SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng và tìm điểm trong hình học giải tích

MỤC LỤC PHẦN I MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU IV ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG V TÀI LIỆU THAM KHẢO VI PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II NỘI DUNG I DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG II DẠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 11 I - KẾT LUẬN 11 II - KIẾN NGHỊ 11 Gv: Nguyễn Văn Phú – Tel: 0888 686 070 PHẦN I MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chúng ta biết, toán phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm toán chiếm lượng lớn chương trình phổ thơng Tuy nhiên số tập có lượng lớn tập mà ta giải phương pháp thông thường giải gặp nhiều khó khăn phức tạp Giữa phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm hàm số có mối liên quan chặt chẽ Tuy sử dụng hàm số để giải biết ứng dụng đạo hàm hàm số để giải tốn trở nên đơn giản Trong trình giảng dạy, cung cấp cho học sinh mảng kiến thức thấy em hứng thú tự tin không thấy ngại gặp tốn khó viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm Vì tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Hƣớng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải toán phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng tìm điểm hình học giải tích" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Trang bị cho học sinh lớp 12 phương pháp giải tốn phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm hình học giải tích - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU - Các dạng toán giải phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm nằm chương trình tốn phổ thơng - Phân loại dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV ĐỐI TƢỢNG ÁP DỤNG - Ôn tập kiến thức cho học sinh khối 12 - Ôn thi đại học V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 Các đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2018 Các số báo toán học tuổi trẻ từ năm 2008 đến năm 2018 Sách tham khảo hình giải tích Phan Huy Khải Sách tham khảo hình giải tích Trần Phương Sách tham khảo hình giải tích Nguyễn Văn Dũng http://www.mathvn.com http://forum.mathscope.org http://www.vietmaths.com 10.http://boxmath.vn 11.http://diendantoanhoc.net 12.http://laisac.page.tl 13.http://k2pi.net 14.http://violet.vn/main VI PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp chung dạng tập − Với tốn phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm, ta sử dụng mối liên hệ đề lập hàm số để giải − Sử dụng công thức:  Công thức tính góc hai đường thẳng cos   u1.u2 u1 u2 u1 , u2 hai vecto phương hai đường thẳng  Cơng thức tính góc đường thẳng mặt phẳng sin   n.u u u n, u hai vecto pháp tuyến vecto phương đường thẳng mặt phẳng  Công thức tính góc hai đường thẳng cos   n1.n2 n1 n2 n1 , n2 hai vecto pháp tuyến hai mặt thẳng  Cơng thức tính khoảng cách hai điểm  x B -x A  +  yB -yA  +  z B -z A   Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng () có phương AB= 2 trình Ax  By  Cz  D  là: d  M ,(α)  =  Ax +By0 +Cz +D A +B2 +C2 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  qua M có vectơ phương u là: d(M1 ,Δ)=  M M ,u    u  Khoảng cách hai đường thẳng  ’,  qua điểm M , có vectơ phương u đường thẳng ’ qua điểm M 0' , có  u,u' M M 0' vectơ phương u' là: d(,Δ')=    u,u'    Công thức tính diện tích tam giác : SABC =  AB,AC   Cơng thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C'D' = AB,AD  AA'  Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD =  AB,AC  AD Chú ý : Các cơng thức tính góc nêu có điều kiện :   ,    PHẦN II NỘI DUNG I DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG x 1 y z  Lập phương trình   2 mặt phẳng (  ) chứa d cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (  ) lớn Ví dụ 1:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng d : Hƣớng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến: n( A; B; C ), A2  B2  C  có dạng: A( x  1)  By  C ( z  2)  Ta có : d  ( )  ud n   B  2 A  2C AC ( A  C )2 Khi đó: d ( A,( ))   A2  AB  5C A2  AB  5C − Trường hợp 1: Nếu C = d ( A,( ))  − Trường hợp 2: Nếu C  Đặt t  A C (t  1)  f (t ) 5t  8t  (t  1)2 Xét hàm số f (t )  Ta có f '(t )   t  1 ; f (1)  0; f (1)  5t  8t  lim f (t )  t  Lập bảng biến thiên suy ra: M axf (t )  t =1 A Vậy M axd(A,( ))   C d ( A,( ))  So sánh Trường hợp Trường hợp 2: yêu cầu toán tương đương A  C B  4C Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x  y  z   Nhận xét : − Có thể mở rộng toán sau: Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d cho khoảng cách từ A tới (  ) a ( a số ) − Có thể sử dụng hình học túy để làm Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x 1 y  z x  y 1 z d ' :     , 1 1  Q  : x  y  2z   Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho góc hai mặt phẳng (Q) (P) nhỏ Hƣớng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến : n( A; B; C ), A2  B  C  có dạng: A( x  1)  B( y  2)  Cz  Ta có: d  ( )  ud n   C  A  B  Gọi góc hai mặt phẳng  ,(0    ) A  2B ( A  B) => cos( )   A2  AB  5B 2 A2  AB  5B − Trường hợp 1: Nếu B = cos( )  (1) − Trường hợp 2: Nếu B  Đặt t  A B (t  2) 2t  4t  (t  2)2 Xét hàm số f (t )  2t  4t  30 A => M axf (t )  t =1 hay  Vậy M ax cos  (2)   B 0;   cos( )   2 So sánh Trường hợp Trường hợp => min  cos  30 A với  B => Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x + 2y + 5z + = Nhận xét: − Có thể mở rộng tốn sau: Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d cho góc hai mặt phẳng  (  giá trị góc xác định ) − Có thể sử dụng hình học túy để làm học sinh gặp khó khăn xác định góc hai mặt phẳng Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : x 1 y  z x  y 1 z d ' :     , 1 1 (Q): x + 2y +2z – = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ lớn Hƣớng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (  ) chứa d có vecto pháp tuyến: n( A; B; C ), A2  B  C  có dạng: A( x  1)  B( y  2)  Cz  Ta có: d  ( )  ud n   C  A  B  Gọi góc mặt phẳng (P) đường thẳng d’ là: ,(0    ) => sin( )  A  3B (4 A  3B)  2 A2  AB  5B A  AB  5B − Trường hợp 1: Nếu B = sin( )  2 (1) − Trường hợp 2: Nếu B  Đặt t  A B (4t  3) sin( )  2t  4t  (4t  3)2 Xét hàm số f (t )  2t  4t  5 25 A => M axf (t )  t = - hay  7 Vậy M ax sin    B  0;   2 So sánh Trường hợp Trường hợp =>  m ax  sin  A với  7 B => Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - = Nhận xét : − Có mở rộng tốn sau: Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d cho góc hai mặt phẳng  (  giá trị góc xác định ) − Có thể sử dụng hình học túy để làm học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng mặt phẳng II DẠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   Và điểm A(1;0;0) ; B(0; 2;3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng lớn , nhỏ Hƣớng dẫn giải: Gọi vecto phương đường thẳng d là: u(a; b; c), a  b2  c  d  ( P)  ud nP   c  a  2b AB(1;2; 3) ; ud , AB   (2a  7b;2a  2b;2a  b) ud , AB  12a  24ab  54b   => d ( B, d )   2a  4ab  5b ud − Trường hợp 1: Nếu b = d ( B, d )  − Trường hợp 2: Nếu b  Đặt t  12t  24t  54 d ( B, d )   2t  4t  =>  d ( B, d )  14 a b f (t ) ; Xét hàm số f (t )  12t  24t  54 2t  4t  So sánh Trường hợp Trường hợp =>  d ( B, d )  14 +) Min(d ( B, d ))   b  chọn a =1 => c= x  1 t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  z  t  +) M ax(d ( B, d ))  14  a  b chọn b = -1 => a =1 , c =-1  x  1  t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  t z  t  Nhận xét : − Có thể mở rộng tốn sau : Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A cách B khoảng a ( a số ) − Có thể sử dụng hình học túy để làm học sinh gặp khó khăn vẽ hình xác định khoảng cách Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng d qua A (1;-1;2),song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z   ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' : x 1 y 1 z   2 góc lớn nhất, nhỏ Hƣớng dẫn giải: Gọi vecto phương đường thẳng d là: u(a; b; c), a  b2  c  d / /( P)  ud nQ   c  2a  b ; ud ' (1; 2; 2)  Gọi góc hai mặt phẳng  ,(0    ) => cos( )  5a  4b (5a  4b)  2 5a  4ab  2b 5a  4ab  2b − Trường hợp 1: Nếu b = cos( )  − Trường hợp 2: Nếu b  Đặt t  a b (5t  4) (5t  4)2 cos( )   f ( t ) Xét hàm số f ( t )  5t  4t  5t  4t  =>  cos( )  So sánh Trường hợp Trường hợp =>  cos( )  a +) Min(cos( ))  => max  900   b x 1 y 1 z  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:   5 a +) M ax(cos( ))  => min    b x 1 y 1 z    => Phương trình đường thẳng cần tìm là: 5 Nhận xét : − Có thể mở rộng toán sau : Lập phương trình đường thẳng d qua A ,song song với mặt phẳng (Q) ,đồng thời d tạo với đường thẳng d ' góc thỏa mãn điều kiện − Có thể sử dụng hình học túy để làm Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng d qua A(0; 1;2) cắt đường thẳng x 1 y z  cho   1 Khoảng cách từ B(2;1;1) lớn nhất, nhỏ x 1 y z  2 Khoảng cách d  : lớn   1 d' : Hƣớng dẫn giải: d  d '  M  M (1  2t; t;2  t ), t  R => vecto phương d : ud  AM (2t  1; t  1; t ) AB(2;2; 1) ;  AB; ud   (1  t ;1;4  2t )  AB, ud  12t  18t  18   => d ( B, d )    6t  2t  ud f (t ) 12t  24t  54 Xét hàm số f (t )  => M axf (t )  f (0)  18; M axf (t )  f (2)  11 2t  4t  =>  d ( B, d )  18 11 +) Min(d ( B, d ))  t 2 11  x  3t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  3t  z   2t  +) M ax(d ( B, d ))  18  t   x  t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  t z   t  d  d '  M  M (1  2t; t;2  t ), t  R => vecto phương d : ud  AM (2t  1; t  1; t ) Từ phương trình  => u  (2; 2;1) N  (5;0;0)   AN (5;1; 2) ; u ; ud   (t  1;4t  1;6t ) u , ud  AN (2  t )2  => d (, d )     f (t ) 53t  10t  u , ud    26 (2  t )2 Xét hàm số f (t )  => M axf (t )  f ( )  37 53t  10t  => max(d (, d ))  26  x  29t  => Phương trình đường thẳng cần tìm là:  y  1  41t  z   4t  Nhận xét : − Có thể mở rộng toán thỏa mãn điều kiện cho trước − Có thể sử dụng hình học túy để làm Ví dụ 4: Lập phương trình đường thẳng d qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng x 1 y  z  cho góc đường thẳng d   1 x 3 y 2 z 3 :   lớn nhất, nhỏ 1 2 d' : Hƣớng dẫn giải: d  d '  M  M (1  2t;2  t; 2  t ), t  R => vecto phương d : ud  AM (2t  2; t  2; 1  t )  Gọi góc hai mặt phẳng  ,(0    ) t2 f (t ) 6t  14t  t2 Xét hàm số f (t )  6t  14t  9 => M axf (t )  f ( )  ; Minf (t )  f (0)  +) Min(cos( ))  =>  max  900  t  x 1  => Phương trình đường thẳng cần tìm là: 2 +) M ax(cos( ))  => min  t   x 1  => Phương trình đường thẳng cần tìm là: => cos( )  y z 1  1 y z 1  Nhận xét : − Có thể mở rộng tốn sau: Có thể mở rộng toán thỏa mãn điều kiện cho trước − Có thể sử dụng hình học túy để làm 10 PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I - KẾT LUẬN - Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng việc giải phương trình bất phương trình - Đề tài nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác - Khi nghiên cứu viết thực đề tài tơi có tham khảo tài liệu luyện thi đại học Bộ Giáo Dục Đào tạo đề thi đại học năm trước - Tuy vậy, nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan khách quan nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý đồng nghiệp II - KIẾN NGHỊ - Như trình bày phương trình, hệ phương trình, BPT, HBPT, GTLN>NN biểu thức, có mối liện hệ mật thiết với hàm số Khi định nghĩa PT, BPT, ta dựa khái niệm hàm số, ta biết sử dụng hàm số để giải tập toán đơn giản Đặc biệt, đạo hàm cơng cụ hữu ích, sắc bén - Chính lẽ đó, tơi hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ bé vào việc giải dạng toán nêu trên; tài liệu tham khảo cho em học sinh q trình học tốn ôn thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp 11 ... "Hƣớng dẫn học sinh sử dụng hàm số để giải tốn phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng tìm điểm hình học giải tích" II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Trang bị cho học sinh lớp 12 phương pháp giải. .. phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm hàm số có mối liên quan chặt chẽ Tuy sử dụng hàm số để giải biết ứng dụng đạo hàm hàm số để giải tốn trở nên đơn giản Trong q trình giảng... 12 phương pháp giải tốn phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng tìm điểm hình học giải tích - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo