Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng và khai thác định lý về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến .3 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý 2.3.3 Hướng dẫn học sinh vận dụng định lý 2.3.4 Định hướng để học sinh khai thác định lý 2.3.5 Hệ thống tập tự luyện………………………………………… ….13 2.4 Hiệu sáng kiến .14 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị .16 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1.Mở đầu: 1.1 Lí chọn đề tài: Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Chính q trình dạy học giáo viên cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập, nhằm đưa đến kết cao dạy Muốn đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền đạt Trong thời gian giảng dạy, tơi ln nghiên cứu tìm tòi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, đặc biệt việc dạy học định lý Đó đưa kiến thức cách tự nhiên, cách dẫn dắt bước cho học sinh tự tìm lấy, phân tích hướng dẫn em thấy ý nghĩa, ứng dụng định lý, sau đưa hệ thống tập áp dụng phù hợp Với phương pháp truyền thụ thấy rằng: Trước hết người dạy cảm thấy thoải mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua tiết dạy thấy đạt tốt mục đích mình; học sinh tiếp thu kiến thức cách say mê hứng thú; kiến thức em tiếp thu ghi nhớ lâu vận dụng tốt trình giải khai thác tập liên quan Chính vậy, với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh số kiến thức để lấy điểm tối đa toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số Từ tơi nghiên cứu viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số’’ Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sinh Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi đề cập đến bốn dạng tốn: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải chứng minh bất đẳng thức 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen với định lý đồng thời biết cách vận dụng định lý để giải toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn định hướng để học sinh khai thác định lý tiếp tuyến đồ thị hàm số để tìm lời giải cho số toán chứng minh bất đẳng thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Kiến thức đạo hàm hàm số - Kiến thức ý nghĩa hình học đạo hàm - Kiến thức tương giao hai đồ thị hàm số - Kiến thức liên quan đến hệ số góc đường thẳng - Học sinh lớp 11D, 11G năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: a) Ý nghĩa hình học đạo hàm: a) / +) f ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) +) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) b) Quy tắc tính đạo hàm: / +) ( C ) = +) ( u ± v ) = u / ± v / +) ( x ) = +) ( uv ) = u / v + uv / / +) ( x) / = / / x /   +)  ÷ = v u u / v − uv / v2 +) ( x n ) = n.x n−1 ( n ∈ N , n > 1) +) ( ku ) = k ( u ) +) ( tan x ) = cos x / +)  ÷ = − v2 v v / / / / / c) Sự tương giao hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) : +) Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) Nghiệm phương trình (1) hoành độ giao điểm ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cần thiết lí sau: Thứ nhất, q trình dạy học thường dự đồng nghiệp thấy dạy định lý cho học sinh, nhiều giáo viên thường cho học sinh đọc định lý sách đồng thời thấy chứng minh Cách dạy làm cho học sinh thụ động việc tiếp thu nội dung định lý cách vận dụng khai thác định lý Qua trao đổi với đồng nghiệp chúng tơi nhận rằng: Hiện nhiều học Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sinh tiếp cận vấn đề toán học đặc biệt định lý ngộ nhận, khơng thấy hết trường hợp đặc biệt, việc khai thác ứng dụng định lý giải tập lúng túng Chính vậy, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn nhiều góc độ, khai thác mối liên hệ yếu tố đặc trưng để tìm tòi lời giải Từ hình thành cho học sinh khả tư duy, óc vận dụng sáng tạo Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng, phân tích q trình tìm tòi lời giải Thứ hai, mơn tốn có thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đòi hỏi học sinh phải giải tốn cách nhanh có thể, để tiết kiệm thời gian Thứ ba, q trình ơn luyện học sinh giỏi thường có tốn chứng minh bất đẳng thức, phần tốn khó mà đơi học sinh đọc lời giải khơng hiểu lý họ lại nghĩ hướng làm Chính tơi muốn qua sáng kiến kinh nghiệm cung cấp thêm cho học sinh định hướng cho việc tìm lời giải cho tốn chứng minh bất đẳng thức Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi đưa bốn dạng tốn mà trình giảng dạy thường gặp số tập tự luyện( xin phép chưa đề cập đến tốn tiếp tuyến có liên quan đến tham số m) Mong viết giúp ích cho số em học sinh hay chí cung cấp cho em có tài liệu hữu ích q trình học tập, đồng thời trao đổi, học hỏi với đồng nghiệp 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan: 2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Đặt vấn đề với câu hỏi sau: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu hỏi 1: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) gì? Câu hỏi 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( x0 , y0 ) có hệ số góc k Từ yêu cầu học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 , f ( x0 ) ) Qua hình thành định lý cho học sinh 2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách vận dụng định lý để giải số dạng tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Sau hình thành định lý cho học sinh, tiếp tục đưa số dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yêu cầu học sinh vận dụng nội dung định lý để giải quyết: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm Phương pháp: +) Bước 1: Tính đạo hàm y = f ( x ) suy hệ số góc tiếp tuyến k = f ( x0 ) +) Bước 2: Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) Chú ý: +) Nếu đề cho x0 tìm y0 = f ( x0 ) +) Nếu đề cho y0 tìm x0 cách giải phương trình: y0 = f ( x0 ) +) Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị ( C ) : y = f ( x ) đồ thị ( C / ) : y = g ( x ) Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: g ( x ) = f ( x ) Đặc biệt: Trục Ox : y = trục Oy : x = Sử dụng máy tính cầm tay: Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng d : y = kx + m / +) Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f ( x0 ) / W Bấm SHIFT ∫X W nhập / d ( f ( X)) dx / x = x0 Sau nhấn = ta k d ( f ( X ) ) x= x0 × ( − X ) + f ( X ) , sau dx bấm phím CALC với X = x0 bấm phím = ta m +)Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến điểm thực chất rút gọn bước cách Việc sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng tìm kết hạn chế sai sót tính tốn Nếu học sinh có khả tính nhẩm tốt bỏ qua cách Thí dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = x + x điểm M ( 1,3) là: A y = x + B y = x − C y = −7 x + D y = −7 x − Lời giải: Cách 1: / / Ta có: y = x + x ⇒ k = y ( 1) = Phương trình tiếp tuyến M ( 1,3) là: Chọn đáp án B Cách 2: W +) Bấm SHIFT ∫X nhập W y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y = x − d ( X + 2X ) dx x =1 Sau nhấn = ta kết d X + X ) x =1 × ( − X ) + X + X , ( dx sau bấm phím CALC với X = bấm phím = ta kết −4 +) Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp: +) Bước 1: Tính đạo hàm y = f ( x ) suy hệ số góc tiếp tuyến k = f ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , sau thay vào tìm y0 +) Bước 2: Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) Chú ý: Đề thường cho hệ số góc đường thẳng số dạng sau: +) Tiếp tuyến d / / ∆ : y = ax + b ⇒ k = a / / +) Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y = ax + b ⇒ k = − / a +) Tiếp tuyến tạo với Ox góc α k = tan α +) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng ∆ : y = ax + b góc α : Khi k − a = tan α + ka Sử dụng máy tính cầm tay: Phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng d : y = kx + m +) Tìm hồnh độ tiếp điểm x0 Thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số +) Nhập k ( − X ) + f ( X ) sau bấm phím CALC với X = x0 bấm phím = ta kết m Thí dụ 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = với đường thẳng ∆ : x − y + = là: A y = 3x − B y = 3x + Lời giải: / / Ta có: y = x + x ⇒ k = y ( 1) = Cách 1: Phương trình tiếp tuyến M ( 1,3) là: Chọn đáp án B Cách 2: W +) Bấm SHIFT ∫X W nhập 2x +1 song song x+2 C y = 3x + 14 D y = 3x + y − y0 = f / ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y = x − d X + 2X ) ( dx x =1 Sau nhấn = ta kết d X + X ) x =1 × ( − X ) + X + X , ( dx sau bấm phím CALC với X = bấm phím = ta kết −4 +) Tiếp theo: Bấm phím < để sửa lại thành Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A , y A ) Phương pháp: Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai đồ thị hàm số +) Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A ( xA , y A ) có hệ số góc k d : y = k ( x − x A ) + y A ( 1)  f ( x ) = k ( x − x A ) + y A có nghiệm /  f ( x ) = k +) d tiếp tuyến (C) hệ :  +) Giải hệ tìm x ⇒ k suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: +) Gọi M ( x0 , f ( x0 ) ) tiếp điểm / +) Tính hệ số góc k = f ( x0 ) theo x0 / +) Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ( ) Thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Vì A ( x A , y A ) ∈ d nên y A = f ( x0 ) ( xA − x0 ) + f ( x0 ) ( ) Giải phương trình tìm x0 +) Thay x0 vào (2) ta phương trình tiếp tuyến Thí dụ 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = −4 x3 + 3x + qua điểm A ( −1, ) có phương trình là: A y = −9 x + 7, y = − x + B y = −9 x + 11, y = C y = −9 x − 11, y = − x + D y = −9 x − 7, y = / Hướng dẫn: Ta có y = −12 x + +) Phương trình đường thẳng qua điểm A ( −1, ) có hệ số góc k / d : y = k ( x + 1) + ( 1)  −4 x3 + 3x + = k ( x + 1) + ( 1) +) d tiếp tuyến (C) hệ :  có  −12 x + = k ( ) nghiệm  x = −1 Thay (2) vào (1) ta được: −4 x + 3x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) + ⇔  x=  y = − x − x = − ⇒ k = − Với Phương trình tiếp tuyến là: Với x = ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 Kết luận: Đáp án D Nhận xét: Đối với toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian dễ dẫn đến sai lầm Do để giải tốn cách nhanh chóng xác nhằm tiết kiệm thời gian ta sử dụng máy tính bỏ túi để thử đáp án sau: +) Cho f ( x ) đáp án, từ ta thu phương trình +) Sử dụng chức giải phương trình bậc ba máy tính bỏ túi Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án Cụ thể tốn này: +) Thử đáp án A, ta cho: −4 x3 + 3x + = −9 x + ⇔ −4 x + 12 x − = Máy tính cho nghiệm ⇒ loại A +) Thử đáp án B, ta cho: −4 x3 + 3x + = − x + ⇔ −4 x3 + x − = Máy tính cho nghiệm ⇒ loại B +) Thử đáp án C, ta cho: −4 x3 + 3x + = −9 x + 11 ⇔ −4 x3 + 12 x − 10 = Máy tính cho nghiệm thực nghiệm phức ⇒ loại C ⇒ Chọn đáp án D 2.3.4 Định hướng để học sinh biết cách khai thác định lý để tìm lời giải cho số tốn chứng minh bất đẳng thức Thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng 4: Sử dụng tiếp tuyến để tìm lời giải chứng minh bất đẳng thức Phương pháp: Đặt vấn đề: Câu hỏi 1: Quan sát hình vẽ bên cho biết vị trí tương đối tiếp tuyến d với đồ thị hàm số (C) khoảng ( a, b ) ? Câu hỏi 2: Tương tự cho học sinh quan sát hình vẽ bên cho biết vị trí tương đối tiếp tuyến h với đồ thị hàm số (C) khoảng ( e, f ) ? y d Oe a (C) f b x h Qua giáo viên rút lưu ý sau: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm khoảng lồi ln nằm phía đồ thị hàm số tiếp tuyến điểm lõm ln nằm phía đồ thị hàm số, điểm uốn tiếp tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét: +) Nếu y = px + q tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm M ( x0 , y0 ) ( M điểm uốn) tồn khoảng ( a, b ) chứa điểm x0 : f ( x ) ≥ px + q, ∀x ∈ ( a, b ) f ( x ) ≤ px + q, ∀x ∈ ( a, b ) Đẳng thức xảy khi: x = x0 Từ ta có: f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ a ( x1 + x2 + + xn ) + nb với ∀x1 ; x2 , xn ∈ ( a; b ) đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn = x0 n Nếu ∑x i =1 i = k ( không đổi) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ pk + nq f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≤ pk + nq Sau vận dụng nhận xét để chứng minh số bất đẳng thức: 10 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Thí dụ 4: Cho a, b, c ∈ R : a + b + c = Chứng minh: a + b + c ≥ ( a + b + c ) Phân tích: 4 Bất đẳng thức ⇔ ( a − 2a ) + ( b − 2b ) + ( c − 2c ) ≥ ⇔ f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ Từ đó: f ( x ) = x − x Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại điểm có hồnh độ x0 = y = x − 16 Ta hi vọng đánh giá được: f ( x ) ≥ x − 16, ∀x ∈ R 3 Thật ta có: f ( x ) − ( x − 16 ) = x − x − ( x − 16 ) ≥ ⇔ x ( x − ) − ( x − ) ≥ ⇔ ( x − 2) (x 4 3 + x + ) ≥ 0, ∀x ∈ R Qua ta trình bày lời giải sau: 3 Ta có: a − 2a − ( 8a − 16 ) ≥ ⇔ a ( a − ) − ( a − ) ≥ ⇔ ( a − 2) (a + 2a + ) ≥ 0, ∀a ∈ R Suy ra: a − 2a ≥ 8a − 16, ∀a ∈ R ( 1) Tương tự: b − 2b ≥ 8b − 16 ( ) c − 2c ≥ 8c − 16 ( 3) 4 Từ ( 1) , ( ) , ( 3) ta có: ⇔ ( a − 2a ) + ( b − 2b ) + ( c − 2c ) ≥ ( a + b + c ) − 16.3 ⇔ a + b + c ≥ ( a + b3 + c ) (đpcm) Dấu xảy ⇔ a = b = c = Nhận xét: Nếu học sinh chưa biết tới phương pháp khơng thể hiểu người ta nghĩ phải trừ “ 8a − 16 ” mà biểu thức khác Như sau tiếp cận với phương pháp học sinh có tư sâu hơn, rộng hơn, bao quát việc giải toán chứng minh bất đẳng thức Thí dụ 5: Cho a, b, c ≥ − Phân tích: a b c a + b + c = Chứng minh: + + ≤ a + b + c + 10 Ta thấy đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Và bất đẳng thức có dạng: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤ 10 x  5 , ∀x ∈  − ,  Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) x +1  2 36 x + Tại điểm có hồnh độ x0 = y = Ta hi vọng đánh giá được: 50 36 x +  5 f ( x) ≥ , ∀x ∈  − ,  50  2 Trong đó: f ( x ) = Thí dụ 4, thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số 11 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( 3x − 1) ( x + 3) ≥ 0, ∀x ∈ − ,  36 x + 36 x + x − f ( x) = − = Thật ta xét:   50 50 x +1 50 ( x + 1) Qua ta trình bày lời giải sau: ( 3a − 1) ( 4a + 3) ≥ 0, ∀a ∈  − ,  36a + a − = Ta có:   50 a +1 50 ( a + 1) a 36a +  5 ≤ , ∀a ∈  − ,  ( 1) a +1 50  2 b 36b + , ( 2) Tương tự: ≤ b +1 50 c 36c + ≤ , ( 3) c +1 50 a b c Từ ( 1) , ( ) , ( 3) ta có: + + ≤ (đpcm) a + b + c + 10 Dấu xảy ⇔ a = b = c = Suy ra: Nhận xét: Như qua hai ví dụ ta thấy việc phải hướng dẫn em chọn điểm “rơi” xác, sau xác định hàm số y = f ( x ) , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm rơi đánh giá Tuy nhiên chứng minh bất đẳng thức có sẵn hàm số y = f ( x ) dễ dàng tìm thấy hàm số y = f ( x ) hai ví dụ mà có ta phải thực vài phép biến đổi xuất hàm số thí dụ sau: Thí dụ 6: Cho a, b, c > : a + b + c = Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ac Phân tích: − a − b2 − c Ta có: ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ⇔ ab + bc + ac = 2 2 Nên bất đẳng thức viết dạng: a + a + b + b + c + c ≥ 2 2 ( ⇔ f ( a) + f ( b) + f ( c) ≥ ) ( ) ( ) Từ đó: f ( x ) = x + x , < x < Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại điểm có hồnh độ x0 = y = 3x Ta có: f ( x ) − 3x = x + x − 3x = ( x − 1) ( x + x ) ≥ Suy ra: a + a ≥ 3a, < a < ( 1) Tương tự: b + b ≥ 3b, ( ) c + c ≥ 3c, ( 3) Thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số 12 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2 Từ ( 1) , ( ) , ( 3) ta có: ( a + a ) + ( b + b ) + ( c + c ) ≥ (đpcm) Dấu xảy ⇔ a = b = c = ( b + c − a) + ( a + c − b) + ( b + a − c) ≥ Thí dụ 7: Cho a, b, c > Chứng minh: 2 2 a + ( b + c) b2 + ( a + c ) c2 + ( b + a ) 2 Phân tích: Trước hết cần biến đổi bất phương trình sau: ( b + c − a ) − + ( a + c − b ) − + ( b + a − c ) − ≥ − 12 2 a2 + ( b + c ) b2 + ( a + c ) c2 + ( b + a ) ( b + c) a + ( a + c) b + ( b + a) c ≤ 2 a2 + ( b + c ) b2 + ( a + c ) c2 + ( b + a ) 2 Do phân thức vế trái có tử số mẫu số đồng bậc, khơng tính tổng qt ta giả sử a + b + c = Khi bất đẳng thức viết lại dạng: ( − a) a + ( − b) b + ( − c) c 2 a2 + ( − a ) b2 + ( − b ) c2 + ( − c ) ≤ 1 ⇔ + + ≤ 2a − 6a + 2b − 6b + 2c − 6c + Ta thấy đẳng thức xảy ⇔ a = b = c = Bất đẳng thức viết lại: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤ Ta có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) Tại 2x − 6x + 2x + điểm có hồnh độ x0 = y = 25 Trong đó: f ( x ) = Thật ta chứng minh: 2x + ≤ , ∀x ∈ ( 0,3) ⇔ ( x − 1) ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0,3) 2x − 6x + 25 2a + 2b + 2c + 3 + + = Suy ra: f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤ 25 25 25 Dấu xảy ⇔ a = b = c = Nhận xét: Bất đẳng thức “ hay ” “ khó” khơng với học sinh mà giáo viên Chính tơi muốn thơng qua sáng kiến kinh nghiệm nho nhỏ giúp học sinh thấy hay đẹp bất đẳng thức,học sinh khơng e sợ bất đẳng thức nữa.Từ khơng ngừng học hỏi, tìm tòi giải tốn bất đẳng thức nói riêng nghiên cứu tốn học nói chung Qua việc phân dạng đưa phương pháp giải tương ứng Hi vọng giúp học sinh nhanh chóng đưa cách giải phù hợp cho nhằm tiết kiệm thời gian tối đa có kết làm xác Thí dụ tham khảo từ tài liệu tham khảo số 13 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Dưới hệ thống tập tương tự mà siêu tầm Mong tài liệu tham khảo bổ ích giúp em học sinh ôn tập tốt phần kiến thức này: 2.3.5 Hệ thống tập tự luyện: Bài tập trắc nghiệm : Bài tập 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x3 − x + giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có phương trình là: A y = B x − y − = C x + y − = Bài tập 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = số với trục hồnh có phương trình là: A y = 3x B y = 3x − D x = x −1 giao điểm đồ thị hàm x+2 C y = x − 3 D y = x − Bài tập 3: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = tan x điểm có hoành độ x0 = π là: A B C D Bài tập 4: Đồ thị hàm số y = x − x có tiếp tuyến song song vói trục hoành A B C D Bài tập 5: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x + 3x − x + biết tiếp tuyến có hệ số góc k = A y = x − 4, y = x + 28 B y = x + 4, y = x − 28 C y = x − 4, y = x − 28 D y = x + 4, y = x − 28 Bài tập 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x3 − x + 3x + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x + A y = 3x + 101, y = 3x − 11 B y = 3x + 1, y = 3x − C y = 3x + D y = 3x, y = 3x − 29 3 Bài tập 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x3 − x + 3x + biết x tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = − + x y = x − 1, y = x + 10 C A y = − + 11 97 , y = 8x − 3 y = x + 101, y = x − 11 D B y = x + Bài tập 1,2,3,4,5,6,7 tham khảo từ tài liệu tham khảo số 14 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài tập 8: Tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = 3x − biết tiếp tuyến tạo với trục x −1 hồnh góc 450 A y = − x + 2, y = − x B y = − x + 6, y = − x + C y = − x − 3, y = − x + D y = − x − Bài tập 9: Số tiếp tuyến qua điểm A ( 1, −6 ) đồ thị hàm số y = x3 − 3x + A B C D Bài tập 10: Số tiếp tuyến qua điểm A ( 1, ) đồ thị hàm số y = x3 − x + A B C D Bài tập tự luận: Bài tập 11: Cho a, b, c, d ≥ a + b + c + d = Chứng minh: a b c d + + + ≤ 2 2 + 3a + 3b + 3c + 3d a , b , c , d > Bài tập 12: Cho a + b + c + d = Chứng minh: ( a + b3 + c + d ) ≥ ( a + b + c + d ) + a , b , c , d > a + b + c + d = Chứng minh: Bài tập 13: Cho 3 3  a   b   c   d   ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ≥  a +   b +   c +   d +  27 Bài tập 14: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: a b c ≤ + + ≤1 10 + bc + ac + ab Bài tập 15: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: Bài tập 16: Cho a, b, c > Chứng minh: ( 2a + b + c ) + ( 2b + a + c ) + ( 2c + b + a ) 2 2a + ( b + c ) 2b + ( a + c ) 2c + ( b + a ) 2 1 + + ≤ − bc − ac − ab ≤8 Bài tập 17: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: 1 + + ≤ − bc − ac − ab 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Thực tế cho thấy, đối tượng học sinh trực tiếp giảng dạy ôn luyện, em có lực học mức trung bình, gặp tốn ba dạng đầu dễ dàng xử lý được, gặp tốn bất đẳng thức thường sợ bỏ qua, nhiên sau hệ thống lại tồn kiến thức phương trình tiếp tuyến kiến thức liên quan, đồng thời tiến hành cho em việc tìm lờiđược giải tham cho minh bấtsốđẳng thức Bàidạy tập 8, 9, 10,11,12,13,14,15,16,17 khảotoán từ tàichứng liệu tham khảo 15 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cách sử dụng kiến thức tiếp tuyến từ đơn giản nâng dần mức độ lên thấy cách làm tạo cho học sinh nhanh nhẹn, kiên trì, linh hoạt, hứng thú khơng thấy sợ tốn chứng minh bất đẳng thức Qua kích thích em khơng ngừng tìm tòi, khám phá phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác Đồng thời học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho phần toán Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ôn tập kĩ lưỡng, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi học sinh giỏi Đồng thời biết tự xây dựng cho hệ thống tập phù hợp với nội dung kiến thức học tập tương tự đề thi Qua đó, hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Qua kết thực nghiệm, đồng thời với cương vị người trực tiếp giảng dạy nhận thấy việc hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cần thiết hiệu Kết luận, kiến nghị: 3.1 Kết luận: Phương pháp dạy học thực thí điểm lớp 11D, 11G bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Kết thu khả quan: Hầu hết em học sinh say mê hứng thú học, q trình ơn tập, kiểm tra cũ thấy em nắm vững kiến thức vận dụng làm tốt Kết cuối kỳ, cuối năm em đạt cao Kết cụ thể sau: +) Lớp 11D: Kết Giỏi Học kì 15 Học kì 20 Cả năm 20 Ghi 16 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Khá TB Yếu +) Lớp 11G: 25 24 0 23 Kết Học kì Học kì Cả năm Ghi Giỏi 8 Khá 20 24 25 TB 15 Yếu 0 Trong trình trao đổi với đồng nghiệp đồng nghiệp đánh giá cao nghiên cứu vận dụng Tuy nhiên muốn phương pháp phát huy hiệu tối đa đòi hỏi người thầy phải biết vận dụng sáng tạo, linh hoạt, phù hợp với kiến thức cần truyền thụ cho học sinh, đánh giá đối tượng học sinh để giới thiệu khai thác kiến thức cách phù hợp 3.2 Kiến nghị: Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chính, ln trau dồi kiến thức, khơng ngừng tìm tòi, nghiên cứu phương pháp mới, phù hợp với đối tượng học sinh, nhằm đem lại hiệu cao q trình giảng dạy Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích cực, chủ động tiếp cận kiến thức cách khoa học Đối với nhà trường: nhân rộng đề tài khoa học nhà trường để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý vận dụng trình dạy học Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để viết hồn thiện hơn, việc ứng dụng nội dung viết vào giảng dạy cho học sinh lớp mình, qua đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hấp dẫn hiệu 17 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hố, ngày 15/05/2019 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Lê Thị Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục [2] Các giảng luyện thi môn Tốn – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục 18 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2018 – Phan Đức Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam [4] Đề thi thử THPTQG trường THPT – Nguồn internet DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 19 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Họ tên tác giả: Lê Thị Minh Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn TT Tên đề tài SKKN Rèn luyện kĩ giải nhanh toán trắc Kết Năm học Cấp đánh đánh đánh giá xếp giá xếp loại giá xếp loại loại Sở GD&ĐT tỉnh Thanh C Hóa 2016 – 2017 nghiệm đường tiệm cận đồ thị hàm số Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải số Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa C 2017-2018 phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm 20 ... trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Đặt vấn đề với câu hỏi sau: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu hỏi 1: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm. .. tài liệu tham khảo số 14 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng khai thác định lý phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài tập 8: Tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = 3x − biết tiếp tuyến tạo với trục... hình thành định lý cho học sinh 2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách vận dụng định lý để giải số dạng tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Sau hình thành định lý cho học sinh, tiếp tục đưa số dạng