Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)Tuyển tập 50 đề thi HSG môn toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

NGUYN QUANG HUY TUYN TP 50 THI HC SINH GII S GIO DC V O TO H NAM CHNH THC K THI CHN HC SINH GII LP 10, 11, 12 THPT NM HC: 2015 - 2016 Mụn: Toỏn Lp 12 Thi gian lm bi: 180 phỳt ( thi cú 01 trang) Cõu (5,0 im) Cho hm s y mx m x m x (1) ( m l tham s thc) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú im cc tr x1 , x2 tha x1 x2 x cú th C v ng thng d : y x m ( m l tham x2 s thc) Chng minh rng vi mi m, ng thng d luụn ct C ti im phõn bit A, B Cho hm s y Gi k1 , k2 ln lt l h s gúc tip tuyn ti A v B ca 3k C Xỏc nh m 3k2 98 2 Cõu (4,0 im) x x2 x x Gii bt phng trỡnh sau trờn s thc x x x2 2log log y log 2 y y2 Gii h phng trỡnh sau trờn s thc 27 x y x x xy x x sin x cos x x x tan x x Cõu (2,0 im) Tớnh tớch phõn I cos x x tan x 2 dx Cõu (5,0 im) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC ABC, cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng vi AB BC v A cỏch u cỏc nh A, B, C Gi L, K ln lt l trung im ca BC, AC Trờn cỏc on AB, A A ln lt ly M , N cho MA 2BM , AA AN Tớnh th tớch t din MNKL, bit AL 10 Cho hỡnh chúp S ABC cú di cỏc cnh SA BC x, SB AC y, SC AB z tha x y z 12 Tớnh giỏ tr ln nht ca th tớch chúp S.ABC 2 S cú tõm C cú chu vi Cõu (2,0 im) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt cu I 2; 3; Bit S ct mt phng Oxy theo giao tuyn l ng trũn 20 Vit phng trỡnh mt cu S Cõu (2,0 im) 2 Cho cỏc s thc dng x, y, z tha x y z yz y z Tỡm giỏ tr nh nht ca yz x y z biu thc P x y z x y z Ht H v tờn thớ sinh S bỏo danh Ngi coi thi s Ngi coi thi s 2. S GIO DC V O TO H NAM (Hng dn chm cú 06 trang) Cõu Kè THI CHN HC SINH GII LP 10, 11, 12 THPT NM HC 2015 - 2016 Hng dn chm mụn: Mụn Toỏn Lp 12 ý Ni dung (2,0) Ta cú y ' 3mx2 6(m 1) x 9(m 2) Hm s ó cho cú cc tr y ' cú m m m (*) nghim phõn bit ' 18m 36m m ; m (1) x1 x2 m Do x1 , x2 l nghim ca pt y ' 0, theo nh lý Viột ta cú x x m (2) m Li cú x1 x2 (3) 3m x1 m T (1), (3) thay vo (2) ta c x m m m2 3m m m (t/m (*)) m m2 m Kt lun: Cỏc giỏ tr cn tỡm l m 2, m Cõu (3,0) i m 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 x x m (1) x2 (1) x x m x (vỡ x khụng l nghim ca pt (1)) Honh giao im ca (C) v d l nghim ca pt x2 m x 2m (2) Ta cú m 2m m2 4m 12 m Vy pt (1) luụn cú nghim phõn bit hay d luụn ct (C) ti im phõn bit A, B Gi x1 , x2 l honh ca A, B x1 , x2 l cỏc nghim ca pt (2) Theo nh lý Viột m6 x x ta cú Mt khỏc ta cú m x x 2 k1 x1 k 2 x2 0,5 0,25 0,5 0,5 k1k2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m m 2 2 Khi ú 3k1 3k2 98 9k1 9k2 3k1 3k2 96 (*) 2 2 Ta cú k1 , k2 Theo bt Cụsi: 9k12 9k22 81k12k22 18k1k2 72 v 0,5 3k1 3k2 9k1k2 12 24 0,5 Vy VT(*) 72 24 96 Du bng xy 0,25 k1 k2 x1 x2 x1 x2 Kt lun: Giỏ tr cn tỡm l m 1 iu kin: x Bt phng trỡnh ó cho (2,0) m6 m 2 x2 x x x x2 x 3 x 0,25 x 4x x 4x x x * x 4x x 4x Ta cú hm s f x x liờn tc trờn ; x 4x 2 x x f x ng bin trờn ; v f ' x x 2 x 4x x x 1 3 Do ú f x f x 15 2 T ú bpt (*) x x Kt lun: Tp nghim ca bpt ó cho l ;3 Cõu 2 (2,0) x x x2 log log y (1) log 2 y y 27 x y x (2) x xy x x iu kin: x 0, y Vit li pt (1) di dng 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 log x x x log y y 2log 3.log y y y log x x x log y log x x x log y y log y 2 2 x x x2 1 y y 1' y2 0,5 Xột hm s f t t t t , t Ta cú f ' t t t2 t2 t hm s f t liờn tc v ng bin trờn 0; , ú pt (1) x xy y 0,25 Khi ú pt (2) tr thnh 27 2 x x2 2x x x x x2 2x 27 2 27 x x x x x 27 27 2 x x 2' x 4 x 27 27 2 x x , x Ta cú g ' x t g x x 1 x2 Vy hm s g(x) liờn tc v ng bin trờn 0; x x T ú pt (2) cú ti a nghim trờn 0; M g 3 Kt lun: Hpt ó cho cú nghim nht x; y ; 0,5 0,25 0,25 Ta cú sin x cos x x x tan x x dx cos x x tan x I sin x cos x x x dx dx 2 cos x x tan x 0 cos x x tan x 0,25 - t I1 Cõu (2,0) I1 sin x cos x x dx Ta cú cos x x tan x x cos x dx d x tan x ln x tan x x tan x x tan x tan x - Xột I x dx cos x x tan x ln 0,75 cos x x sin x x cos xdx x dx cos x cos x x sin x x x sin x cos x dx u du cos x cos x t x cos xdx dv v cos x x sin x x sin x cos x 0.25 0,25 x I2 cos x x sin x cos x dx cos x 0,25 Vy: I I1 I ln (2,5) 0,25 Gi E l trung im AN, ta cú ME//AB//LK SMLK SELK VMNKL VNELK B C A ta cng cú S EKN S A ' KA +) Do A ' A A ' B A ' C v K l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC nờn A ' K ABC ( A ' AC ) ABC 0,5 N M L B C E K A m BK AC BK A ' AC Cõu 0,5 BK +) Ta cú d L, NKE d B, NKE , L l trung im BC 2 1 AC VNELK d L, NKE S NKE KB.S A ' KA ; KB 18 0,25 0,5 +) Vỡ A ' K ABC A ' K KL A ' K A ' L2 LK S A ' AK A ' K KA 2 Vy VNELK (2,5) 0,25 1 1 KB.S A ' KC VMNLK 18 18 6 S C M A P B N Qua cỏc nh ca tam giỏc ABC, v cỏc ng thng song song vi cnh i din, chỳng ụi mt ct to thnh tam giỏc MNP nh hỡnh v +) Cú SMNP 4S ABC VS ABC VS MNP +) Do SB AC NP SNP vuụng ti S 0,5 0,5 Tng t, cỏc tam giỏc SMN, SMP vuụng ti S t a SM , b SN , c SP , ta cú: a x z y a b x 2 2 2 b c y b x y z c a z 2 2 c y z x 1 VS ABC VS MNP abc 24 12 x 0,5 y z y z x z x y 0,5 M theo bt Cụsi: x y z y z x z x y x y z y z x z x y 12 nờn VS ABC 2 12 0,5 ng thc xy x y z 12 x y z Vy GTLN ca th tớch chúp S.ABC l Cõu (2,0) 2 0,5 Gi r l bỏn kớnh ng trũn (C), ta cú r 20 r 10 0,5 0,5 Gi R l bỏn kớnh mt cu (S), ta cú R d I ,(Oxy) r 125 0,5 Vy mt cu (S) cú phng trỡnh x y z 125 0,5 Ta cú d I , Oxy Cõu (2,0) P x y z yz x y z y z x 2 y z yz y z y z x 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x y z yz yz y z y z x y z y2 y 1 y z2 z 1 z yz y z x x y z 1 , v u, v Khi ú y z 1 P 2 x u v x u v t u Theo bt Cụsi: P 1 x u v 0,5 x u v Mt khỏc, gi thit tr thnh y2 z2 y z 1 1 x 2 x x u v u v yz z y z y y z 2 Theo bt Bunhiacpxki: x u v x u v u v u v x 2 1 x Li theo bt Cụsi: u v u v 4 x x T ú suy P 1 x Xột hm s f x f ' x x2 x 2x 6x x x x2 x x3 x x 1 x 0,5 , x Ta cú 10 x f ' x x x Lp bng bin thiờn ca f(x) trờn 0; suy 91 P f x f 108 91 t c 108 1 x , u v, u v 10 x , u v x y z x 5 0,5 Kt lun: GTNN ca P l Lu ý: Cỏc cỏch gii khỏc, nu ỳng thỡ cho im tng ng theo tng phn nh hng dn chm - HT - 0,5 S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2015 - 2016 CHNH THC Mụn thi: Toỏn - THPT Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang Cõu (2,5 im) Cho hm s y x3 cú th (C), ng thng (d) cú phng trỡnh x y x m Tỡm m (d) ct (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB vuụng ti O, (O l gc ta ) Cõu (2,5 im) Gii phng trỡnh cos x(2sin x 1) 2cos x(2sin x 1) 3sin x Cõu (2,5 im) Mt dóy ph cú ca hng bỏn qun ỏo Cú ngi khỏch n mua qun ỏo, mi ngi khỏch vo ngu nhiờn mt nm ca hng ú Tớnh xỏc sut cú ớt nht mt ca hng cú nhiu hn ngi khỏch vo Cõu (2,5 im) Tớnh tớch phõn I cos x.ln(sin x cos x)dx Cõu (2,5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a , AC a Tam giỏc SAB cõn v nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy Tớnh khong cỏch t im D ti mt phng (SBC), bit gúc gia ng thng SD v mt phng ỏy bng 60o Cõu (2,5 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú A(5;2) M (1; 2) l im nm bờn hỡnh bỡnh hnh cho MDC MBC v MB MC Tỡm ta im D bit tan DAM Cõu (2,5 im) Gii h phng trỡnh ( x y ) 3( x y ) 2( x y 1) ( x y 2) x x y Cõu (2,5 im) Cho cỏc s x, y, z tha x y z Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P xy yz zx x xyz y2 z2 -Ht H v tờn thớ sinh:.S bỏo danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2015-2016 HNG DN CHM CHNH THC MễN TON-THPT Hng dn chm cú 06 trang I Mt s chỳ ý chm bi - ỏp ỏn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch Khi chm thi giỏm kho cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit, hp logic v cú th chia nh n 0,25 im - Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc vi ỏp m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi thang im ca ỏp ỏn - im bi thi l tng im cỏc cõu khụng lm trũn s II ỏp ỏn thang im Ni dung im Cõu Cho hm s y x3 cú th (C), ng thng (d) cú phng trỡnh: x y x m Tỡm m (d) ct (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB 2,5 vuụng ti O Phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d): x3 x m x x (m 2) x 2m (1) ( x 2) 0,5 iu kin: (m 2) 4(2m 5) m 4m 16 (*) 2(m 2) 2m 02 (m 2).0 2m 0,5 Vi iu kin (*) phng trỡnh (1) luụn cú hai nghim phõn bit x1; x2 v khỏc v khỏc 0, hay (d) ct (C) ti hai im phõn bit A( x1; x1 m 1); B( x2 ; x2 m 1) , khụng trựng im O Ta cú OA ( x1; x1 m 1); OB ( x2 ; x2 m 1) Vỡ tam giỏc OAB vuụng ti O nờn OA.OB x1 x2 ( x1 m 1)( x1 m 1) x1 x2 (m 1)( x1 x2 ) (m 1) (**) x1 x2 m Theo nh lớ Viet ta cú: , thay vo (**) c: x1 x2 2m 2(2m 5) (m 1)(m 2) (m 1)2 m Th li vo (*) thy tha Vy m tha bi toỏn Cõu Gii phng trỡnh sau cos x(2sin x 1) 2cos x(2sin x 1) 3sin x Ta cú: (1) cos x(2sin x 1) 2cos x(2sin x 1) 3sin x 0,5 0,5 0,5 2,5 0,5 ớù x - xy - 2y - + 2x - - 2y + = () ùù ỡ (x , y ẻ Ă ) ùù 4x - 4x - 2x - + (x - 1) - y - = 3x - (2) ùợ iu kin x ; Ê yÊ - 2 ( ) Phng trỡnh (1) (x - y - 2)(x + 2) + Trng hp 1: 2x - + ( 2x - - ) 2y + = ớù ùù x = , khụng tha h phng trỡnh 2y + = ùỡ ùù ùù y = ùợ 0,5 Chỳ ý: Nu khụng ột trng hp 2x - + Trng hp 2: 2y + (1) (x - 2x - + y - 2)(x + 2) + 2y + = thỡ tr 0,25 (x - y - 2) 2x - + x - y - = ( Vỡ (x + 2) + = 0,5 2y + 2x - + > 0, " x 2y + 3 ;Ê y Ê - 1) 2 Th vo phng trỡnh (2) ta c ộ1 ự 2x - + (x - 1) - x - 3x + = (3), K x ẻ ;1ỳ ờ2 ỳ ỷ ớù 4x - 4x - < ù ộ1 ự Vi x ẻ ;1ỳ ta cú ùỡ ( Theo bt ng thc Cauchy) ờ2 ỳ ùù 2x - 1.1 Ê 2x - + = x ỷ ùùợ Kt hp vi phng trỡnh (3) ta cú ( ) 4x - 4x - ( 1,0 ) x 4x - 4x - - 3x + + (x - 1) - x 4x - 4x - 7x + + (x - 1) - x ( (1 - x ) - 4x - 1- x ) ộ1 ự - x > 0; - x 0, " x ẻ ;1ỳ) ờ2 ỳ ỷ Vi x = tha phng trỡnh (3) ị y = - x = ( vỡ - 4x - Vy h cú nghim nht (x ; y ) = (1; - 1) Cỏch 2 (3) ộờởờ(2x - 1) - 5ựỳỳỷ 2x - = ( 2x - 1) - ( - x ) - (1 - x ) - 2x - = ( - x ) - (1 - x ) - 0,5 ộ ự ờ0; ỳ , b ẻ 2x - = a, - x = b vi a ẻ ộờở0;1ự ỳ ỷ ỳ 2ỷ Xột hm s f (a ) = a - 5a trờn ộờ0;1ự ỳ, ỷ ộ ự g (b) = b3 - 3b2 - trờn ờờ0; ỳỳ 2ỷ S dng phng phỏp hm s ta c ộ ự ờ0; ỳ g b Ê 4, " b ẻ , f (a ) - 4, " a ẻ ộờở0;1ự ( ) ỳ ỷ ỳ 2ỷ T ú phng trỡnh (3) cú nghim nht x = ị y = - t Vy h cú nghim nht (x ; y ) = (1; - 1) 3.1 2,0 A Ta im A tha ùớù 5x - y - = ùớ x = ùỡ ị A (1; 3) ỡ ùù x - 5y + 14 = ùù y = ợ ợ E M C D B 0,5 Cỏch 1: Xột hai tam giỏc A EM v CDM ãEM = 900 + EBD ã ã A = MDC ME ME MD MD ( Vỡ D MDE , D DBE l hai tam giỏc ng dng) = = = EA ED BD CD ãME = CMD ã ãME + CME ã ã ã ị A ị A = CMD + CME = 900 ị CM ^ MA ã ã , ME = DE hay = MBD Cỏch 2: Ta cú D MDE , D MBD ng dng nờn MDE MD BD ME BD = DE MD uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur A M CM = A E + EM CD + DM = A E DM + EM CD ( )( 0,5 ) ã ã = - DE DM cos MDE + EM DB cos MBD = Do ú, A M ^ CM uuuur ổ4 ổ9 ữ ữ cú phng trỡnh A M = ỗỗ ; - ữ ng thng CM qua M ỗỗ ; ữ , vect phỏp tuyn ữ ữ ỗố5 ữ ỗố5 ữ ứ ứ ổ 9ử ổ 8ử ỗỗy - ữ ữ ữ ỗỗỗx - ữ = 4x - 7y + = ữ ữ ữ ữ 5ứ ố ứ ốỗ ùớ 4x - 7y + = ùớ x = ùỡ ị C (6; 4) Ta im C tha ùỡ ùù x - 5y + 14 = ùù y = ợ ợ 0,5 Gi B (b;5b - 2) ta cú ộb = 2 A B = A C ị (b - 1) + (5b - 5) = 26 ờờ ờởb = b = ị B (0; - 2) tha 0,5 b = ị B (2; 8) loi M nm ngoi D A BC Chỳ ý: Nu khụng loi im B (2; 8) tr 0,25 im 3.2 2,0 Vỡ A ẻ d1; B ẻ d2 nờn ta t A (- + a; - + 2a;a ), B (2 + 2b;1 + b;1 + b) uuur ị A B = (- a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) uuur uur Do A B song song vi (P ) nờn A B ^ n P = (1;1; - 2) b = a - uuur Suy ra, A B = (a - 5; - a - 1; - 3) 2 (a - 5) + (- a - 1) + (- 3) Do ú, A B = = 0,5 0,5 2a - 8a + 35 ộa = - Suy ra, A B = 2a - 8a + 35 = 45 ờờ ờởa = ớù x = - + 2t ùù PT ca d : ùỡ y = - ùù ùù z = - + t ợ ớù x = ùù uuur a = ị A (4; 8;5), A B (0; - 6; - 3)(tha món) ị PT ca d : ùỡ y = + 2t ùù ùù z = + t ợ Chỳ ý: Nu hc sinh khụng kim tra li iu kin A B / / (P ) thng nht cho im ti a uuur a = - ị A (- 2; - 4; - 1), A B (- 6; 0; - 3) (tha món) ị 0,5 0,5 2,5 Dng hỡnh ch nht A BNC ã A M , BN ) = (A M , A C ) = 600 (ã M Ta cú ùớù A B ^ A M ùớ A B ^ A M ị ùỡ ị A B ^ (A CM ) ỡ ùù A B ^ BN ùù A B ^ A C ợ ợ x 0,5 C y A N y B V A BNM = V MA BC = 1 ã M = 6.x y = xy A B S A CM = A B A C A M sin CA 6 2 0,5 3 (x + y ) V A BNM = xy Ê = Du bng xy v ch x = y = 2 Khi ú AM = BN = AC = Li cú A B / / CN ị CN ^ (A MC ) ị CN ^ CM ị MN = CM + CN ã C = 600 hoc MA ã C = 1200 Mt khỏc MA ã C = 600 ị D A MC u ị CM = ị MN = Trng hp 1: MA ã C = 1200 Trng hp 2: MA 0,5 0,5 42 + 62 = 13 ị CM = A M + A C - 2A M A C cos1200 = 48 ị MN = 48 + 62 = 41 Chỳ ý: Nu hc sinh ch tớnh ỳng c mt kt qu ca MN thỡ cho 0,5 im tng s 1,0 im 5.1 0,5 2,0 I = ũ 2x dx + x2 + 2x ũ dx = x +1 ( x2 + ũ ( Do ú I = ũ ) x2 + x +1 t2 tdt = 1,0 = dx x2 + 0,5 ( i cn x = ị t = ; x = ( )=2 x + ị dt = ln 2+ = I1 + I2 d x +1 ) t t = ln x + )dx x2 + Ta cú I = ũ ( ln x + ị t = ln + ( ln 2+ ) ( ln 2 + = 3 ) ) Vy I = + ln 2 ( ) 3+ 5.2 0,5 2,0 ( f ' (x ) = n (2x + 1)(x n ) Xột hm s f (x ) = x + x + = a + a1x + a2x + + a2n x 2n n- ) +x+1 = a1 + 2a 2x + 3a 3x + + 2na 2n x 2n - 1,0 f ' (1) = n 3n = a1 + 2a2 + 3a + + 2na2n = 324 ị n 3n = 324 Nu n > ị n 3n > 4.34 = 324 (Loi) Nu Ê n < ị n 3n < 4.34 = 324 (Loi) M n = tha n 3n = 324 Vy n = l giỏ tr cn tỡm Chỳ ý: Nu hc sinh ch nhm c trng hp n = cho 0,25 im 1,0 1,5 Ta chng minh a b Ê a ln a + b ln b Ê Ta cú ln x Ê x - 1, " x > Tht vy, xột hm s f (x ) = ln x - x + a b - 1, f ' (x ) = x = x T BBT suy ra, f (x ) Ê f (1) = ị ln x Ê x - 1, " x > f ' (x ) = 0,75 ( ) ( ) Do ú, 3a ln a - a - a Ê 3a (a - 1) - a - a = - (a - 1) (a + 2) Ê 0, " a > ị 3a ln a Ê a - a Tng t ị 3b ln b Ê b - b4 Do ú, 3a ln a + 3b ln b Ê a - a + b - b4 = ị a ln a + b ln b Ê Du bng xy v ch a = b = 3 Ta chng minh Ê a a bb a ln a + b3 ln b Ta cú a + b = a + b 4 (a + b2 2 ) (a + b) 0,25 ị a + b Ê ị a, b ẻ (0;2) x4 - x Xột hm s g (x ) = ln x , x ẻ (0;2) x3 (x - 1) + 2x - 2x g ' (x ) = - - = x x x3 g ' (x ) = cú nghim nht x = trờn (0;2) ( ) 0,5 T BBT suy g (x ) g (1) = ị 3x ln x x - x , " x ẻ (0;2) Do ú, 3a ln a + 3b3 ln b a - a + b4 - b = Du bng xy v ch a = b = 1 Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii Bi lm ca hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c tớnh im ti a Vi cỏc cỏch gii ỳng nhng khỏc ỏp ỏn, t chm trao i v thng nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho bi hoc phn ú Mi phỏt sinh quỏ trỡnh chm phi c trao i t chm v ch cho im theo s thng nht ca c t im ton bi l tng s im ca cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im S GIO DC V O TO BC GIANG THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2009-2010 Mụn thi: Toỏn-lp 12 Ngy thi: 28 thỏng 03 nm 2010 Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) CHNH THC Cõu I (5,0 im) Cho hm s y = x3 + 3x2 + mx + (m l tham s) (1) Tỡm m hm s (1) t cc tr ti x1, x2 tha x1 + 2x2 = Tỡm m ng thng y = ct th hm s (1) ti ba im phõn bit A(0;1), B, C cho cỏc tip tuyn ca th hm s (1) ti B v C vuụng gúc vi Cõu II (4,0 im) 1.Gii h phng trỡnh: x x y x y y x y 2.Gii phng trỡnh: sin x cos x sin ( x ) (x, y R) (x R) Cõu III.(2,0 im) Cho phng trỡnh: log( x 10 x m) 2log(2 x 1) (vi m l tham s) (2) Tỡm m phng trỡnh (2) cú hai nghim thc phõn bit Cõu IV (2,0 im) Tớnh tớch phõn: tan xdx cos x cos x Cõu V (4,0 im) Trong h ta Oxy, cho im A(3; 2), cỏc ng thng 1: x + y = v ng thng 2: x + y = Tỡm ta im B thuc v im C thuc cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) v mt phng (P): x + y + z = Tỡm ta im M trờn mt phng (P) cho MA2 + MB2 t giỏ tr nh nht Cõu VI (2,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi ỏy Gúc gia mt phng (SBC) v (SCD) bng 600 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD Cõu VII (1,0 im) Cho ba s thc dng a, b, c tha ab + bc + ca = Chng minh rng: a3 b3 c3 2 b c a (Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm) H v tờn thớ sinh:.SBD: S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2009-2010 Mụn thi: Toỏn, lp 12 CHNH THC Ngy thi: 28 thỏng 03 nm 2010 (Hng dn cú trang) Chỳ ý: Di õy ch l s lc tng bc gii v cỏch cho im tng phn ca mi bi Bi lm ca hc sinh yờu cu phi chi tit, lp lun cht ch Nu hc sinh gii cỏch khỏc m ỳng thỡ chm im tng phn tng ng Phng phỏp - Kt qu Ta cú y = 3x2 + 6x + m Ycbt tng ng vi phng trỡnh 3x2 + 6x + m = cú hai nghim phõn bit x1, x2 tha x1 + 2x2 = - 3m x x -2 I.1 (2im) m x1.x2 x1 x2 Gii h trờn ta c m = -105 2.+) Honh im chung ca (C) v d l nghim ca phng trỡnh x3 + 3x2 + mx + = x(x2 + 3x + m) = T ú tỡm c m < v m thỡ d ct (C) ti ba im phõn bit A(0; 1), B, C +) B(x1; 1), C(x2; 1) vi x1; x2 l nghim ca phng trỡnh x2 + 3x + m = H s gúc ca tip tuyn ti B l k1 = 3x12 + 6x1 + m I.2 v ti C l k2 = 3x22 + 6x2 + m (2im) Tip tuyn ca (C) ti B v C vuụng gúc vi v ch k1.k2 = -1 4m2 9m + = 65 ( t/m) m 65 ( t/m) m iu kin x, y Xột y = 0, khụng tha hpt +) y 0, t x t y , t H phng trỡnh tr thnh Cõu II.1 (2im) 5t t t t (*) t y t y y (t 1) y (t 1) t (*) 4t3 8t2 + t + = im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 3 ; t = i chiu iu kin ta c t = 2 T ú tỡm c (x;y) = (9; 4) (HS cú th gii bi toỏn bng phng phỏp th hoc cỏch khỏc c kt qu ỳng c im ti a) PT 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x) (cos x + sin x) (cos x sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) t = 1; t = - sinx cos x (cos x sinx)(sin x cos2 x) 0,5 0,5 0,5 II.2 (2im) x k 0,5 cos3x sinx Chng minh c phng trỡnh cos 3x sin x = vụ nghim KL: x = 0,5 k 1 x x PT 2 2 x 10 x m (2 x 1) m 3x x 1(**) III Ycbt (**) cú hai nghim phõn bit tho x >2 (2im) Lp bng bin thiờn ca hm s f(x) = 3x2 6x + (- ;+ )ta 19 tỡm c m (-2; ) I= tan xdx cos x = cos tan xdx x tan x tan x t tan x tdt = IV (2im) i cn : x = t = x= t tdt I= t V.1 (2im) cos x t t = 0,5 tan xdx cos x 0,5 0,5 dt 0,5 B B(a; a) C C(b; 9-b) AB AC ABC vuụng cõn ti A 2 AB AC 0,5 2ab - 10a - 4b + 16 = (1) 2 2a - 8a = 2b 20b 48 (2) a = khụng l nghim ca h trờn 0,5 5a - Th vo (2) tỡm c a = hoc a = a-2 Vi a = suy b = Vi a = suy b = 2.Gi I l trung im ca AB I ( 1; 1; 1) +) MA2 + MB2 = 2MI2 + IA2 + IB2 Do IA2 + IB2 khụng i nờn MA2 + MB2 nh nht MI nh nht M l hỡnh chiu ca I lờn mt phng (P) V.2 x-1 y-1 z-1 (2im) +) Phng trỡnh ng thng MI : = = 1 M l giao im ca MI v mt phng (P) T ú tỡm c M(2; 2; 2) (1) b = 0,5 0,5 0,5 0,5 S M A B VI (2im) D C Gi M l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn SC Chng minh c gúc DMB = 1200 v DMB cõn ti M Tớnh c: DM2 = a2 1 SCD vuụng ti D v DM l ng cao nờn = + 2 DM DS DC2 Suy DS = a Tam giỏc ASD vuụng ti A suy SA = a Vy th tớch S.ABCD bng a3 0,5 0,5 0,5 0,5 a3 b3 c3 (***).Do ab + bc + ca = nờn 2 b c a a3 b3 c3 b2 ab bc ca c ab bc ca a ab bc ca a3 b3 c3 = (b c)(a b) (c a)(b c) (a b)(c a) VT (***) = VII (1im) Theo BT AM-GM ta cú a3 b c a b 3a (b c)(c a) 8 a3 5a 2b c (b c)(c a) Hon ton tng t ta chng minh c: 0,5 (1) b3 5b 2c a (c a)(a b) c3 5c 2a b (a b)(c a) abc Cng v vi v ca (1), (2), (3) ta c VT (***) Mt khỏc ta d dng chng minh c : a + b + c 3(ab bc ca) = ng thc xy a = b = c = (pcm) (2), (3) 0,5 S GIO DC V O TO VNH PHC K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2013-2014 CHNH THC Mụn: TON THPT CHUYấN Thi gian: 180 phỳt, khụng k thi gian giao Ngy thi 25/10/2013 Cõu (2,5 im) Cho trc s thc a v cho dóy s thc xn xỏc nh bi x1 a v xn1 17 16 xn vi mi n Chng minh rng vi mi a dóy xn cú gii hn hu hn n Hóy tỡm gii hn ú Cõu (1,5 im) Cho ba s x, y, z khụng õm tha x y z Chng minh rng 2 x y yz xz Cõu (1,5 im) Tỡm cỏc s t nhiờn x, y tha phng trỡnh x y y x x y Cõu (3,0 im) Cho tam giỏc ABC nhn ni tip ng trũn (O) vi AB AC Tip tuyn ti A ca (O) ct BC ti T Gi D l im i xng ca A qua O, ng thng OT ct ng thng BD ti im E a) Chng minh rng AE song song vi CD b) ng thng BE ct ng thng AT ti F Gi s ng trũn ngoi tip tam giỏc AEF ct EO ti im G khỏc E Chng minh rng tõm ng trũn ni tip tam giỏc AGB nm trờn (O) Cõu (1,5 im) Mt s nguyờn dng k c gi l "p" nu cú th phõn hoch hp cỏc s nguyờn dng thnh k hp A1 , A2 , , Ak cho vi mi s nguyờn dng n 15 v vi mi i 1;2; ; k u tn ti hai s thuc Ai cú tng l n a) Chng minh rng k l p b) Chng minh rng mi k u khụng p Ht - Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh cm tay - Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm - H v tờn thớ sinh .S bỏo danh S GIO DC V O TO VNH PHC K THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 12 THPT NM HC 2013-2014 Mụn: TON THPT CHUYấN HNG DN CHM (Gm 04 trang) Lu ý chm bi: - ỏp ỏn ch trỡnh by mt cỏch gii bao gm cỏc ý bt buc phi cú bi lm ca hc sinh Khi chm nu hc sinh b qua bc no thỡ khụng cho im bc ú - Nu hc sinh gii cỏch khỏc, giỏm kho cn c cỏc ý ỏp ỏn cho im - Trong bi lm, nu mt bc no ú b sai thỡ cỏc phn sau cú s dng kt qu sai ú khụng c im - Hc sinh c s dng kt qu phn trc lm phn sau - Trong li gii cõu nu hc sinh khụng v hỡnh thỡ khụng cho im - im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn Cõu (2,5 im) Ni dung im Bng quy np, ta d dng chng minh c xn n Xột hm f x 17 16 x , x Ta cú f x x , ú hm s 17 16 x f x ng bin trờn (0; ) , suy dóy xn n iu 17 16 x x 17 x x suy 17 16 x x 17 16 x x g x x 17 v g x x 17; g x x 17 Xột hm g x f x x, x ta thy g x * Nu a 17 thỡ xn 17 n , ú dóy xn hi t v lim xn 17 n * Nu a 17 thỡ x2 f a a x1 suy xn n iu tng D thy xn b chn trờn bi 17 Suy dóy hi t v m g 0, ú lim xn 17 n * Nu a 17 thỡ x2 f a a x1 suy xn n iu gim D thy dóy xn b chn di bi 17, tng t dóy hi t v lim xn 17 n Kt lun: Vi mi a thỡ dóy hi t v lim xn 17 n Cõu (1,5 im) Ni dung im Bỡnh phng hai v ca BT cn chng minh ta c BT tng ng: 2 2 x y y z xz x y yz cyc cyc xy yz zx x y yz 4 (*) x y ( z 1) x y ( x y ) z x y Ta cú 2 x2 y z ( y z) Tng t p dng BT Cauchy-Schwart ta c: 2 ( x y) z ( y z )2 x x y yz 4 ( x 1)( z 1) ( x y )( z y ) xz ( x y )( z y ) 4 2 y xz yz xy xz Cng theo v cỏc BT tng t ta c: cyc x y z ( xy yz zx) xy yz zx x y yz 2 ( xy yz zx) x y yz Hay Vy (*) c chng minh 4 cyc ng thc xy v ch x y z Cõu (1,5 im) Ni dung x im y y x x y (1) Nu x thỡ y v ngc li Ta xột x,y nguyờn dng T (1) suy x y Bin i (1): x y y x x y x y y x x y y x x y M x y y x x y x y nờn ta c: x 2 2 y y x x y x y x y Do ú x y x y l s chớnh phng 2 Ta cú x y x y x y x y (2) Mt khỏc t (1) suy x,y cựng tớnh chn l Kt hp vi (2) v x y x y l 2 suy x y x y x y x y Khi ú x y y x x 27 y v x y 16 y , mõu thun vi (1) Vy (1) cú nghim nht x; y 0;0 Cõu (3,0 im) Ni dung im A O E C M B T D a) (2,0 im) Gi M l trung im ca BC thỡ OM BC , m OA AT suy t giỏc AOMT ni tip, suy AOT AMT EOD AMC Kt hp vi BDA ACB , suy AMC EOD M M l trung im BC, O l trung im AD ABC EAD ABC EAD M ABC ADC , suy EAD ADC AE || CD (pcm) ta suy A O F G I E T B C M D b) (1,0 im) T phn a) ta cú FAE DAC FGE DBC FBT , suy t giỏc FGBT ni tip T ú TGB TFB EGA Do ú GO l phõn giỏc ca gúc AGB Mt khỏc OA OB suy O l giao im ca phõn giỏc gúc AGB v trung trc ca AB Do ú t giỏc AGBO ni tip Gi I l giao im ca on GO vi (O) Do OA OB OI nờn ta suy I chớnh l tõm ni tip tam giỏc AGB, t ú suy iu phi chng minh Cõu (1,5 im) Ni dung im a) (0,5 im) Vi k ta ch mt cỏch phõn hoch thnh A1 , A2 , A3 tha nh sau: A1 1; 2;3 3m | m ; A2 4;5;6 3m 1| m ; A3 7;8;9 3m | m Vy k l p b) (1,0 im) Xột k Gi s tn ti cỏch chia thnh k A1 , A2 , , Ak tha bi Khi ú cỏch phõn hoch thnh A1 , A2 , A3 v A4 A5 Ak cng tha bi Do vy ch cn xột vi k l t Bi Ai 1; 2;3; ; 23 vi i 1, 2, 3, Ta thy mi s thuc 15;16;17; ; 24 (gm 10 s) u vit c thnh tng ca hai s thuc Bi (vi mi i 1, 2, 3, ) Nh vy nu Bi m thỡ s tng l Cm2 10 m Vy mi Bi u cú ớt nht phn t M B1 B2 B3 B4 23 nờn khụng th xy Bi 6, i 1, 2,3, Do ú phi tn ti mt Bi cho Bi Gi s Bi a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 Khi ú a j ;1 i j 15;16;17; ; 24 Suy a a 15 16 24 , hay a a i j a3 a4 a5 195 , vụ lớ 1i j Vy mi k u khụng p Ht [...]... t  [9;6 3] suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên [9;6 3] 64 8 129 27 3  6 Do đó F 64 8 129 27 3  3 Suy ra GTLN của F là ; GTNN của F là 64 8 HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƢƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y  x3  2mx 2 ... sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang ) Hƣớng dẫn chấm Đề chính thức Câu Ý I 1 (4.0) (2.0) Nội dung Khảo sát và vẽ đồ thị C  của hàm số y  Điểm x2 x 1 \ 1 * Tập xác định: D  * Sự biến thi n: y '   0.25 3  x  1 2 ... trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm 3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN Thời... xác định bởi  0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngà thi 24 03 2015 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu ĐỀ CHÍNH THỨC Sô bao danh Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số: y  x2 có đồ thị (C) x 1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2 Cho điểm A(0; a)... 1 Lập bảng biến thi n của hàm f (t ) suy ra 3 1 1 được f (t )  f (1)  2    P  2 2 2 1 1 Ta thấy P  khi x  y  z  1 Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là Max P  khi 2 2 x  y  z  1 Hết - 0,25 0,5 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 23/10/2014 Câu... Hết……… - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN HƢỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lƣu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài... hình bình hành, từ giả thi t ta có ABCD là hình vuông cạnh a, tâm I và H là trọng tâm tam giác ADC Do đó AC  (SBD) K Gọi K là hình chi u của I lên SB, ta có D SB  ( AKC ) suy ra góc giữa hai mặt phẳng T C (SAB) và (SBC) bằng góc AKC hoặc bù với H M góc AKC P N I Do đó AKC  600 hoặc AKC  120 0 Vì SAB  SCB nên AK  CK suy ra A B IK  AC 0 Nếu AKC  60 thì AKC là tam giác đều, mà AK < AB < AC...  5 0,5   L2  25  n  Kết luận: dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn và và lim xn  5 n  0, 5 Câu 2 (1,5 điểm) Nội dung Điểm Ta chứng minh cho bài toán tổng quát ab bc ca abc    ma  nb  pc mb  nc  pa mc  na  pb m  n  p (ở bài toán này thì m  5, n  6, p  7 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có p p   ,  m   0, n   0  2 2   0,25 2  p  p  m     n    p... AG, BC , OP đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba đường tròn ( ), ( ) và ( ' ) 0,5 Câu 5 (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta chứng minh tập ― Đặc biệt‖ M có nhiều nhất bốn phần tử M  2  1, 2  1, 2  2, 2  2   0,25 Từ hai điều kiện ban đầu thì tập đặc biệt M là tập hợp có các phần tử là số vô tỉ Ta có các nhận xét sau Nhận xét 1 Nếu x, y, z là ba phần tử phân biệt của M thì cả ba số x  y, y ... (1)  2 2 cos x  3sin x 2 2 1 3   cos3x  cos x  sinx  cos3x=cos(x+ ) 2 2 3     3 x  x   k 2  x   k   3 6   (k  ) 3x   x    k 2  x    k 3   12 2  k  ;k  Z Đối chi u đk ta có: x  12 2 1b) 2 3   2  2 x y  4 x  2 y  4 (1)  2 2   x 4 y  1  2 y x  1  0 (2) Điều kiện x  0 (*) Từ phương trình (2) ta có: x 4 y 2  1  2 y x 2  1 (3)  x2 (4 y 2 