SKKN ứng dụng của đạo hàm trong việc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 PHẦN MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình toán ở trường TPTH, ý nghĩa hình học của đạohàm là một phần của chương trình Đại số và giải tích 11 Ứng dụng của đạohàm để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm là mộtphần không thể thiếu trong việc giải các bài toán liên quan đến vấn để khảosát hàm số ở chương trình lớp 12, ôn thi đại học.

Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy, việc viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đã có công thức cụ thể, học sinhchỉ việc thuộc công thức là vận dụng được Nhưng bên cạnh đó còn một sốbài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị nhưng chưa biết tiếp điểm, taphải đi tìm tiếp điểm thì học sinh còn gặp một số rắc rối Để đáp ứng tình

hình đó tôi nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của đạo hàm trong việc viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trựctiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu thamkhảo cho các bạn đồng nghiệp Trong đề tài này tôi đưa ra phương pháp

“Ứng dụng của đạo hàm trong việc viết phương trình tiếp tuyến của đồ thịhàm số” Để đưa ra phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị cho

những bài toán cụ thể Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linhhoạt trong giải toán Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơntrong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Về chương trình gồm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến

Bài toán1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại mộtđiểm thuộc đồ thị.

Bài toán2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệsố góc.

Bài toán3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trướcBài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y f x ( ), biết 

tạo với đường thẳng d: y ax b  một góc .

Bài toán 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y f x ( ), biết cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện

tích S cho trước.

Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ

được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y f(x) .

Bài toán 7: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến vớiđồ thị (C): y f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

- Chỉ ra cách giải của từng bài toán cụ thể.

- Đưa một số ví dụ minh họa cụ thể cho từng bài toán.

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

1.4.1 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ thực trạng những sailầm mà học sinh thường hay mắc phải, tìm giải pháp rút ra kinh nghiệm.

1.4.2 Phương pháp phân tích tổng hợp: Phân tích nguyên nhân, rút rahướng khắc phục.

Nhận xét: Khi xx0 thì M di chuyển trên (C) tới M0 và ngược lại Giảsử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M0T thì M0T gọi là tiếp tuyến của (C)tại M0 Điểm M0 được gọi là tiếp điểm.

Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùngvới Oy.

2.1.2 Định lí:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến

tại M(x0;y0) thuộc (C) có dạng y = f’(x0).(x - x0) + y0

Trong đó: f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến và y0 = f(x0)

Định lí 2: Cho đồ thị (C)có phương trình: y = f(x) và đường thẳng (d)

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Sở GD ĐT Thanh Hoá hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyênmôn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học Nhờ đó mà giáo viênchúng tôi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy Sự chỉ đạo sát sao

T

của Sở giáo dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của ban giám đốc nhà trường tổbộ môn cùng với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mớiphương pháp dạy học có hiệu quả Phong trào thao giảng dự giờ rút kinhnghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trườnghàng năm cũng như thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ Qua đó tôi cũngnhư các đồng nghiệp rút ra được nhiều điều bổ ích về chuyên môn Đời sốnggiáo viên ngày một được nâng cao, được Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ,chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống.

Bên cạnh những thuận lợi nói trên thì công tác giảng dạy và học tậpmôn toán của học sinh trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể.Đầu vào kiến thức của các em học sinh quá yếu, tư tưởng xác định mục tiêuhọc tập của nhiều em học sinh và phụ huynh còn nhiều lệch lạc Tình hìnhđạo đức của học sinh có biểu hiện xuống cấp (ở một số học sinh) nhất là ởnhững học sinh học yếu.

Với thực trạng như trên thì các em thường có tâm lý “sợ” phải họcmôn toán Khi chưa thực hiện theo các giải pháp mới, học sinh chưa có kỹnăng tốt để phân biệt và làm các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đườngcong, dẫn tới các giờ học uể oải, chất lượng không cao Vì thế kết quả kiểmtra đánh giá chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu kém còn cao, cụthể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 12E-Trung tâm GDTX-DN Hà Trung(năm học 2012-2013) như sau:

 Kết quả bài kiểm tra:

Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng: Kết quả bài kiểmtra thì còn ở mức độ yếu kém cao, số lượng học sinh đạt điểm khá giỏi cònkhá hạn chế.

2.3 Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.

2.3.1 Bài toán 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viếtphương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M x ; y thuộc đồ thị (C).0 00

Nhận xét: Bài toán có một phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Nếu bài toán cho biết một thành phần tọa độ của tiếp điểm thì

ta tìm một thành phần tọa độ nữa của tiếp điểm Từ đó suy ra tọa độ tiếpđiểm.

+) Biết x0y0f (x )0  Bài toán có một phương trình tiếp tuyến.+) Biết y0y0f (x )0x0?  Số nghiệm của phương trình y0=f(x0) là số phương trình tiếp tuyến của bài toán.

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 1x 2

 (C), viết phương trình tiếp tuyến vớiđồ thị (C) tại M(3;2).

Lời giải:

Ta có y’= 1 2(x 2)

Nên y’(3) = -1

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(3;2) là y = -1(x-3)+2 hayy=-x+5.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y= 2x+ 1 2x2

tại điểm có hoành độ x=2.

Lời giải:

Vì x = 2 nên y = 7 Tọa độ tiếp điểm M(2;7)Ta có y’= 2 + 2x 2

1 2xy’(2) = 10

Phương trình tiếp tuyến tại M(2;7): y = y’(2)(x- 2) +7

x 3 (VN)

Có hai tiếp điểm M1(1;2) và M2(-1;2).Ta có y’ = 4x3 4x

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: (1): y = 8x – 6 và (2): y = -8x – 6

2.3.2 Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếptuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

Cách giải:

+) Tính y’ = f’(x)

+) Gọi tọa độ tiếp điểm là M x ; y Khi đó f’(x0) = k (*)0 00

+) Giải phương trình (*), tìm x0 Từ đó suy ra tọa độ tiếp điểm y0 = f(x0)+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k: y k(x x ) y  0  0

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình (*) là số tiếp tuyến có hệ số góc k.Chú ý: +) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc

f’(x0) = a.

+) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b có hệ số gócf’(x0) = 1

a

+) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox một góc  có hệ số gócf’(x0) = tan.

Ví dụ 4: Viết PTTT của đường cong (C) 1 32

  , biết hệ số góccủa tiếp tuyến là k = 3.

+) Với x0 = -1, ta có y0 = 43

 Tọa độ tiếp điểm M(-1; 43

 ) Phươngtrình tiếp tuyến tại M(-1; 4

 ) là: y = 3(x+1) 43

 hay y = 3x + 53

+) Với x0 = 3, ta có y0 = 0 Tọa độ tiếp điểm N(3;0) Phương trình tiếptuyến tại N(3;0) là y = 3(x-3) + 0 hay y = 3x - 9

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = 3x + 5

3 và y =3x – 9.

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 1

x 1

 ,biết tiếptuyến song song với (d):y= –2x.

Lời giải:

Ta có y’ =

2x 1

Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.0 00

Vì tiếp tuyến song song với (d):y= –2x nên y’(x0) = -2

+) Với x0 0, ta có y0 = -1 Tọa độ tiếp điểm M(0;-1) Phương trìnhtiếp tuyến tại M(0;-1) là: y = -2(x - 0) - 1 hay y = -2x - 1

+) Với x0 2, ta có y0 = 3 Tọa độ tiếp điểm N(2;3) Phương trìnhtiếp tuyến tại N(2;3) là: y = -2(x - 2) + 3 hay y = -2x + 7.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = -2x - 1 và y = -2x + 7.

Ví dụ 6: Cho hàm số y 1x3 2x2 x 43

    có đồ thị (C) Viếtphương trình tiếp tuyến với (C) tạo với chiều dương Ox góc 450.

Lời giải:

Ta có y’ = x2 -4x+1

Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.0 00

Vì tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 450 nên y’(x0) = tan4500

 Tọa độ tiếp điểm N(4; 323

 ) Phươngtrình tiếp tuyến tại N(4; 32

 ) là: y = tan450(x-4)-( 323

 ) hay y = x + 203 .Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x – 4 và y = x + 20

+) Thay (2) và (1) tìm x =? Thay vào (2) tìm k =?+) Kết luận.

Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x 1x 1

 có đồ thị (C), viết phương trình tiếptuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;3).

Lời giải:

Ta có

x 1

k(x+1) +3 (1)x 1

k (2)(x+1)

(x 1)(2x 1)4x 3 0

(x+1) +3(x+1) , (víi x -1)x

Ví dụ 8: Cho hàm số   y x3 (1 2 )m x2 (2 m x m)  2 (1)

(m là tham số) Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với

đường thẳng d:x y 7 0   góc  , biết cos  126

YCBT thoả mãn  ít nhất một trong hai phương trình sau cónghiệm:

 

 

  

 

YCBT  (1) có đúng một nghiệm âm.

2 31

Do đĩ để (1) cĩ một nghiệm âm thì  m   m hoặc m

3Vậy m 0hay m 2

3

2.3.5 Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):

y f x( ), biết  cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB

vuơng cân hoặc cĩ diện tích S cho trước.

Cách giải:

 Gọi M x y( ; ) là tiếp điểm Tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc 0 0 k f x ( ) 0 OAB vuơng cân   tạo với Ox một gĩc 45 và O   (a)0 SOAB  SOA OB 2S (b)

 Giải (a) hoặc (b) tìm được x0 Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến .

Ví dụ 10: Cho hàm số  

2 3 (1) Viết phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tạihai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

OAB cân tại O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng yx (vì

tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc âm) Nghĩa là:    

Ví dụ 11: Cho hàm số 

Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cắt các trục

Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB OA 2 

Lời giải:

Gọi M x y( ; ) ( ),0 0  C x0 2 PTTT tại M:

Tam giác vuông OAB có AB OA 2 nên OAB vuông cân tại O.

Do đó d vuông góc với một trong hai đường phân giác d y x d y1:  ; 2:  x

và không đi qua O.

+ Nếu d d1 thì    

( 2)  d y:  x8.+ Nếu d d2 thì  

x0 2

( 2)  vô nghiệm.Vậy PTTT cần tìm là: y x 8

2.3.6 Bài toán 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó

có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y f(x) .

f xk x xy

f x( )'( ) k( ) (2)(1)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x xM) (f x M)yM (3) Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Ví dụ 12: Cho hàm số  

1 (C) Tìm trên đường thẳng 

d y: 2x 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).

Lời giải:

Gọi M m m( ;2 1)d PT đường thẳng  qua M có dạng:

1 kx2  (m1)k 2m x mk (2m4) 0  (*)

 tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép 

 

Lời giải: Gọi M m( ;2) ( ) d

PT đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : y k x m (  ) 2 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm

 (3) cĩ hai nghiệm phân biệt khác 2

2 cĩ thể kẻ được 3tiếp tuyến với (C).

2.3.7 Bài tốn 7: Tìm những điểm mà từ đĩ cĩ thể vẽ được 2 tiếptuyến với đồ thị (C): y f(x) và 2 tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau.

f xk x xy

f x( )'( ) k( ) (2)(1)

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x xM) (f x M)yM (3) Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt

x x1, 2.

 Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau  f x f x( ) ( ) –11  2 Từ đĩ tìm được M.

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai

phía với trục hồnh thì  

có nghiệm phân biệtf x f x1 2

(3) 2

( ) ( ) 0

Ví dụ 14: Cho hàm số:  

21 (C).

Cho điểm A a(0; ) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C)sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hồnh.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng d đi qua A a(0; ) và cĩ hệ số gĩc k: 

y kx a

d là tiếp tuyến của (C)  Hệ PT  

 

x 2

3( 1)

231 .

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, vớibản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Qua quá trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu và nhuần nhuyễn cácdạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tôi nhận thấy cáctiết bài tập về phần này thay đổi một cách rõ rệt:

- Giờ học sinh động lôi cuốn , kích thích tính khám phá học tập của học sinh.- Học sinh không còn ngủ gật uể oải trong các giờ toán như thường gặp màthấy thời gian trôi thật nhanh

- Cách làm bài của học sinh đã có sự lôgic giữa các bước theo đúng trình tựrõ ràng.

- Trong quá trình dự giờ thăm lớp và công tác giảng dạy mẫu được các thầycô trong nhà trường đánh giá cao về độ tiếp cận kiến thức linh hoạt của họcsinh.

- Bản thân cũng thấy hăng say hơn trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu vàgiảng dạy.

- Chất lượng môn học: Tại Trung tâm GDTX-DN Hà Trung:

+ Qua khảo sát tại lớp 12B ( năm học 2015 -2016 ), tổng số 23HS , kết quảnhư sau :

Xã hội ngày càng phát triển thì giáo viên càng phải đóng vai trò quantrọng Việc đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng luôn là việclàm thường xuyên liên tục của người giáo viên nói chung và giáo viên môntoán nói riêng Sử dụng nhuần nhuyễn và sáng tạo phương pháp dạy họcgiúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt

Sự tiếp thu không chỉ là ghi nhớ máy móc các kiến thức toán học màphải được nâng cao khả năng tư duy và suy nghĩ của học sinh Tạo cho cácem có thái độ, động cơ học tập đúng đắn có những vốn kiến thức, kĩ năngthiết yếu trong quá trình học môn toán Phương pháp dạy học kiến thức vềcách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉ là một phần trongchương trình toán THPT, tuy nhiên nó cũng giữ một vai trò tương đối quantrọng

Để khắc sâu và tạo hứng thú cho học sinh khám phá những kiến thứcliên quan đến bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cáchvận dụng chúng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn bị chu đáo và có sự sángtạo cho phù hợp với đối tượng học sinh Đó là then chốt để kích thích vànâng cao tinh thần học tập của học sinh để nâng cao chất lượng dạy vàhướng tới giáo dục toàn diện cho học sinh.

Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ mang tính chủ quan của cá nhântôi Mong nhận được sự động viên góp ý của các cấp lãnh đạo và đồngnghiệp.

Xin chân thành cảm ơn !XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác.

Phạm Thị Quế

1.3 Đối tượng nghiên cứu…… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG …… 3

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Nội dung của các vấn đề nghiên cứu 5

*Tài liệu tham khảo.

1, Sách giáo khoa giải tích cơ bản và nâng cao lớp 11 và 12 2, Các bài giảng luyện thi – NXBGD năm 2005.

3, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT quốc gia- NXBGD năm 2015, 2016.