Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
1,45 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y = f ( x) , y = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) − g ( x) = Phương trình hồnh độ giao điểm: phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax + bx + cx + d , a ≠ x − x0 ) ( Ax + Bx + C ) = ( x = x Nếu có nghiệm phân tích: Nếu đặt hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT > , có nghiệm: yC Ð yCT = , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT < yC Ð yCT < xC Ð , xCT > a f < ( ) Phương trình bậc có nghiệm dương khi: 2) Hai điểm nhánh đồ thị g ( x) x − k , ta thường lấy hai hoành độ k − a k + b với a, b > y= Góc khoảng cách: r r cos u , v = xx '+ yy ' ( ) - Góc vectơ: x + y x '2 + y '2 r ur cos α = cos n, n ' = ( - Góc đường thẳng: - Khoảng cách AB = - Khoảng cách từ d= ( xB − x A ) M ( x0 ; y0 ) đến ) + ( yB − y A ) AA '+ BB ' A2 + B A '2 + B '2 ( ∆ ) : Ax + By + C = : Ax0 + By0 + C A2 + B - Đồ thị hàm bậc 3: y = f ( x) cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hoành www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 - Phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng < t1 < t2 , t2 = 9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) - Điều kiện đồ thị đồ thị f ' ( x ) = k = tan ( x, t ) , hệ số góc: y = f ( x) ( C ) : y = f ( x) y = g ( x) tiếp xúc hệ phương trình: f ( x ) = g ( x ) f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm - Tiếp tuyến qua điểm điểm K ( a; b ) K ( a; b ) : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' có: d ≡ d ' a = a ' , b = b ' ; d / / d ' a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' a.a ' = −1 Yếu tố đối xứng: f ( −x) = f ( x) - Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung f ( −x) = − f ( x) - Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O uur OI - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến x = X + x0 ( Oxy ) → ( IXY ) với I ( x0 ; y0 ) : y = Y + y0 - Điều kiện y0 = ( C) nhận I ( x0 , y0 ) tâm đối xứng f ( x0 − x ) + f ( x0 + x ) , ∀x0 − x, x0 + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện ( C) nhận d : x = a làm trục đối xứng; f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S ( a;0 ) hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Đặc biệt: Nếu M ( x; y ) ∈ ( V ) cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TOÁN 2 Bài toán 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y = x + 2m x + cắt đường thẳng y = x + hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x + 2m x + = x + ⇔ x ( x3 + 2m x − 1) = ⇔ x = x3 + 2m x − = Xét hàm số f ( x ) = x3 + 2m x − f ' ( x ) = x + 2m ≥ f ( ) = −1 ≠ Ta có nên hàm số đồng biến ¡ Vì lim f ( x ) = lim ( x + 2m2 x − 1) = −∞ lim f ( x ) = lim ( x3 + 2m2 x − 1) = +∞ x →∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ nên phương trình f ( x) = ln có nghiệm x ≠ : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y = x3 + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + b) y = x − 3mx + m + Hướng dẫn giải a) Cho y = ⇔ x3 + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + = ⇔ ( x + 1) ( x + mx + m + ) = ⇔ x = −1 f ( x ) = x + 2mx + m + = ( 1) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m − m − > ∆ ' = ⇔ ⇔ m < −1 − m + ≠ f ( −1) ≠ m > 2, m ≠ 2 b) D = ¡ Ta có y ' = 3x − 3m, y ' = ⇔ x = m Điều kiện ( Cm ) ⇔ m > cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT < ( ) ( m) < yC Ð yCT < ⇔ f − m f www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ( )( ) ⇔ m + − 2m m m + + 2m m < ⇔ ( m + 1) − 4m3 < ⇔ −4m3 + m + 2m + < ⇔ ( m − 1) ( 4m + 3m + 1) > ⇔ m > (vì ∆ = − 16 < nên 4m + 3m + > 0, ∀m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng thị hàm số: y= ( dm ) qua điểm A ( −2;2 ) có hệ số góc m cắt đồ 2x −1 x +1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình ( d m ) : y = m ( x + ) + = mx + 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm mx + 2m + = ( dm ) đường cong: 2x −1 ⇔ ( mx + 2m + ) ( x + 1) = x − 1, x ≠ −1 x +1 ( 1) ⇔ mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (d ) a) Đường thẳng m cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 a ≠ m ≠ ⇔ ⇔ m ∆ > 0, g ( −1) ≠ m > 12 b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x = −1 đồ thị Đường thẳng ( dm ) cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1 < −1 < x2 Đặt x = t − x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < < t2 m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + = Phương trình trở thành: ⇔ mt + mt + = ( ) ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ⇔ m < Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng ( C ) hàm số y = x − 3x − hai điểm A, B cho tam giác OAB a) y = m, m > cắt đồ thị vuông gốc tọa độ O www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ( C ) hàm số b) y = x + m cắt đồ thị đạt giá trị nhỏ y= x2 x − điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1 − x2 Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm: x − x − = m ⇔ x − 3x − − m = ( C ) hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) B ( xB ; m ) đối Với m > đường thẳng y = m cắt xứng qua Oy, x A < xB uuu r uuu r OA OB = ⇔ x A xB + m = Tam giác OAB vuông O nên Mà x A + xB = nên x A = −m; xB = m Do m − 3m − m − = ⇔ ( m − ) ( m3 + 2m + m + 1) = ⇔ m = (vì m > ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = 3x + m ⇔ x + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ x −1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1: ∆ > m + 2m + > ⇔ −1 ≠ g ( 1) ≠ : Đúng ∀m x1 − x2 = Ta có: − b + ∆ −b − ∆ ∆ − = 2a 2a m + 2m + = = 4 Vậy giá trị x1 − x2 ( m + 1) +8 ≥ 2 nhỏ m = −1 Bài toán 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số dài y = x − ( m + 1) x + m b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C) : y = cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ 2x −1 x − hai điểm A, B mà AB = 10 Hướng dẫn giải a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hoành nghiệm phương trình: x − ( m + 1) x + m = ⇔ x = www.LuyenThiThuKhoa.vn x = m Phone: 094 757 2201 Điều kiện m > m ≠ Khi đó, phương trình có nghiệm x = −1, x = 1, x = − m , x = m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m = 1 ⇔m=9 m= (chọn) m= b) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C) : x − ( m − 1) x + m − = 2x −1 = −x + m ⇔ x −1 x ≠ Đường thẳng d cắt ( C) điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác ∆ = ( m − 1) − ( m − 1) > m − 6m + > m < ⇔ ⇔ m > 1 ≠ 0, ∀m 1 − ( m − 1) + m − ≠ Khi A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = Ta có x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m − 1) − ( m − 1) − = 2 m − = −1 m = ⇔ ⇔ m − = m = (thỏa mãn) Vậy m = hay m = x − 3x ( C ) : y = x − điểm M, Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y = m − x cắt đồ thị N cắt tiệm cận ( C) P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C) : x − 3x = m − x ⇔ x − ( m + ) x + m = 0, x ≠ x −1 ( C ) điểm phân biệt M, N Ta có x = không nghiệm ∆ = m + 16 > , ∀m nên d cắt www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Ta có y= x − 3x = x−2− x −1 x − nên TCĐ: x = , TCX: y = x − Do xP = , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m − x = x − ⇒ xQ = xP + xQ m + xM + xN m+2 = = Do 2 : đpcm Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y = x + biết tung độ tiếp điểm y0 = y = − x3 − x − 3x + d : y = x+9 b) song song với Hướng dẫn giải a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm ( x , f ( x )) : 0 y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Vì y0 = ⇔ f '( x ) = Thế vào: x + = ⇔ x0 = 1 f ' ( x0 ) = x + nên y= 1 ( x − 2) + = x + 4 b) y ' = − x − x − Đường thẳng d có hệ số góc Tiếp tuyến song song với nên y' = ⇔ x + 16 x + 15 = ⇔ x0 = − Với Với k= 3 ⇔ −x2 − 4x − = 4 x0 = − x0 = − 29 37 f ( x0 ) = y = x+ 24 nên có tiếp tuyến 12 x0 = − f ( x0 ) = − y = x− nên có tiếp tuyến Vậy có tiếp tuyến y= 3 37 x− y = x+ 12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: a) y = x − x + có hệ số góc bé b) y = f ( x) thỏa mãn f ( + 2x) = x − f ( − x ) www.LuyenThiThuKhoa.vn x = Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y ' = x − 12 x = −6 + ( x − 1) ≥ −6 , dấu = x0 = A ( 1; −1) nên max y ' = −6 , tiếp tuyến y = −6 x + b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f ( + 2x) f '( + 2x ) = + f ( − x) f '( − x ) f ( 1) f ' ( 1) = + f ( x ) f ' ( 1) x = Thế : ( *) f ( + x ) = x − f ( − x ) ⇒ f ( 1) = − f ( 1) Thế x = vào ⇒ f ( 1) ( + f ( 1) ) = ⇒ f ( 1) = Với f ( 1) = Với f ( 1) = ( *) : −4 f ' ( 1) = + f ' ( 1) ⇒ f ' ( 1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y=− a) −1 ( x − 1) Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến y= ( *) : = (loại) thì f ( 1) = −1 ( C) hàm số: x−3 x + biết khoảng cách từ tâm đối xứng ( C ) đến tiếp tuyến 2 b) y = x − 3x + biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA Hướng dẫn giải y' = a) Ta có ( x + 1) , x ≠ −1 Phương trình tiếp tuyến d y= ( x0 + 1) ( x − x0 ) + M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1 x0 − x0 + ⇔ x − ( x0 + 1) y + ( x02 − x0 − 3) = nên −4 − ( x0 + 1) + ( x02 − x0 − ) d ( I ,∆) = 2 ⇔ www.LuyenThiThuKhoa.vn 16 + ( x0 + 1) =2 Phone: 094 757 2201 2 ⇔ ( x0 + 1) − ( x0 + 1) + 16 = ⇔ ( x0 + 1) − = x0 = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 = −3 Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến y = x − Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + b) Ta có y ' = 3x − x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: k = tan OAB = ± OB = ±9 OA Do y ' = ±9 ⇔ x − x = ±9 x2 − 2x − = x0 = −1 ⇔ ⇔ x − x + = ( VN ) x0 = Với x0 = , phương trình d y = x + Với x0 = , phương trình d y = x − 25 Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến ( C) hàm số: tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích y= S= x +1 x − điểm M có hồnh độ âm, biết Hướng dẫn giải y' = Ta có −3 ( x − 2) Tiếp tuyến d với d:y= ,x ≠ ( C) −3 ( x0 − ) M ( x0 ; y0 ) , x0 < ( x − x0 ) + x0 + x0 − Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy x + x0 − x02 + x0 − ÷ A ;0 ÷, B 0; ( x0 − ) ÷ S= Ta có 1 1 x02 + x0 − x02 + x0 − ⇔ OA.OB = ⇔ = 6 ( x0 − ) www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 x02 + x0 = x0 = −1 ∨ x0 = ⇔ ⇔ x0 + x0 − = x0 = −4 ∨ x0 = Chọn x0 < nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y = − 1 ( x + 1) ; d : y = − x + 12 Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C) hàm số: A ( 0; ) a) y = x − x + qua b) y= ( − m) x + − m , m ≠ mx + m − qua M ( −1; −1) Hướng dẫn giải M ( x0 ; y0 ) a) Ta có: y ' = 3x − 10 x Phương trình tiếp tuyến điểm y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − x02 + ) A ( 0; ) = ( x0 − 10 x0 ) ( − x0 ) + ( x0 − x0 + ) Cho tiếp tuyến qua : ⇔ x03 − x02 = ⇔ x02 ( x0 − ) = ⇔ x0 = x0 = Với x0 = có tiếp tuyến y = Với x0 = 25 y =− x+2 có tiếp tuyến y' = b) Ta có −1 ( mx + m − 1) Gọi d tiếp tuyến với ,x ≠ ( Cm ) 1− m m điểm T ( x0 ; y0 ) d : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y= −1 ( mx0 + m − 1) x − x0 ) + ( Tiếp tuyến d qua −1 = M ( −1; −1) x0 + ( mx0 + m − 1) + ( − m ) x0 + − m mx0 + m − nên ta có: ( − m ) x0 + − m www.LuyenThiThuKhoa.vn mx0 + m − 10 Phone: 094 757 2201 Đồ thị ( C) : y = x +1 x − có TCĐ: x = , TCN: y = nên giao điểm tiệm cận I ( 1;1) Ta có x +1 M x; ÷∈ ( C ) x −1 nên khoảng cách: x +1 IM = ( x − 1) + − 1÷ = x −1 ( x − 1) = Dấu = xảy Vậy ( ( x − 1) 4 + ( x − 1) ≥4 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ± 2 ( x − 1) ) 2 ( M 1 + 2;1 + , M − 2;1 − ) x +1 x − có đồ thị ( C ) Tìm điểm M đồ thị ( C ) cho tổng khoảng Bài toán 3.29: Cho hàm số: cách từ M đến đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x + y − = nhỏ y= Hướng dẫn giải x +1 M x0 ; ÷∈ ( C ) , x0 ≠ x0 − Giả sử Tổng khoảng cách x0 + d= −3 x0 − x0 + + x0 − = − + x0 + x0 + ÷ x0 − x0 − ÷ 5 ≥ 2 x0 + − + x0 + = x0 − + x0 − x0 − x0 − 5 = x0 − + ÷≥ x0 − ÷ 5 x0 = + 2 ⇔ x0 − = ⇔ x0 = − Dấu đẳng thức xảy Vậy điểm M thỏa mãn ( ) ( M + 2;1 + , M − 2;1 − Bài tốn 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C) : y = ) 4x − x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 20 Phone: 094 757 2201 Đồ thị y= 4x − x − có TCĐ ∆ : x = , TCN ∆ ' : y = 4x − M x; ÷∈ ( C ) d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ') x −3 Gọi , ta có = x−3 + 4x − −4 = x−3 + ≥2 9=6 x−3 x −3 x−3 = Dấu = xảy Bài tốn 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ⇔ ( x − 3) = x −3 ( C) : y = , có điểm M ( 6;7 ) M ' ( 0;1) x −1 x + có tổng khoảng cách đến trục bé Hướng dẫn giải x −1 x −1 M x; d= x+ , x ≠ −1 ÷∈ ( C ) x + x + Gọi , tổng khoảng cách đến trục x −1 ≤1 A ( 0;1) ∈ ( C ) x ≤ x +1 d = d ≤ Xét điểm nên , xét điểm có: , nên < x < , đó: d = x+ x −1 2 = x −1 + = −2 + ( x + 1) + ≥ −2 + 2 x +1 x +1 x +1 Dấu = xảy Vậy có điểm x +1 = 2 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 ± x +1 ( ) ( M −1 − 2;1 + , M ' −1 + 2;1 − ) x2 − ( C) : y = x − có tổng khoảng cách đến trục bé Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị Hướng dẫn giải x2 − x2 − M x; ∈ C d = x + ,x ≠ ÷ ( ) x − x − Gọi tổng khoảng cách đến trục 3 3 A 0; ÷∈ ( C ) d= d ≤ x≤ 2 , nên xét điểm có hồnh độ Xét điểm x2 − x2 − >0 d= x+ x−2 Khi x − nên x2 − x2 − 8x + d = f x = x + , f ' x = ( ) ( ) 0≤ x≤ x−2 x − 2) ( Nếu www.LuyenThiThuKhoa.vn 21 Phone: 094 757 2201 f '( x ) = ⇔ x = − Lập BBT 2 d = f ( ) = x2 − −1 d = g x = − x + , g ' x = Ta có: Gọi 2 1 BA = ( a + b ) + a + b + + ÷ = ( a + b ) 1 + + ÷ a b ab 2 2 = ( a + b) + + 2 ÷ ≥ 4ab + + 2÷ ab a b ab a b = + 2ab + ÷ ≥ + 4.2 ab Dấu = xảy a = b 2ab = 1 ⇔a=b= ab 1 1 A + ;3 + + ÷ B − ;3 − − ÷ 2 2 Vậy Bài tốn 3.34: Tìm y = g ( x ) = x + x + 13 điểm M ( P ) : y = f ( x ) = −3x + x − thuộc N thuộc ( P ') : cho MN bé Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 22 Phone: 094 757 2201 Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN Gọi M ( x; f ( x ) ) , N ( x1; g ( x1 ) ) f ' ( x ) = g ' ( x1 ) ⇔ −6 x + = x1 + ⇔ x1 = −3 x MN = ( 36 x − 192 x3 + 392 x − 352 x + 121) = h ( x ) Do Ta có h ' ( x ) = 64 ( x − 36 x + 49 x − 22 ) = 64 ( x − 1) h '( x ) = ⇔ x = Khi ( 9x − 27 x + 22 ) Lập BBT M ( 1;4 ) , N ( −3; −2 ) N ( −3; −2 ) h ( x ) = h ( 1) = ; kiểm tra MN vuông góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M ( 1;4 ) , Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị ( C) : x2 − x + y= x−3 a) có tâm đối xứng b) y = x + x + x có trục đối xứng Hướng dẫn giải a) Ta có y = x +1+ x − nên ( C ) có TCĐ: x = TCX: y = x + , giao điểm tiệm cận uur x = X + OI : I ( 3;4 ) y = Y + Thế vào ( C ) được: Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ Y + = X + +1+ Vì b) 5 ⇔Y = X + X +3−3 X Y = F( X) = X + X hàm số lẻ ⇒ đpcm y ' = x3 + 12 x + x = x ( x + x + ) y ' = ⇔ x = −2 x = −1 x = x = X −1 uur I ( −1;1) y = Y +1 Xét điểm Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI : Thế hàm số: Y + = ( X − 1) + ( X − 1) + ( X − 1) ⇔ Y = X − X www.LuyenThiThuKhoa.vn 23 hàm số chẵn ⇒ đpcm Phone: 094 757 2201 Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y= x2 + x + x − đối xứng qua điểm 5 I 0; ÷ Hướng dẫn giải Ta có y = x+2+ x − Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài: x1 + x2 = x1 + x2 = x1 + x2 = ⇔ ⇔ 4 y1 + y2 = x1 x2 = −9 x1 + x2 + + x − + x − = E ( −3; −2 ) F ( 3;7 ) Do x1 = − x2 , x1 = −9 nên Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y= x2 − 2x + x −1 đối xứng qua đường thẳng d : y = x + Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vuông góc với d d ' : y = − x + b x2 − 2x + = − x + b, x ≠ ( C) : x −1 PT hoành độ giao điểm d ' ⇔ x − ( b + 3) x + + b = ∆ = ( b + 3) − ( + b ) = b − 2b − > Điều kiện Hoành độ giao điểm I d d ' : I trung điểm đoạn AB: ⇔ xI = x + = − x + b ⇒ xI = b−3 x A + xB b−3 b+3 = ⇔b=9 (chọn) 14 14 14 14 A − ;6 + ;6 − ÷, B + ÷ 2 2 Vậy x2 + ( m + 2) x − m y= x +1 Bài tốn 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − cắt đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua y = x Hướng dẫn giải Điều kiện PT hoành độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Phone: 094 757 2201 x2 + ( m + 2) x − m = − x − ⇔ x + ( m + ) x + − m = ( 1) x +1 Đk: 2 ( −1) − ( m + ) + − m ≠ m ≠ − ⇔ ∆ = ( m + ) − ( − m ) > m < −11 − 104 hay m > −11 + 104 Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1 + x2 = − m+7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vng góc với đường thẳng y = − x − nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2 = − x1 − ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + = ⇔ m = (thỏa mãn) ( C ) : y = x − x − đối xứng với qua đường thẳng Bài toán 3.39: Tìm cặp điểm nguyên y = x khơng nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A ( x; y ) ( y; x ) Vì yêu cầu điểm đối xứng A qua đường thẳng y = x có tọa độ tốn tương đương với việc tìm nghiệm nguyên ( x; y ) với x ≠ y hệ phương trình y = x − x − x = y − y − x − y ) ( x + xy + y − 3) = ⇔ x + xy + y = ( nên 2 ( 2; −1) , ( −1; ) , ( −2;1) , ( 1; −2 ) Phương trình x + xy + y = có nghiệm nguyên x ≠ y Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm ( 2; −1) , ( −1;2 ) Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y = x khơng nằm đường thẳng ( 2; −1) Bài toán 3.40: Cho khi: f ( x) f '( a ) = ( −1;2 ) hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f ''' ( a ) = f ( x) có trục đối xứng x = a Hướng dẫn giải Ta khai triển f ( x) theo x − a : f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0 www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 Phone: 094 757 2201 đó: = f( i) ( a) i! g ( x) = f ( x − a) nên đồ thị đa thức f ( x) có trục đối xứng x = a hàm số chẵn: f ( 3) ( a ) =0 f ' ( a ) = a3 = 3! ⇔ ⇔ ( 1) a1 = f ''' ( a ) = f ( a) = 1! • Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x = a f ' ( a ) = f ''' ( a ) = = f ( m −1) ( a) = Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của: x − ( m + ) x + 6m + y= x−2 a) Các đồ thị b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm mà đồ thị qua ∀m Ta có y0 = − x0 − m, ∀m ⇔ ( x02 − 1) m − y0 + x02 − x0 = 0, ∀m x0 = 1, y0 = x0 = ⇔ ⇔ x = −1, y = y0 = x0 − x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M ( 1;0 ) M ' ( −1;0 ) b) y ' = 3mx − 6mx + 2m + 1, ∆ > ⇔ m < m > Ta có y= y= x −1 − 2m 10 − m y '+ x+ 3 nên đường thẳng qua CĐ, CT là: − 2m 10 − m m x − 10 x+ = − ( x + 1) + 3 3 A − ;3 ÷ Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định Bài toán 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua a) y= mx + x−9 www.LuyenThiThuKhoa.vn 26 Phone: 094 757 2201 b) y = x − 3mx + ( 2m − 1) x + m − 5m + với M thuộc d : x = Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) y0 ≠ điểm mà đồ thị không qua: x0 = mx0 + , ∀m ⇔ x0 − x0 ≠ 9, mx0 + ≠ y0 ( x0 − ) , ∀m x0 = ⇔ x0 ≠ 0, y0 ≠ −1 Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x = x = , bỏ điểm A ( 0; −1) b) Gọi M ( 1; y ) ∈ d điểm cần tìm: y ≠ − 3m + 2m − + m − 5m + 1, ∀m ⇔ 3m − 8m + ( − y ) ≠ ⇔ ∆ = 16 − ( − y ) < ⇔ y < − Vậy điểm cần tìm M ( 1; y ) với Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị thẳng hàng y f ( ) = −1 < f ( ) = 11 > , , f liên tục ¡ , ta nên (1) có nghiệm phân biệt ( −6; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; ) ( 1) ⇒ x03 + 3x02 = x0 + nên ( ) ⇒ y0 = x0 + Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y = x + www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số định điểm cố định y= ( m − 1) x + m , m ≠ x−m tiếp xúc với đường thẳng cố Hướng dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) y0 = ( m − 1) x0 + m , ∀m ≠ x0 − m điểm cố định: ⇔ ( m − 1) x0 + m = y0 ( x − m ) , x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ ( x0 + + y0 ) m − x0 ( + y0 ) = 0, x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ x0 = 0, y0 = −1 Ta có y' = −m2 ( x − m) , x ≠ m ⇒ y ' ( ) = −1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định ( C) M ( 0; −1) , có tiếp tuyến chung y = − x − Bài toán 3.45: Trên đồ thị hàm số y = − x + 3x − có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với ( C) có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y ' = p ⇔ 3x + x = p ⇔ 3x − x + p = ( 1) ∆' = − 3p > ⇔ p < ( C ) có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Với p < Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M , M trung điểm M 1M có hồnh độ: xI = x1 + x2 =1 ⇒ yI = I ( 1;0 ) Vậy trung điểm M 1M điểm cố định Bài toán 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ − x + mx − m ( Cm ) : y = x−m qua Hướng dẫn giải Giả sử ( 0 ) điểm mặt phẳng mà có hai đường cong trình sau có hai nghiệm phân biệt x ;y ( Cm ) qua Khi phương − x02 + mx0 − m y0 = ⇔ m − ( x0 + y0 ) m + x0 ( x0 + y0 ) = x0 − m www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 Điều kiện ∆ > ⇔ ( x0 + y0 ) ( y0 − x0 ) > Vậy điểm cần tìm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thỏa mãn quan hệ ( x0 + y0 ) ( y0 − x0 ) > Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị a) y= ( Cm ) : ( m + 1) x + m x+m b) y = mx − 6m + + x−m Hướng dẫn giải a) D = ¡ \ { −m} Ta có Ta có lim y = lim x →±∞ x →±∞ lim − y = +∞, lim + y = −∞ x →( − m ) x →( − m ) ( m + 1) x + m = m + x+m nên TCĐ: x = − m với m ≠ nên TCN: y = m + x = X − m uur I ( − m; m + 1) y = Y + m +1 Giao điểm tiệm cận , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI : Thế vào ( Cm ) được: Y + m +1 = ( m + 1) ( X − m ) + m ⇔ Y = m2 X ( X − m) + m m2 X hàm số lẻ nên ( C ) có tâm đối xứng I có tọa độ x = −m ; y = m + Khử Ta có tham số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y = − x + 1, x ≠ Y = F ( x) = b) Đồ thị ( Cm ) : y = mx − 6m + + ,x ≠ m x−m có TCĐ: x = m TCX: y = mx − 6m + nên giao điểm I ( m; m − 6m + 1) uur OI Chuyển hệ trục phép tịnh tiến tâm đối xứng I có tọa độ: x = m , y = m − 6m + Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol ( P ) : y = x2 − 6x + Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: a) Cực đại đồ thị b) Cực tiểu đồ thị y= x − 2mx + 3m − x −1 y = x + 3mx + ( m − 1) x + m3 − 3m Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Phone: 094 757 2201 a) D = ¡ \ { 1} , y' = x − 2mx + 3m − ,∆' = m − x −1 Điều kiện có cực trị ∆ > 0,1 − − m + ≠ ⇔ m > , hoành độ cực trị x = ± m − Lập BBT điểm cực đại A: x = − m − 4, y = f ( x ) x = 1− m − ⇒ m = + ( 1− x) Ta có ( P ) : y = −2 x + x − 10 , b) D = ¡ , vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x = − m − < nên giới hạn x < y ' = x + 6mx + ( m − 1) Vì ∆ ' = > , ∀m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x = − m ± Lập BBT điểm cực tiểu B : x = − m; y = f ( − m ) = −2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y = −2 x2 − x + y= x −1 Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải 2x2 − x + = m − x ⇔ 3x − ( m + ) x + m + = 0, x ≠ x −1 PT hoành độ giao điểm: Vì x = khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi: ∆ = ( m + ) − 12 ( m + 1) > ⇔ m − 8m − > ⇔ m < 4−2 xM = m > + Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: x A + xB m + = Vì điểm M nằm đường thẳng y = m − x nên yM = m − xM Khử m, ta có m = xM − nên yM = xM − − xM = xM − Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y = x − Giới hạn: m < − ⇒ 6x − < − ⇔ x < − ⇒ 6x − > + ⇔ x > 1+ www.LuyenThiThuKhoa.vn m > + 6 30 Phone: 094 757 2201 Bài tốn 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y= x2 − x + x −1 Hướng dẫn giải Ta có y= D = ¡ \ { 1} x0 ( x0 − ) ( x0 − 1) f ( x) = Xét Cho ( x − 1) , nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0 ≠ x02 − x0 + ( x − x0 ) + x0 − Cho x = x ( x − 2) y' = y= x0 − ( x0 − 1) 2x −1 ( x − 1) 2 f '( x) = ,x ≠1 f ' ( 1) = ⇔ x = −2 x ( x − 1) Bảng biến thiên x −∞ y' y − +∞ + − +∞ +∞ −1 B ( 0; y ) Do y ≥ −1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm với y ≥ Bài tốn 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến tuyến vng góc với ( C ) : y = x −1 + x x − mà tiếp Hướng dẫn giải Gọi M ( a; b ) , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: Điều kiện d tiếp xúc ( C) y = k ( x − a) + b hệ sau có nghiệm x ≠ 1 x − + = k ( x − a) + b x −1+ x −1 = k ( x − a) + b x −1 ⇔ ⇔ 1 − x − − = k ( x − 1) = k ( x − 1) x −1 2 = k ( − a) + b ⇒ 1− ( k ( − a) + b) = k Do x − Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Phone: 094 757 2201 g ( k ) = ( a − 1) k + ( ( − a ) b + ) k + b − = 0, k ≠ Yêu cầu toán: a ≠ 1, k1k2 = −1, g ( 1) ≠ ⇔ a ≠ 1, b − = − ( a − 1) , ( a − 1) + ( ( − a ) b + ) + b − ≠ 2 ⇔ ( a − 1) + b = 4, a ≠ 1, a ≠ b + Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn ( C + 2; ) D ( − 2; − ( x − 1) + y2 = bỏ điểm A ( 1;2 ) , B ( 1; −2 ) , ) BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng a) y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số thẳng AB thuộc trục tung y= x2 + x − x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn b) y = m cắt đồ thị y = x − x + điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x + ( − m ) x − = ( x ≠ ) Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1 = x1 + x2 m − = Kết m = b) Kết m= 41 25 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng x2 + y= ( C) y = m ( x − 2) + x a) cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc hai nhánh x2 − y= x hai điểm phân biệt A, B cho AB = b) y = − x + m cắt đồ thị hàm số Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Kết m > b) Kết m = ±2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Phone: 094 757 2201 y= Bài tập 3.3: Cho hàm số ( C) x ( x − 3) ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) có đồ thị cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn ( 3 x0 = , x0 = ± Các tiếp điểm ) y = f ( x ) = cos x + m sin x Bài tập 3.4: Cho hàm số song trùng Tìm m để hai tiếp tuyến x=− π π x= song Hướng dẫn ( − 3+2 π π m= f ' − ÷= f ' ÷ −1 4 Kết Điều kiện Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y= ) ( 2m − 1) x − m2 x −1 tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y = x Điều kiện đồ thị y = f ( x) y = g ( x) tiếp xúc hệ phương trình: f ( x ) = g ( x ) f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm Kết m ≠ Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y = − x + x − điểm uốn b) y = − x + x có hệ số góc lớn Hướng dẫn a) y ' = −4 x + x, y '' = −12 x + y=− Kết 3 x− y= x− 3 b) Kết y = x − Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y= x + 2m x + m x +1 có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O Hướng dẫn www.LuyenThiThuKhoa.vn 33 Phone: 094 757 2201 Điều kiện f ( −x) = − f ( x) m , m ≠ ±1 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị ( C) : y = 2x + x − có khoảng cách bé Hướng dẫn Kết ( ) ( A + 5;2 + , B − 5;2 + ) Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị không qua: y = x + ( m + 1) x + ( m − 3m ) x + ( + 2m − m ) Hướng dẫn A ( 1;7 ) M ( x; y ) Kết đường thẳng x = , bỏ điểm điểm cho ( x − 1) ( x − 1) ( x − ) − ( x3 + x + − y ) < Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị (H) : y = 4x − x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé Hướng dẫn Kết M ( 0;1) M ( 6;7 ) Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x + mx + m + , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m = hay m = −3 ± 2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 34 Phone: 094 757 2201 ... www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Ta có y= x − 3x = x−2− x −1 x − nên TCĐ: x = , TCX: y = x − Do xP = , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m − x = x − ⇒ xQ = xP + xQ m + xM + xN m+2 = = Do 2... = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − x02 + ) A ( 0; ) = ( x0 − 10 x0 ) ( − x0 ) + ( x0 − x0 + ) Cho tiếp tuyến qua : ⇔ x03 − x02 = ⇔ x02 ( x0 − ) = ⇔ x0 = x0... dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị: y0 = ( + m ) x03 + ( + m ) x02 − 4mx0 − m, ∀m ⇔ y0 = ( x03 + 3x02 − x0 − 1) m + x03 + x02 , ∀m x0 + 3x0 − x0 − = ⇔ y0 = x0 + 3x0 ( 1) (2)