TUYỂN tập các DẠNG bài tập TRONG đề THI HSG môn TOÁN lớp 11

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11 TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP 11 Phần Lượng giác: A Phương trình lượng giác tan x + tan x tan x + 1 Giải phương trình: = π  sin  x + ÷ 4  Tính tổng nghiệm phương trình sau [ 0;1004π ] 8sin x.cos x − sin x − cos x =0 π  sin  x − ÷ 6  Giải phương trình: cos3 x − sin x = cos x + sin x Giải phương trình: 8sin x.cos x − sin x − cos x = Giải phương trình sau: a) cos x + cos x − 2sin x = b) sin x.cos x + 4sin x.cos x − 3sin x − cos x − cos x + = cos x − 2sin x = 11sin x + 2cos x + 6 Giải phương trình: Giải phương trình: cos x + sin x = cos x 3π  π   2 cos x + sin x.cos  x + − 4sin x + ÷  ÷= 4     Giải phương trình: π  8cos3  x + ÷ = cos3 x 3  Giải phương trình: sin 2010 x + cos 2010 x = sin 2012 x + cos 2012 x 10 Giải phương trình: − cot x tan x − − + 2cos x = cos x + cot x 11 Giải phương trình: ( 12 Giải phương trình: ) sin x + sin 3 x + sin x = ( sin x + sin x + sin x ) 13 Giải phương trình: sin x = 14 Giải phương trình: sin x sin x − cos x + cot x = tan x ( 2cos x ( sin x + cos x − 1) = 16 Giải phương trình: 15 Giải phương trình: 2sin x + sin x + = cos x + sin x 17 Giải phương trình: ) π 11π   3x π     3x π  sin  − ÷+ 2sin  x − ÷ = 2sin  x + + 3cos ÷  − ÷ 3   5    5 x ( sin x + 3) cos − sin x ( + cos x ) − 3cos x − = 18 Giải phương trình: Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11 sin x ( + cos x ) − 4cos x.sin x −3 =0 2sin x − sin x + cos 3x − 4cos x + =1 2sin x − 20 Giải phương trình: x  3x π  2 cos  + ÷.sin − cos x + =  4 21 Giải phương trình: 22 Giải phương trình: tan x + 2sin x = 3cot x x x π x  sin sin x − cos sin x + − cos  − ÷ = 2  2 23 Giải phương trình: x   cos x − sin x −  cos − sin x ÷ =   24 Giải phương trình: 19 Giải phương trình: 25 Giải phương trình: ( sin x = cos x.cos x tan x + tan x 26 Giải phương trình: cos x + ) + 2sin x − = 2(cot x + 1) sin x cos x.cos x − sin x + cos3 x = cos x 2 27 Giải phương trình: ( 0; 2016π ) 28 Tính tổng nghiệm phương trình sau khoảng 3π  π   2 cos x + sin x.cos  x + − 4sin x + ÷  ÷=  4   29 Giải phương trình: 2sin x + cot x − 2sin x = π π   sin  3x − ÷ = sin x.sin  x + ÷ 4 4   30 Giải phương trình: sin x − cos x + = sin x + 3cos x cos x + sin x = + π  sin  x + ÷ 3  32 Giải phương trình: cos x − cos3 x − cos x − tan x = cos x 33 Giải phương trình: sin x − cos x − 5sin x + (2 − 3) cos x + + 31 Giải phương trình: 2cos x + 34 Giải phương trình: 35 Giải phương trình: 2000sin x + 2015cos x = 2015 π  2sin  x + ÷( sin x − cos x ) = sin x + sin x 4  36 Giải phương trình: =1 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí 37 Giải phương trình: Luyện thi HSG Toán 11 ( + 2cos x ) cos x = 3π  π   2sin  − x ÷.cos x.cos x = 3cos  x − ÷  4   38 Giải phương trình: π  cos x + cos 3x = + sin  x + ÷ 4  39 Giải phương trình: + tan x ) cos3 x + ( + cot x ) sin x = ( 40 Giải phương trình: 41 Giải phương trình: ( 2sin x ) sin x + cos x + + sin x − cos x = + 2 42 Giải phương trình: sin x.cos x + sin x = ( 43 Giải phương trình: 44 Giải phương trình: ) + cos x + ( cos3 x − sin x = 2+ tan x + cot x 45 Giải phương trình: 3.sin x = ) − sin x.cos x + sin x − cos x − = ( sin x + cos x ) = + 2sin x 3tan x − 46 Giải phương trình: sin x − 47 Giải phương trình: + sin x + cos x = sin x + cos x cos x − cos x ) = + 2sin x ( 48 Giải phương trình: 49 Giải phương trình: cos x + = cos x + cos x − 50 Tính tổng nghiệm phương trình sau đoạn [ 0;1007π ] 8sin x.cos x − sin x − cos x =0 7π  3π    sin  x + ÷− cos  x − ÷     tan x − tan x − − + 4cos x = cos x + tan x 51 Giải phương trình: − 4sin x ) ( − 4sin x ) = − 2cos10 x ( 52 Giải phương trình: 53 Giải phương trình: 54 Giải phương trình: 2sin x sin x + = ( sin x + 2cos x ) tan x cos x sin x + ( sin x − cos x ) = −2 cos x − 3sin x + =0 tan x − 55 Giải phương trình: x  3x 3x  2sin  sin + cos ÷ = − 4cos x 2 2  56 Giải phương trình: : Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 57 Giải phương trình: sin x + cos x.cos x + sin x.cos x = π π   sin  x + ÷.sin 3 x + cos  3x + ÷.cos3 x = 4 4   58 Giải phương trình: B Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn điều kiện: cos A B C A B C cos cos − sin sin sin = 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC vuông Cho A, B, C ba góc tam giác Chứng minh rằng: sin A + sin B − cos C ≤ 2 Cho tam giác ABC có góc thỏa mãn: cos A + cos B + cos C = 2(cos A.cos B + cos B.cos C + cos C.cos A) Chứng minh tam giác ABC Cho A, B, C góc tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C ≤1 A B C cos + cos + cos 2 π A≤B≤C ≤ Tính góc tam giác biểu Cho tam giác ABC thỏa mãn: thức sau đạt GTNN: P = 2cos 4C + 4cos 2C + cos A + cos B Giả sử A, B, C, D số đo góc ∠DAB, ∠ABC , ∠BCD, ∠CDA tứ giác lồi ABCD a) Chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C ≤ 3sin b) Tìm GTLN biểu thức P = − sin A+ B+C A + sin B + sin C + sin D Chứng minh tam giác ta ln có: 2sin A + sin B + sin C < 25 2c + a + cos B = sin B 4c − a Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I thỏa mãn: a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi D, E, F tiếp điểm BC, CA,AB với đường tròn ( I) BE cắt đường tròn ( I) điểm thứ hai K Biết BE = K trung điểm BE Tính độ dài cạnh tam giác ABC 2 Tam giác ABC có góc thỏa mãn: sin B + sin C + sin B.sin C ≤ sin A Tìm GTNN biểu thức P = cot A + cot B + cot C Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí 10 Cho tam giác ABC thỏa mãn: Luyện thi HSG Toán 11 tan A B C + tan + tan = 2 Chứng minh tam giác ABC 11 Nhận dạng tam giác biết: a) sin( A + B).cos( A − B ) = 2sin A.sin B cos( B − C ) = tan B sin A + sin( C − B ) b) cos A cos B cos C + + = 12 c) cos A + cos B + cos C =  2 cos A + cos B + cos C ≥ d)  sin B = ( − cos C )sin A  sin C = ( − cos B )sin A e)  sin A + sin B = (tan A + tan B) cos A + cos B f) sin A sin B sin A + sin B + = C cos A cos B tan g) 12 Chứng minh trung tuyến tam giác ABC vng góc với khi: cot C = 2(cot A+cot B ) 2 b = a + ac  2 c = b + ba Chứng minh góc tam giác lập 13 Cho tam giác ABC thỏa mãn:  thành cấp số nhân cos A + cos B + cos 2C = 14 Tính số đo góc tam giác ABC biết 15 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức : cos A sin B sin C + (sin A + cos B + cos C ) − 17 = Tính góc tam giác 16 Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin A = cos B + cos C sin B + sin C Chứng minh tam giác ABC vuông A 17 Cho tam giác ABC , M trung điểm BC H trực tâm MA2 + MH = AH + BC 2 Chứng minh rằng: sin A + sin B + sin C M= cos A + cos B + cos 2C A, B, C 18 Tìm giá trị lớn biểu thức góc tam giác ABC Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 tan A + tan B + tan C =9 tan A + tan B + tan C 19 Tam giác ABC thỏa mãn Chứng minh tam giác ABC 5 20 Cho tam giác ABC có góc A, B, C M= 1 + + + cos2 A + cos2 B − cos2C a) Tìm GTNN biểu thức b) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC 1 + + − (cot A + cot B + cot C ) = sin A sin B sin C 21 Chứng minh với tam giác ta có: cos A cos B cos B cos C cos C cos A  A B B C C A + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A B B C C A 2 2 2 3  cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 22 Cho tam giác ABC thỏa mãn: cos B + cos C ≤ sin A Tìm GTLN biểu thức: F = sin A A B C + cos + cos + cos 2 2 Phần Giới hạn hàm số x +1 − − x x Tìm giới hạn sau: x →0 + 2014 x + 2015 x − lim x x Tìm giới hạn sau: →0 lim 3x + 1.3 − x − lim x −1 Tìm giới hạn sau: x→1 + x + x − lim x Tìm giới hạn sau: x→0 − 2x − x − + 2x − lim 2x − + 6x − − 2x Tìm giới hạn sau: x →2 − 2x + x − lim x −1 − x Tìm giới hạn sau: x →1 lim Tìm giới hạn sau: + x2 − − x x2 + x x →0 lim x x − + 3x − − Tìm giới hạn sau: x →1 lim Tìm giới hạn sau: x →0 x2 − x2 + − x2 + − Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 + x − + 3x lim x2 10 Tìm giới hạn sau: x →0 x + 1.3 2.3x + 1.4 3.4 x + 2013 2012.2013 x + − lim x 11 Tìm giới hạn sau: x →0 3x − − x + lim x x−2 12 Tìm giới hạn sau: → lim 13 Tìm giới hạn sau: + x2 − − x x2 + x x →0 (x lim + 2012 ) − x − 2012 x + x 14 Tìm giới hạn sau: x →0 + x + x − + x lim 15 Tìm giới hạn sau: + x − + 2x x →0 lim x3 + x + x 16 Tìm giới hạn sau: x →−1 lim 17 Tìm giới hạn sau: x 2014 − 2014 x + 2013 x →1 lim 18 Tìm giới hạn sau: x →+∞ lim 19 Tìm giới hạn sau: x →0 3x + − x + ( ( x − 1) 49 x + x − 16 x + x − x + x ) + x − + 3x x2 x − 20   lim  − ÷ x→2  x − − x2  , 20 Tìm giới hạn sau: Phần Dãy số tốn liên quan Tìm số hạng tổng qt dãy số (un ) , biết dãy số (un ) xác định sau:  u1 =  u2 =  5u − 2un −1 un +1 = n , n ≥  u1 = sin1; un = un −1 + Cho dãy số (un ) xác định Chứng minh (un ) dãy số bị chặn sin n n2 , ∀n ∈ N , n ≥ Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11 u1 =   2n u = u − , n ∈ N* n + n  n +1 n +1 Cho dãy số a) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số (un ) b) Tìm n để n.un số phương u1 = 2006, u2 = 2009  5un +1 − 2un  u = , n ∈ N* n +  Cho dãy số (un ) có  u1 =  un2015 + un +  , n ∈ N* un +1 = 2014 un − un + Cho dãy số (un ) có  u > 1, ∀n ∈ N ∗ (un ) dãy số tăng a) Chứng minh: n n lim ∑ b) Tìm Cho dãy số i =1 ui2014 ( xn ) +2 xác định sau;  x1 =    xn +1 =  1 2013  x +  n ÷, n ≥ 2 xn  lim xn Chứng minh dãy số có giới hạn tìm n→+∞ u1 = 2011  ,1 ≤ n ≤ 2011  2011 n u = − ∑ u n + k  n k =1 Cho dãy số (un ) xác định  Hãy tính giá trị tổng: u1 + u2 + u3 + + u2011 u0 = 1; u1 =  * ( u ) un + − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N n Cho dãy số không xác định sau:  u lim nn 3.2 Tính u1 =   u = un + + + 2un , n ∈ N * n +  9 Cho dãy số (un ) xác định sau:  Tìm cơng thức tổng quát un ( n u = 2039; un +1 = un + + 2011, n ≥ 10 Cho dãy số (un ) có ) Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 Hãy tính giá trị tổng: S n = u1 + u2 + u3 + + un u1 = 2011; un −1 = n2 ( un −1 − un ) , n ≥ ( u ) n 11 Cho dãy số xác định sau: Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn tìm giới hạn 12 Cho dãy số (un ) xác định công thức: u1 =  4un +1 = 5un + un − 16, n ≥ a) Tìm cơng thức tổng quát số hạng un u1 u2 u3 u12 + + + + 12 211 210 21 b) Tính tổng: u1 = 16  15 ( n.un + 1)  un +1 + 14 = , ∀n ≥  n +1 13 Cho dãy số (un ) có  Tìm số hạng tổng qt un 14 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 =  n n − un = u1 + 2u2 + + ( n − 1) un −1 , ∀n > 1, n ∈ N ( Tìm lim ( ) ) n − n un 15 Cho dãy số ( an ) thỏa mãn:  a =   ( n + ) a = n a − ( n + 1) a a , ∀n ≥ 1, n ∈ N n n +1 n n +1  Tìm lim an u1 = −1; u2 = , n ≥  n u − u + u = 5.2 ( u )  n −1 n−2 n xác định  n 16 Cho dãy số un Tìm cơng thức tổng quát u1 =  * ( u ) 2un +1 = un + 1, ∀n ∈ N 17 Cho dãy số n xác định  Sn lim 3n + 14 Gọi S n tổng n số hạng đầu dãy (un ) Tìm u1 =  * (un ) u1 + u2 + + un = n un ∀n ∈ N 18 Cho dãy số xác định Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 Tìm lim n un u1 =   un2 un +1 = un + , ∀n ∈ N *  2016 19 Cho dãy số (un ) xác định  u u  u lim  + + + n ÷ un +1   u2 u3 Tìm giới hạn : u0 = 2015   2015 n −1 ,1 ≤ n ∑ uk un = − ( u ) n k =0  n 20 Cho dãy số xác định 2015 Hãy tính giá trị 21 Cho dãy ( xn ) A = ∑ 2n.un n =0  x1 =  xn x = n +1  + + xn2  xác định ( xn ) a) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số b) Chứng minh số xn2 x22n −2 biểu diễn tổng bình phương số nguyên liên tiếp u1 =   un + u = , ∀n ∈ N * n +  22 Cho dãy số (un ) xác định  Hãy tìm số hạng tổng quát un tìm lim un u1 = 1; u2 =  * ( u ) un + = 3un +1 − 2un , ∀n ∈ N 23 Cho dãy số n xác định sau:   u u − u2  lim  n n + 2n n +1 ÷  ÷   Tìm giới hạn: u1 = 2; u2 =  2.un un +  u = , ∀n ∈ N * n +  un + un + 24 Cho dãy số (un ) xác định sau:  (un ) Tìm số hạng tổng quát dãy số 10 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 u1 =  * ( u ) un +1 = un − 2, ∀n ∈ N n 25 Cho dãy số xác định  Chứng minh un2 − 21( u1.u2 un −1 ) không đổi n thay đổi n u = 2032; u = u + 2.3 + 2015, n ≥ Tìm số hạng tổng quát ( u ) n + n n 26 Cho dãy số có dãy số (un ) tính giá trị tổng: S n = u1 + u2 + u3 + + un 27 Cho dãy số (un ) xác định u1 = +   un +1 − 5un un *  4u + = n , ∀n ∈ N  n +1 28 Cho cấp số nhân, công bội q > , u1 > thỏa mãn: Tìm cơng thức un u1 + u2 + + un = 2016  1 1 + + + = 2015 u u u n  Tính P = u1.u2 un 29 Cho dãy số (un ) xác định lim u1 = 1, un +1 = 2014 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) un , n = 1, 2,3 un + Tính giới hạn sau: 2015n u1 = , un +1 = un2 − un , ∀n ∈ N * 30 Cho dãy số xác định sau: Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 31 Cho dãy số (un ) xác định Tìm công thức tổng quát un u1 = 11  un +1 = 10un + − 9n, ∀n ∈ N      Pn =  − ÷ − ÷ 1 − ÷ 2.3  3.4   ( n + 1)( n + 2)   32 Cho Gọi U n số hạng tổng quát lim U Pn Tìm n→+∞ n u1 = 1; u2 =  un + = 2un +1 − un + 1, ∀n ∈ N * ( u )   n 33 Cho dãy số xác định sau: u lim n2 Tìm giới hạn: n→+∞ n u1 = 2013   n , ∀n ∈ N * un +1 = n +1 un + n 2013 34 Cho dãy số (un ) xác định sau:  11 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 Tìm cơng thức tổng quát giới hạn dãy số u1 = 2014  un +1 = + u1.u2 un , ∀n ∈ N * ( u )   n 35 Cho dãy số xác định sau: n Sn = ∑ lim Sn u k = n k Đặt Tìm giới hạn: →+∞ 36 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, u2 =  un2  un +1 = − 2, ∀n ∈ N * , n ≥  u un −1  n 1 5− + + + < u u u 2 n Chứng minh rằng: 37 Cho hai số thực dương a, b (a > b) hai dãy số ( un ) , ( ) xác định sau: u1 = a, v1 = b   un + u = ; +1 = un , n ∈ N *  n +1 u , v Chứng minh hai dãy số ( n ) ( n ) có giới hạn hữu hạn lim un = lim 38 Cho dãy số ( xn ) x = thỏa mãn: x1 = n +1 thuộc số nguyên dương Chứng minh dãy xn2 + xn + − xn2 − xn + với n ( xn ) có giới hạn hữa hạn n → +∞ u1 =   (−1) n un +1 = un + , ∀n ∈ N *  n +1 39 Cho dãy số (un ) xác định  1 u2 n = + + + , n ≥ n +1 n + n+n a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh dãy số cho có giới hữu hạn tìm giới hạn u1 =  2un2 + 3un +  , ∀n ∈ N * un +1 = 3un + 40 Cho dãy số dương (un ) thỏa mãn  Tìm giới hạn dãy số./ Phần Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn A Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần 12 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11 Từ chữ số 0, 2, 3, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, hai chữ số khơng đứng cạnh Có cách xếp chữ từ chữ MAYMAN thành hàng cho cách xếp chữ giống khơng đứng cạnh Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất lần, chữ số lại xuất khơng lần Có cách chia 100 bút chì cho bạn cho bạn có bút chì? Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ( tính từ hàng đơn vị) chia hết cho 6? Có số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác đôi nhỏ 600000 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có chữ số đơi khác hai chữ số kề khơng số lẻ? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên chẵn, số gồm chữ số đôi khác mà tổng chữ số cuối nhỏ tổng chữ số đầu đơn vị 10 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh chọn không lớp Hỏi có cách chọn vậy? 11 Có số tự nhiên gồm chữ số khác có chữ số chẵn chữ số lẻ? 12 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho chữ số 1, 2, đứng kề B Xác suất Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A, B, C , D, E , F vào thẻ (Mỗi thẻ ghi chữ cái) Lấy ngẫu nhiên đồng thời thẻ Tính xác suất chọn thẻ cho đoạn thẳng nối điểm ghi thẻ đường chéo lục giác ABCDEF Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 Viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để viết số có tổng chữ số Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Tính xác suất học sinh ngồi đối diện khác trường Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hoit thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì câu hỏi, thí sinh chọn phong bì số để xác đinh câu hỏi Biết câu hỏi dành cho thí sinh nhau, Tính xác suất để câu hỏi A chọn B chọn giống Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, phòng thi có 24 em học sinh có 12 em học sinh trường Trước giám thị gọi thí sinh vào phòng thi, yêu cầu em xếp ngẫu nhiên hàng dọc Tính xác suất để em xếp hàng dọc khơng có hai học sinh trường đứng cạnh Xếp ngẫu nhiên học sinh gồm nam nữ vào bàn hàng ngang (mỗi bàn có hai chổ ngồi) Tính xác suất để có bàn mà bàn gồm nam nữ 13 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 Đội tuyển học sinh giỏi tỉnh khối 11 trường THPT Lê Quảng Chí năm 2017-2018 có 20 bạn học sinh tham dự, có bạn học sinh thi mơn Hóa,2 bạn học sinh thi mơn Lý.Giáo viên phụ trách muốn chọn ngẩu nhiên bạn học sinh làm đại diện Tính xác suất để bạn học sinh chọn có bạn học sinh thi mơn Lý mơn Hóa Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp A = {1;2; ;20} Tính xác suất để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp 10 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn nhẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị 11 An có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Bình có viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng viên bi màu xanh Mỗi người chọn ngẫu nhiên viên bi người xem Tính xác suất để viên bi chọn màu 12 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để số chọn chia hết cho 13 Gọi S tập hợp ước nguyên dương số 10800 Lấy ngẫu nhiên số thuộc S, tính xác suất để số chia hết cho 14 Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập X Tính xác suất để số chọn chứa chữ số lẻ? 15 Một hộp chứa số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số lấy gồm chữ số khác nhau, có chữ số 4? 16 Cho tập X số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ X, tính xác suất để số chọn bé 4653 17 Một hộp có 15 viên bi kích thước, có viên bi đỏ, viên bi trắng, viên bi vàng Người ta chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi Tính xác suất để viên bi lấy không đủ màu 18 Viết ngẫu nhiên lên bảng số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để viết số có tổng chữ số 19 Một bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chổ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Tính xác suất học sinh ngồi đối diện khác trường 20 Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi đỏ C Nhị thức Niu tơn Xét khai triển: Tính a2 + ( + x ) ( + x ) ( + 2013x ) = a0 + a1x + a2 x + + a2013 x 2013 + 22 + + 20132 ) ( 2 Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 a) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 b) Tìm hệ số a10 − 2x) Cho khai triển đa thức ( Tính tổng: 2016 = ao + a1 x + a2 x + + a2016 x 2016 S = a0 + a1 + a2 + + 2016 a2015 Cho khai triển: ( + 2x) 10 (x + x + 1) = ao + a1 x + a2 x + + a14 x14 Hãy tìm giá trị a6 14 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 C C Cnn 2n +1 − Cn + + + + = 1+1 1+ 1+ n 1+ n Với n nguyên dương Chứng minh rằng: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta ln có: n n 2016 1008 (C02016 )2 -(C12016 ) +(C 22016 ) -(C32016 ) + -(C 2015 2016 ) +(C 2016 ) =C 2016 n  2  x - ÷ , ( x ≠ 0) 15 x x Tìm hệ số khai triển Niu – tơn biểu thức  , biết n C 2n C3n Cpn Cnn C +2 +3 + +p p-1 + +n n-1 =2031120 Cn Cn Cn Cn số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: n Cnk = Cnk−−11 + Cnk−−21 + + Ckk −1 + Ckk−−11 Từ tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + + n( n + 1) ( k ; n ∈ N ; k < n) Chứng minh: Chứng minh 13 +23 + +n =6(C33 +C34 +C35 + +C3n+1 )+C 2n+1 ( + 3x ) 10 Cho khai triển nhị thức n −1 n +12 a0 + a1 + + an = n 11 Tìm hệ số n = a0 + a1 x + + an x n (∀n ≥ 2; n ∈ N ) biết n số nguyên dương thỏa mãn Tìm số lớn số a0 ; a1; ; an n x khai triển: ( x + x + 5) Biết n số tự nhiên thỏa mãn: c20n + c22n + c24n + c26n + + c22nn−2 + c22nn = 128 12 Cho n số tự nhiên, n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: n Cn0 + ( n − 1) Cn1 + ( n − ) Cn2 + + 22 Cnn − + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − 2 13 Tìm hệ số lũy thừa lớn x khai triển: ≤ k ≤ 2011 k k −1 k −5 k Chứng minh rằng: C5 C 2011 + C5 C 2011 + + C5 C 2011 = C 2016 14 Cho k số tự nhiên thỏa mãn 15 Chứng minh với số tự nhiên n khác ta ln có: 2C1n + 5C2n + 8C3n + + (3n − 1)Cnn = (3n − 2).2n −1 + ( 1+ x + x 16 Xác định hệ số x khai triển 2014 S = C02015 + C2015 + C2015 +L + C2015 2015 17 Tính: ( 18 Cho khai triển: + x + x + + x 2010 ) 2011 ) n n 20 biết C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − = a0 + a1 x + a2 x + a4042110 x 4042110 a) Tính tổng: a0 + a1 + a2 + + a4042110 b) Chứng minh đẳng thức sau: 2000 2011 C2011 a2011 − C2011 a2010 + C2011 a2009 − C2011 a2008 + + C2011 a1 − C2011 a0 = −2011 19 ( Hà Tĩnh 2013) Cho khai triển: ( + x + x + + x10 ) 11 = a0 + a1 x + a2 x + a110 x110 15 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Tốn 11 Chứng minh đẳng thức sau 10 11 C11 a0 − C11 a1 + C11 a2 − C11 a3 + + C11 a10 − C11 a11 = 11 ( 20 Tìm hệ số x khai triển C21n +1 − x − 3x + C22n +1 ) 2n biết n số tự nhiên thỏa mãn: + + C2nn +1 = 22014 − x13 21 Tìm hệ số số hạng chứa 1  15 f ( x) =  + x + x ÷ ( x + 1) 4  khai triển 1 1 2014 + + + + = A22 A32 A42 An2 2015 22 Cho số nguyên dương n thỏa mãn: 15 Tìm số hạng chứa x ( 2x khai triển nhị thức : −x ) n −1 Cn1 + Cn2 = Cn3 23 Cho số nguyên dương n thỏa mãn: Tìm số hạng chứa x khai ( x + 1) n triển nhị thức: 1.Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + + n.Cnn = 128n n n +1 f ( x) = ( + x ) + x ( + x ) x Tìm hệ số khia triển thành đa thức: 24 Cho số nguyên dương n thỏa mãn: 25 ( Bình Định 2017): Cho n số tự nhiên khác Chứng minh rằng: ( ) Cn1 + Cn2 + + Cnn ≤ n 2n − 26 ( Nghệ An: 2015) Cho số nguyên dương thỏa mãn: A22 + A32 + A42 + + Tìm số hạng chứa x An2 2015 = 2014 2015 ( 2x khai triển nhị thức Niu – tơn 27 ( Vĩnh phúc 2016) Tính tổng 28 ( Hà Tĩnh 2015) A22 + A32 + A42 + + −x ) n −1 A2016 n + x ) = a0 + a1 x + + an x n ( Cho khai triển với n số tự nhiên thỏa mãn: Cn1 +2 Cn2 Cn1 +3 Cn3 Cn2 + + n Cnn Cnn −1 = 78 Tìm số lớn số a0 , a1 , , an 29 ( Hà Tĩnh 2014) Tìm số nguyên dương n, k biết n