã : m m ( m 9 m ) m (m ) m 1 m m 10 dấu đẳng thức xảy ỳ m = ( T/m điều kiện) Nên P m Vậy Pmax = m (m ) m 10 11 11 ú m = 3 *T ¬ng tự mời em giải bại tập: Bài 8: Cho : a 5; ab 20; abc 60 CM r»ng : a, a b c 12 b, a b c 50 Bµi9: Cho :a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác tho¶ m·n : 15 a 5; ab 60 CMr»ng : a = ; b = ; c = 20; abc Bµi 10 : Cho : a 3; b 4; abc 24 CMr»ng : a b c 4/ Ph ơng pháp đặt ẩn phụ: Ph ơng pháp đ ợc áp dụng cho toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ biến đổi xuất dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác tìm GTNN của: A Hd : §Ỉt 4a b c a 9b a c b 16c a b c th× cã : x , y , z d ơng a = y + z a + c - b = 2y b=z+x a + b - c = 2z Khi ®ã b + c - a = 2x c =x+y A =( y z x 4y x z x 16 y 9x 4z ) ( y x x y z 16 x 9z ) ( z y 16 y ) z Bài toán2: Cho a ; b ; c số d ơng CMrằng : P 25a b c 16b c a c a b >8 HDÉn: §Ỉt : b + c = 2x c + a = 2y a + b = 2z Ta cã : a = -x + y + z ; b = x – y + z ; c = x + y – z vµ x ; y ; z lµ số d ơng Khi ta có : P => P 25( x y z ) 16( x y z ) x y z 2x 2y 2z 25( x y z ) 16( x y z ) x y z x y z 25 y 16 x 25 z x 16 z y 42 ( ) ( ) ( ) x y x z y z > …… Bµi 3: Cho a ; b ; c lµ số d ơng CMrằng : a 2a b c b 2b c a c 2c a b 16 H ớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b th× suy ra: x; y; z số d ơng và: 3x (y+z) = 4a; 3y – (x+z) = 4b; 3z – (x+y) = 4c a 2a b c 2b 3x ( y z ) 4T x x y x ( ) ( y x z Tõ ®ã víi T b c ta cã: c a 2c a b y ( x z ) 3z ( x y) y z z y z ) ( ) x z y *Bằng cách t ơng tự mời em giải toán sau: Bài 4: Cho a ; b ; c số d ơng CMrằng : a b c b c c a a b III H íng khai th¸c më réng: 1/H íng1: Sư dụng BĐT hệ a/ Ta có : ỳ ú ú ú a b b víi a b d ¬ng a a b 1 b a a b a b b a 1 (a b)( ) a b 1 (2) a b a b b/ Tổng quát hoá to¸n ta cã: + (a b c)( a b ) c + (a1 a a n )( víi a , b , c lµ số d ơng a1 a2 ) an n víi mäi > ; i = 1;2;;n c/áp dụng giải tËp: Bµi tËp 1: Cho a ; b lµ hai số d ơng thoả mÃn điều kiện : a + b = 1 ab a b 2 B ab a b 2 4ab C 2 ab a b Tìm GTNN của: A 17 Bài tập : Cho a ; b ; c số d ơng CMr»ng : 1 1 1 ( ) 2a b c a 2b c a b 2c a b c 1 1 1 b, a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b a, Bµi tËp 3:CMr»ng : Víi a ; b ; c lµ ba cạnh tam giác : 1 p a p b p c 2( a b ) víi p lµ nưa chu vi c Bµi tËp 4: Cho a ; b ; c số d ơng thoả mÃn : a b c CMr»ng: a, 1 a b c a 1 b, ab bc ca Bµi tËp 5: Cho a ; b ; c lµ số d ơng thoả mÃn : a b c CMr»ng: a 2bc b 2ca c 2ab a Bµi tËp 6: Cho a ; b ; c lµ sè d ¬ng tho¶ m·n : 2a b c a 2b c a b 2c b c CMr»ng: Bµi tËp 7: Cho a ; b ; c số d ơng thoả mÃn : a b c T×m GTNN: P 1 ab 1 ac 1 bc Bµi tËp 8: Cho a ; b ; c lµ số d ơng thoả mÃn : a b c CMr»ng: ab ac bc a 2 b2 c2 14 Bài tập 9: a) Cho a Tìm GTNN cđa A a b) Cho a T×m GTNN cđa B a 2a Bµi tËp 10: Cho a ; b số d ơng thoả m·n : a b P 2008 a b 2009 Tìm GTNN của: 2008 2008 Bài tập 11: Cho a ; b ; c số d ơng thoả mÃn : Tìm GTNN của: A a b c b c c a a b b c a c a b 18 a b c c/TriĨn khai ®Ị t i Trong việc giảng dạy môn toán, đơn vị kiến thức mở , h ớng dÉn häc sinh theo h íng : më réng, tỉng quát hoá, tìm h ớng áp dụng kiến thức Đặc biệt phần kiến thức bất đẳng thức , xác định phần kiến thức khó đối víi häc sinh , nh ng nã rÊt quan träng việc rèn khả t sáng tạo , phát triển khả tự học tự nghiên c ú cho học sinh Tôi đà triển khai theo b ớc ,đối với đối t ợng học sinh D/Kết đạt đ ợc Với việc triển khai đề tài b ớc đầu đà thu đ ợc số kết đáng khích lệ: + Học sinh đà tự tin chủ động việc học phần kiến thức + Đa số em đà tự giải đ ợc toán BĐT toán có liên quan ch ơng trình + Các em đối t ợng khá, giỏi đà giải đ ợc toán sách tham khảo + Khích lệ khả chủ động sáng tạo việc học tập môn E /Kết luận Trong việc dạy học môn toán việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo việc nắm bắt vận dụng kiến thức quan trọng Sau viƯc h íng dÉn cho häc sinh tù häc, tù nghiên cứu cần thiết Cho nên đơn vị kiến thức phần kiến thức mở tr ớc hết ng ời dạy phải đầu t thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm ph ơng pháp h ớng dẫn cho học sinh học tập cách tích cực chủ động Có nh việc dạy học đạt hiệu cao, tr ớc hết rèn cho học sinh phẩm chất ng ời lao động động sáng tạo Tuy nhiên với kinh nghiệm thân hạn chế, mong nhận đ ợc ý kiến đóng góp tất bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phong Hải ,ng y 20/3/2011 Ng ời thực đề t i Đào Khánh Linh 19 ... Chỉ số ph ơng pháp để áp dụng bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo để giải số toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị H ớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực... cúu bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo toán áp dụng +Chọn toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá, giỏi B - phần nội dung I /Bất đẳng thức Cô- Si: 1 /Bất đẳng thức Cô- Si. .. hình xây dựng ph ơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô- Si dạng nghịch đảo +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhà tr ờng +áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh +Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng