Chuyen de 03 bai toan lien quan do thi

34 120 0
Chuyen de 03  bai toan lien quan do thi

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ - BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐỒ THỊ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Sự tương giao: Cho đồ thị hàm số: y = f ( x) , y = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) − g ( x) = Phương trình hồnh độ giao điểm: phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao Vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm phân biệt: giao điểm,… Chú ý: 1) Phương trình bậc 3: ax + bx + cx + d , a ≠ x − x0 ) ( Ax + Bx + C ) = ( x = x Nếu có nghiệm phân tích: Nếu đặt hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yC Ð yCT > , có nghiệm: yC Ð yCT = , có nghiệm phân biệt: yCÐ yCT <  yC Ð yCT <   xC Ð , xCT > a f < ( ) Phương trình bậc có nghiệm dương khi:  2) Hai điểm nhánh đồ thị g ( x) x − k , ta thường lấy hai hoành độ k − a k + b với a, b > y= Góc khoảng cách: r r cos u , v = xx '+ yy ' ( ) - Góc vectơ: x + y x '2 + y '2 r ur cos α = cos n, n ' = ( - Góc đường thẳng: - Khoảng cách AB = - Khoảng cách từ d= ( xB − x A ) M ( x0 ; y0 ) đến ) + ( yB − y A ) AA '+ BB ' A2 + B A '2 + B '2 ( ∆ ) : Ax + By + C = : Ax0 + By0 + C A2 + B - Đồ thị hàm bậc 3: y = f ( x) cắt trục hoành điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách AB = BC tức nghiệm x1 , x2 , x3 lập cấp số cộng điểm uốn thuộc trục hoành www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 - Phương trình trùng phương ax + bx + c = 0, a ≠ có nghiệm phân biệt lập cấp số cộng < t1 < t2 , t2 = 9t1 Tiếp tuyến tiếp xúc: - Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) - Điều kiện đồ thị đồ thị f ' ( x ) = k = tan ( x, t ) , hệ số góc: y = f ( x) ( C ) : y = f ( x) y = g ( x) tiếp xúc hệ phương trình:  f ( x ) = g ( x )   f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm - Tiếp tuyến qua điểm điểm K ( a; b ) K ( a; b ) : Lập phương trình tiếp tuyến x0 cho tiếp tuyến qua tìm x0 Chú ý: Với hai đường thẳng d : y = ax + b, d ' : y = a ' x + b ' có: d ≡ d ' a = a ' , b = b ' ; d / / d ' a = a ' , b ≠ b ' ; d ⊥ d ' a.a ' = −1 Yếu tố đối xứng: f ( −x) = f ( x) - Hàm số chẵn: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung f ( −x) = − f ( x) - Hàm số lẻ: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc O uur OI - Công thức chuyển hệ trục phép tịnh tiến  x = X + x0 ( Oxy ) → ( IXY ) với I ( x0 ; y0 ) :  y = Y + y0 - Điều kiện y0 = ( C) nhận I ( x0 , y0 ) tâm đối xứng f ( x0 − x ) + f ( x0 + x ) , ∀x0 − x, x0 + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến gốc I nói hàm số lẻ - Điều kiện ( C) nhận d : x = a làm trục đối xứng; f ( a − x ) = f ( a + x ) , ∀a − x, a + x ∈ D , chuyển trục phép tịnh tiến đến S ( a;0 ) hàm số chẵn Quỹ tích điểm M: Tìm tọa độ x, y M, khử tham số x y Giới hạn: Chuyể ndk có tham số điều kiện x (hay y) www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Đặc biệt: Nếu M ( x; y ) ∈ ( V ) cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số CÁC BÀI TOÁN 2 Bài toán 3.1: Chứng minh đồ thị hàm số y = x + 2m x + cắt đường thẳng y = x + hai điểm phân biệt với giá trị m Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x + 2m x + = x + ⇔ x ( x3 + 2m x − 1) = ⇔ x = x3 + 2m x − = Xét hàm số f ( x ) = x3 + 2m x − f ' ( x ) = x + 2m ≥ f ( ) = −1 ≠ Ta có nên hàm số đồng biến ¡ Vì lim f ( x ) = lim ( x + 2m2 x − 1) = −∞ lim f ( x ) = lim ( x3 + 2m2 x − 1) = +∞ x →∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ nên phương trình f ( x) = ln có nghiệm x ≠ : đpcm Bài tốn 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: a) y = x3 + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + b) y = x − 3mx + m + Hướng dẫn giải a) Cho y = ⇔ x3 + ( 2m + 1) x + ( 3m + ) x + m + = ⇔ ( x + 1) ( x + mx + m + ) = ⇔ x = −1 f ( x ) = x + 2mx + m + = ( 1) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m − m − > ∆ ' = ⇔ ⇔ m < −1   − m + ≠  f ( −1) ≠  m > 2, m ≠ 2 b) D = ¡ Ta có y ' = 3x − 3m, y ' = ⇔ x = m Điều kiện ( Cm ) ⇔ m > cắt trục hoành điểm phân biệt đồ thị có CĐ, CT yC Ð yCT < ( ) ( m) < yC Ð yCT < ⇔ f − m f www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ( )( ) ⇔ m + − 2m m m + + 2m m < ⇔ ( m + 1) − 4m3 < ⇔ −4m3 + m + 2m + < ⇔ ( m − 1) ( 4m + 3m + 1) > ⇔ m > (vì ∆ = − 16 < nên 4m + 3m + > 0, ∀m ) Bài tốn 3.3: Tìm giá trị m để đường thẳng thị hàm số: y= ( dm ) qua điểm A ( −2;2 ) có hệ số góc m cắt đồ 2x −1 x +1 a) Tại hai điểm phân biệt? b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị? Hướng dẫn giải Phương trình ( d m ) : y = m ( x + ) + = mx + 2m + Phương trình hồnh độ giao điểm mx + 2m + = ( dm ) đường cong: 2x −1 ⇔ ( mx + 2m + ) ( x + 1) = x − 1, x ≠ −1 x +1 ( 1) ⇔ mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (d ) a) Đường thẳng m cắt đường cong cho hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 a ≠ m ≠ ⇔ ⇔ m ∆ > 0, g ( −1) ≠ m > 12 b) Hai nhánh đường cong cho nằm hai bên đường tiệm cận đứng x = −1 đồ thị Đường thẳng ( dm ) cắt đường cong cho hai điểm thuộc hai nhánh phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 x1 < −1 < x2 Đặt x = t − x1 < −1 < x2 ⇒ t1 < < t2 m ( t − 1) + 3m ( t − 1) + 2m + = Phương trình trở thành: ⇔ mt + mt + = ( ) ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ⇔ m < Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng ( C ) hàm số y = x − 3x − hai điểm A, B cho tam giác OAB a) y = m, m > cắt đồ thị vuông gốc tọa độ O www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 ( C ) hàm số b) y = x + m cắt đồ thị đạt giá trị nhỏ y= x2 x − điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 x1 − x2 Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm: x − x − = m ⇔ x − 3x − − m = ( C ) hai điểm phân biệt A ( x A ; m ) B ( xB ; m ) đối Với m > đường thẳng y = m cắt xứng qua Oy, x A < xB uuu r uuu r OA OB = ⇔ x A xB + m = Tam giác OAB vuông O nên Mà x A + xB = nên x A = −m; xB = m Do m − 3m − m − = ⇔ ( m − ) ( m3 + 2m + m + 1) = ⇔ m = (vì m > ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 = 3x + m ⇔ x + ( m − 3) x − m = 0, x ≠ x −1 Điều kiện có nghiệm phân biệt khác 1: ∆ >  m + 2m + > ⇔  −1 ≠  g ( 1) ≠ : Đúng ∀m x1 − x2 = Ta có: − b + ∆ −b − ∆ ∆ − = 2a 2a m + 2m + = = 4 Vậy giá trị x1 − x2 ( m + 1) +8 ≥ 2 nhỏ m = −1 Bài toán 3.5: Tìm giá trị m cho a) Đồ thị hàm số dài y = x − ( m + 1) x + m b) Đường thẳng d : y = − x + m cắt ( C) : y = cắt trục hoành bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ 2x −1 x − hai điểm A, B mà AB = 10 Hướng dẫn giải a) Hoành độ giao điểm đường cong trục hoành nghiệm phương trình: x − ( m + 1) x + m = ⇔ x = www.LuyenThiThuKhoa.vn x = m Phone: 094 757 2201 Điều kiện m > m ≠ Khi đó, phương trình có nghiệm x = −1, x = 1, x = − m , x = m Đường cong cắt trục hoành điểm tạo thành ba đoạn thẳng khi: m = 1 ⇔m=9 m= (chọn) m= b) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C) :  x − ( m − 1) x + m − = 2x −1 = −x + m ⇔  x −1  x ≠ Đường thẳng d cắt ( C) điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác ∆ = ( m − 1) − ( m − 1) >  m − 6m + > m < ⇔ ⇔  m > 1 ≠ 0, ∀m 1 − ( m − 1) + m − ≠ Khi A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ; − x2 + m ) AB = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) = Ta có x1 + x2 = m − 1; x1.x2 = m − 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m − 1) − ( m − 1) − = 2  m − = −1  m = ⇔ ⇔ m − =  m = (thỏa mãn) Vậy m = hay m = x − 3x ( C ) : y = x − điểm M, Bài toán 3.6: Chứng minh đường thẳng d : y = m − x cắt đồ thị N cắt tiệm cận ( C) P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có trung điểm Hướng dẫn giải Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C) : x − 3x = m − x ⇔ x − ( m + ) x + m = 0, x ≠ x −1 ( C ) điểm phân biệt M, N Ta có x = không nghiệm ∆ = m + 16 > , ∀m nên d cắt www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Ta có y= x − 3x = x−2− x −1 x − nên TCĐ: x = , TCX: y = x − Do xP = , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m − x = x − ⇒ xQ = xP + xQ m + xM + xN m+2 = = Do 2 : đpcm Bài tốn 3.7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y = x + biết tung độ tiếp điểm y0 = y = − x3 − x − 3x + d : y = x+9 b) song song với Hướng dẫn giải a) Ta có phương trình tiếp tuyến điểm ( x , f ( x )) : 0 y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Vì y0 = ⇔ f '( x ) = Thế vào: x + = ⇔ x0 = 1 f ' ( x0 ) = x + nên y= 1 ( x − 2) + = x + 4 b) y ' = − x − x − Đường thẳng d có hệ số góc Tiếp tuyến song song với nên y' = ⇔ x + 16 x + 15 = ⇔ x0 = − Với Với k= 3 ⇔ −x2 − 4x − = 4 x0 = − x0 = − 29 37 f ( x0 ) = y = x+ 24 nên có tiếp tuyến 12 x0 = − f ( x0 ) = − y = x− nên có tiếp tuyến Vậy có tiếp tuyến y= 3 37 x− y = x+ 12 Bài toán 3.8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị: a) y = x − x + có hệ số góc bé b) y = f ( x) thỏa mãn f ( + 2x) = x − f ( − x ) www.LuyenThiThuKhoa.vn x = Phone: 094 757 2201 Hướng dẫn giải a) Ta có hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm y ' = x − 12 x = −6 + ( x − 1) ≥ −6 , dấu = x0 = A ( 1; −1) nên max y ' = −6 , tiếp tuyến y = −6 x + b) Lấy đạo hàm vế, ta có: f ( + 2x) f '( + 2x ) = + f ( − x) f '( − x ) f ( 1) f ' ( 1) = + f ( x ) f ' ( 1) x = Thế : ( *) f ( + x ) = x − f ( − x ) ⇒ f ( 1) = − f ( 1) Thế x = vào ⇒ f ( 1) ( + f ( 1) ) = ⇒ f ( 1) = Với f ( 1) = Với f ( 1) = ( *) : −4 f ' ( 1) = + f ' ( 1) ⇒ f ' ( 1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y=− a) −1 ( x − 1) Bài tốn 3.9: Viết phương trình tiếp tuyến y= ( *) : = (loại) thì f ( 1) = −1 ( C) hàm số: x−3 x + biết khoảng cách từ tâm đối xứng ( C ) đến tiếp tuyến 2 b) y = x − 3x + biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA Hướng dẫn giải y' = a) Ta có ( x + 1) , x ≠ −1 Phương trình tiếp tuyến d y= ( x0 + 1) ( x − x0 ) + M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , x0 ≠ −1 x0 − x0 + ⇔ x − ( x0 + 1) y + ( x02 − x0 − 3) = nên −4 − ( x0 + 1) + ( x02 − x0 − ) d ( I ,∆) = 2 ⇔ www.LuyenThiThuKhoa.vn 16 + ( x0 + 1) =2 Phone: 094 757 2201 2 ⇔ ( x0 + 1) − ( x0 + 1) + 16 = ⇔ ( x0 + 1) −  =    x0 = ⇔ ( x0 + 1) = ⇔   x0 = −3 Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến y = x − Với x0 = −3 , ta có phương trình tiếp tuyến y = x + b) Ta có y ' = 3x − x Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm phân biệt A, B cho OB = 9OA nên hệ số góc tiếp tuyến d là: k = tan OAB = ± OB = ±9 OA Do y ' = ±9 ⇔ x − x = ±9  x2 − 2x − =  x0 = −1 ⇔ ⇔  x − x + = ( VN )  x0 = Với x0 = , phương trình d y = x + Với x0 = , phương trình d y = x − 25 Bài toán 3.10: Viết phương trình tiếp tuyến ( C) hàm số: tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích y= S= x +1 x − điểm M có hồnh độ âm, biết Hướng dẫn giải y' = Ta có −3 ( x − 2) Tiếp tuyến d với d:y= ,x ≠ ( C) −3 ( x0 − ) M ( x0 ; y0 ) , x0 < ( x − x0 ) + x0 + x0 − Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy  x + x0 −   x02 + x0 −  ÷ A ;0 ÷, B  0; ( x0 − ) ÷    S= Ta có 1 1 x02 + x0 − x02 + x0 − ⇔ OA.OB = ⇔ = 6 ( x0 − ) www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201  x02 + x0 =  x0 = −1 ∨ x0 = ⇔ ⇔  x0 + x0 − =  x0 = −4 ∨ x0 = Chọn x0 < nên có hai tiếp tuyến là: d1 : y = − 1 ( x + 1) ; d : y = − x + 12 Bài toán 3.11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C) hàm số: A ( 0; ) a) y = x − x + qua b) y= ( − m) x + − m , m ≠ mx + m − qua M ( −1; −1) Hướng dẫn giải M ( x0 ; y0 ) a) Ta có: y ' = 3x − 10 x Phương trình tiếp tuyến điểm y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − x02 + ) A ( 0; ) = ( x0 − 10 x0 ) ( − x0 ) + ( x0 − x0 + ) Cho tiếp tuyến qua : ⇔ x03 − x02 = ⇔ x02 ( x0 − ) = ⇔ x0 = x0 = Với x0 = có tiếp tuyến y = Với x0 = 25 y =− x+2 có tiếp tuyến y' = b) Ta có −1 ( mx + m − 1) Gọi d tiếp tuyến với ,x ≠ ( Cm ) 1− m m điểm T ( x0 ; y0 ) d : y = y ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y= −1 ( mx0 + m − 1) x − x0 ) + ( Tiếp tuyến d qua −1 = M ( −1; −1) x0 + ( mx0 + m − 1) + ( − m ) x0 + − m mx0 + m − nên ta có: ( − m ) x0 + − m www.LuyenThiThuKhoa.vn mx0 + m − 10 Phone: 094 757 2201 Đồ thị ( C) : y = x +1 x − có TCĐ: x = , TCN: y = nên giao điểm tiệm cận I ( 1;1) Ta có  x +1 M  x; ÷∈ ( C )  x −1  nên khoảng cách:  x +1  IM = ( x − 1) +  − 1÷ =  x −1  ( x − 1) = Dấu = xảy Vậy ( ( x − 1) 4 + ( x − 1) ≥4 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ± 2 ( x − 1) ) 2 ( M 1 + 2;1 + , M − 2;1 − ) x +1 x − có đồ thị ( C ) Tìm điểm M đồ thị ( C ) cho tổng khoảng Bài toán 3.29: Cho hàm số: cách từ M đến đường thẳng ∆1 : x + y − = ∆ : x + y − = nhỏ y= Hướng dẫn giải  x +1 M  x0 ; ÷∈ ( C ) , x0 ≠  x0 −  Giả sử Tổng khoảng cách x0 + d= −3 x0 − x0 + + x0 − =   − + x0 +  x0 + ÷ x0 − x0 − ÷ 5  ≥ 2 x0 + − + x0 + = x0 − + x0 − x0 − x0 − 5 =    x0 − + ÷≥ x0 − ÷ 5   x0 = + 2 ⇔ x0 − = ⇔   x0 = − Dấu đẳng thức xảy Vậy điểm M thỏa mãn ( ) ( M + 2;1 + , M − 2;1 − Bài tốn 3.30: Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C) : y = ) 4x − x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 20 Phone: 094 757 2201 Đồ thị y= 4x − x − có TCĐ ∆ : x = , TCN ∆ ' : y =  4x −  M  x; ÷∈ ( C ) d ( M ; ∆ ) + d ( M ; ∆ ')  x −3  Gọi , ta có = x−3 + 4x − −4 = x−3 + ≥2 9=6 x−3 x −3 x−3 = Dấu = xảy Bài tốn 3.31: Tìm điểm M thuộc đồ thị ⇔ ( x − 3) = x −3 ( C) : y = , có điểm M ( 6;7 ) M ' ( 0;1) x −1 x + có tổng khoảng cách đến trục bé Hướng dẫn giải x −1  x −1  M  x; d= x+ , x ≠ −1 ÷∈ ( C ) x + x +   Gọi , tổng khoảng cách đến trục x −1 ≤1 A ( 0;1) ∈ ( C ) x ≤ x +1 d = d ≤ Xét điểm nên , xét điểm có: , nên < x < , đó: d = x+ x −1 2 = x −1 + = −2 + ( x + 1) + ≥ −2 + 2 x +1 x +1 x +1 Dấu = xảy Vậy có điểm x +1 = 2 ⇔ ( x + 1) = ⇔ x = −1 ± x +1 ( ) ( M −1 − 2;1 + , M ' −1 + 2;1 − ) x2 − ( C) : y = x − có tổng khoảng cách đến trục bé Bài tốn 3.32: Tìm điểm M thuộc đồ thị Hướng dẫn giải  x2 −  x2 − M  x; ∈ C d = x + ,x ≠ ÷ ( ) x − x −   Gọi tổng khoảng cách đến trục  3 3 A  0; ÷∈ ( C ) d= d ≤ x≤ 2 , nên xét điểm có hồnh độ Xét điểm   x2 − x2 − >0 d= x+ x−2 Khi x − nên x2 − x2 − 8x + d = f x = x + , f ' x = ( ) ( ) 0≤ x≤ x−2 x − 2) ( Nếu www.LuyenThiThuKhoa.vn 21 Phone: 094 757 2201 f '( x ) = ⇔ x = − Lập BBT 2 d = f ( ) = x2 − −1 d = g x = − x + , g ' x = Ta có: Gọi  2 1      BA = ( a + b ) +  a + b + + ÷ = ( a + b ) 1 +  + ÷  a b    ab   2   2  = ( a + b)  + + 2 ÷ ≥ 4ab  + + 2÷ ab a b  ab a b      = +  2ab + ÷ ≥ + 4.2 ab   Dấu = xảy a = b 2ab = 1 ⇔a=b= ab 1  1    A  + ;3 + + ÷ B  − ;3 − − ÷ 2   2 Vậy  Bài tốn 3.34: Tìm y = g ( x ) = x + x + 13 điểm M ( P ) : y = f ( x ) = −3x + x − thuộc N thuộc ( P ') : cho MN bé Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 22 Phone: 094 757 2201 Ta có khoảng cách MN bé tiếp tuyến M N song song với chúng vng góc với đoạn MN Gọi M ( x; f ( x ) ) , N ( x1; g ( x1 ) ) f ' ( x ) = g ' ( x1 ) ⇔ −6 x + = x1 + ⇔ x1 = −3 x MN = ( 36 x − 192 x3 + 392 x − 352 x + 121) = h ( x ) Do Ta có h ' ( x ) = 64 ( x − 36 x + 49 x − 22 ) = 64 ( x − 1) h '( x ) = ⇔ x = Khi ( 9x − 27 x + 22 ) Lập BBT M ( 1;4 ) , N ( −3; −2 ) N ( −3; −2 ) h ( x ) = h ( 1) = ; kiểm tra MN vuông góc với tiếp tuyến M, N: Vậy M ( 1;4 ) , Bài toán 3.35: Chứng minh đồ thị ( C) : x2 − x + y= x−3 a) có tâm đối xứng b) y = x + x + x có trục đối xứng Hướng dẫn giải a) Ta có y = x +1+ x − nên ( C ) có TCĐ: x = TCX: y = x + , giao điểm tiệm cận uur  x = X + OI :  I ( 3;4 )  y = Y + Thế vào ( C ) được: Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ Y + = X + +1+ Vì b) 5 ⇔Y = X + X +3−3 X Y = F( X) = X + X hàm số lẻ ⇒ đpcm y ' = x3 + 12 x + x = x ( x + x + ) y ' = ⇔ x = −2 x = −1 x = x = X −1 uur  I ( −1;1) y = Y +1 Xét điểm Chuyển hệ trục phép tịnh tiến theo vectơ OI :  Thế hàm số: Y + = ( X − 1) + ( X − 1) + ( X − 1) ⇔ Y = X − X www.LuyenThiThuKhoa.vn 23 hàm số chẵn ⇒ đpcm Phone: 094 757 2201 Bài tốn 3.36: Tìm hai điểm E, F thuộc đồ thị hàm số y= x2 + x + x − đối xứng qua điểm  5 I  0; ÷   Hướng dẫn giải Ta có y = x+2+ x − Gọi E ( x1; y1 ) , F ( x2 ; y2 ) theo đề bài:  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 + x2 =  ⇔ ⇔ 4   y1 + y2 =  x1 x2 = −9  x1 + x2 + + x − + x − =  E ( −3; −2 ) F ( 3;7 ) Do x1 = − x2 , x1 = −9 nên Bài toán 3.37: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y= x2 − 2x + x −1 đối xứng qua đường thẳng d : y = x + Hướng dẫn giải Xét đường thẳng d ' vuông góc với d d ' : y = − x + b x2 − 2x + = − x + b, x ≠ ( C) : x −1 PT hoành độ giao điểm d ' ⇔ x − ( b + 3) x + + b = ∆ = ( b + 3) − ( + b ) = b − 2b − > Điều kiện Hoành độ giao điểm I d d ' : I trung điểm đoạn AB: ⇔ xI = x + = − x + b ⇒ xI = b−3 x A + xB b−3 b+3 = ⇔b=9 (chọn)  14 14   14 14  A − ;6 + ;6 − ÷, B  + ÷ 2   2   Vậy x2 + ( m + 2) x − m y= x +1 Bài tốn 3.38: Tìm m để đường thẳng y = − x − cắt đồ thị hàm số hai điểm đối xứng qua y = x Hướng dẫn giải Điều kiện PT hoành độ giao điểm có nghiệm phân biệt khác −1: www.LuyenThiThuKhoa.vn 24 Phone: 094 757 2201 x2 + ( m + 2) x − m = − x − ⇔ x + ( m + ) x + − m = ( 1) x +1 Đk:  2 ( −1) − ( m + ) + − m ≠ m ≠ − ⇔  ∆ = ( m + ) − ( − m ) > m < −11 − 104 hay m > −11 + 104  Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm, ta có x1 , x2 nghiệm (1) theo định lí Viet: x1 + x2 = − m+7 Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vng góc với đường thẳng y = − x − nên tung độ hai giao điểm x2 , x1 Do x2 = − x1 − ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ m + = ⇔ m = (thỏa mãn) ( C ) : y = x − x − đối xứng với qua đường thẳng Bài toán 3.39: Tìm cặp điểm nguyên y = x khơng nằm đường thẳng Hướng dẫn giải Nếu gọi A ( x; y ) ( y; x ) Vì yêu cầu điểm đối xứng A qua đường thẳng y = x có tọa độ tốn tương đương với việc tìm nghiệm nguyên ( x; y ) với x ≠ y hệ phương trình  y = x − x −   x = y − y − x − y ) ( x + xy + y − 3) = ⇔ x + xy + y = ( nên 2 ( 2; −1) , ( −1; ) , ( −2;1) , ( 1; −2 ) Phương trình x + xy + y = có nghiệm nguyên x ≠ y Thử lại vào hệ, ta chọn nghiệm ( 2; −1) , ( −1;2 ) Vậy cặp điểm nguyên đối xứng với qua đường thẳng y = x khơng nằm đường thẳng ( 2; −1) Bài toán 3.40: Cho khi: f ( x) f '( a ) = ( −1;2 ) hàm đa thức bậc Chứng minh đồ thị f ''' ( a ) = f ( x) có trục đối xứng x = a Hướng dẫn giải Ta khai triển f ( x) theo x − a : f ( x ) = a4 ( x − a ) + a3 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + a1 ( x − a ) + a0 www.LuyenThiThuKhoa.vn 25 Phone: 094 757 2201 đó: = f( i) ( a) i! g ( x) = f ( x − a) nên đồ thị đa thức f ( x) có trục đối xứng x = a hàm số chẵn:  f ( 3) ( a ) =0   f ' ( a ) = a3 =  3! ⇔ ⇔   ( 1)  a1 =  f ''' ( a ) =  f ( a) =  1! • Mở rộng cho đa thức bậc chẵn 2m mà đồ thị có trục đối xứng x = a f ' ( a ) = f ''' ( a ) = = f ( m −1) ( a) = Bài toán 3.41: Tìm điểm cố định của: x − ( m + ) x + 6m + y= x−2 a) Các đồ thị b) Các đường thẳng qua CĐ, CT đồ thị: y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm mà đồ thị qua ∀m Ta có y0 = − x0 − m, ∀m ⇔ ( x02 − 1) m − y0 + x02 − x0 = 0, ∀m  x0 = 1, y0 =  x0 = ⇔ ⇔  x = −1, y =   y0 = x0 − x0 Vậy đồ thị có hai điểm cố định M ( 1;0 ) M ' ( −1;0 ) b) y ' = 3mx − 6mx + 2m + 1, ∆ > ⇔ m < m > Ta có y= y= x −1 − 2m 10 − m y '+ x+ 3 nên đường thẳng qua CĐ, CT là: − 2m 10 − m m x − 10 x+ = − ( x + 1) + 3 3   A  − ;3 ÷ Suy đường thẳng qua CĐ, CT qua điểm cố định   Bài toán 3.42: Tìm điểm M mà đồ thị sau không qua a) y= mx + x−9 www.LuyenThiThuKhoa.vn 26 Phone: 094 757 2201 b) y = x − 3mx + ( 2m − 1) x + m − 5m + với M thuộc d : x = Hướng dẫn giải a) Gọi M ( x0 ; y0 ) y0 ≠ điểm mà đồ thị không qua:  x0 = mx0 + , ∀m ⇔  x0 −  x0 ≠ 9, mx0 + ≠ y0 ( x0 − ) , ∀m  x0 = ⇔  x0 ≠ 0, y0 ≠ −1 Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng: x = x = , bỏ điểm A ( 0; −1) b) Gọi M ( 1; y ) ∈ d điểm cần tìm: y ≠ − 3m + 2m − + m − 5m + 1, ∀m ⇔ 3m − 8m + ( − y ) ≠ ⇔ ∆ = 16 − ( − y ) < ⇔ y < − Vậy điểm cần tìm M ( 1; y ) với Bài toán 3.43: Chứng minh đồ thị thẳng hàng y f ( ) = −1 < f ( ) = 11 > , , f liên tục ¡ , ta nên (1) có nghiệm phân biệt ( −6; −1) , ( −1;0 ) , ( 0; ) ( 1) ⇒ x03 + 3x02 = x0 + nên ( ) ⇒ y0 = x0 + Vậy điểm cố định thẳng hàng đường thẳng y = x + www.LuyenThiThuKhoa.vn 27 Phone: 094 757 2201 Bài toán 3.44: Chứng minh đồ thị hàm số định điểm cố định y= ( m − 1) x + m , m ≠ x−m tiếp xúc với đường thẳng cố Hướng dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) y0 = ( m − 1) x0 + m , ∀m ≠ x0 − m điểm cố định: ⇔ ( m − 1) x0 + m = y0 ( x − m ) , x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ ( x0 + + y0 ) m − x0 ( + y0 ) = 0, x0 ≠ m, ∀m ≠ ⇔ x0 = 0, y0 = −1 Ta có y' = −m2 ( x − m) , x ≠ m ⇒ y ' ( ) = −1 Vậy đồ thị luôn tiếp xúc điểm cố định ( C) M ( 0; −1) , có tiếp tuyến chung y = − x − Bài toán 3.45: Trên đồ thị hàm số y = − x + 3x − có cặp điểm mà tiếp tuyến có hệ số góc p, chứng minh trung điểm đoạn thẳng nối cặp điểm điểm cố định Hướng dẫn giải Tiếp tuyến với ( C) có hệ số góc p, hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y ' = p ⇔ 3x + x = p ⇔ 3x − x + p = ( 1) ∆' = − 3p > ⇔ p < ( C ) có tiếp tuyến song song với hệ số góc p Với p < Gọi x1 , x2 nghiệm (1), với tiếp điểm M , M trung điểm M 1M có hồnh độ: xI = x1 + x2 =1 ⇒ yI = I ( 1;0 ) Vậy trung điểm M 1M điểm cố định Bài toán 3.46: Tìm điểm mặt phẳng cho có hai đường họ − x + mx − m ( Cm ) : y = x−m qua Hướng dẫn giải Giả sử ( 0 ) điểm mặt phẳng mà có hai đường cong trình sau có hai nghiệm phân biệt x ;y ( Cm ) qua Khi phương − x02 + mx0 − m y0 = ⇔ m − ( x0 + y0 ) m + x0 ( x0 + y0 ) = x0 − m www.LuyenThiThuKhoa.vn 28 Phone: 094 757 2201 Điều kiện ∆ > ⇔ ( x0 + y0 ) ( y0 − x0 ) > Vậy điểm cần tìm có tọa độ ( x0 ; y0 ) thỏa mãn quan hệ ( x0 + y0 ) ( y0 − x0 ) > Bài toán 3.47: Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị a) y= ( Cm ) : ( m + 1) x + m x+m b) y = mx − 6m + + x−m Hướng dẫn giải a) D = ¡ \ { −m} Ta có Ta có lim y = lim x →±∞ x →±∞ lim − y = +∞, lim + y = −∞ x →( − m ) x →( − m ) ( m + 1) x + m = m + x+m nên TCĐ: x = − m với m ≠ nên TCN: y = m + x = X − m uur  I ( − m; m + 1) y = Y + m +1 Giao điểm tiệm cận , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI :  Thế vào ( Cm ) được: Y + m +1 = ( m + 1) ( X − m ) + m ⇔ Y = m2 X ( X − m) + m m2 X hàm số lẻ nên ( C ) có tâm đối xứng I có tọa độ x = −m ; y = m + Khử Ta có tham số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y = − x + 1, x ≠ Y = F ( x) = b) Đồ thị ( Cm ) : y = mx − 6m + + ,x ≠ m x−m có TCĐ: x = m TCX: y = mx − 6m + nên giao điểm I ( m; m − 6m + 1) uur OI Chuyển hệ trục phép tịnh tiến tâm đối xứng I có tọa độ: x = m , y = m − 6m + Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol ( P ) : y = x2 − 6x + Bài tốn 3.48: Tìm quỹ tích điểm: a) Cực đại đồ thị b) Cực tiểu đồ thị y= x − 2mx + 3m − x −1 y = x + 3mx + ( m − 1) x + m3 − 3m Hướng dẫn giải www.LuyenThiThuKhoa.vn 29 Phone: 094 757 2201 a) D = ¡ \ { 1} , y' = x − 2mx + 3m − ,∆' = m − x −1 Điều kiện có cực trị ∆ > 0,1 − − m + ≠ ⇔ m > , hoành độ cực trị x = ± m − Lập BBT điểm cực đại A: x = − m − 4, y = f ( x ) x = 1− m − ⇒ m = + ( 1− x) Ta có ( P ) : y = −2 x + x − 10 , b) D = ¡ , vào y quỹ tích điểm cực đại thuộc x = − m − < nên giới hạn x < y ' = x + 6mx + ( m − 1) Vì ∆ ' = > , ∀m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x = − m ± Lập BBT điểm cực tiểu B : x = − m; y = f ( − m ) = −2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y = −2 x2 − x + y= x −1 Bài toán 3.49: Với giá trị m đường thẳng y = m − x cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B Khi đó, tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Hướng dẫn giải 2x2 − x + = m − x ⇔ 3x − ( m + ) x + m + = 0, x ≠ x −1 PT hoành độ giao điểm: Vì x = khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi: ∆ = ( m + ) − 12 ( m + 1) > ⇔ m − 8m − > ⇔ m < 4−2 xM = m > + Hoành độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: x A + xB m + = Vì điểm M nằm đường thẳng y = m − x nên yM = m − xM Khử m, ta có m = xM − nên yM = xM − − xM = xM − Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y = x − Giới hạn: m < − ⇒ 6x − < − ⇔ x < − ⇒ 6x − > + ⇔ x > 1+ www.LuyenThiThuKhoa.vn m > + 6 30 Phone: 094 757 2201 Bài tốn 3.50: Tim quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y= x2 − x + x −1 Hướng dẫn giải Ta có y= D = ¡ \ { 1} x0 ( x0 − ) ( x0 − 1) f ( x) = Xét Cho ( x − 1) , nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0 ≠ x02 − x0 + ( x − x0 ) + x0 − Cho x = x ( x − 2) y' = y= x0 − ( x0 − 1) 2x −1 ( x − 1) 2 f '( x) = ,x ≠1 f ' ( 1) = ⇔ x = −2 x ( x − 1) Bảng biến thiên x −∞ y' y − +∞ + − +∞ +∞ −1 B ( 0; y ) Do y ≥ −1 , nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm với y ≥ Bài tốn 3.51: Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến tuyến vng góc với ( C ) : y = x −1 + x x − mà tiếp Hướng dẫn giải Gọi M ( a; b ) , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k: Điều kiện d tiếp xúc ( C) y = k ( x − a) + b hệ sau có nghiệm x ≠ 1   x − + = k ( x − a) + b x −1+ x −1 = k ( x − a) + b   x −1 ⇔ ⇔ 1 −  x − − = k ( x − 1) = k   ( x − 1) x −1 2 = k ( − a) + b ⇒ 1− ( k ( − a) + b) = k Do x − Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: www.LuyenThiThuKhoa.vn 31 Phone: 094 757 2201 g ( k ) = ( a − 1) k + ( ( − a ) b + ) k + b − = 0, k ≠ Yêu cầu toán: a ≠ 1, k1k2 = −1, g ( 1) ≠ ⇔ a ≠ 1, b − = − ( a − 1) , ( a − 1) + ( ( − a ) b + ) + b − ≠ 2 ⇔ ( a − 1) + b = 4, a ≠ 1, a ≠ b + Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn ( C + 2; ) D ( − 2; − ( x − 1) + y2 = bỏ điểm A ( 1;2 ) , B ( 1; −2 ) , ) BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 3.1: Tìm m để đường thẳng a) y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số thẳng AB thuộc trục tung y= x2 + x − x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn b) y = m cắt đồ thị y = x − x + điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành cấp số cộng Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm 3x + ( − m ) x − = ( x ≠ ) Vì a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB: x1 = x1 + x2 m − = Kết m = b) Kết m= 41 25 Bài tập 3.2: Tìm m cho đường thẳng x2 + y= ( C) y = m ( x − 2) + x a) cắt đồ thị hàm số hai điểm thuộc hai nhánh x2 − y= x hai điểm phân biệt A, B cho AB = b) y = − x + m cắt đồ thị hàm số Hướng dẫn a) Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm dấu Kết m > b) Kết m = ±2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 32 Phone: 094 757 2201 y= Bài tập 3.3: Cho hàm số ( C) x ( x − 3) ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( C ) có đồ thị cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB Hướng dẫn ( 3 x0 = , x0 = ± Các tiếp điểm ) y = f ( x ) = cos x + m sin x Bài tập 3.4: Cho hàm số song trùng Tìm m để hai tiếp tuyến x=− π π x= song Hướng dẫn ( − 3+2  π π  m= f ' − ÷= f ' ÷ −1  4   Kết Điều kiện Bài tập 3.5: Tìm m để đồ thị y= ) ( 2m − 1) x − m2 x −1 tiếp xúc với đường phân giác góc phần tư thứ Hướng dẫn Đường phân giác góc phần tư thứ y = x Điều kiện đồ thị y = f ( x) y = g ( x) tiếp xúc hệ phương trình:  f ( x ) = g ( x )   f ' ( x ) = g ' ( x ) có nghiệm Kết m ≠ Bài tập 3.6: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị a) y = − x + x − điểm uốn b) y = − x + x có hệ số góc lớn Hướng dẫn a) y ' = −4 x + x, y '' = −12 x + y=− Kết 3 x− y= x− 3 b) Kết y = x − Bài tập 3.7: Tìm m để đồ thị hàm số y= x + 2m x + m x +1 có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc O Hướng dẫn www.LuyenThiThuKhoa.vn 33 Phone: 094 757 2201 Điều kiện f ( −x) = − f ( x) m , m ≠ ±1 Bài tập 3.8: Tìm hai điểm nhánh đồ thị ( C) : y = 2x + x − có khoảng cách bé Hướng dẫn Kết ( ) ( A + 5;2 + , B − 5;2 + ) Bài tập 3.9: Tìm điểm mà đồ thị không qua: y = x + ( m + 1) x + ( m − 3m ) x + ( + 2m − m ) Hướng dẫn A ( 1;7 ) M ( x; y ) Kết đường thẳng x = , bỏ điểm điểm cho ( x − 1) ( x − 1) ( x − ) − ( x3 + x + − y )  <  Bài tập 3.10: Tìm điểm M đồ thị (H) : y = 4x − x − có tổng khoảng cách đến tiệm cận bé Hướng dẫn Kết M ( 0;1) M ( 6;7 ) Bài tập 3.11: Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x + mx + m + , giao điểm với trục Oy, tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Hướng dẫn Kết m = hay m = −3 ± 2 www.LuyenThiThuKhoa.vn 34 Phone: 094 757 2201 ... www.LuyenThiThuKhoa.vn Phone: 094 757 2201 Ta có y= x − 3x = x−2− x −1 x − nên TCĐ: x = , TCX: y = x − Do xP = , hồnh độ giao điểm Q d với TCX: m − x = x − ⇒ xQ = xP + xQ m + xM + xN m+2 = = Do 2... = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 y = ( 3x03 − 10 x0 ) ( x − x0 ) + ( x03 − x02 + ) A ( 0; ) = ( x0 − 10 x0 ) ( − x0 ) + ( x0 − x0 + ) Cho tiếp tuyến qua : ⇔ x03 − x02 = ⇔ x02 ( x0 − ) = ⇔ x0 = x0... dẫn giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị: y0 = ( + m ) x03 + ( + m ) x02 − 4mx0 − m, ∀m ⇔ y0 = ( x03 + 3x02 − x0 − 1) m + x03 + x02 , ∀m  x0 + 3x0 − x0 − = ⇔  y0 = x0 + 3x0 ( 1) (2)

Ngày đăng: 12/11/2018, 21:36

Mục lục

  • Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị

    • 1. Kiến thức trọng tâm

    • 2. Các bài toán

    • 3. Bài luyện tập

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan