sang kien kinh nghiem Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

SỞ GD&ĐT TUN QUANG TRƯỜNG THPT CHIÊM HỐ CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - tự - hạnh phúc Chiêm hoá, ngày 20 tháng năm 2015 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Chiến sỹ thi đua cấp sở năm học 2014-2015 Họ tên người thực hiện: Chu Thị Vinh Mơn dạy: Tốn Tổ chun mơn: Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Chiêm Hóa Nhiệm vụ giao năm học 2014- 2015: + Chủ nhiệm lớp 12C10 + Dạy toán lớp : 12C10 , 12C8 , 12C6 1.Tên sáng kiến kinh nghiệm: “ Phân dạng tập viết phương trình tiếp tuyến với đường cong giúp học sinh Các lớp 12C10,12C8,12C6 giải tốt tập” Mô tả sáng kiến kinh nghiệm: a Hiện trạng nguyên nhân chủ yếu trạng Năm học 2014- 2015 năm đổi phương thức thi cử xét tuyển học sinh THPT điều khơng khó khăn học sinh lo lắng bỡ ngỡ, trước đổi nhận thấy trách nhiệm người thầy vơ lớn lao, người góp phần vào kết cuối học sinh, thân giáo viên dạy mơn tốn trường THPT Chiêm Hóa nhiều năm giảng dạy qua nhiều hệ, thường xuyên tham gia lớp dạy ôn, ôn phụ đạo học sinh yếu kém, ôn bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp chọn, ôn luyện thi tốt nghệp luyện thi đại học, cao đẳng, từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy kiến thức, nâng cao chun mơn tơi thấy tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong toán bản, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm theo nhận định thân nhiều học sinh làm tốn chưa thật tốt, có sai lầm đáng tiết thụ động chưa nắm vững dạng tốn sáng kiến, kinh nghiệm năm có lao động sáng tạo nhỏ hệ thống lại dạng phức tạp, đưa phương pháp giải với dạng sai lầm mà học sinh thường mắc phải, với nội dung mong góp ý đồng chí đồng nghiệp đê, đề tài ngày hoàn thiện b Ý tưởng: Trong thực tế giảng dạy học sinh tốn viết phương trình tiếp tuyến , tơi thấy học sinh giải tốn cách thụ động nhiều gặp khó khăn, từ thực tế tơi có ý tưởng giúp cho em học tốt dạng toán này, cách hướng dẫn cụ thể cho học sinh cách giải : + Khi giải toán viết phương trình tiếp tuyến mà biết tọa độ tiếp điểm biết tung độ tiếp điểm, hoành độ tiếp điểm biết hệ số góc học sinh phải biết tìm thêm đại lượng viết phương trình tiếp tuyến + Đối với lớp 12C10 lớp chọn ban A trường dã mạnh dạn đưa thêm dạng 3,4 tốn mở rộng so với chương trình học phổ thơng, khơng có sách giáo khoa để em có kiến thức vững vàng việc ôn luyện đề thi đại học Qua năm thực đề tài học sinh ba lớp 12 mà trực tiếp giảng dạy có chuyển biến , tiến vượt bậc học tập giải tốn viết phương trình tiếp tuyến tóa liên quan đến phương trình tiếp tuyến Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy đưa phương pháp chia thành bốn dạng tốn phương trình tiếp tuyến để đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực học tập Nội dung cơng việc: Sau số tốn "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" phương pháp giải mà tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy sử dụng để hướng dẫn học sinh thực thời gian qua Các tập phân thành dạng từ dễ đến khó Các dạng tốn tơi đưa cho học sinh sau: Dạng1 : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ x0 -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có tung độ y0 Dạng2 : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng :Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) tbiết tiếp tuyến qua điểm A (x; y) Dạng4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn tính chất P cho trước giải số tốn liên quan đến phương trình tiếp tuyến Chú ý: tốn viết phương trình tiếp tuyến dựa sở lý thuyết : - Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng dạng y = kx + b, k hệ số góc - Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị y = f(x) tiếp điểm k = f '  x0  x0: hoành độ tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tiếp điểm M (x0; f (x0)) là: y = f '  x0  (x - x0) + f(x0) Đưa dạng tốn đồng thời lấy ví dụ minh họa cho dạng , cuối đưa tập liên quan để học sinh nhà làm thêm, cuối kiểm tra đánh giá kết Triển khai thực hiện: NỘI DUNG THỰC HIỆN SÁNG KIẾN: a, Thời gian thực hiện: + Thời gian thực tháng 8/2014 đến tháng 4/2015 + Sáng kiến thực phạm vi lớp 12C10, 12C8, 12C6 Là buổi ôn tập bồi dưỡng nâng cao sau học song chương “ Đạo hàm” mơn đại số giải tích lớp 11 chương” Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số “ phần toán liên quan, buổi ôn thi đại học tốt nghiệp khối 12 năm học 2014 -2015 b, Qui trình, cách thức: + Lần lượt đưa dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến từ dễ đến khó + Sau dạng đưa phương pháp giải + Lấy ví dụ minh họa cho dạng + Ra số tập có liên quan cho học sinh nhà làm thêm + Kiểm tra đánh giá sau học xong dạng để nắm bắt tiến học sinh c, Nội dung thực hiện: Sau số toán "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" phương pháp giải : *Dạng 1:Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm Trường hợp 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) Cách giải: + Tính f '  x  , f '  x0  + Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta pt tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x  điểm x3 M(-4;13) Giải Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0 Ta có: x0 = -4 , y0 = 13 y' 11 => y’(x0) = y’(-4) ( x  3)  11 (4  3) = 11 Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y  11( x  4)  13 � y  11x  57 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) Giải Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0 Ta có: x0 = , y0 =2 y '  x  12 x  9, y '    3 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) là: y  3  x    � y  3 x  Chú ý: -Đối với hai ví dụ cần tìm hệ số góc f '  x0  tiếp tuyến dùng công thức y = f '  x0  (x - x0) + y0 tiếp tuyến cần tìm - Vì y = f (x) nên y' (x 0) = f '  x0  Do từ dùng y' (x 0) hay f '  x0  Trường hợp : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ x0 Cách giải: + Tính f '  x   f '  x0  + Thay x0 vào hàm số y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; f '  x0  vào phương trình y = f '  x0  (x - x0) + y0 kết luận x2 Ví dụ : Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x Tại điểm có hồnh độ x0 = Giải x  2x = f ' x   x  1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f '  x0  (x - x0) + y0 Tại x0 = => y0 = y'(2) = f '   = 0; Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = Ta có y '  Ví dụ : Cho hàm số y = -x4 +2x2 +3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = -2 Giải Tại x = -2 => y = -5; Ta có y’ = f '  x  = - 4x3 +4x f '(2)  24 => phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) y = 24 (x + 2) - Hay y = 24x + 43 Chú ý: Đối với hai ví dụ ta phải tìm thêm hai đại lượng y0 f '  x0  viết phương trình tiếp tuyến Trường hợp : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có tung độ y0 Cách giải: + Thay y0 vào hàm số y = f(x) tìm x0 + Tính y' = f '  x  , f '  x0  + Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta kết Ví dụ 1: (Bài tập trang 44 SGK GT12) Cho hàm số: y  x  x  (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ Giải Gọi xo hoành độ tiếp điểm  ta có  x0  x0   xo 1 4 7  Với xo 1  f ' (1) 2  phương trình tiếp tuyến M   1;  là:  y 4 2( x  1)  y 2 x  4 7  Với xo   f ' ( 1)   phương trình tiếp tuyến M   1;  là:  y  2( x  1)  � y  2 x  4 4 2x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ x 1 thị (C) điểm có tung độ Giải x0  Từ giả thiết, ta có y0 =  =  x0 = f '  x  = ( x  1) x0  1 1  f '   = Phương trình tiếp tuyến y = (x - 4) +  y = x + 5 5 Chú ý: Qua hai ví dụ biết y phải tìm thêm hai đại lượng x0 , f '  x0  * Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến Trường hợp1 : Biết hệ số góc k cho trước Cách giải: * Cách 1: Tìm hồnh độ tiếp điểm x0 + Tính y' = f '  x  Giải phương trình f '  x  = k tìm x0 + Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc + Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = kx + b (1)  + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:  f  x  kx  b (Nghiệm x phương trình hồnh độ tiếp điểm)  ' f  x   k  + Giải phương trình f ' ( x) k tìm x vào phương trình f ( x) kx  b tìm b + Thế b vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x4 - x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc tiếp tuyến - Giải * Cách Ta có y' = - 4x - 2x Giải phương trình - 4x3 - 2x = -  x = 1, Thay x = vào (C),được y(1) = Phương trình tiếp tuyến y = - 6(x - 1) +  y = - 6x + * Cách Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = kx + b + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:   x  x   x  b Giải hệ phương trình tìm x = 1, b =   x  x    + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - 6x + x  3x  Ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y  , biết x hệ số góc tiếp tuyến -1 Giải Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x02  x0  x  2x   y ' ( x0 )  * Cách Ta có y '  = -1 ( x  1)  x0  1 x  x0   x0 0  y  Tiếp tuyến y = -x - 4, y = -x +      x 2  y 2 ( x  1)  * Cách Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = - x + b + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:  x  3x   x  b  x  Giải hệ phương trình tìm được: x = 0; b = -  x  x     ( x  1) x = 2; b = + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - x - y = - x + Chú ý: Khi biết hệ số góc k có hai cách để tìm x0; y0 làm cách nhanh mà nhầm lẫn Trường hợp : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y =a x + b cho trước * Cách giải : + Ta có hệ số góc k = a + Tính y' = f '  x  Giải phương trình f '  x  = a tìm x0 + Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x  biết tiếp x3 tuyến song song với đường thẳng y  11x  Giải Đường thẳng y  11x  có hệ số góc 11  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = 11 Xét phương trình y’(x0) = k  x0  2 � 11  11 � x02  x0   � � x0  4 ( x0  3) � + Khi x0 = - ta có y0 = - Phương trình tiếp tuyến : y   11( x  2) � y  11x  13 + Khi x0 = - ta có y0 = 13 Phương trình tiếp tuyến : y  13  11( x  4) � y  11x  57 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -6x + Giải Vì tiếp tuyến song song Với đường thẳng y = -6x + x  5 � x0  1 � nên k = y’(x0) = -6 � 3x0  12x0   6 � � Với x0 = -5 => y0 = -320 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 350 Với x0 = -1 => y0 = - 16 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22 Chú ý: Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d  kT = kd Trường hợp : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =a x + b cho trước Cách giải : + Ta có hệ số góc k a = -1 � k =  a + Tính y' = f '  x  Giải phương trình f '  x  =  a tìm x0 + Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0 + Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  2x  2x  biết x1 Giải : Đường thẳng y  2x  có hệ số góc -2  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = Xét phương trình y’(x0) = k  x0  � 2  � x  2x   � � 0 x0  3 (x0  1)2 � + Khi x0 = ta có y0 = -3 2 2 2 Phương trình tiếp tuyến : y   (x  1) � y  x  + Khi x0 = - ta có y0 = -1 Phương trình tiếp tuyến : y  1 (x  3) � y  x  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x)  3x  có đồ thị (C) x Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 4 x  10 Giải 1 D = R \ {1}; y '  ( x  1) Gọi M o ( xo ; yo )  (C ) tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 4 x  10 , có hệ số góc k: k   k   x o  1      xo nghiệm phương trình ( x o  1)  y o 3  x o   y   o 5  Tại M   1;  có tiếp tuyến y  x   2 4 17  7 Tại M  3;  có tiếp tuyến y  x   2 4 Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = - x4 - x2 + 6, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y  x  Giải Đường thẳng y  x  có hệ số góc  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = - Xét phương trình y’(x0) = k  4x03  2x0  6 � 4x30  2x0   x0  � � 0� 1 � x0  � + Khi x0 = ta có y0 = Phương trình tiếp tuyến : y   6(x  1) � y  6x  10 + Khi x0 = - 91 ta có y0 = 16 Phương trình tiếp tuyến : y  6(x  )  91 139 � y  6x  16 16 Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y  tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + =0; b) Vng góc với đường thẳng d': x + 27y - = Giải Ta có: y '   x  1 x , biết tiếp x 1 a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 3; * Cách 1: Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình:  x  1 k , x   x   y 4   Phương trình tiếp tuyến y = 3x + 10 y = 3x -  x 0  y  * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = 3x + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm: x  x  3 x  b , ( x  ) Giải hệ phương trình tìm được:x = 0; b = - 2,   3 x = - 2; b = 10,  ( x  1) + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 3x + 10 y = 3x - b) Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc k = 27 27 , x  Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình  x  1 2   x   y  Phương trình tiếp tuyến y = 27x + 10, y = 27x + 46    x   y 10  * Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y = 27x + b (1) + d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm: x x  ; b = 10,  x  27 x  b , ( x  ) Giải hệ phương trình ta   27  ( x  1) x  ; b = 46, + Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 27x + 10 y = 27x + 46 Chú ý: Tiếp tuyến (T)  đường thẳng d  kT.kd = - 1; *Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x0; y0) Cách giải: * Cách 1: Tìm tiếp điểm + Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến d là: y = f '  x0  (x - x0) + y0 (1); + Tiếp tuyến d qua A  Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (1)  y1 = f '  x0  (x1 - x0) + y0 (2); + Giải phương trình (2) tìm x0, tính y0 f '  x0  ; + Thay kết tìm vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm * Cách 2: Tìm hệ số góc + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; + Lập phương trình đường thẳng d qua A(x1; y1) có hệ số góc k phương trình dạng: y = k(x - x1) + y1 (1) + Điều kiện để đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ phương  f  x  k ( x  x1 )  y trình sau có nghiệm:  '  f  x  k + Giải hệ phương trình tìm x, thay vào tìm k; + Thay giá trị k vào phương trình (1) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) kẻ từ điểm A(0; 2); Giải * Cách 1: Ta có y' = 3x - 6x + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d y = f '  x0  (x - x0) + y0  y (3x 02  x )( x  x )  x03  x02  (1) + Tiếp tuyến d qua A  Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (1)  (3x 02  x0 )(0  x0 )  x03  3x02    x 03  3x 02 0  x0 0  y 2; f ' ( x0 )  f ' (0) 0   ;  x0   y  11 ; f ' ( x0 )  f ' ( )   + Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là: y = y  x  * Cách 2: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; + Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 2) có hệ số góc k : y = kx + + Điều kiện để đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C)  Hệ sau có  x  3x  kx   f  x  kx    nghiệm:  ' Giải hệ ta được:  x  x k  f  x  k  x 0  k 0  Vậy có hai tiếp tuyến là: y = y  x   x   k   2x 1 Ví dụ2 : Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x số (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(1; 8) Giải 3 * Cách 1: Ta có: y '   x  1 M(x0; y0)  (C), x0 1 x0  3   x  x  + Pt tiếp tuyến d: y = f '  x0  (x - x0) + y0  y  , (1) x0   x0  1 + Tiếp tuyến d qua M  Tọa độ điểm M nghiệm phương trình (1) x0  3   x    8 , x0 1  x0 2  y 5; y '  2  x0   x0  1 + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -3x + 11 * Cách 2: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm; + Lập phương trình d qua M(1; 8) có hệ số góc k là: y k  x  1   f  x  k  x  1  + d tiếp tuyến (C)  Hệ sau có nghiệm:  '  f  x  k Giải hệ, ta được: x = 2; k = - Vậy tiếp tuyến cần tìm y = - 3x + 11 Chú ý: Dạng toán thực lớp chọn *Dang : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến thỏa mãn tính chất P cho trước, giải toán liên quan đến tiếp tuyến Cách giải: *+ Phương trình tiếp tuyến d điểm M(x0; y0) có dạng: y = f '  x0  (x - x0) + y0 , + Từ giả thiết lập hệ thức tiếp tuyến d thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0; f '  x0  ; + Thay x0; y0; f '  x0  vào y = f '  x0  (x - x0) + y0 ta tiếp tuyến cần tìm *Tùy theo giả thiết kết luận toán mà dựa kiến thức tiếp tuyến để giải 3 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  x  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bé Giải Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Khi đó: k = y' = x2 + 2x + = (x + 1)2 +  1,  x  x   x  1   Dấu xảy    kmin =   Tiếp tuyến y x   y   y  x2 Ví dụ 2: Cho hàm số y  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm 2x  số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ (Trích đề thi ĐH-CĐkhối A-2009) Giải 1 Ta có: y '  Gọi M(x0; y0)  (1), x    x0  3 Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y  f '  x  x  x0   y (*) d  Ox  A   d  Oy  B   Tiếp tuyến d song song với đường phân Từ giả thiết, ta có: OAB cân O  giác góc phần tư thứ thứ hai có phương trình y = x; y = - x, 1  x    y 0 1    k 1  f '  x0  Ta có:  x  3  x   y 1 * Với x0 = - 1; y0 = 1, phương trình y = - x (loại) * Với x0 = - 2; y0 = 0, phương trình tiếp tuyến y = - x - Vậy có tiếp tuyến cần tìm y = - x - 1 Ví dụ : Cho hàm số y  x  x  3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y ''  x0  = chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải * Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (C) điểm I có hồnh độ nghiệm phương trình y ''  x0  = Ta có y' = x2 - 4x +3 y’’ = x – giải phương trình : y ''  x0  =  2x0 – = � x0   2 � I  2;  , y'(2) = - Pt tiếp tuyến d y  x   3 * Chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến d  k1 = -1 Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số x  k2 = y'(x) = x2 - 4x + Xét hiệu k1 - k2 = - - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2  0, x  k1  k2, x Dấu " " xảy  x = (là hoành độ tiếp điểm)  k1 bé Vậy tiếp tuyến (C) điểm uốn có hệ số góc nhỏ Ví dụ 4: Cho hàm số y = x4 - x2 + (C) Tìm điểm Oy cho từ điểm kẻ ba tiếp tuyến với (C) Giải  Gọi M điểm thuộc Oy M(0; b) Đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng: y = kx + b  x  x  kx  b Từ M kẻ ba tiếp tuyến  Hệ phương trình  có ba k  x  x  nghiệm phân biệt Giải ta đ ược b =  M(0; 1) Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 - (C) Chứng minh qua điểm thuộc đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) Giải Gọi M điểm thuộc đường thẳng x =  M(1; b) Phương trình d qua M với hệ số góc k có dạng: y = k(x - 1) + b  x  3x  k ( x  1)  b d tiếp tuyến (C)  Hệ sau có nghiệm:   k 3x  x  - 2x3 + 6x2 - 6x + = b có nghiệm  đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) = - 2x3 + 6x2 - 6x + Ta có: g ' ( x)  x  12 x   6( x  1) 0, x Hàm g(x) hàm nghịch biến  đường thẳng y = b cắt đồ thị g(x) điểm  Hệ có nghiệm Vậy qua M(1; b) kẻ tiếp tuyến với (C) 2x (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung A, B tam giác OAB thỏa mãn AB OA Giải  Ta có: y '  Gọi M(x0; y0)  (1) , x   x  2 2x   x  x0   Phương trình tiếp tuyến d M có dạng: y  x0   x0  2 Ví dụ 6: Cho hàm số y  d  Ox  A * Cách 1: Theo giả thiết: d  Oy  B     OAB vuông cân O  OAB : AB OA  d  y x Do đó:   d  y  x     x0   4 + Nếu d  d1 : y  x k d k d1    x0  2 Giải ta được: x0 =  phương trình d: y = - x (loại) x0 =  phương trình d: y = - x +    1  (vơ lí) + Nếu d  d : y  x k d k d    x0  2 Vậy có tiếp tuyến d cần tìm y = - x +  OA   sin * Cách 2: Vì tam giác OAB vng O nên sin ABO  AB 2 x   Tam giác OAB vuông cân O; d  Ox  A  A ;0  ; d  Oy  B    x02 x02 x 02      B 0;  x0 = 0, x0 = 2  Giả thiết OA = OB   x    x    Tương tự ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - x + Chú ý: Dạng toán thực lớp chọn Một số tập liên quan Bài 1: Cho hàm số y  x4  8x2  10 (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cực đại đồ thị (C) Bài 2: Cho hàm số y = x3  6x2  9x (1) a.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;2) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -6x + Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 2x  a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ Bài 4: Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc k =-9 Bài : Cho hàm số y  x  3x  (2) a, Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = b, Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x + x (H) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (H), x biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi 2(2  ) ĐS: Có hai tiếp tuyến cần tìm y = - x; y = - x + 3x  Bài 7: Cho hàm số y  (C) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận x 1 đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B thỏa mãn cos  BAI  ĐS: Tiếp tuyến y = 5x - 2; y = 5x + 26 Bài 6: Cho hàm số y  Bài 8: Cho hàm số y  2x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết x2 khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn ĐS: y = x y = x + 2x  Bài 9: Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x số (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến ĐS: y = - x + y = - x + 2x 1 Bài 10: Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x 1 số (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(- 4; - 2) ĐS: Có ba phương trình tiếp tuyến y = x + 1; y = x + 5; y  x  4 x2 (C) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, x 1  tiếp tuyến đồ thị (C), d khoảng cách từ I đến  Tìm giá Bài 11:Cho hàm số y  trị lớn d Bài 12: Cho hàm số y = x4 - 2x2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với Bài 13: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Bài 14:Cho hàm số y  mx  (m  1) x  (4  3m) x  (Cm) Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: x + 2y - = Bài 15: Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (Cm) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (Cm) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc  , biết cos   26 Chú ý: giáo viên hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải gặp khó khăn nội dung học sinhcó thể trực tiếp trao đổi với giáo viên 5.Kết đạt Kết thu lớp12C10 kiểm nghiệm qua làm đề thi thử ĐH - CĐ khối A, B, D Kết thu lớp12C18,12C6 kiểm nghiệm qua làm đề thi thử tốt nghiệp Năm học 2013 - 2014 Đối với lớp đại trà Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12C6 39 0,0 12,8% 19 48,8% 15 38,4% 0 12C7 37 0,0 21,6 18 48,6 11 29.8 0 Đối với lớp chọn Giỏi Khá TB Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12C10 38 13,2% 12 31,6% 16 42% 13,2% 0 Năm học 2014 - 2015 Đối với lớp đại trà Giỏi Sĩ Lớp số SL % 12C6 39 5,1 12C8 35 8,6 Đối với lớp chọn Giỏi Sĩ Lớp số SL % 12C10 36 12 33,3 Khá SL % 16 41,0 14 40 Khá SL % 18 50,0 TB SL 20 16 % 51,3 45,7 TB SL % 16,7 Yếu SL % 2,6 5,7 Kém SL % 0 0 Yếu SL % 0 Kém SL % 0 Với biện pháp nêu trên, thật vui mừng đầu tư đạt kết tiến vượt bậc học tập viết phương trình tiếp tuyến với đường cong * Về thi đua : + Cuối năm học kết có nhiều học sinh đạt , giỏi mơn tốn + Học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014-2015 : giải (2 giải KK, giải Ba ) Khả tiếp tục phát huy, mở rộng nội dung sáng kiến kinh nghiệm thực hiện: Năm học 2014 – 2015 sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn nội dung: " Phân dạng tập viết phương trình tiếp tuyến với đường cong giúp học sinh trung học phổ thông giải tốt tập" Chất lượng học tập học sinh nâng cao chuyển biến rõ rệt Trong trình giảng dạy, nghiên cứu Bản thân tơi đúc rút tích lũy số kinh nghiệm Thông qua đề tài mong hội đồng khoa học đồng chí, đồng nghiệp kiểm định, xây dựng góp ý để đề tài hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh, làm tài liệu tham khảo tin cậy cho Thầy trò, phục vụ tốt cho ơn luyện kỳ thi Tốt nghiệp THPT Đại học - Cao đẳng cách vững vàng, tự tin thành công Tôi xin trân trọng cảm ơn Người viết Chu Thị Vinh ... y0 Dạng2 : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến. .. f(x) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng cho trước -Viết phương trình tiếp tuyến đồ... góc tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng :Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) tbiết tiếp tuyến qua điểm A (x; y) Dạng4 : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến