Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG I. Lý do chọn đề tài: - Phương trình tiếp tuyến với đường cong học sinh được làm quen từ cấp hai lên cấp 3 ở lớp 10, 11 và 12 các em đều gặp lại kiến thức không khó. Nhưng một số học sinh trung bình và trung bình yếu còn gặp rất nhiều khó khăn trong các bài toán viết các phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm, biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc tiếp tuyến song song với đường thẳng và vuông góc với đường thẳng cho trước. - Để giúp các em học sinh trung bình và trung bình yếu củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng trong viết phương trình tiếp tuyến với đường cong vì vậy tôi chọn đề tài: "Phương trình tiếp tuyến với đường cong" để giúp các em phần nào trong các bài kiểm tra 45 phút thi học kỳ thi Tốt nghiệp THPT và thi đại học cao đẳng. Rất mong được sự trao đổi góp ý giúp đỡ của các đồng nghiệp mọi ý kiến liên hệ qua số điện thoại 0909060839. Tôi xin chân thành cảm ơn. Trang: 1 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững II. Các kiến thức có liên quan: - Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại điểm Mo(x o ,y o ) thuộc đường cong: y- y o = k(x-x o ) với k = f’(x o ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm Mo - Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại điểm có hoành độ x o Ta tìm y o = f(x o ) với k = f’(x o ) Từ đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y- y o = k(x-x o ) - Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k dựa vào k = f’(x o ) Tìm hoành độ tiếp điểm xo, tìm tung độ tiếp điểm yo từ đó tìm phương trình tiếp tuyến Nếu đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = a 1 x + b 1 thì a=a 1 Nếu đường thẳng y = ax + b vuông góc với đường thẳng y = a 1 x+b 1 thì a 1 .a=-1 Để đường thẳng y = ax +b tiếp xúc với đường cong y=f(x) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: = =+ )(' )( xfa xfbax Đường thẳng đi qua điểm M o (x o ,y o ) có hệ số góc là k có dạng: y-y o =k(x-x o ) Trang: 2 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững III. Một số bài tập cụ thể: Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x 3 -x 2 +1 a) Tại điểm M(1;1) b) Tại điểm có hoành độ bằng 2 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 Phân tích câu 1a : Tìm hệ số góc của tiếp tuyến từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến Ta có: y’=3x 2 -2x => k=y’(1)=1 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=1(x-1)+1 ⇔ y=x Phân tích câu 1b : Tìm tung độ yo, tính hệ số góc => phương trình tiếp tuyến x o =2 => y 0 =5 k=y’(2)=8 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=8(x-2)+5 Hay y=8x-11 Phân tích câu 1c : Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm tại điểm có hoành độ xo là y’(x o )=k. Tìm hoành độ tiếp điểm xo, tung độ tiếp điểm yo => Phương trình tiếp tuyến = −== 1 23)(' 0 2 00 k xxxyk Hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm của phương trình 3x o 2 -2x 0 =1 += = ⇒ =⇒−= =⇒= ⇔ 9 10 27 23 3 1 11 00 0 xy xy yx yx Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (H): 1 2 − + = x x y a) tại điểm có hoành độ là 2 b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là -12 Phân tích câu 2a Biết x o =2, Tìm yo, tìm k, viết phương trình tiếp tuyến x o =2 => y o =4 3)2(' )1( 3 ' 2 −==⇒ − − = yk x y Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=-3(x-2)+4 y=-3x+10 Phân tích câu 2b Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm tại điểm có hoành độ xo là y’(x o )=k. Tìm hoành độ tiếp điểm xo, tung độ tiếp điểm yo => Phương trình tiếp tuyến Trang: 3 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững −= − − == 12 )1( 3 )(' 2 0 0 k x xyk Nên hoành độ tiếp điểm x 0 là nghiệm của phương trình: +−=⇒−=⇒= +−=⇒=⇒= ⇔−= − − 1125 2 1 25127 2 3 12 )1( 3 00 00 2 0 xyyx xyyx x Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3+= xy a) Tại điểm (1;2) b) Tại điểm có tung độ bằng 1 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 1/8 phân tích câu 3 a Tìm y’ => Hệ số góc k => Phương trình tiếp tuyến Ta có: 4 1 )1(' 32 1 ' ==⇒ + = yk x y Phương trình tiếp tuyến có dạng: 4 7 4 1 2)1( 4 1 +=⇔+−= xyxy Phân tích câu 3b Biết y o , tìm hoành độ tiếp điểm xo, tính hệ số góc => phương trình tiếp tuyến Y o =1 nên hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm của phương trình: 231 00 −=⇔+= xx 2 1 )2(' == yk Nên phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 2 1 1)2( 2 1 +=⇔++= xyxy Phân tích câu 3c Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm tại điểm có hoành độ xo là y’(x o )=k. Tìm hoành độ tiếp điểm xo, tung độ tiếp điểm y o => Phương trình tiếp tuyến = + == 8 1 32 1 )(' 0 0 k x xyk Do đó phương trình hoành độ tiếp điểm xo là: 413 8 1 32 1 00 0 =⇒=⇔= + yx x Phương trình tiếp tuyến có dạng: 8 19 8 1 4)13( 8 1 +=⇔+−= xyxy Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong: y = x 4 - 2x 2 +1 a) Tại điểm có tung độ là 1 Trang: 4 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 2 Phân tích câu 4 a: Biết tung độ tiếp điểm suy ra hoành độ tiếp điểm, tính hệ số góc từ đó tìm phương trình tiếp tuyến Y o =1 nên hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm của phương trình −=⇒=⇒= −−=⇒−=⇒−= =⇒=⇒= ⇔=+− 1221 1221 100 11 0 0 0 2 0 4 0 xykx xykx ykx xx Phân tích câu 4b Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm tìm hoành độ, tung độ tiếp điểm suy ra phương trình tiếp tuyến. = −= 2 24 0 3 0 k xxk Nên hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm của phương trình 12110)122)(1(224 000 2 000 3 0 −=⇒=⇒=⇔=++−⇔=− xyyxxxxxx Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 12 + − = x x y a) Biết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x-1 b) Biết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=-3x+5 phân tích câu 5 a theo giả thiết biết hệ số góc của tiếp tuyến từ đó tìm hoành độ, tung độ tiếp điểm => phương trình tiếp tuyến ta có: 2 )1( 3 ' + = x y theo giả thiết hệ số góc của tiếp tuyến là k=3 Hoành độ tiếp điểm xo là nghiệm của phương trình: +=⇒=⇒−= −=⇒−=⇒= ⇔= + 11352 1310 3 )1( 3 00 00 2 0 xyyx xyyx x Phân tích câu 5b Vì hai đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc bằng -1 Từ đó tìm được hệ số góc của tiếp tuyến, tìm hoành độ, tung độ tiếp điểm => phương trình tiếp tuyến. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: k(-3)=-1=> k=1/3 Hoành độ tiếp điểm x o là nghiệm của phương trình: +=⇒=⇒−= +=⇒=⇒= ⇔= + 3 17 3 1 52 3 1 3 1 12 3 1 )1( 3 00 00 2 0 xyyx xyyx x Câu 6: Trang: 5 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong 4 4 − = x y đi qua điểm A(2;0) Phân tích: Gọi đường thẳng đi qua điểm A có hệ số góc là k Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường cong là hệ phương tình sau thõa: Hoành độ bằng hoành độ và đạo hàm bằng đạo hàm Từ đó tìm hoành độ, tung độ tiếp điểm => hệ số góc và phương trình tiếp tuyến Gọi đường thẳng d đi qua A(2;0) có hệ số góc là k => d: y=k(x-2) Để đường thẳng d tiếp xúc với đường cong đã cho thì phải thõa hệ phương trình sau: 8443)2( )4( 4 4 4 )4( 4 )2( 4 4 2 2 +−=⇒−=⇒=⇔− − − = − ⇒ = − − −= − xykxx x x k x xk x Câu 7: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: 3 1 23 1 23 +−= x m xy Với m là tham số Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 Phân tích: Tìm tọa độ tiếp điểm M Dựa vào 2 đường thẳng song song có cùng hệ số góc, dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra m. Tọa độ tiếp điểm M(-1;-m/2) 5 5' ' 2 2 =−⇒ = −= mxx y mxxy Theo giả thiết x=-1 do đó m=4 Kết luận: m=4 thì tiếp tuyến tại điểm M của (Cm) song song với đường thẳng 5x-y=0 Trang: 6 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững IV. Một số bài tập rèn luyện: Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 2 13 − − = x x y a) Tại điểm (1;-2) b) Tại điểm có hoành độ là 3 c) Tại điểm có tung độ là 2 d) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là -20 Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x 3 – 2x 2 +1 a) Tại điểm (2;1) b) Tại điểm có tung độ 1 c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1 Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x4 – 4x2 + 2 a) Tại điểm có hoành độ là 2 b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là -4 Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 12 −= xy a) Tại điểm (1;1) b) Tại điểm có hoành độ là 5 c) Biết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x +3 Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 2x + 2 Biết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(5;4) Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 12 − − = x x y a) Biết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -10x + 2 b) Biết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3 5 1 += xy Trang: 7 Trường THPT Trị An Giáo viên thực hiện : Nguyễn Bá Vững V. Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đường cong là phần kiến thức cơ bản không quá khó so với yêu cầu kiến thức chuẩn, qua sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào dạy các học sinh trung bình và trung bình yếu đều hứng thú học tập và qua rèn luyện một số bài tập giúp học sinh hệ thống lại phần lý thuyết còn thiếu và yếu như tính đạo hàm giải phương trình bậc 3 bậc 4, từng bước giúp các em biết cách viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đường cong, biết hoành độ tiếp điểm, tung độ tiếp điểm và hệ số góc giúp ích không nhỏ cho các em trong kiểm tra 1 tiết thi học kỳ và thi tốt nghiệp. Trong trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Phương trình tiếp tuyến của đường cong” không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các đồng nghiệp góp ý, trao đổi để sáng kiến kinh nghiệm có hiệu quá hơn góp phần nhỏ bé trong việc nâng cao chất lượng dạy môn toán trong trường phố thông. Tôi xin chân thành cảm ơn./. Vĩnh An, ngày 13 tháng 09 năm 2013 Người viết Nguyễn Bá Vững Trang: 8 . xyyxxxxxx Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 1 12 + − = x x y a) Biết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x-1 b) Biết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 2x + 2 Biết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(5;4) Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 12 − − = x x y a) Biết phương trình. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại điểm Mo(x o ,y o ) thuộc đường cong: y- y o = k(x-x o ) với k = f’(x o ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm Mo - Viết phương trình tiếp tuyến