Đáp án đề thi HSG tỉnh hệ bổ túc môn toán học

Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: Toán lớp 12 - bổ túc THPT ---------------------------------------------- Câu Nội dung Biểu điểm Bài 1: 5,0 a. Với m = 0 : y = 2 x 2x 2 (C) x 1 + + + 2,5 D = R\ {- 1} 0,5 y / = 2 2 x 2x (x 1) + + ; y / = 0 <=> x 2 + 2x = 0 <=> x 0 x 2 = = 0,5 x 2 1 0 + y / + 0 0 + C C CT CT x 2; y 2 x 0 ; y 2 Đ Đ = = = = Hàm số đồng biến trên ( - ; - 2) và (0; + ) Hàm số nghịch biến trên (- 2; - 1) và (-1; 0) x lim y = ; x 1 lim y = 0.5 Tiệm cận đứng : x = -1 Ta có: y = x + 1+ 1 x 1+ => [ ] x y (x 1) lim + = x 1 x 1 lim + = 0 => tiệm cận xiên y = x. Bảng biến thiên: 0,5 x 2 1 0 + y / + 0 0 + y 2 + + - 2 Trang / 41 Đồ thị: (C) Oy = (0; 2). (C) có tâm đối xứng: I(-1; 0). 0,5 b. 2,5 y / = ( ) 2 2 (2x m 2)(x 1) x m 2 x 3m 2 (x 1) + + + + + + + + = 2 2 x 2x 2m (x 1) + + 0,5 y / = 0 <=> x 2 + 2x - 2m = 0 (*) 0,5 Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> phơng trình có 2 nghiệm phân biệt <=> / > 0 <=> 1 + 2m > 0 <=> m > - 1 2 . 1,5 Bài 2 4,5 a. ĐK: x 0 x 1 0 > > <=> x > 1. 0,5 log 2 x + log 2 (x - 1) = 1 <=> log 2 x(x - 1) = 1 0,5 <=> x(x - 1) = 2 <=> x 2 - x - 2 = 0 0,5 <=> x 1 (do a b c 0) x 2 = + = = 0,5 Đối chiếu điều kiện ta đợc x = 2 0,5 b. y = x + 2 2 x ĐK: 2 - x 2 0 <=> 2 x 2 0,5 y / = 1 - 2 x 2 x , y / = 0 <=> 2 2 x = x <=> 2 2 x 0 2 x x = <=> x = 1. 1,0 <=> y(- 2 ) = - 2 ; y(1) = 2 ; y( 2 ) = 2 Vậy Max y 2 Min y 2 = = 0,5 Bài 3 4,0 Trang / 4 -2 -1 0 y x -1 -2 1 2 2 a. • 3 6 sin2x.cos2xdx π π ∫ = 1 2 3 6 sin4xdx π π ∫ 0,5 = 1 8 3 6 sin4xd4x π π ∫ = 1 8 − 3 6 cos4x | π π = 1 8 − ( 1 2 − + 1 2 ) = 0 1,5 b. L = 3 x 0 x 1 x 1 sin x lim → + − + = x 0 x 1 1 sin x lim → + − − 3 x 0 x 1 1 sin x lim → + − 0,5 • x 0 x 1 1 sin x lim → + − = x 0 x sin x lim → . 1 x 1 1+ + = 1 2 . 0,5 • 3 x 0 x 1 1 sin x lim → + − = x 0 x sin x lim → . 2 3 3 1 (x 1) x 1 1+ + + + = 1 3 . 0,5 => L = 1 2 - 1 3 = 1 6 . 0,5 Bµi 4 2,5 • Gäi I = d 1 ∩ d 2 Ta cã: 2x y 2 x 1 I(1;0) x y 1 y 0 − = =   <=> =>   + = =   0,5 • Gäi d 1 / lµ ®êng th¼ng qua M, song song víi d 1 => ph¬ng tr×nh d 1 / : 2x - y + 1 = 0 0,5 • Gäi J = d 1 / ∩ d 2 Ta cã: 2x y 1 x 0 x y 1 y 1 − = − =   <=>   + = = −   => J(0; 1) 0,5 • M lµ trung ®iÓm AB <=> J lµ trung ®iÓm BI => to¹ ®é B B J I B J I x 2x x 1 y 2y y 2 = − = −   = − =  => B(-1; 2). 0,5 • Ph¬ng tr×nh ∆ qua B, M : x 1 y 2 1 1 3 2 + − = + − <=> x - 2y + 5 = 0. 0,5 Trang / 4 B d 2 d 1 A J M I ∆ 3 Bµi 5 4,0 a. • 4x 2 + 9y 2 = 36 <=> 2 2 x y 1 9 4 + = . 0,5 • a 2 = 9, b 2 = 4 => 2 2 a 3 b 2 c a b 5  =   =   = − =   0,5 F 1 F 2 = 2 5 ; e = 5 3 ; A 1 A 2 = 6 ; B 1 B 2 = 4. 0,5 b. • Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é cña d vµ (E): 4x 2 + 9(x + m) 2 = 36. <=> 13x 2 + 18mx + 9m 2 - 36 = 0 (*) 0,5 • d vµ (E) cã ®iÓm chung <=> (*) cã nghiÖm 0,5 <=> ∆ / ≥ 0 <=> 81m 2 - 13(9m 2 - 39) ≥ 0 1,0 <=> 36(13 - m 2 ) ≥ 0 <=> m 2 - 13 ≤ 0 <=> m 13≤ . 0,5 Trang / 44 . Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007 - 2008 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: Toán. đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: Toán lớp 12 - bổ túc THPT ---------------------------------------------- Câu Nội dung Biểu