Sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức đại số

I- Nội dung của đề tàiTên đề tài: Sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức đại số 1- Lý do chọn đề tài: Trong chơng trình THPT, môn Toán đợc chia thành ba phân môn: Hình học, Đại số

I- Nội dung của đề tài

Tên đề tài: Sử dụng hình học để chứng minh bất

đẳng thức đại số

1- Lý do chọn đề tài:

Trong chơng trình THPT, môn Toán đợc chia thành ba phân môn: Hình học, Đại số và Giải tích Sự phân chia đó cũng chỉ mang tính chất tơng đối Bởi lẽ, có nhiều phần toán học có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay hình thức thuộc hai hoặc cả ba phân môn trên Có nhiều bài toán có thể giải đợc bằng các công cụ hình học, đại số hay giải tích Nhiều bài toán hình học có thể dùng đại số để giải và ngợc lại nhiều bài toán đại số có thể dùng hình học để giải Trong sáng kiến kinh nghiệm lần này, tôi đề cập đến việc vận dụng công cụ hình học trong bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số

Trong trong chơng trình toán 10 và toán 11, học sinh đã

đợc học các phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức cũng nh các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất nh

là sử dụng biến đổi sơ cấp, bất đẳng thức cơ sở, tính

đơn điệu của hàm số, dựa vào tập giá trị của hàm số v.v Tuy nhiên, đôi khi việc chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phơng pháp đại số gây nên nhiều khó khăn cho học sinh vì các phép biến đổi quá dài dòng, các suy luận quá phức tạp

Qua đây tôi muốn đem đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn về phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Đại số, lợng giác, đó chính là sử dụng hình học nh một công cụ hữu ích cho việc giải quyết vấn đề đã nêu Lời giải

1

bài toán đại số có chứa yếu tố hình học nhiều khi thực sự bất ngờ bởi rất gọn, dễ hiểu bởi có cái nhìn trực quan do hình học đem lại

Điều quan trọng là qua đây tôi muốn giúp các em hoàn thiện hơn về phơng pháp chứng minh bất đẳng thức, thấy

đợc cái muôn màu muôn vẻ của bất đẳng thức và các em sẽ thấy đợc mối liên hệ giữa đại số và hình học đồng thời tạo

nên sự hứng thú cho các em trong quá trình học Toán

2 Phạm vi - thời gian thực hiện đề tài:

Trong phạm vi đề tài tụi đi nghiờn cứu, tôi đề cập đến việc vận dụng công cụ hình học trong bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số

Thực nghiệm đối với học sinh lớp 10A14,10A15

III - Quá trình thực hiện đề tài, khảo sát thực tế

1 Qua việc khảo sát thực tế ở một số lớp 10, trong quá trình

giảng dạy, tôi nhận thấy

a, Thiếu tài liệu nghiêm trọng:

Về đa số học sinh đã có sách giáo khoa nhng tài liệu tham

khảo về bài tập chứng minh các bất đẳng thức là rất ít,

mặt khác một số ít học sinh cũng su tầm đợc sách hay các bài tập về các bài tập chứng minh bất đẳng thức nhng không đồng bộ về phơng pháp giải, tức là không phải lời giải nào cũng đợc sử dụng công cụ hình học để giải quyết dẫn các em cha đợc khắc sâu về một phơng pháp giải nhất

định Đối với giáo viên cũng vậy nếu không chịu khó su tầm, tham khảo thêm thì cũng rất khó truyền đạt tốt đợc kiến thức phần này cho học sinh dễ hiểu

b, Sự hiểu biết còn hạn chế:

Đa số học sinh theo học tại trờng là con em nông thôn nên còn vất vả trong cuộc sống hàng ngày, việc dành thời gian thoả đáng để học toán nói chung và giải bài tập về bất

đẳng thức bằng phơng pháp hình học nói riêng là cha đợc tốt

2 Số liệu điều tra:

Về tình hình sách giáo khoa và tài liệu của học sinh phục vụ cho việc học giải toán về bất đẳng thức ( lớp 10) theo điều tra nh sau:

Lớp Sĩ số Sách giáo khoa Tài liệu tham khảo

Số lợng Tỉ lệ Số lợng Tỉ lệ

3 Những biện pháp thực hiện:

I Sử dụng tích vô hớng của hai vectơ, độ dài véc tơ vào chứng minh Bất đẳng thức

A Cơ sở lý thuyết

1 Cho hai vectơ khác 0: a và b, ta có ba =  a.b.cos( )a.b

2 a.b ≤ a.b (do cos( )a,b ≤ 1)

3 Véc tơ a br,r cùng phơng, cùng hớng nếu a kb kr= r ( > 0;br r≠ 0)

,

a br r cùng phơng, ngợc hớng nếu a kb kr= r( < 0;br r≠ 0)

(Véc tơ 0r cùng phơng, hớng với mọi véc tơ)

4 a b a br + ≥ +r r r

B Các bài toán áp dụng

3

Bài toán 1 Cho 2n số thực a1, a2, an, b1, b2, bn Chứng

a b+ + a b+ + + a b+ ≥ a a+ + +a + b b+ + +b

(Bất đẳng thức Minkốpsky)

Giải Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét các véc tơ

( , )

Ur = a b

Với i = 1, 2, , n Khi đó U Ur1 + r2 + + Urn = (a1 + a2 + + an; b1 +

b2 + + bn)

Ta có: Ur1 +Ur2 + + Urn≥U Ur1 + r2 + + Urn

a b+ + a b+ + + a b+ ≥ a a+ + a + b b+ + +b

Suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi các véc tơ Uri cùng phơng, cùng chiều

n n

a

b =b = =b

Bài toán 2 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng:

(Câu V - Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2003)

Giải Trên hệ toạ độ Đềcac vuông góc, xét a x;1 ;b y;1

=  ữ = ữ

r r

;

1

;

z

= ữ 

r

Khi đó a b c x y z; 1 1 1

x y z

+ + = + + + + ữ

r

r r

Ta có: a b c a b cr + + ≥ + +r r r r r

áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dơng x, y, z ta có:

3

3

1 1 1 3

x y z+ + ≥ xyz Đặt 3( )2

t= xyz ta có 0 1

9

t

< ≤

( )

2

2 3

Để chứng minh(1), ta chỉ cần chứng minh

9

9t 82

t

+ ≥ với 0 1

9

t

< ≤

⇔ 9t2 - 82t + 9 ≥ 0

⇔ (9t - 1) (t - 9) ≥ 0 Bất đẳng thức đúng do 9t - 1 ≤ 0; t - 9 < 0

Đẳng thức (1) xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3

Bài toán 3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn

có:

cos A + cosB + cosC ≤

2

3

Giải: Chính sự xuất hiện của giá trị cosin mà gợi ý cho ta sử

dụng tích vô hớng

Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC

Đặt 3 véc tơ đơn vị có gốc I, hớng vuông góc với các cạnh lần lợt là e1,e2,e3

5

• e r1

I A

B

C

2

e r

3

Ta có ( )2

3 2

1+e +e

e  



≥ 0

3

2

2

2

1 +e +e +2 e e +e e +e e

e       



⇔ 3 - 2 (cosA + cosB + cosC) ≥ 0

⇔ cosA + cosB + cos C ≤

2 3

Chú ý: Từ cách chứng minh ta thấy:

1 I có thể chọn bất kỳ vị trí nào

2 e1,e2,e3 cùng hớng vào trong hoặc hớng ra ngoài miền

∆

3 e1,e2,e3 có thể chọn trên 3 cạnh của ∆ (hớng cùng chiều hoặc ngợc chiều quay kim đồng hồ)

Từ bài toán (3) ta có bài toán (4):

Bài toán 4: Chứng minh rằng trong ∆ABC ta luôn có:

2

+ 2

+ 2

C sin

B sin

A

2

3

Giải: Đa bài toán (4) về bài toán (3)

(3) ⇔

2

cos 2

cos 2

cosB+C+ A+C+ A+B ≤

2 3

Do

2

+ 2

+ 2

; C A

;

C

B

là số đo ba góc của một tam giác ⇒ điều phải chứng minh

Nh vậy đối với các bất đẳng thức liên quan đến giá trị cosin

ta nghĩ đến sử dụng tích vô hớng

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi ∆ABC và 3 số thực bất

kỳ x, y, z ta luôn có: 2 2 2

+ +y z

x ≥ 2xy.cos C + 2xz.cosB + 2yz cosA

Cách giải: Lựa chọn các véc tơ đơn vị chung gốc e1,e2,e3

nh bài toán 3 rồi sử dụng tích vô hớng cho các véc tơ

3

2

1,ye , e

e

x   ta có:

3 2

1+ye + e

e

x   ≥ 0

+ +

2 + +

+y z xye e yze e xze e

⇔ x2 +y2 +z2 − 2(xy cosC+yz cosA+xz cosB) ≥ 0

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi ∆ABC và với các số thực

dơng m, n, p bất kỳ, ta luôn có:

2

+ 2

+ 2

C sin p

B sin n

A sin

1 +

1 +

1

2

1

2 2

2 n p

m

p

n

Cách giải:

1 sin có thể đa về cosin rồi áp dụng (3)

2 Biến đổi vế phải của (5)

VP = m.n.p

2

p n m ( 12 + 12 + 12 = ( 2 2 2 2 2 2)

+ +

2

1 m p m n n p p

n m

(5) ⇔

2

+ 2

+ 2

C sin p

B sin n

A sin

+ +

2

1 m p m n n p mnp

+ +m p n p n

m ≥ mnp(msinA nsin B psin C)

2

+ 2

+ 2

Do

2

+ 2

+ 2

; C A

; C B

là 3 góc của một tam giác nên áp dụng (4) ta có điều phải chứng minh

Qua đây ta thấy bằng phơng pháp sử dụng tích vô h-ớng và độ dài vectơ nhiều bài toán nên giải bằng các phơng pháp khác tởng rất phức tạp dài dòng thế mà bằng phơng

7

pháp này đã trở nên nhẹ nhàng trong việc trình bày chứng minh

ii sử dụng Bất đẳng thức tam giác chứng minh Bất đẳng thức

đại số

A Cơ sở lý thuyết

Với ba điểm A, M, B ta luôn có

1 AM + MB ≥ AB

(Đẳng thức xảy ra ⇔ A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B)

2 MA MB AB− ≤

(Đẳng thức xảy ra ⇔ A, M, B thẳng hàng và M nằm ngoài A, B)

B Các bài toán áp dụng

Bài toán 1: Cho x, y, z tuỳ ý Chứng minh rằng:

2 2

2 2

+ + +

+ +xy y x xz z

+ +yz z y

Cách giải: Giả sử A (xA, yA) ; B(xB, yB); C(xC, yC)

A AB= x −x B + y A−y B ; BC = ( ) (2 )2

Vậy với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta có:

*

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng giống (*) Từ đó

có cách giải

H

ớng dẫn:

2 2

y

2 2

z

    ⇒ Trong mặt phẳng toạ độ xét

các điểm:

Ax+y; z;B , y+ z C ; y z− , 

⇒ AB = x2+ +xy y AC2; = x2+ +xz z BC2; = y2+ +yz z2

Do AB + AC ≥ BC ⇒ (1) đúng

Dấu bằng xảy ra ⇔ A, B, C thẳng hàng hay

0 0

0; 0

A C

x x









=



2

2 0

= =−







Chú ý: Việc chọn toạ độ A, B, C không phải là duy nhất mà

có rất nhiều cách chọn A, B, C thoả mãn phơng pháp này sao cho:

AB= x + +xy y BC = y + +yz z AC = x + +xz z

Tuy nhiên nếu xem x2+ +xy y2 không phải là dạng độ dài của một đoạn thẳng mà coi đó là dạng tàng ẩn của định lý cosin thì ta sẽ đợc gì? Phải bổ sung gì?

2 2

x + + = − −xy y x  xy y+

2 2 1200 2

9 A

B

C

120

0

120

0

120

0

2 2 2 2 1200 2

x + + = −xz z x cos xz z+

Từ đó: Đặt OA = x; OB = y; OC = z (x, y, z, 0)

và AOB = 1200, AOC = 1200 ⇒ BOC = 1200

⇒ AB= x2+ −y2 2xycos1202= + +x2 xy y2

2 2 2 1202 2 2

AC= x + −z xzcos = + +x xz z

2 2 2 1200 2 2

BC= y + −z xz cos = + +y z yz

Và AB + AC ≥ BC ⇒ (điều phải chứng minh)

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

a + + +a 1 a − +a 1 ≥ 2, ∀a ∈R (1)

Bàigiải: (1) ⇔ a 1 2 3 a 1 2 3 2

Đặt A = 1 3; ;

2 2

−

  B ( a; 0); C =

2 2

−

Khi đó: AB =

2

a

2

a

=2

Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với AB + BC

≥ AC, đây là bất đẳng thức đúng

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C ⇔ a = 0

Nh vậy đối với các bất đẳng thức tởng chừng nh quá tầm đối với cách giải thông thờng thì lại thật gọn nhẹ với

ph-ơng pháp sử dụng và xem bài toán đoán đó bằng con mắt hình học

*/ Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi trực tiếp tham gia giảng dạy Thực tế cho thấy đa số học sinh rất hứng thú khi đợc học những dạng toán trên Cơ sở trực quan của hình học phần nào đã giảm nhẹ đợc độ khó của bài toán Vận dụng hình học trong bài toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức tạp

Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại tr-ờng THPT Chúc Động với nội dung và phơng pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về môn toán và hình thành ở học sinh cách nhìn một bài toán đại số dới con mắt hình học, đồng thời qua chuỗi các bài toán giúp các em học toán chủ động và sáng tạo hơn, không bằng lòng với những gì mình đã làm để một bài toán không dừng lại ở một cách giải mà biết xung quanh bài toán đó là các kiến thức liên quan, kích thích các em tìm tòi nhiều cách giải quyết cho một vấn đề

Trong phần này, còn nhiều dạng bài ứng dụng hình học trong bài toán đại số mà tác giả cha trình bày ở đây Tác giả

hy vọng có điều kiện để trình bày trong những năm tiếp theo

Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những

điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót Chúng tôi rất mong nhận đợc sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập

IV – Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng:

1 Sau những cố gắng, nỗ lực kết hợp đồng bộ những

biện pháp thực hiện đặc biệt là đổi mới phơng pháp khi đi vào giảng dạy từng bài cụ thể, thực tế cho thấy kết quả thu

11

đợc khá khả quan Nhiều em đã thể hện sự hứng thú học tập phân môn này Chính sự yêu thích, hứng thú học tập là

động lực thúc đẩy các em tìm tài liệu, chuẩn bị bài vở, hăng hái thảo luận trong các gìơ học Sự cố găng phấn đấu khiến kết quả học tập của các em tiến bộ hơn

2 Sau đây là bảng so sánh đối chứng kết quả

điều tra qua hai học kì của 2 lớp:

Lớp S

ĩ

số

Học kì I 2009- 2010 Học kì I 2009- 2010 Khá giỏi Trungbình Yếu kém Khá giỏi Trungbìn

h

Yếu kém

Số lợg

Tỉ lệ

Số lợng

Tỉ lệ

Số l-ợng

Tỉ lệ

Số lợg

Tỉ lệ

Số lợng

Tỉ lệ

Số lợng

Tỉ lệ 10A1

4

38 09 24% 15 39% 14 37% 11 29% 16 42% 11 29%

10A1

5

42 10 24% 16 38% 16 38% 13 31% 19 45% 10 24%

3 Thời đại ngày nay là thời đại của công nghệ thông

tin, của khoa học kĩ thuật Trong bối cảnh ấy nhiều học sinh không chú ý đầu t và mặn mà với việc mua sách tham khảo,

tự giải bài tập toán, tự tìm tòi học hỏi cũng là điều dễ hiểu

Trách nhiệm nặng nề của ngời giáo viên giảng dạy toán

ở trờng phổ thông là đem tâm huyết của mình, đánh thức, khơi gợi niềm say mê, hứng thú học tập môn toán, góp phần vào chiến lợc đào tạo con ngời – những chủ nhân tơng lai của đất nớc ngày mai

V Các kiến nghị sau qúa trình thực hiện đề tài

Khi thực hiện xong sáng kiến này , tôi cũng xin kiến nghị với các cấp của ngành một vài ý kiến nh sau: - Cung cấp,

bổ sung nhiều hơn, thiết thực hơn nữa cho ngời dạy và ngời học những tài liệu , sách tham khảo môn toán Đại số của lớp

10, sách tham khảo về chứng minh bất đẳng thức bằng nhiều phơng pháp

Chơng Mỹ,ngày 10 tháng 5 năm

2010

Tác giả ký tên

Nguyễn Thị Kiều Anh

ý kiến đánh giá nhận xét

của hội đồng khoa học cơ sở

13

………

……….

………

………

………

………

………

………

………

………

ý kiến đánh giá nhận xét của hội đồng khoa học cấp trên ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………