Hướng dẫn học sinh tìm một số tính chất của hàm số y=f(x) từ đồ thị hàm số y =f(x)

MỤC LỤC Mục Nội Dung Trang Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Nội dung đề tài 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng đề tài 10 2.3 Giải pháp giải vấn đề 11 2.4 Hiệu đề tài 17 12 Kết luận kiến nghị 17 13 3.1 Kết luận 17 14 3.2 Kiến nghị 17 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết, khơng thể thiếu đời sống người Mơn tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn Trong việc dạy học tốn ta ln coi mục đích chủ yếu tập tốn hình thành phát triển tư toán học tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Trong giải tích, đạo hàm cơng cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số đạo hàm có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể thông qua đồ thị Việc dựa vào đồ thị để tìm tính chất hàm số đưa đến cho điều thú vị toán hay Trong đề thi nay, xuất nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị hàm số yêu cầu tính chất biến thiên cực trị số tính chất khác hàm số Đặc biệt đề thi THPTQG mơn tốn Bộ GDĐT năm 2017, số câu vận dụng cao có đề cập đến dạng tốn từ đến dạng tốn thường xun xuất đề thi khảo sát mơn tốn Sở GDDT, trường đại học trường THPT Trong năm học 2017 – 2018 phân công giảng dạy lớp 12 trường THPT Dương Đình Nghệ Ngôi trường chuyển từ bán công sang công lập, chất lượng học sinh non trường bạn gặp dạng toán đa số em bỡ ngỡ không giải Là giáo viên băn khoăn trăn trở việc làm để giúp học sinh có kiến thức kĩ giải dạng tốn Với lí tơi chọn viết “Hướng dẫn học sinh tìm số tính chất hàm số từ đồ thị hàm số ’’ trình bày số cách tiếp cận để giải toán liên quan đến đồ thị hàm số 1.2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn học sinh học phần đồ thị hàm số tính chất đồ thị hàm số Phân tích sai lầm đề xuất phương giải giúp học sinh giải tốt dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn trường THPT nói chung trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng 1.3 Đối tượng nghiên cứu • Nghiên cứu số ứng dụng đạo hàm • Nghiên cứu số ứng dụng tích phân • Hình thành phương pháp giải toán gặp đồ thị hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, số tài liệu có liên quan • Chương ứng dụng đạo hàm, chương nguyên hàm, tích phân sách giáo khoa Giải tích lớp 12 • Đề thi khảo sát mơn tốn lớp 12 sở GDĐT, trường đại học, trường THPT • Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu thơng qua giáo viên tốn trường phổ thơng, qua kiểm tra học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ • Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm số tiết trường THPT Dương Đình Nghệ NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 sở lí luận Muốn học tốt mơn tốn em cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập, điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Trong q trình giải tốn nhà trường đặc biệt cấp THPT Quốc gia, toán tìm tính chất hàm số thơng qua đồ thị hàm số toán hay cần có phương pháp giải cụ thể rõ ràng để giúp học sinh giải toán cách hiệu Những kiến thức liên quan đến vấn đề 2.1.1 Quy tắc tính đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 11) 2.1.2 Ứng dụng đạo hàm (sách giáo khoa Giải tích lớp 12) 2.1.3 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân ứng dụng (sách giáo khoa Giải tích lớp 12) 2.2 Thực trạng đề tài Học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ đối tượng tuyển sinh có đầu vào thấp, đa số em khơng có tố chất nên học tập em tiếp thu chậm, không hệ thống kiến thức, không tự trau dồi thêm cho kiến thức sau giảng, khơng rút cho kinh nghiệm, phương pháp giải sau toán Khi gặp toán đồ thị hàm đa số học sinh khơng định hình cách giải, khơng xác định tính chất hàm số Bên cạnh sách giáo khoa không nêu lên phương pháp cụ thể nào, thời lượng dành cho phần lại Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải dạng loại tốn Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán đồ thị hàm số 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Đồ thị hàm số tính đồng biến nghịch biến hàm số 2.3.1.1 Một số kiến thức cần nhớ Định lí: Hàm số có đạo hàm K Nếu với x thuộc K hàm số đồng biến (tăng) K Nếu với x thuộc K hàm số nghịch biến (giảm) K Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy: a) Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh b) Nếu thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh Từ ta có kết luận: a) thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh khoảng hàm số đồng biến (tăng) b) thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh khoảng hàm số nghịch biến (giảm) 2.3.1.2 Các ví dụ Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục, có đồ thị hàm số y = f '( x) hình bên Khi hàm số đồng biến khoảng A ( −∞;0);(2; +∞ ) C (−∞ ;1);(2; +∞ ) B (0; 2) D (−∞ ;0);(1; +∞ ) • Đinh hướng cách giải: Học sinh vận dụng kết luận quan sát đồ thị hàm số y = f '( x) thấy ứng với đồ thị hàm số y = f '( x) nằm phía trục hồnh nên kết luận đáp án đáp án A Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục, có đồ thị hàm số y = f '( x) hình bên Khi hàm số nghịch biến khoảng A (−∞; −2);(1; +∞ ) C (−2;1) B ( −∞; −1);(0;1) D (−∞;0);(1; +∞ ) Định hướng cách giải: Ở ví dụ ta thấy đồ thị hàm số phức tạp chút học sinh lúc hình thành cho phương pháp tư nên em quan sát đồ thị thấy phần đồ thị nằm phía trục hoành ứng với thuộc khoảng nên chọn đáp án đáp án C Ví dụ (Đề tham khảo Bộ GD ĐT năm 2018) Cho hàm số y = f ( x) y = f ′( x) Hàm số y = f ( − x) có đồ thị hình bên Hàm số đồng biến khoảng: A (1;3) B (2; C D ( • Định hướng: Ở ví dụ u cầu tốn lúc khơng đơn kết luận tính đồng biến nghịch biến hàm số khí biết đồ thị hàm số mà kết luận tính đồng biến hàm hàm hợp hàm số lúc hướng tư học cơng thức tính đạo hàm hàm hợp xét dấu đạo hàm dựa đồ thị hàm số • Cách giải: +) Quan sát đồ thị hàm số ta có +) Tính hàm số đồng biến +) Vậy đáp án đáp án C Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục ¡ Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số Xét hàm số Mệnh đề sai ? Hàm số đồng biến ( −1;0 ) A B Hàm số nghịch biến ( −∞; −1) C Hàm số nghịch biến ( 1;2 ) D Hàm số đồng biến ( 2; +∞ ) • Định hướng: Vẫn yêu cầu suy tính chất hàm số hợp nên hướng tiếp cận tốn học sinh tương tự ví dụ biểu thức hàm hợp phức tạp • Cách giải: Khi Suy hàm số đồng biến khoảng Ví dụ Cho hàm số y = f (x) ( −1;0 ) ( 1; +∞ ) có đồ thị hàm số y = f ′(x) cho hình bên Hàm số y = −2f (2 − x) + x nghịch biến khoảng (−1; 0) (0; 2) A B (−2; − 1) (−3; − 2) D C Nhận xét: Ở ví dụ yêu cầu từ đồ thị hàm số kết luận tính đồng biến hàm nâng mức độ tư học sinh Cách giải: +) Tính +) Xét dấu hàm dựa vào đồ thị hàm số +) Đặt +) Xét tương giao đồ thị hàm số quan sát đồ thị hai hàm số ta có: +) Vậy nghịch biến ( chọn đáp án A 2.3.1.3 Phương pháp: Qua số ví dụ rút phương pháp chung cho toán từ đồ thị hàm số hàm số để suy tính đồng biến, nghịch biến hàm số với k số • Tính • Tìm mối liên hệ đồ thị hàm số , sau đìm mối liên hệ đồ thị hàm số • Xét dấu khoảng theo yêu cầu đề • Kết luận 2.3.1.4 Bài tập rèn luyện Bài Cho hàm số xác định, liên tục ¡ có đạo hàm Biết hàm số có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau A Hàm số đồng biến khoảng (−2;0) 0;+∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −3) C Hàm số đồng biến khoảng ( −3; −2 ) Hàm số nghịch biến khoảng ( D Bài Cho hàm số f(x) xác định ¡ có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? −1;1) A Hàm số nghịch biến khoảng ( ( 1; ) ( −2;1) đồng biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số ( 0; ) D Hàm số nghịch biến khoảng Bài 3: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f '( x) hình bên Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng    1 − ;0 ÷  − ; ÷ 0;2 ) −2; −1) ( (   A B C D  2  Bài 4: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm y = f ' ( x ) hình vẽ bên Xét hàm số g ( x) = f x2 − Mệnh đề sai? A Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −1; ) B Hàm số g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) C Hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0; ) D Hàm số g ( x ) đồng biến ( 2; +∞ ) y = f ( x) y = f ¢( x) Bài 5: Cho hàm số Hàm số có đồ ( ) ( ) y = f x2 thị hình vẽ bên Hàm số có khoảng nghịch biến B C D A Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) Biết hàm số y = f ′( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y = f ( − x2 ) A ( 0;1) ( 2;3) C Bài đồng biến khoảng B ( −1;0 ) Cho hàm số D ( − 2; − 1) y = f ( x) xác định, liên tục ¡ y ' = f '( x) đạo hàm có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số y = f ( x) đồng biến B Hàm số y = f ( x) nghịch biến ( 0; ) C Hàm số y = f ( x) nghịch biến ( −∞; −1) D Hàm số y = f ( x) đồng biến ¡ ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) 2.3.2 Đồ thị hàm số cực trị hàm số 2.3.2.1 Một số kiến thức liên quan • Nếu hàm số có đạo hàm (a;b) đạt cực đại cực tiểu • Từ suy ra, hàm số đạt cực trị điểm đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có tọa độ ( • Ngược lại, hàm số liên tục,có đạo hàm , đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có tọa độ ( đồng thời đổi dấu qua điểm cực trị hàm số • Nếu đổi dấu từ âm sang dương qua điểm cực tiểu, đổi dấu từ dương sang âm qua điểm cực đại 2.3.2.2 Các ví dụ Ví dụ Cho hàm số xác định ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ bên Hàm số có điểm cực trị? A.1 B C D • Định hướng Quan sát đồ thị hàm số nhận xét số giao điểm đồ thị trục hồnh, phần đồ thị nằm phía trên, phía trục hoành để kết luận dấu hàm số tương ứng • Cách giải +) có nghiệm phân biệt có nghiệm làm cho đạo hàm đổi dấu nên hàm số có điểm cực trị Chọn C : Cho hàm số xác định có đạo hàm Ví dụ Biết hình vẽ bên đồ thị hàm số Khẳng định sau cực trị hàm số A Hàm số đạt cực tiểu B Hàm số đạt cực tiểu C Hàm số đạt cực đại D Hàm số đạt cực đại • Định hướng Các em quan sát đồ thị hàm số trả lời câu hỏi đổi dấu từ dương sang âm qua điểm nào? • Cách giải Tại hàm số đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu Chọ đáp án B Ví dụ Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x) = f ( x) − x3 + x2 − x + đạt cực đại điểm nào? A x = B x = −1 C x = x = D • Định hướng Để tìm điểm cực đại hàm số trước tiên đạo hàm tìm thêm tương giao đồ thị hàm số đồ thị hàm số • Cách giải +) , +) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị hàm số +) Quan sát đồ thị suy +) BBT hàm số Dựa vào BBT kết luận hàm số đạt cực đại 10 Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A B C D • Định hướng Trước tiên tính đạo hàm , dựa vào đồ thị hàm số lập BBT hàm số • Cách giải +) Đặt +) +) BBT +) quan sát BBT hàm số có điểm cực trị 2.3.2.3 Phương pháp Để tìm cực trị hàm số từ đồ thị hàm số gồm bước sau • Tìm đạo hàm hàm số • Quan sát đồ thị lập BBT • Dựa vào BBT để kết luận toán 2.3.2.4 Bài tập rèn luyện Bài Đồ thị sau hàm số Khi hàm số có điểm cực trị? A B C D 11 y = f ( x) y ' = f '( x) Bài Cho hàm số hàm số có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số B Đồ thị hàm số C Đồ thị hàm số D Đồ thị hàm số y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) có ba điểm cực trị có hai điểm cực trị khơng có cực trị có điểm cực trị Bài Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số x3 g ( x) = f ( x) − + x2 − x + đạt cực tiểu điểm đây? A x = B x = 0,5 C x = D x = −1 Bài Cho hàm số y = f ( x ) xác định R Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Đặt 3 g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 Điểm cực tiểu hàm số g ( x ) đoạn [ −3;1] = x CT = A x CT = −1 B C x CT = −2 D x CT 2.3.3 Đồ thị hàm số giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 2.3.3.1 Một số kiến thức liên quan • Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số bảng biến thiên Bảng 12 Bảng Bảng • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số +) Diện tích hình phẳng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường S= +)Diện tích hình phẳng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường S= +) 2.3.3.2 Các ví dụ 13 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f '( x) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a, b, c hình vẽ Mệnh đề f c + f ( a) − f ( b) > A ( ) B ( f ( b ) − f ( a ) ) ( f ( b ) − f ( c ) ) < f a > f ( b) > f ( c) C ( ) D f ( c ) > f ( b ) > f ( a ) • Định hướng Để so sánh giá trị f(x) trước tiên quan sát đồ thị hàm số , lập BBT hàm số dựa vào BBT ta so sánh số giá trị hàm số • Cách giải +) Dựa vào đồ thị hàm số có BBT hàm số x a b c y' + y − f(a) + − f(c) f(b) +) BBT +) Dựa vào BBT suy , từ suy +) Chọn đáp án B 14 Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm liên tục ¡ − 2; 6] đồ thị hàm số đoạn [ hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau A B C D • Định hướng Lập BBT hàm số , so sánh diện tích hình phẳng • Cách giải x y' + − + y +) BBT +) Dựa vào đồ thị , so sánh diện tích hình phẳng +) +) +) Kết luận Đáp án đáp án C -3 -2 15 Ví dụ Cho hàm số liên tục Đồ thị hàm số hình bên Đặt Mệnh đề đúng? A B C D Không tồn giá trị nhỏ [ −3;3] • Định hướng Để tính giá trị f(x) trước tiên quan sát đồ thị hàm số , lập BBT hàm số dựa vào BBT ta so sánh số giá trị hàm số, sau dùng diện tích hình phẳng để rút GTNN hàm [-3;3] •Cách giải Ta có: +) +) +) BBT -3 + − -2 +) Đáp án B 2.3.3.3 Phương pháp: Để tìm cực trị hàm số từ đồ thị hàm số gồm bước sau • Tìm đạo hàm hàm số • Quan sát đồ thị lập BBT, so sánh số giá trị hàm số • Quan sát đồ thị để so sánh diện tích hình phẳng để so sánh số giá trị Từ rút kết luận tốn 2.3.3.4 Bài tập rèn luyện 16 Bài Cho hàm số Đồ thị hàm số hình vẽ bên Đặt Mệnh đề đúng? A B D C Bài Cho hàm số ) có đồ thị cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ hình vẽ Xét mệnh đề sau Trong mệnh đề có mệnh đề ? A B C D ′ Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) ′ ¡ đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành điểm a, b, c, d (hình bên) Chọn khẳng định khẳng định sau: A B C D f ( c) > f ( a ) > f ( b) > f ( d ) f ( a) > f ( c) > f ( d ) > f ( b) f ( a) > f ( b) > f ( c) > f ( d ) f ( c) > f ( a ) > f ( d ) > f ( b) Bài Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình dưới: Xét khẳng định sau: (I) Hàm số y = f ( x ) có cực trị (II) Phương trình f ( x ) = m + 2018 có nhiều ba nghiệm (III) Hàm số y = f ( x + 1) nghịch biến 17 khoảng ( 0;1) Số khẳng định A B C D Bài Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Xét hàm số Mệnh đề đúng? g ( x ) = g ( −1) g ( x ) = g ( 1) A [ −3;1] B [ −3;1] g ( x ) = g ( −3) C [ −3;1] g ( x ) = D [ −3;1] g ( −3) + g ( 1) 2.4 Hiệu đề tài • Trong trình giảng dạy nội dung từ đồ thị hàm số suy số tính chất hàm số , thân đồng nghiệp hình thành cho phương pháp để truyền đạt kiến thức, kĩ cho học sinh cách dễ hiểu nhất, tạo cho học sinh niềm đam mê học nội dung • Đối với học sinh, em nắm vững kiến thức Đạo hàm, Ứng dụng đạo hàm, Tích phân, Ứng dụng tích phân Đặc biệt tự tin gặp dạng toán đề thi thử THPTQG • Để kiểm tra tính hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 12A 1, 12A6 trường THPT Dương Đình Nghệ - Thiệu hóa Trong lớp 12A6 chưa tiếp cận phương pháp sử dụng đề tài, kiểm tra hình thức trắc nghiệm, thời gian làm 15 phút với kết thu sau Lớp Sĩ số Điểm < 5 ≤ Điểm