Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán tìm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong vài năm gần thi mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, câu hỏi hàm xuất xuất với số lượng nhiều đề thi Nội dung câu hỏi khai thác nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu hỏi thực gây khó cho thí sinh Nhiều em gặp số loại toán hàm số cịn lúng túng, đơi khơng Qua thời gian giảng dạy, nhận thấy rằng, nguyên nhân em chưa nắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ vận dụng Do vậy, để giúp học sinh tự tin có khả giải tốt câu hỏi hàm số thi đó, việc trang bị cho em kiến thức cách suy nghĩ, kỹ điều cần thiết Với lý đó, tơi chọn đề tài: “KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI” II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A THỰC TRẠNG Đối tượng mà đề tài áp dụng em học sinh ôn luyện thi THPT QG nhà trường Trước áp dụng đề tài phần nhiều học sinh lúng túng trước dạng toán B NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong đề tài này, tơi trình bày kinh nghiệm cá nhân hướng dẫn học sinh giải tốn cực trị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất đề thi thử trường, tỉnh thành đề thi THPT QG năm gần A LÝ THUYẾT Một số phép biến đổi đồ thị Từ đồ thị Ta có suy đồ thị x≥0 ( C′) : y = f ( x )  f ( x ) y= f ( x) = x0 lên phía (theo phương ) đơn vị , tịnh a tiến xuống đơn vị a0 a tịnh tiến sang trái đơn vị Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y = f ( x) Ox a ) đơn vị a −10 C để hàm số g ( x) = f ( x ) D với có Oy Hướng dẫn Do tính chất đối xứng qua trục f ( x) Xét nên yêu cầu tốn ⇔ f ( x) có đồ thị hàm thị hàm số điểm cực trị dương x =  x2 =   f ′( x ) = ⇔ x + = ⇔  x = −1  x + 2mx + = ( 1)  x + 2mx + =   ( *) Do ( *) ⇔ ( 1) có hai nghiệm dương phân biệt  ∆′ = m − >  ⇔  S = −2m > ⇔ m < − P = >  m >−10  → m ∈ { −9; −8; −7; −6; −5; −4; −3} m∈¢ Ví dụ Cho hàm số f ′ ( x ) = ( x + 1) nguyên A m (x y = f ( x) có đạo hàm + m − 3m − ) để hàm số g ( x) = f ( x ) B Chọn B ( x + 3) với có x∈¡ Có số điểm cực trị ? C D Hướng dẫn Xét  x = −1 x +1 =   f ′ ( x ) = ⇔  x + m − 3m − = ⇔  x = −3  x + m − 3m − = ( 1) x + =   Yêu cầu toán ⇔ ( 1) m∈¢  → m ∈ { 0;1;2;3} Ví dụ Cho hàm số hàm số có hai nghiệm trái dấu ⇔ m − 3m − < ⇔ −1 < m < Chọn B f ( x) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị g ( x ) = f ( x ) + 2018 A B C Hướng dẫn Từ đồ thị ta thấy hàm số  → hàm số f ( x) có hàm số đổi cực trị) Chọn C Ví dụ Cho hàm số có y = f ( x) f ' ( x ) = x − 11x + x − TXĐ: Có điểm cực trị dương xác định có đạo hàm , biết Số điểm cực trị hàm số B Hướng dẫn Xét hàm số có điểm cực trị (vì phép tịnh tiến khơng làm thay y = f 2021 ( x ) − f 2020 ( x ) + f 2019 ( x ) A f ( x) D điểm cực trị f ( x ) + 2018  → là: C g ( x ) = f 2021 ( x ) − f 2020 ( x ) + f 2019 ( x ) D D= g ' ( x ) = 2021 f 2020 ( x ) f ' ( x ) − 2020 f 2019 ( x ) f ' ( x ) + 2019 f 2018 ( x ) f ' ( x ) = f 2018 ( x )  2021 f ( x ) − 2020 f ( x ) + 2019  f ' ( x ) Nhận xét Nên g '( x ) Ta có f 2018 ( x )  2021 f ( x ) − 2020 f ( x ) + 2019  ≥ 0, ∀x dấu với f ' ( x ) = x − 11x + x − f ' ( x ) = ⇔ x = 1; x = / 2; x = / Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x) Suy bảng biến thiên hàm số y = g( x ) Vậy hàm số cho có điểm cực trị Chọn D Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số Có giá trị nguyên tham số điểm cực trị ? m y = f ′( x ) để hàm số hình vẽ bên g ( x) = f ( x + m ) có A B C D Vô số f ′( x ) Hướng dẫn Từ đồ thị hàm số ta thấy có hồnh độ dương (và điểm có hoành độ âm)  → f ( x)  →f ( x) có có f ′( x ) cắt trục hoành điểm điểm cực trị dương điểm cực trị  → f ( x+m) m có điểm cực trị với (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị hàm số) Chọn D Ví dụ 8.Cho hàm số ( f x2 − Hàm số ) y = f ( x) Ta có , có f '( x ) = x − có điểm cực tiểu ? A Hướng dẫn Xét hàm số xác định liên tục ¡ g ( x ) = f ( x2 − 2) B C B ′ g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − ) = x f ′ ( x − ) x =  x=0 x =   g ′ ( x ) = ⇔ x f ′ ( x − ) = ⇔  ⇔  x − = −1 ⇔  x = ±1   f ′ ( x − ) = x = ±  x − =  Bảng biến thiên: g ( x) Nhìn vào bảng biến thiên ( f x2 − ) có hai điểm cực tiểu y = f ( x) Đồ thị hàm số Có giá trị nguyên tham số điểm cực trị ? B Hướng dẫn Từ đồ thị thiên Do hàm có cực tiểu Chọn D Ví dụ Cho hàm số A x≥0 f ( x) f ′( x ) C ta có m y = f ′( x ) để hàm số hình vẽ bên g ( x) = f ( x + m)  x = −2 f ′( x ) = ⇔  x =   x = D Vơ số Suy bảng biến có Yêu cầu toán ⇔ hàm số f ( x + m) có ta đồ thị hàm số Từ bảng biến thiên ⇔ tịnh tiến f ( x) f ( x) , f ( x + m) suy có ln có điểm cực trị) điểm cực trị dương (sang trái sang phải) phải thỏa mãn  Tịnh tiến sang trái nhỏ đơn vị  Tịnh tiến sang phải không vượt q Suy điểm cực trị dương (vì lấy f ( x + m) Oy đối xứng qua  → m < m∈¢ −2 ≤ m <  → m ∈ { −2; −1;0} đơn vị  → m ≥ −2 Chọn B DẠNG 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG y = f ( x) Nhắc lại:  Số điểm cực trị hàm số  A  số giao điểm trên) Ví dụ 10 Cho hàm số x∈¡ Hàm số A f ( x) A+ B với f ( x) số điểm cực trị hàm B f ( x) với trục hồnh (khơng tính điểm trùng với y = f ( x) có đạo hàm y = f ( − 2018 x ) B 2022 f ′ ( x ) = ( x3 − x ) ( x − x ) A , với có nhiều điểm cực trị C 11 D 2018 Hướng dẫn Ta có f ′( x ) = x3 ( x − 2) ( x2 − 2) Cho x =  f ′( x ) = ⇔  x = ± x =  Bảng biến thiên Suy hàm số y = f ( x) Và phương trình Do hàm số Mà hàm số f ( x) = y = f ( x) y = f ( x) Suy hàm số Hướng dẫn điểm cực trị có tối đa có tối đa y = f ( − 2018 x ) y = f ( x) A hàm số Ví dụ 11 Cho hàm số số có y = f ( x) nghiệm điểm cực trị y = f ( − 2018 x ) có tối đa có đạo hàm có số điểm cực trị điểm cực trị Chọn A f ' ( x ) = ( x3 − x ) ( x3 − x ) Hàm có nhiều điểm cực trị? B C D x = x = f ′( x ) = x ( x − 2) x + x − = ⇔  x =   x = − ( )( ) Ta có: y = f ( x) Ta lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có tối đa nghiệm phân biệt Do hàm số y = f ( x) Ví dụ 12 Cho hàm số g ( x) = f ( x) + A có tối đa y = f ( x) y = f ( x) 4+5=9 có điểm cực trị, suy điểm cực trị Chọn A có đồ thị hình vẽ bên Đồ thị hàm số có tổng tung độ điểm cực trị B f ( x) = C D Hướng dẫn Đồ thị hàm số  Tịnh tiến đề thị hàm số g ( x) = f ( x) + f ( x)  Lấy đối xứng phần phía lên Ox có cách đơn vị ta đồ thị hàm số f ( x ) + f ( x) + qua Ox, ta f ( x) + Dựa vào đồ thị hàm số g ( x) = f ( x) + , suy tọa độ điểm cực trị ( −1;0 ) , ( 0;4 ) , ( 2;0 )  → tổng tung độ điểm cực trị Ví dụ 13 Cho hàm số f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) y = f ( x) ( x − 2) + + + = Chọn C xác định liên tục Hàm số f ( x) − x ¡ , có đạo hàm có tối đa điểm cực trị? A Hướng dẫn Xét hàm số Ta có B g ( x) = f ( x) − x g ′ ( x ) = f ' ( x ) − = ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2) C D  x = −1 g′( x ) = ⇔  x =   x = Ta thấy g ( x) x = −1 x=2 có điểm cực trị hàm số f ( x) − x nghiệm đơn cịn ⇒ phương trình giá trị thực tham số A C m = −1 x =1 g ( x) = nghiệm kép ⇒ hàm số có tối đa nghiệm Nên có tối đa điểm cực trị Chọn B y = f ( x) Ví dụ 14 Cho hàm bậc ba m ≤ −1 hoặc m để hàm số có đồ thị hình vẽ bên Tất g ( x) = f ( x) + m m ≥ B m = Hướng dẫn Vì hàm có điểm cực trị f ( x) Do u cầu tốn ⇔ D cho có m ≤ −3 có điểm cực trị m ≥ 1 ≤ m ≤ điểm cực trị nên số giao điểm đồ thị f ( x) + m f ( x) + m ln với trục hồnh Để số giao điểm đồ thị  Tịnh tiến đồ thị f ( x) m ≤ −1 m ≥ Đồ thị hàm số A B Hướng dẫn Vì hàm có điểm cực trị đơn vị  → m ≥ có bảng biến thiên hình vẽ bên có  11 m ∈  2;   2 f ( x) Do yêu cầu toán đơn vị  → m ≤ −1 Chọn A g ( x ) = f ( x ) − 2m m ∈ ( 4;11) lên tối thiểu y = f ( x) Ví dụ 15 Cho hàm số với trục hồnh , ta cần xuống tối thiểu f ( x)  Hoặc tịnh tiến đồ thị Vậy f ( x) + m ⇔ cho có điểm cực trị C  11  m ∈  2; ÷  2 điểm cực trị nên số giao điểm đồ thị D m = f ( x ) − 2m f ( x ) − 2m ln với trục hồnh f ( x ) − 2m Để số giao điểm đồ thị thị f ( x) xuống lớn m > −2m < −4   → ⇔ 11 − m > − 11 m <    với trục hoành A −2016 m B có −496 Hướng dẫn Vẽ đồ thị hàm số Ta thấy hàm số trị f ( x) có Do u cầu tốn ⇔ ta cần tịnh tiến đồ đơn vị phải nhỏ 11 đơn vị Chọn C Ví dụ 16 Tổng giá trị nguyên tham số y = x3 − 3x − x − + 3, m để hàm số điểm cực trị C 1952 D f ( x ) = x3 − 3x − x − f ( x) + điểm cực trị nên m hình bên ln có f ( x) + số giao điểm đồ thị 2016 m 2 điểm cực với trục hoành f ( x) + Để số giao điểm đồ thị f ( x) lên  →0 < m với trục hoành phải nhỏ 3, ta cần tịnh tiến đồ thị 32 đơn vị m m∈¢ < 32 ⇔ < m < 64  → m ∈ { 1; 2; 3; ; 63}  → ∑ m = 2016 Chọn D y = f ( x) Ví dụ 17 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị nguyên m tham số để hàm số g ( x ) = f ( x + 2018 ) + m2 có điểm cực trị ? A C B D Hướng dẫn ln có trị) Vì hàm f ( x) cho có điểm cực trị nên f ( x + 2018 ) + m điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực Do u cầu tốn hồnh ⇔ Để số giao điểm đồ thị  Tịnh tiến đồ thị f ( x) số giao điểm đồ thị f ( x + 2018 ) + m xuống tối thiểu f ( x + 2018 ) + m với trục hoành đơn vị 2, với trục ta cần  → m ≤ −2 : vô lý f ( x)  Hoặc tịnh tiến đồ thị đơn vị lên tối thiểu đơn vị phải nhỏ  2≤m< m∈¢  → ≤ m2 < ⇔   → m ∈ { −2;2}  − < m ≤ − f ( x ) = ax + bx + cx + d Ví dụ 18 Cho hàm số a >  d > 2018 a + b + c + d − 2018 <  Hàm số với Chọn B a, b, c, d ∈ ¡ g ( x ) = f ( x ) − 2018 có điểm cực trị ? A B Hướng dẫn Hàm số Ta có C g ( x ) = f ( x ) − 2018 D (là hàm số bậc ba) liên tục  lim g ( x ) = −∞  x→−∞  g ( ) = d − 2018 >  →  g = a + b + c + d − 2018 < ( )   lim g ( x ) = +∞ g ( x) =  x→+∞ biệt có ¡ nghiệm phân ¡ Khi đồ thị hàm số số f ( x ) − 2018 g ( x ) = f ( x ) − 2018 Ví dụ 19 Cho hàm số hàm số f ( x) có y = f ( x) hình vẽ cắt trục hoành điểm phân biệt nên hàm điểm cực trị Chọn D có đạo hàm f ′( x ) ¡ bảng biến thiên Hàm số A g ( x ) = f ( x − 2017 ) + 2018 B có điểm cực trị? C D Hướng dẫn Đồ thị hàm số tịnh tiến đồ thị u ( x ) = f ( x − 2017 ) + 2018 f ( x) bảng biến thiên sang phải đơn vị lên 2018 cách đơn vị Suy u ( x) Dựa vào bảng biến thiên suy u ( x ) = f ( x − 2017 ) + 2018 hình vẽ bên 2017 có từ đồ thị f ( x) bảng biến thiên hàm số ta có bảng biến thiên hàm số g ( x) = u ( x) Từ BBT hàm số g ( x) = u ( x) y = f ( x) Ví dụ 20 Cho hàm số vẽ sau Hỏi số điểm cực trị hàm số A B ta thấy hàm số có ¡ liên tục g ( x) = f ( x ) C Hướng dẫn Ta có đồ thị hàm số điểm cực trị Chọn B có bảng biến thiên hình nhiều ? 11 D 13 y = f ( x) có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tối đa điểm có hồnh độ dương Khi  Đồ thị hàm số  Hàm số f ( x) Suy hàm số f ( x) có cắt trục hoành tối đa điểm điểm cực trị g ( x) = f ( x ) Ví dụ 21 Cho hàm số ( 2) nguyên dương tham số có tối đa điểm cực trị Chọn B có đồ thị hình vẽ bên Có số ( 1) để hàm số ( 2) có g ( x) = f ( x ) điểm cực trị ? A B f ( x) C f ( x) f( x) D f ( x) f ( x + 2018 ) + m Hướng dẫn Vì hàm cho có điểm cực trị nên ln có điểm cực trị (do phép tịnh tiến khơng làm ảnh hưởng đến số cực trị) Do yêu cầu tốn hồnh ⇔ Để số giao điểm đồ thị thời  Tịnh tiến đồ thị  Tịnh tiến đồ thị f ( x) f ( x) số giao điểm đồ thị f ( x + 2018 ) + m xuống nhỏ lên nhỏ m∈¢ −2 < m <  → m ∈ { 1; 2} f ( x + 2018 ) + m với trục hoành đơn vị đơn vị 4, với trục ta cần đồng  → m > −2  → m < + Vậy Chọn A C HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế áp dụng đề tài việc ôn luyện cho em, nhận thấy em thích thú tự tin giải toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, biết cách suy nghĩ để tiếp cận giải tốt loại đề thi thử đề thi THPT QG III KẾT LUẬN: Sáng kiến hi vọng góp phần thiết thực công tác dạy học ôn thi tốt nghiệp Trong q trình viết chun đề tơi cố gắng nhiều, song trình độ hạn chế, thiếu sót điều khơng thể tránh Rất mong góp ý , bổ sung thầy giáo hội đồng nhà trường để đề tài hồn thiện hơn, áp dụng rộng rãi có hiệu Xin trân trọng cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết: Trịnh Khắc Tuân ... cách tịnh tiến trước lấy đối B MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Để giải câu hỏi liên quan đến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần nắm vững lý thuyết... thị trình bày DẠNG 1: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG f ( x) Nhắc lại:  Số cực trị hàm f ( x) dương hàm Ví dụ Cho hàm số Hỏi hàm số A f ( x) y = f ( x) B Đồ thị hàm số C  →f (... Chọn B DẠNG 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI DẠNG y = f ( x) Nhắc lại:  Số điểm cực trị hàm số  A  số giao điểm trên) Ví dụ 10 Cho hàm số x∈¡ Hàm số A f ( x) A+ B với f ( x) số điểm