Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

NGUYỄN QUANG HUY

TUYỂN TẬP 50 ĐỀ THI

HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11, 12 THPT

NĂM HỌC: 2015 - 2016 Môn: Toán – Lớp 12

Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 01 trang)





 có đồ thị   C và đường thẳng d: y     2 x m 1 (m là tham

số thực) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng d luôn cắt   C tại 2 điểm phân biệt A B , .

Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến tại A và B của   C Xác định m để

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Giải bất phương trình sau trên tập số thực x   7 x2  2 x   3 4 x  2.

2 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

2 2

AB  BC  và A’ cách đều các đỉnh A B C , , . Gọi L K , lần lượt là trung điểm của BC AC ,

Trên các đoạn A B A A ’ , ’ lần lượt lấy M N , sao cho MA ’ 2  BM AA , ’ 3 ’  A N Tính thể tích khối tứ diện MNKL , biết A L ’  10.

2 Cho hình chóp S ABC có độ dài các cạnh SA  BC  x SB ,  AC  y SC ,  AB  z

thỏa mãn 2 2 2

12

x  y  z  Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC

Câu 5 (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   S có tâm

 2; 3; 5 

I  Biết   S cắt mặt phẳng  Oxy  theo giao tuyến là đường tròn   C có chu vi

20  Viết phương trình mặt cầu   S

Câu 6 (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x y z , , thỏa mãn  2 2  

.

x y  z  yz y  z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………

Người coi thi số 1……… Người coi thi số 2.………

2

m x m m x

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

Gọi x x là hoành độ của A, B 1, 2 x x1, 2 là các nghiệm của pt (2) Theo định lý Viét

ta có

1 2

62

3 22

k x

k x

Viết lại pt (1) dưới dạng

2

2

Vậy hàm số g(x) liên tục và đồng biến trên 0;.

Từ đó pt (2’) có tối đa 1 nghiệm trên 0; Mà 2 0

2 2

4 4

0 0

0,5

0,5 0,25 0,5

0,25 0,5

mà BK ACBK A AC' +) Ta có     1    

(2,5đ) Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối

diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ

Tương tự, các tam giác SMN, SMP vuông tại S

x  y  z 

0,5 0,5 0,5 0,5

2 2

2 2

Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số 3

2

x y x

Câu 2 (2,5 điểm) Giải phương trình

3 cos 2 (2sinx x 1) 2cos (2sinx 2x 1) 3sin 2 x

Câu 3 (2,5 điểm) Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi

người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng

có nhiều hơn 2 người khách vào

Câu 4 (2,5 điểm) Tính tích phân

4

0cos 2 ln(sin cos )



Câu 5 (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC a Tam giác

SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng 60o

Câu 6 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A( 5;2)

( 1; 2)

M   là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDCMBC và MBMC Tìm tọa

độ điểm D biết tan 1

x y z

P xy yz zx xyz  

-Hết -

 Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

 Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: Toán - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số

II Đáp án – thang điểm

Câu 1 Cho hàm số 3

2

x y x

x

x m x

Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 và khác 2 và khác

0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x x( ;1 1 m 1); ( ;B x x2 2 m 1), không trùng

Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn Vậy m 3 thỏa mãn bài toán 0,5

Câu 2 Giải phương trình sau

3 cos 2 (2sinx x 1) 2cos (2sinx 2x 1) 3sin 2x 2,5

Ta có: (1) 3 cos 2 (2sinx x 1) 2cos (2sinx 2x 1) 3sin 2x 0,5

Câu 3 Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi

người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để có ít nhất một

cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào

2,5

Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào

Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người vào 5 cửa

hàng Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:  3125

0,5

Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH) sau:

TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại không có

khách nào TH này có C C C C15 53 14 22 200 khả năng xảy ra

0,25 TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại không có

khách nào TH này có C C C P15 53 42 2 600 khả năng xảy ra 0,25 TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại không có

khách nào TH này có C C C15 54 14 100 khả năng xảy ra 0,25 TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào TH này có

1

Suy ra có tất cả 200 600 100 5   905 khả năng thuận lợi cho biến cố ―có ít nhất

Vậy xác suất cần tính là: 905 181

Câu 4 Tính tích phân

4

0cos 2 ln(sin cos )

2 0

cos 2 ln(sin cos )

1ln(sin cos ) cos 2 2

1 sin 2 2

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,ACa Tam giác

SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 60 o

2,5

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH AB Vì tam giác SAB nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH (ABCD) Suy ra góc giữa SD và mp(ABCD) là SDH 60oSH HDtan 60o HD 3

Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên ABC 60o HAD120o

D

C B

A S

M   là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDCMBC và

MBMC Tìm tọa độ điểm D biết tan 1

Mà MDCMBC suy ra MECMBC hay tứ giác BECM nội tiếp

Suy ra BMCBEC180oBEC180o90o 90o

Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0). 

Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: D( 3; 4),  D(1;0)

Câu 7: Giải hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN THPT CHUYÊN

Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi 23/10/2014

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho dãy số thực  x n xác định bởi x1 3 và x n1 21 2x n6 với mọi n1, 2,

Chứng minh rằng dãy số  x n có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn đó

( ). Gọi I là trung điểm củaAP Chứng minh rằng

a) Các điểm O B C I, , , cùng nằm trên một đường tròn

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

- Họ và tên thí sinh ……….Số báo danh………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 04 trang)

Lưu ý khi chấm bài:

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

Câu 1 (2,5 điểm)

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được x n   3 n 1, 2, 0,25

Câu 2 (1,5 điểm)

Ta chứng minh cho bài toán tổng quát

Ta có OI // BPnên IOBOBP900 Mà BCI 900 suy ra 4 điểm O,B,C,I

nằm trên đường tròn ()đường kính BI

1,0

b) (1,0 điểm)

Gọi I'là trung điểm của PC Ta có OI //' DPnên COI'CDG (1)

Mà CDGCAG (2). Tam giác CGP vuông tại G có GI CI CP

2

1''  suy r'

I

G

O

AG là trục đẳng phương của hai đường tròn ()và (') BC là trục đẳng phương của

Ta chứng minh tập ― Đặc biệt‖ M có nhiều nhất bốn phần tử

 2 1, 2 1, 2 2, 2 2

Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt M là tập hợp có các phần tử là số vô tỉ Ta có

các nhận xét sau

Nhận xét 1 Nếu x y z, , là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số xy y, z z, x

không đồng thời là số hữu tỷ Ngược lại ta có 2 x         y z x y z x

Nhận xét 2 Nếu x y z, , là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số xy yz zx, , không

đồng thời là số hữu tỷ Ngược lại ta có 2   

Nhận xét 3 Nếu x y, M xy , với mỗi zM x,  z v yà  z

Ngược lại theo nhận xét 1 và 2 ở trên thì ta có x z v yzà  hoặc

y z v yz , với trường hợp đầu do xy v yzà  xyyzy x  z

vì x z 0,y vô lí trường hợp hai tương tự

0,25

Giả sử rằng tồn tại tập ― đặc biệt‖ có 5 phần tử là a b c d e, , , , theo nhận xét 1 ta có ít

nhât hai phần tử có tổng là số vô tỉ chẳng hạn là a v bà Cho nên ab theo nhận xét

3 thì a c a , d a e,  là các số hữu tỷ Vì thế cho nên theo nhận xét 1 các số

cd c e d e không đồng thời là số hữu tỷ và theo các khẳng định trên thì tất cả ba

số cd ce de, , là số hữu tỷ vô lý với nhận xét 2

0,25

…… Hết………

ĐỀ CHÍNH THỨC THAY BỞI CÁC CÂU SAU

Câu 1.Cho hai dãy số   x n , y n xác định bởi 1 1

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: y x

x

2 1





 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Cho điểm A(0; a) Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới

đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành

Câu III (4,0 điểm)

1 Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca1 Chứng minh rằng :

1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ

số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngà thi 24 03 2015

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề này có 01 trang, gồm 05 câu

Sô bao danh

SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT

(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )

0.25 0.25 0.25 Bảng biến thiên

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại (-2;0)

Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 1) làm tâm đối xứng

-

2 1 3 ( 1)

 PT: f(x) =(1 a x) 2 2(a 2)x a   ( 2) 0 (1) có nghiệm x 1

Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2khác 1

210

)1(

063'1

a a

 2sin x 1   3cosx + sinx 2 = 0 

Xét hàm số f t   3t2 t với t0, ta có   3 2

m m

TH2: A có 2 chữ số lẻ

+) a lẻ: Có 5 cách chọn 1 a1 Có 5 cách chọn a chẵn 2Vậy số các số A là 1 3

TH3: A có 3 chữ số lẻ

+) a lẻ: Có 5 cách chọn 1 a Có 5 cách chọn 1 a Có 3 cách chọn hai vị trí không kề nhau 2

của hai số lẻ trong a3 a4a5a Vậy số các số A là 6 5.5.(C42.3 ).P A2 42 10800

+) a chẵn: Có 4 cách chọn 1 a Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong 1 a2

Ta có PK song song và bằng nửa AD

0.25 0.25

Phương trình đường thẳng KM: đi qua ;3)

2

9(

M và vuông góc với AK: 4x  y 4 0

0.25

0.25

Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) pt của BD: y – 2 = 0

AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: x - 1 = 0 và AAK AH

A(1; 0)

BC qua ;3)

2

9(

M và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0

0.25 0.25

V

R

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q n: Q a b c; ; Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , Q Khi đó ta có 0.25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)



 có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc

(C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B phân biệt thoả mãn:

5AB2OA OB

Câu 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a Gọi I là trung điểm của AC

Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn BI  3 IH và góc

giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600

a Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI

Câu 4 Cho các số thực a b c, , (0;1) Chứng minh rằng:

log (bc a bc )  log (ca ab c )  log (ab abc )  6

Câu 5 Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức F 13 13 13

x y z

  

_ Hết _

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

6

xyz

z y x

Với x2y thay vào (3) ta có: x y 0 (không thoả mãn (1))

Với x 2y thay vào (3) thoả mãn,

2) Giả sử có điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán, lúc đó tam giác OAB vuông tại O

5AB2OA OB 5AB 4OA 4.OA OB OB 

5(OA OB )4OA 4.OA OB OB  (OA2OB) 0 OA2OB

Vì A, B phân biệt nên O,A, B phân biệt suy ra OA OB, 0

Hệ số góc của tiếp tuyến là 1

2

OB k

x x





 

Với x0  0 M(0;0) suy ra phương trình tiếp tuyến là: 1

ĐS: M(4; 2)

3a)

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành,

từ giả thiết ta có ABCD là hình vuông cạnh a, tâm I và H là trọng tâm tam giác ADC

Do đó AC(SBD)

Gọi K là hình chiếu của I lên SB, ta có

SB AKC suy ra góc giữa hai mặt phẳng

(SAB) và (SBC) bằng góc AKC hoặc bù với góc AKC

H S

Cách 2: logbc a bc2 logca ab c2 logab abc2 6 2 2 2

logbc a logca b logab c 3

x z

y

46

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số 3 2

y x mx x (1) và đường thẳng ( ) : y2mx2 (với m là tham số) Tìm m

để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ)

2) Cho hàm số

2

32

1(4)19(

1

11

913

2 2

3

2

x x

y x

x x

y xy

Câu III (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

!0

!

2013.2014

1

!2010

!

3.4

1

!2011

!

2.3

1

!2012

!

1.2

1

!2013

!

0.1

2 1

1

n n

khoảng cách từ điểmC đến mặt phẳng (SAB) theo a

2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao cho BM

= DN Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN

Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: xyz 2 2

Chứng minh rằng: 4 4 2 2 8

8 8 2

2 4 4

8 8 2

2 4 4

8 8

x z z

y z y

z y y

x y x

y x

……… Hết………

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1:……….Chữ ký của giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

(Điểm toàn bài lấ điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)

I 1

1,0đ

1) Cho hàm số y x32mx23x (1) và đường thẳng ( ) : y2mx2 (với m là tham số)

Tìm m để đường thẳng ( ) và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao

cho diện tích tam giác OBC bằng 17 (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ

nghiệm phân biệt

Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), B( ;2x1 mx12), C( ;2x2 mx22), trong đó x ; x1 2 là

nghiệm phương trình (2) nên x1x2  2m 1, x x 1 2  2

tiếp tuyến của (C) tại A và B Tìm m để P =    2013

2 2013

32

2

2

m x

m x

Xét phương trình (*), ta có: 0,mR và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn cắt

đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m 0,25

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

2 2 2 2 1 1

)1(

1,

)1(

k , trong đó x1,x là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy 2

     2 2 4 4

12

2

1

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

x k

0,25

Có P =      2013 2014

2 1 2013

2 2013

2 2 2 1 2

2 2 1 2

)2(

1)

2(

PT(1)  2sin2x.cos2x + 2cos22x =4(sinx – cosx)

 (cosx – sinx).(cosxsinx)(sin2xcos2x)20

0,25

*) x x  x k

40

sin

*) (cosx + sinx)(sin2x + cos2x) + 2 = 0 cosx + sin3x + 2 = 0 (2) 0,25

*) Vì cosx1;sin3x1,x nên (2)

1cos

1(4)19(

)1(1

11

913

2 2

3

2

x x

y x

x x

y xy

y y

y   1

193

Ta có g(1) = 0

Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Với x =1y =

31

KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;

!.

2013 2014

1

1

! 2010

!.

3 4

1

! 2011

!.

2 3

1

! 2012

!.

1 2

1

! 2013

!.

0

0( 1) !.(2013 )! .2013! 1

1

k k

C S

k k

k

S

0,25 +) Ta có: 2014.( 1)!2014 ( 1! 2014

!2014)!

2013)!.(

1(

!20131

1 2014 2013

C k

k k

k k

k

C C

2 1

1

n n

Nếu có số M: un  M với mọi n, thì tồn tại limun = L Vì un  u1 L  u1

2

1)

2(

11

2

11

11

1 1

Gọi M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMN

vuông Tính khoảng cách từ điểmC đến mặt phẳng (SAB) theo a

.

SC SB

SN SM V

1(

2 2

2 2 2

2 2 2 2

x x

a x

a x x a x a x a

1()(min,1)1()0()(

+) MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi MB, ND hoặc MA, NC 0,25

Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: x.y.z = 2 2