Các phương pháp giải tích giải bài toán phương trình vật lý toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  HUỲNH TRÚC PHƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý TP Hồ Chí Minh, tháng 04 năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TỐN Sinh viên thực hiện: Huỳnh Trúc Phương Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Vũ Thụ Nhân TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2019 i LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân – người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn Trường, Phịng đào tạo, thầy khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực khóa luận Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè người thân giúp đỡ, động viên, hỗ trợ thời gian thực khóa luận TP Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019 SINH VIÊN Huỳnh Trúc Phương ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC BẢNG BIỂU v DANH MỤC HÌNH VẼ vi MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phạm vi nghiên cứu VI Cấu trúc đề tài Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.1 Một số hàm đặc biệt 1.1.1 Hàm delta Dirac 1.1.2 Hàm Heaviside 1.1.3 Hàm Bessel 1.1.4 Đa thức Legendre 1.2 Các phép biến đổi tích phân 1.2.1 Phép biến đổi Fourier 1.2.2 Phép biến đổi Fourier Sin Cos 1.2.3 Phép biến đổi Fourier phức 1.2.4 Phép biến đổi Laplace 10 Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TOÁN 15 2.1 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 15 2.1.1 Giới thiệu phương pháp 15 2.1.2 Phương pháp tách biến việc giải phương trình truyền sóng 15 2.1.2.1 Truyền sóng dây hữu hạn dao động tự 15 2.1.2.2 Truyền sóng dây hữu hạn dao động cưỡng 22 iii 2.1.3 Phương pháp tách biến việc giải phương trình truyền nhiệt 25 2.1.3.1 Truyền nhiệt hữu hạn không chứa nguồn 25 2.1.3.2 Truyền nhiệt hữu hạn có chứa nguồn 31 2.1.4 Phương pháp tách biến việc giải phương trình Laplace 34 2.1.5 Phương pháp tách biến hệ tọa độ khác 38 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 44 2.2.1 Giới thiệu phương pháp 44 2.2.2 sóng Phương pháp đa thức d’Alembert việc giải phương trình truyền 44 2.2.2.1 Truyền sóng dây dài vô hạn 44 2.2.2.2 Truyền sóng dây dài nửa vơ hạn 46 2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 48 2.3.1 Giới thiệu phương pháp 48 2.3.2 toán Phương pháp biến đổi tích phân việc giải phương trình vật lý – 48 2.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 54 2.4.1 Giới thiệu phương pháp 54 2.4.2 Hàm Green 54 2.4.3 Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng độc lập với thời gian 56 2.4.4 Nghiệm hàm Green cho phương trình sóng khơng khơng gian ba chiều 60 2.4.5 Nghiệm hàm Green cho phương trình Maxwell tốn phụ thuộc vào thời gian 62 Chương ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH TRONG VIỆC GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN 68 3.1 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 68 3.1.1 Giải tốn truyền sóng 68 3.1.2 Giải toán truyền nhiệt 75 3.1.3 Giải toán Laplace 81 3.1.4 Giải toán hệ tọa độ khác 88 3.2 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐA THỨC D’ALEMBERT 98 3.3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 101 iv 3.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 115 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO 127 v DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1 Bảng biến đổi Laplace 13 Bảng 1.2 Bảng biến đổi Laplace mở rộng 14 vi DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Chu tuyến l  L mặt phẳng phức 12 Hình 2.1 Đồ thị hàm số y  u ( x, t ) 100 MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Trong vật lý, việc giải phương trình đạo hàm riêng như: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt,… mang lại ý nghĩa quan trọng Các nhà vật lý biết dao động dây, dao động sóng nước, nhờ việc giải phương trình truyền sóng, biết biến thiên nhiệt độ theo thời gian miền cho trước nhờ việc giải phương trình truyền nhiệt, [7],[5] Để giải phương trình này, nhà vật lý thường sử dụng số phương pháp toán học: phương pháp số, phương pháp giải tích Phương pháp số giải nhiều toán phức tạp, giải nghiệm gần [4] Cịn phương pháp giải tích giải nghiệm cách xác trở nên khó khăn tốn phức tạp [3] Do đó, phương pháp giải tích thường sử dụng để giảng dạy cho sinh viên tốn vật lý chương trình học sinh viên khơng phức tạp Hiện nay, nhiều trường đại học, sinh viên chuyên ngành vật lý học phương pháp giải tích để giải phương trình vật lý tốn: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace Mỗi loại phương trình có nhiều dạng khác nhau: phương trình truyền sóng dây dài hữu hạn vơ hạn, truyền sóng dây dao động cưỡng bức; phương trình truyền nhiệt dài hữu hạn chứa nguồn khơng chứa nguồn, phương trình Laplace, Các phương pháp giải tích thường sử dụng để giải phương trình phương pháp tách biến phương pháp đa thức D’Alembert Hai phương pháp dùng phổ biến khơng địi hỏi sinh viên biết nhiều kiến thức tốn phức tạp Ngồi cịn có phương pháp tìm nghiệm dễ dàng nặng kiến thức toán phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp hàm Green Do có nhiều dạng phương trình, nhiều phương pháp giải tích để giải chúng nên việc hệ thống lại phương pháp giải tích giải phương trình vật lý tốn cần thiết Nhờ đó, sinh viên xâu chuỗi lại kiến thức học, biết thêm phương pháp mới, giúp cho việc học trở nên dễ dàng Vì vậy, nhằm đáp ứng nhu cầu trên, tơi hệ thống lại phương pháp giải tích để giải tốn phương trình vật lý - tốn đề tài II Mục đích nghiên cứu Đề tài hướng đến hai mục đích sau:  Đưa hệ thống phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace  Đưa hệ thống giải tập phương trình đạo hàm riêng nói phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân phương pháp hàm Green III Đối tượng nghiên cứu  Các toán đạo hàm riêng ứng dụng vật lý  Các phương pháp giải tích áp dụng giải tốn đạo hàm riêng vật lý IV Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu tốn đạo hàm riêng thường gặp vật lý thơng qua giáo trình, sách, tài liệu liên quan  Phân tích ưu điểm, nhược điểm phương pháp giải tích áp dụng giải toán vật lý – toán V Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp giải tích để giải phương trình vật lý - tốn thường gặp: phương trình truyền sóng dây, phương trình truyền nhiệt thanh, phương trình Laplace,… VI Cấu trúc đề tài Mở đầu: Phần tơi trình bày tổng quan đề tài nghiên cứu, bao gồm: lí chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu cấu trúc đề tài Chương Cơ sở lý thuyết đề tài nghiên cứu Trong chương này, tơi trình bày số hàm đặc biệt đề cập tới đề tài phép biến đổi tích phân để làm sở cho phương pháp biến đổi tích phân chương 113 {𝑢 (𝑥, 0) = {𝜕𝑢 , ∀𝑥 ∈ (0,2) (𝑥, 0) = sin 𝜋𝑥 𝜕𝑡 (3.3.34) 𝑢 (0, 𝑡) = 𝑢 (2, 𝑡) = 0, ∀𝑡 > (3.3.35) Và điều kiện biên: Giải Biến đổi Laplace hai vế phương trình (3.3.33) theo biến t, ta được: 𝜕2𝑢 𝜕2 𝑢 ℒ ( 2) = ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑡 ⇒ 𝑑2𝒰 𝜕𝑢 (𝑥, 𝑝) = [𝑝 𝒰(𝑥, 𝑝) − 𝑝 𝑢(𝑥, 0) − (𝑥, 0)] 𝑑𝑥 𝜕𝑡 Từ điều kiện đầu (3.3.34): 𝑑2𝒰 ⇒ = 6𝑝 𝒰(𝑥, 𝑝) − sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑑2𝒰 ⇔ − 6𝑝 𝒰 = −6 sin 𝜋𝑥 𝑑𝑥 Xét phương trình nhất: 𝑑2𝒰 − 6𝑝 𝒰 = 𝑑𝑥 Nghiệm phương trình nhất: 𝒰∗ = 𝐴𝑒 𝑝√6𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑝√6𝑥 Nghiệm riêng phương trình (3.3.36) có dạng: 𝒰𝑅 = 𝐴 sin 𝜋𝑥 + 𝐵 cos 𝜋𝑥 ⇒ 𝒰𝑅′ = 𝜋𝐴 cos 𝜋𝑥 − 𝜋𝐵 sin 𝜋𝑥 ⇒ 𝒰𝑅′′ = −𝜋 𝐴 sin 𝜋𝑥 − 𝜋 𝐵 cos 𝜋𝑥 (3.3.36) 114 Thay 𝒰𝑅 , 𝒰𝑅 ′′ vào (3.3.36), ta có: −𝜋 𝐴 sin 𝜋𝑥 − 𝜋 𝐵 cos 𝜋𝑥 − 6𝑝 (𝐴 sin 𝜋𝑥 + 𝐵 cos 𝜋𝑥 ) = −6 sin 𝜋𝑥 ⇔ (𝜋 + 6𝑝 )𝐴 sin 𝜋𝑥 + (𝜋 + 6𝑝 )𝐵 cos 𝜋𝑥 = sin 𝜋𝑥 𝐴= ⇒{ 𝜋 + 6𝑝 𝐵=0 sin 𝜋𝑥 ⇒ 𝒰𝑅 = 𝜋 + 𝑝2 Nghiệm phương trình (3.3.36) là: 𝒰 = 𝒰∗ + 𝒰𝑅 = 𝐴𝑒 𝑝√6𝑥 + 𝐵𝑒 −𝑝√6𝑥 + sin 𝜋𝑥 𝜋2 + 𝑝2 (3.3.37) Từ điều kiện biên (3.3.35): +∞ 𝒰(0, 𝑝) = ∫ 𝑒 −𝑝𝑥 𝑢(0, 𝑡)𝑑𝑡 = 0 +∞ ⇒ { 𝒰(2, 𝑝) = ∫ 𝑒 (3.3.38) −𝑝𝑥 𝑢(2, 𝑡)𝑑𝑡 = 0 Từ (3.3.37) (3.3.38), suy ra: { 𝒰(0, 𝑝) = 𝐴 + 𝐵 𝒰(2,0) = 𝐴𝑒 𝑝2√6 + 𝐵𝑒 −𝑝2√6 Từ (3.3.38) (3.3.39) ⇒ 𝐴 = 𝐵 = ⇒𝒰= sin 𝜋𝑥 𝜋2 + 𝑝2 Dùng phép biến đổi Laplace ngược, ta thu nghiệm phương trình (3.3.33): (3.3.39) 115 𝑢(𝑥, 𝑡) = ℒ −1 (𝒰) = √6 √6 sin 𝜋𝑥 sin 𝑡 𝜋 𝜋 3.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN Bài 3.20 Bằng phương pháp biến đổi Laplace, tìm nghiệm tổng quát hàm Green cho phương trình: 𝜕2 ( + 𝑘 ) 𝑢(𝑥, 𝑘 ) = −𝑓 (𝑥 ), ∀𝑥 ∈ [0, +∞) 𝜕𝑥 (3.4.1) 𝑘 số Giải Hàm Green nghiệm phương trình: 𝜕2 ( + 𝑘 ) 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘) = −𝛿 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝜕𝑥 (3.4.2) Biến đổi Laplace hai vế phương trình (3.4.2): 𝜕2 ℒ [( + 𝑘 ) 𝑔 (𝑥|𝑥0 , 𝑘)] = −ℒ(𝛿) 𝜕𝑥 𝜕2 ⇒ ℒ ( 𝑔) + ℒ (𝑘 𝑔) = −ℒ(𝛿) 𝜕𝑥 +∞ ⇒∫ +∞ +∞ 𝜕 𝑔 −𝑝𝑥 −𝑝𝑥 ∫ ∫ 𝑒 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑔𝑒 𝑑𝑥 = − 𝛿 (𝑥 − 𝑥0 )𝑒 −𝑝𝑥 𝑑𝑥 (3.4.3) 𝜕𝑥 0 Sau tính tốn, ta kết quả: 𝑝 𝑒 −𝑝𝑥0 ′ 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘) = 𝑔(0|𝑥0 , 𝑘) + 𝑔 (0|𝑥0 , 𝑘 ) + 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 +∞ với 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘 ) = ∫0 𝑔 (𝑥|𝑥0 , 𝑘)𝑒 −𝑝𝑥 𝑑𝑥 116 Biến đổi Laplace ngược hàm 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘) để thu hàm 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘): 𝑝 𝑒 −𝑝𝑥0 ′ ⇒ ℒ [𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘)] = ℒ [ 𝑔(0|𝑥0 , 𝑘) + 𝑔 (0|𝑥0 , 𝑘 ) + ] 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 𝑝 𝑒 −𝑝𝑥0 ′ ⇒ ℒ [𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘)] = ℒ [ 𝑔(0|𝑥0 , 𝑘)] + ℒ [ 𝑔 (0|𝑥0 , 𝑘 )] + ℒ [ ] 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 1 ⇒ 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ) = 𝑔(0|𝑥0 𝑘) cos 𝑘𝑥 + 𝑔′ (0, 𝑥0 , 𝑘 ) sin 𝑘𝑥 + sin[𝑘 (𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻(𝑥 𝑘 𝑘 − 𝑥0 ) Nghiệm 𝑢(𝑥0 , 𝑘) phương trình (3.4.1) có dạng: +∞ 𝑢(𝑥0 , 𝑘 ) = ∫ 𝑔 (𝑥|𝑥0 , 𝑘)𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 +∞ +∞ =∫ 𝑔(0|𝑥0 𝑘 ) cos 𝑘𝑥0 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 0 +∞ +∫ ′ 𝑔 (0, 𝑥0 , 𝑘 ) sin 𝑘𝑥0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑘 sin[𝑘 (𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻 (𝑥 − 𝑥0 )𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑘 Đặt +∞ 𝐴(𝑘 ) = ∫ 𝑔(0|𝑥, 𝑘 )𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ ′ 𝐵(𝑘 ) = ∫ 𝑔 (0|𝑥, 𝑘 )𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑘 { ⇒ 𝑢 (𝑥0 , 𝑘 ) = 𝐴(𝑘 ) cos 𝑘𝑥𝑜 + 𝐵(𝑘 ) sin 𝑘𝑥0 +∞ + ∫ sin[𝑘 (𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻 (𝑥 − 𝑥0 )𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑘 Bài 3.21 Tìm nghiệm phương trình: 117 𝜕2 ( + 𝑘 ) 𝑢(𝑥, 𝑘 ) = 0, ∀ 𝑥 ∈ [0, 𝐿] 𝜕𝑥 (3.4.4) 𝑢(0, 𝑘) = 𝑢(𝐿, 𝑘 ) = (3.4.5) với điều kiện: { Giải Hàm Green nghiệm phương trình: ( 𝜕2 + 𝑘 ) 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘) = −𝛿 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝜕𝑥 Nghiệm hàm Green khơng gian chiều có dạng: 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘) = − sin 𝑘|𝑥 − 𝑥0 | 𝑘 Với điều kiện (3.4.5), nghiệm riêng phương trình (3.4.4) có dạng: 𝑢 (𝑟, 𝑘 ) = 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑘(𝐿 − 𝑥) Nghiệm tổng quát phương trình (2.4.4) là: 𝑢(𝑥, 𝑘 ) = − sin 𝑘|𝑥 − 𝑥0 | + 𝐴 sin 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘(𝐿 − 𝑥) 𝑘 Từ điều kiện (3.4.5): { 𝑢(0, 𝑘) = 𝑢(𝐿, 𝑘 ) = − sin 𝑘𝑥0 + 𝐵 sin 𝑘𝐿 = 𝑘 ⇒{ − sin 𝑘(𝐿 − 𝑥0 ) + 𝐴 sin 𝑘𝐿 = 𝑘 (3.4.6) 118 sin 𝑘𝑥0 𝑘 sin 𝑘𝐿 ⇒{ sin 𝑘(𝐿 − 𝑥0 ) 𝐴= 𝑘 sin 𝑘𝐿 𝐵= Vậy nghiệm phương trình (3.4.4) là: 1 sin 𝑘 (𝐿 − 𝑥0 ) sin 𝑘𝑥0 𝑢(𝑥, 𝑘 ) = − sin 𝑘|𝑥 − 𝑥0 | + sin 𝑘𝑥 + sin 𝑘(𝐿 − 𝑥) 𝑘 𝑘 sin 𝑘𝐿 𝑘 sin 𝑘𝐿 sin 𝑘 (𝐿 − 𝑥0 ) sin 𝑘𝑥0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑘 ) = − [sin 𝑘|𝑥 − 𝑥0 | − sin 𝑘𝑥 − sin 𝑘 (𝐿 − 𝑥 )] 𝑘 sin 𝑘𝐿 sin 𝑘𝐿 Bài 3.22 Chứng minh rằng, phương pháp biến đổi Laplace theo biến x phương trình 𝜕2 ( + 𝑘 ) 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘) = −𝛿 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝜕𝑥 (3.4.7) 𝑔(0|𝑥0 , 𝑘) = { 𝜕𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ) [ ]| = 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘) 𝜕𝑥 𝑥=0 (3.4.8) với điều kiện biên: nghiệm hàm Green có dạng: 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ) = sin(𝑘𝑥 ) sin[𝑘 (1 − 𝑥0 )] sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 )] − 𝐻 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑘 (sin 𝑘 − 𝑘 ) 𝑘 Giải Biến đổi Laplace hai vế phương trình (3.4.7), ta được: 𝜕2𝑔 ℒ ( ) + 𝑘 ℒ(𝑔) = −ℒ(𝛿) 𝜕 𝑥 Sử dụng kết 2.20, ta được: 119 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘 ) = 1 𝑒 −𝑝𝑥0 ′( ( ) ) 𝑔 0|𝑥 , 𝑘 + 𝑔 0|𝑥 , 𝑘 + 0 𝑝2 + 𝑘 𝑝2 + 𝑘 𝑝2 + 𝑘 Mà: 𝑔(0|𝑥0 , 𝑘 ) = 𝑒 −𝑝𝑥0 ′ ⇒ 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘 ) = 𝑔 (0|𝑥0 , 𝑘) + 𝑝 + 𝑘2 𝑝 + 𝑘2 (3.4.9) Biến đổi Laplace ngược hàm 𝑔̅ (𝑝|𝑥0 , 𝑘), ta thu hàm 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ): 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘) = 1 sin 𝑘𝑥 𝑔′ (0|𝑥0 , 𝑘 ) + sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑘 𝑘 Mặt khác: 𝑔′ (0|𝑥0 , 𝑘) = 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘) ⇒ 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ) = 1 sin 𝑘𝑥 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘 ) + sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻 (𝑥 − 𝑥0 ) (3.4.10) 𝑘 𝑘 Thay 𝑥 = vào phương trình (3.4.10): 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘) = 1 sin 𝑘 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘 ) + sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻(1 − 𝑥0 ) 𝑘 𝑘 ⇒ 𝑔(1|𝑥0 , 𝑘) = sin[𝑘(1 − 𝑥0 )] 𝐻(1 − 𝑥0 ) 𝑘 − sin 𝑘 (3.4.11) Thay (3.4.11) vào (3.4.10) ⇒ 𝑔(𝑥|𝑥0 , 𝑘 ) = sin 𝑘𝑥 sin[𝑘(1 − 𝑥0 )] + sin[𝑘(𝑥 − 𝑥0 )] 𝐻(𝑥 − 𝑥0 ) 𝑘(𝑘 − sin 𝑘 ) 𝑘 Bài 3.23 Trường điện U thỏa mãn phương trình: ∇2 𝑈 (𝑟, 𝑡) − 𝜕2 𝑈 (𝑟, 𝑡) = −4𝜋𝜌 (𝑟)𝑒 𝑖𝜔𝑡 2 𝑐 𝜕𝑡 (3.4.12) 120 với 𝜌 mật độ điện tích, 𝜔 tần số góc 𝑐 tốc độ lan truyền sóng điện từ chân khơng Sử dụng phương pháp hàm Green, tính biên độ trường điện cung cấp antenna phát bước sóng 𝜆 = 10𝑚, khoảng cách 1000m từ antenna, với 𝜌(𝑟) = 𝑟2 Giải Đặt 𝑈 (𝑟, 𝑡) = 𝑢(𝑟, 𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡 Phương trình (3.4.12) thành: ∇ 𝑢 (𝑟, 𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝜔2 + 𝑢(𝑟, 𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝑡 = −4𝜋𝜌(𝑟)𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑐 ⇔ ∇2 𝑢(𝑟, 𝜔) + 𝜔2 𝑢(𝑟, 𝜔) = −4𝜋𝜌 𝑐2 ⇔ ∇2 𝑢 (𝑟, 𝜔) + 𝑘 𝑢 = −4𝜋𝜌 (3.4.13) Nghiệm chứa hàm Green cho phương trình (3.4.13) điểm 𝑟0 : 𝑢(𝑟0 , 𝑘 ) = 4𝜋 ∫ 𝜌 (𝑟)𝑔 (𝑟|𝑟0 , 𝑘)𝑑 𝑟 Hàm Green ứng với sóng không gian chiều: 𝑒 𝑖𝑘|𝑟−𝑟0| 𝑔(𝑟|𝑟0 , 𝑘) = 4𝜋|𝑟 − 𝑟0 | Sử dụng phương pháp tiệm cận, ta thu được: 𝑔(𝑟|𝑟0 , 𝑘) = 𝑖𝑘𝑟 −𝑖𝑘𝑛̂ 𝑟 𝑒 𝑒 4𝜋𝑟0 ⇒ 𝑢(𝑟0 , 𝑘 ) = 𝑒 𝑖𝑘𝑟0 ∫ 𝜌(𝑟) 𝑒 −𝑖𝑘𝑛̂0𝑟 𝑑 𝑟 (3.4.14) 121 Đổi sang hệ tọa độ cực thay 𝜌(𝑟) = 𝑟2 𝑒 𝑖𝑘𝑟0 ∫ ∫ ∫ 𝑒 −𝑖𝑘𝑛̂0𝑟 𝑟 𝑑(cos 𝜃)𝑑𝑟𝑑𝜑 𝑢(𝑟𝑜 , 𝑘 ) = 𝑟0 𝑟 𝜋 2𝜋 𝑒 𝑖𝑘𝑟0 +∞ −𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 ( ) ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑒 = 𝑑 cos 𝜃 ∫ 𝑑𝜑 𝑟0 0 = 2𝜋 𝜋 𝑒 𝑖𝑘𝑟0 +∞ ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 𝑑 (cos 𝜃) 𝑟0 0 𝜋 Đặt 𝐼 = ∫ 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 𝑑 (cos 𝜃) −𝑖𝑘𝑟 cos 𝜃 𝜋 (𝑒 𝑖𝑘𝑟 − 𝑒 −𝑖𝑘𝑟 ) = sin 𝑘𝑟 ⇒𝐼=− 𝑒 | = 𝑖𝑘𝑟 𝑖𝑘𝑟 𝑘𝑟 ⇒ 𝑢(𝑟𝑜 , 𝑘 ) = 4𝜋 𝑖𝑘𝑟 +∞ sin(𝑘𝑟) 2𝜋 𝑖𝑘𝑟 𝑒 0∫ 𝑑𝑟 = 𝑒 𝑟0 𝑘𝑟 𝑟𝑜 𝑘  Tính biên độ trường điện thế: Ta có: 𝑘= 2𝜋 = 0,2𝜋 𝜆 Thay 𝑘 = 0,2 𝜋 𝑟0 = 1000𝑚 vào 𝑢, ta tìm biên độ trường điện cung cấp antenna: 2𝜋 𝑖𝑘𝑟 2𝜋 𝑢= 𝑒 = 𝑒 0,2𝜋.1000.𝑖 = 0,01𝜋 𝑟𝑜 𝑘 1000.0,2𝜋 Bài 3.24 Tính tốn hàm Green khơng gian ba chiều cho tốn tử Klein – Gordon mơ tả trường sóng phụ thuộc vào thời gian với toán tử Klein – Gordon: 𝜕2 ∇ − 2 − 𝜎2 𝑐 𝜕𝑡 122 Giải Theo đề bài, ta có phương trình: 𝜕2 (∇ − 2 − 𝜎 ) 𝐺 (𝑟|𝑟0 , 𝑡|𝑡0 ) = −𝛿 (𝑟 − 𝑟0 )𝛿 (𝑡 − 𝑡0 ) 𝑐 𝜕𝑡 Đặt { (3.4.15) 𝑅 = |𝑟 − 𝑟0 | 𝜏 = 𝑡 − 𝑡0 Đặt: +∞ ∫ 𝑔(𝑅, 𝜔)𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜔 𝐺 (𝑅, 𝜏) = 2𝜋 −∞ +∞ 𝑖𝜔𝜏 ∫ 𝑒 𝑑𝜔 𝛿 (𝜏) = 2𝜋 −∞ { (3.4.16) Thay (3.4.16) vào (3.4.15), ta được: +∞ 𝜕 +∞ 𝑖𝜔𝜏 𝑖𝜔𝜏 3( ) ∫ (∇ − 2 − 𝜎 ) 𝑔 𝑒 𝑑𝜔 = −𝛿 𝑅 ∫ 𝑒 𝑑𝜔 2𝜋 −∞ 𝑐 𝜕𝑡 2𝜋 −∞ +∞ ⇒∫ +∞ ∇ 𝑔𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜔 − ∫ −∞ +∞ 2) 𝑖𝜔𝜏 ( 𝑖𝜔 𝑔𝑒 𝑑𝜔 − ∫ 𝜎 𝑔𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜔 𝑐 −∞ −∞ +∞ = −𝛿 (𝑅) ∫ 𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜔 −∞ +∞ ⇒∫ ∞ +∞ 𝜔2 𝑖𝜔𝜏 3( ) ∫ (∇ + − 𝜎 ) 𝑔𝑒 𝑑𝜔 = −𝛿 𝑅 𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑𝜔 𝑐 −∞ 𝜔2 ⇒ (∇ + − 𝜎 ) 𝑔(𝑅, 𝑘 ) = −𝛿 (𝑅) 𝑐 (3.4.17) (3.4.18) Đặt +∞ ∫ 𝑔̅ (𝑢, 𝜔)𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢 (2𝜋) −∞ +∞ 3( ) ∫ 𝛿 𝑅 = 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢 (2𝜋) −∞ 𝑔(𝑅, 𝜔) = { (3.4.18) ⇒ (∇2 + +∞ +∞ 𝜔2 1 𝑖𝑢𝑅 ( ) ∫ ∫ − 𝜎 ) 𝑔̅ 𝑢, 𝜔 𝑒 𝑑 𝑢 = − 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢 3 (2𝜋) −∞ (2𝜋) −∞ 𝑐 123 +∞ ⇒∫ −∞ +∞ 𝜔2 𝑖𝑢𝑅 (∇ + − 𝜎 ) 𝑔̅ (𝑢, 𝜔)𝑒 𝑑 𝑢 = − ∫ 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢 𝑐 −∞ 𝜔2 ⇒ (−𝑢 + − 𝜎 ) 𝑔̅ = −1 𝑐 ⇒ 𝑔̅ (𝑢, 𝜔) = 𝑢2 − 𝑘 + 𝜎 +∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑅 ∫ ⇒ 𝑔(𝑅, 𝜔) = 𝑑3𝑢 (2𝜋)3 −∞ 𝑢2 − 𝑘 + 𝜎 (2.4.17) ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = +∞ ∫ (2𝜋)4 −∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑒 𝑖𝜔𝜏 𝑑 𝑢𝑑𝜔 𝜔 𝑢2 − + 𝜎 𝑐 Đặt +∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢 𝐼=∫ −∞ Đổi sang hệ tọa độ cầu: +∞ 𝐼=∫ 𝑒 +∞ 𝑖𝑢𝑅 𝑑 𝑢=∫ −∞ −∞ +∞ 𝜋 =∫ 𝑒 𝑖𝑢𝑅 𝑢2 sin 𝜃 𝑑𝑢𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑒 −∞ 2𝜋 𝑖𝑢𝑅𝑐𝑜𝑠 𝜃 sin 𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝜑 0 Đặt 𝑡 = cos 𝜃 ⇒ 𝑑𝑡 = − sin 𝜃 𝑑𝜃 +∞ 4𝜋 +∞ ∫ 𝑢 sin 𝑢𝑅 𝑑𝑢 ⇒ 𝐼 = 2𝜋 ∫ ∫ 𝑢 𝑒 𝑑𝑡𝑑𝑢 = 𝑖𝑅 −∞ −1 −∞ +∞ 𝑢 sin 𝑢𝑅 𝑒 𝑖𝜔𝜏 ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = ∫ 𝑑𝑢𝑑𝜔 4𝜋 𝑖𝑅 −∞ 𝜔 2 𝑢 − +𝜎 𝑐 𝑖𝑢𝑅𝑡 Để tìm hàm 𝐺(𝑅, 𝜏), ta tính tính tích phân chu tuyến C: 𝑧𝑒 𝑖𝑅𝑧 ∮ 𝑑𝑧 𝐶 𝑧2 − 𝜔 + 𝜎2 𝑐2 Xét cực điểm dương 𝑧 = √ 𝜔2 𝑐2 − 𝜎2 (3.4.19) 124 Theo định lý thặng dư: 𝑛 ∮𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ∑ Res 𝑓(𝑧) 𝐶 𝑗=1 (𝑧 − √ Res ω2 z=√ −𝜎 𝑐 𝑓(𝑧) = lim 𝜔2 𝑧→√ −𝜎2 (𝑧 𝑐 z=a 𝜔2 − 𝜎 ) 𝑧𝑒 𝑖𝑅𝑧 𝑐2 𝜔2 𝜔2 − √ − 𝜎 ) (𝑧 + √ − 𝜎 ) 𝑐 𝑐 = 𝜔2 𝑖𝑅√ −𝜎 𝑒 𝑐 𝜔2 𝑧𝑒 𝑖𝑅𝑅𝑧 𝑖𝑅√ −𝜎2 𝑐 𝑑𝑧 = 𝜋𝑖𝑒 𝐶 𝑧2 − 𝜔 + 𝜎2 𝑐2 ⇒∮ ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = +∞ 𝜔2 𝑖𝑅√ −𝜎2 𝑖𝜔𝜏 𝑐 ∫ 𝜋𝑖 𝑒 𝑒 𝑑𝜔 4𝜋 𝑖𝑅 −∞ Đặt 𝑖𝜔 = 𝑝 Ta có: 𝜔2 𝜔2 √𝜎 𝑐 + 𝑝 √ − 𝜎 = 𝑖√ − 𝜎 = 𝑐2 𝑐2 𝑐 +∞ √𝜎 𝑐 +𝑝2 −𝑅 𝑐 ∫ 𝑒 𝑒 𝑝𝜏 𝑑𝑝 4𝜋 𝑅 −∞ +∞ √𝜎 𝑐 +𝑝2 𝜕 −𝑐 −𝑅 𝑐 ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = ∫ [ 𝑒 ] 𝑒 𝑝𝜏 𝑑𝑝 4𝜋 𝑅 −∞ 𝜕𝑅 √𝜎 𝑐 + 𝑝 ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = √𝜎 𝑐 +𝑝2 𝑐 𝜕 +∞ −𝑅 𝑐 ∫ − ⇒ 𝐺 (𝑅, 𝜏) = − 𝑒 𝑒 𝑝𝜏 𝑑𝑝 4𝜋 𝑅 𝜕𝑅 −∞ √𝜎 𝑐 + 𝑝 Để tìm hàm 𝐺 (𝑅, 𝜏), ta tìm biến đổi Laplace ngược hàm: 𝐹 (𝑝) = √𝜎 𝑐 + 𝑝 𝑒 − 𝑅√𝜎 𝑐 +𝑝2 𝑐 Mặt khác, ta có: 2 𝑓(𝑥 ) = {𝐽0 𝑎√𝑥 − 𝑏 , 𝑥 > 𝑏 ( 𝐽0 hàm Bessel bậc 0, a b số dương) 0, 𝑥 < 𝑏 Có biến đổi ngược: (3.4.20) 125 𝐹 (𝑝) = 𝑒 −𝑏√𝑝 +𝑎 √𝑝 + 𝑎2 𝑅 Áp dụng cho hàm 𝐹(𝑝) (3.1.20) với 𝑎 = 𝜎𝑐 𝑏 = , hàm Green cần tìm là: 𝑐 𝐺 (𝑅, 𝜏) = − 𝑐 𝜕 𝑅 𝑅 − ( ) (với 𝜏 > ) √ 𝐽 [𝜎𝑐 𝜏 4𝜋 𝑅 𝜕𝑅 𝑐 𝑐 126 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Về bản, tơi hồn thành mục tiêu ban đầu đề sau:  Hệ thống lại phương pháp giải tích: phương pháp tách biến, phương pháp D’Alembert, phương pháp biến đổi tích phân, phương pháp hàm Green để giải phương trình vật lý tốn: phương trình truyền sóng, truyền nhiệt, Laplace,  Hệ thống giải tốn phương trình đạo hàm riêng vật lý theo phương pháp giải tích Tuy nhiên, thời gian có hạn nên đề tài chưa đề cập đến việc áp dụng phương pháp hàm Green cho số tốn: giải phương trình Schrodinger phương trình Helmholtz khơng nhất; tán xạ Rutherford, Rayleigh; nhiễu xạ Kirchhoff, Fraunhofer, Fresnel,…Các tập sử dụng hàm Green chưa nhiều đa dạng Xuất phát từ hạn chế đề tài, đề tài phát triển lên thêm cách mở rộng cho toán áp dụng phương pháp hàm Green quang học: nhiễu xạ, tán xạ,…; điện từ trường; vật lý thống kê,… 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh (2000) Phương trình đạo hàm riêng vật lý NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [2] Duffy, D G (2004) Transform methods for solving partial differential equations Chapman and Hall/CRC [3] Evans, G., Blackledge, J., & Yardley, P (2012) Analytic methods for partial differential equations Springer Science & Business Media [4] Ruas, V (2016) Numerical Methods for Partial Differential Equations: An Introduction John Wiley & Sons [5] Heat equation Truy cập ngày 10 tháng 1, 2019 từ https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equationruy [6] Laplace’s equation Truy cập ngày 11 tháng 1, 2019 từ https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation [7] Wave equation Truy cập ngày tháng 1, 2019 từ https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation ... Các phương pháp giải tích giải phương trình vật lý – tốn Trong chương này, tơi trình bày phương pháp giải tích giải phương trình vật lý tốn, cụ thể gồm: phương pháp tách biến, phương pháp đa thức... Chương CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ – TỐN Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3] 2.1 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 2.1.1 Giới thiệu phương pháp Phương pháp tách biến phương pháp. .. thống phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêng ứng dụng rộng rãi vật lý: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace  Đưa hệ thống giải tập phương trình