Sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức đại số

I- Nội dung đề tài Tên đề tài: Sử dụng hình học để chứng minh bất đẳng thức đại số 1- Lý chọn đề tài: Trong chơng trình THPT, môn Toán đợc chia thành ba phân môn: Hình học, Đại số Giải tích Sự phân chia mang tính chất tơng đối Bởi lẽ, có nhiều phần toán học có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay hình thức thuộc hai ba phân môn Có nhiều toán giải đợc công cụ hình học, đại số hay giải tích Nhiều toán hình học dùng đại số để giải ngợc lại nhiều toán đại số dùng hình học để giải Trong sáng kiến kinh nghiệm lần này, đề cập đến việc vận dụng công cụ hình học toán chứng minh bất đẳng thức đại số Trong chơng trình toán 10 toán 11, học sinh đợc học phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức nh toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nh sử dụng biến đổi sơ cấp, bất đẳng thức sở, tính đơn điệu hàm số, dựa vào tập giá trị hàm số v.v Tuy nhiên, việc chứng minh bất đẳng thức sử dụng phơng pháp đại số gây nên nhiều khó khăn cho học sinh phép biến đổi dài dòng, suy luận phức tạp Qua muốn đem đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Đại số, lợng giác, sử dụng hình học nh công cụ hữu ích cho việc giải vấn đề nêu Lời giải toán đại số có chứa yếu tố hình học nhiỊu thùc sù bÊt ngê bëi rÊt gän, dƠ hiểu có nhìn trực quan hình học đem lại Điều quan trọng qua muốn giúp em hoàn thiện phơng pháp chứng minh bất đẳng thức, thấy đợc muôn màu muôn vẻ bất đẳng thức em thấy đợc mối liên hệ đại số hình học đồng thời tạo nên hứng thú cho em trình học Toán Phạm vi - thời gian thực đề tài: Trong phm vi ti tụi i nghiờn cu, đề cập đến việc vận dụng công cụ hình học toán chứng minh bất đẳng thức đại số Thc nghim i vi hc sinh lp 10A14,10A15 III - Quá trình thực đề tài, khảo sát thực tế Qua việc khảo sát thực tế số lớp 10, trình giảng dạy, nhận thấy a, Thiếu tài liệu nghiêm trọng: Về đa số học sinh có sách giáo khoa nhng tài liệu tham khảo tập chứng minh bất đẳng thức ít, mặt khác số học sinh su tầm đợc sách hay tập tập chứng minh bất đẳng thức nhng không đồng phơng pháp giải, tức lời giải đợc sử dụng công cụ hình học để giải dẫn em cha đợc khắc sâu phơng pháp giải định Đối với giáo viên không chịu khó su tầm, tham khảo thêm khó truyền đạt tốt đợc kiến thức phần cho häc sinh dƠ hiĨu b, Sù hiĨu biÕt cßn hạn chế: Đa số học sinh theo học trờng em nông thôn nên vất vả sống hàng ngày, việc dành thời gian thoả đáng để học toán nói chung giải tập bất đẳng thức phơng pháp hình học nói riêng cha đợc tốt Số liệu điều tra: Về tình hình sách giáo khoa tài liệu học sinh phục vụ cho việc học giải toán bất đẳng thức ( lớp 10) theo điều tra nh sau: Líp 10A14 10A15 SÜ sè S¸ch gi¸o khoa Sè lợng Tỉ lệ 32 84% 36 86% 38 42 Tài liệu tham khảo Số lợng Tỉ lệ 05 13% 07 17% Những biện pháp thực hiện: I Sử dụng tích vô hớng hai vectơ, độ dài véc tơ vào chứng minh Bất đẳng thức A Cơ sở lý thuyÕt         a b cos a b Cho hai vect¬ khác 0: a b , ta có a.b = ( ) ( )  a.b ≤ a b (do cos a , b ≤ 1) r r r r r VÐc t¬ a, b cïng ph¬ng, cïng híng nÕu a = kb ( k > 0; b ≠ 0) r r r r r r r a, b phơng, ngợc hớng a = kb k < 0; b ≠ ( ) r (VÐc t¬ cïng ph¬ng, híng víi mäi vÐc t¬) r r r r a + b ≥ a + b B Các toán áp dụng Bài toán Cho 2n sè thùc a1, a2, an, b1, b2, bn Chøng minh r»ng: a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ≥ ( a1 + a2 + + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) (Bất đẳng thức Minkốpsky) Giải Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét véc tơ r Ui = ( , bi ) r r r Víi i = 1, 2, , n Khi ®ã U1 + U2 + + Un = (a1 + a2 + + an; b1 + b2 + + bn) r r r r r r Ta cã: U1 + U2 + + Un ≥ U1 + U2 + + Un ⇔ a12 + b12 + a22 + b22 + + an2 + bn2 ≥ ( a1 + a2 + an ) + ( b1 + b2 + + bn ) Suy điều phải chứng minh r Đẳng thức xảy véc tơ Ui phơng, chiều a a1 a2 = = = n b1 b2 bn Bài toán Cho ba số dơng x, y, z tho¶ m·n x + y + z ≤ Chøng minh r»ng: x2 + 1 + y2 + + z2 + ≥ 82 x y z (1) (Câu V - Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2003) r Giải Trên hệ toạ độ Đềcac vuông góc, xét a =  x; ÷; b =  y; ÷ ;  x  y r r  1 c =  z; ÷  z r r r  1 1   Khi ®ã a + b + c =  x+ y+ z; + + ÷ x y z r r r r r r Ta cã: a + b + c ≥ a + b + c ⇔  1 1 ( x+ y+ z) +  + + ÷  x y z 1 x + + y2 + + z2 + ≥ x y z 2 (2) áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dơng x, y, z ta cã: 1≥ x + y+ z≥ 33 xyz → xyz ≤ 1 + + x y z xyz Đặt t = ( xyz) ta cã 0< t ≤  1 1 ( x+ y+ z) +  + + ÷ ≥ 93 ( xyz) +  x y z ( xyz) = 9t + t §Ĩ chøng minh(1), ta chØ cÇn chøng minh 9t + ≥ 82 víi 0< t ≤ t ⇔ 9t2 - 82t + ≥ ⇔ (9t - 1) (t - 9) Bất đẳng thức 9t - ≤ 0; t - < Đẳng thức (1) xảy x = y = z = Bài toán 3: Chứng minh tam giác ABC ta có: cos A + cosB + cosC ≤ Gi¶i: ChÝnh xuất giá trị cosin mà gợi ý cho ta sử dụng tích vô hớng Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Đặt véc tơ đơn vị có gốc I, hớng vuông góc với cạnh lần lợt e1 , e , e3 A B r r I• e e3r e2 C    Ta cã ( e1 + e + e3 ) ≥        ⇔ e12 + e 22 + e32 + 2( e1e + e e3 + e3 e1 ) ⇔ - (cosA + cosB + cosC) ≥ ⇔ cosA + cosB + cos C ≤ Chó ý: Tõ c¸ch chøng minh ta thÊy: I cã thĨ chọn vị trí e1 , e , e3 cïng híng vµo hớng miền e1 , e , e3 cã thĨ chän trªn cạnh (hớng chiều ngợc chiều quay kim đồng hồ) Từ toán (3) ta có toán (4): Bài toán 4: Chứng minh ∆ABC ta lu«n cã: sin A B C + sin + sin ≤ 2 2 Gi¶i: Đa toán (4) toán (3) (3) cos Do A+C A+ B B+C + cos + cos ≤ 2 2 B+C A +C A + B ; ; số đo ba góc tam giác điều 2 phải chứng minh Nh bất đẳng thức liên quan đến giá trị cosin ta nghĩ đến sử dụng tích vô hớng Bài toán 5: Chứng minh với mäi ∆ABC vµ sè thùc bÊt kú x, y, z ta lu«n cã: x + y + z ≥ 2xy.cos C + 2xz.cosB + 2yz cosA Cách giải: Lựa chọn véc tơ đơn vị chung gốc e1 , e , e3 nh toán sử dụng tích vô hớng cho véc tơ xe1 , ye2 , ze3 ta cã: ( xe1 + ye2 + ze3 ) ≥    ⇔ x + y + z + 2( xye1e + yze e3 + xze1e3 ) ≥ ⇔ x + y + z − 2( xy cos C + yz cos A + xz cos B ) Suy điều phải chứng minh Bài toán 6: Chứng minh với ABC với số thực dơng m, n, p bất kú, ta lu«n cã: m sin A B C + n sin + p sin ≤ 2 1 1 m.n.p + + (5) m n p Cách giải: sin ®a vỊ cosin råi ¸p dơng (3) BiÕn ®ỉi vÕ ph¶i cđa (5) VP = 1 1 m2p2 + m2n + n 2p2 m.n.p ( + + ) = 2m.n.p m n p (5) ⇔ m sin ( A B C m2p2 + m2n + n 2p2 + n sin + p sin ≤ 2mnp 2 ⇔ m n + m p + n p ≥ 2mnp( m sin Do ) ( ) A B C + n sin + p sin ) (5') 2 B+C A +C A + B ; ; lµ gãc cđa mét tam giác nên áp 2 dụng (4) ta có điều phải chứng minh Qua ta thấy phơng pháp sử dụng tích vô hớng độ dài vectơ nhiều toán nên giải phơng pháp khác tởng phức tạp dài dòng mà phơng pháp trở nên nhẹ nhàng việc trình bày chứng minh ii sử dụng Bất đẳng thức tam giác chứng minh Bất đẳng thức đại số A Cơ sở lý thuyết Với ba điểm A, M, B ta có AM + MB AB (Đẳng thức xảy A, M, B thẳng hàng, M nằm A B) MA MB AB (Đẳng thức xảy A, M, B thẳng hàng M nằm A, B) B Các toán áp dụng Bài toán 1: Cho x, y, z tuú ý Chøng minh r»ng: x + xy + y + x + xz + z > y + yz + z C¸ch gi¶i: Gi¶ sư A (xA, yA) ; B(xB, yB); C(xC, yC) ⇒ AB= ( xA − xB ) + ( y A − yB ) ; BC = ( xC − xB ) + ( yC − yB ) VËy víi ®iĨm A, B, C bÊt kú ta cã: ( x A − xB ) + ( y A − yB ) + ( xB − xC ) + ( yB − yC ) ≥ ( x A − xC ) + ( y A − yC ) * Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng giống (*) Từ có cách giải Hớng dẫn: 2 y    2 x + xy + y =  x + ÷ +  y÷ 2     2 z    x + xz + z =  x + ữ + z ữ Trong mặt phẳng toạ độ xét 2 2 điểm: y 3  y z  A x+ ; z ÷; B  0, y+ z ÷;C  − ,0 ÷ 2 2     2  ⇒ AB = x + xy + y ; AC = x + xz + z ; BC = y + yz + z Do AB + AC ≥ BC ⇒ (1) ®óng  xA =    xC = Dấu xảy A, B, C thẳng hàng hay   x A ≠ 0; xC ≠    yB − y A y A − yC =  x − x x A − xC  B A   y = z = − 2x  ⇔  ( y − z ) ( y + x ) ≠   x ( y + z ) = − yz   Chú ý: Việc chọn toạ độ A, B, C mà có nhiều cách chọn A, B, C thoả mãn phơng pháp cho: AB = x + xy + y ; BC = y + yz + z ; AC = x + xz + z  y VÝ dô nh: A ( 0,0 ) ; B  x + ; 2  Tuy nhiªn nÕu xem   z  y ÷; C  x + ; z ÷ 2   x + xy + y dạng độ dài đoạn thẳng mà coi dạng tàng ẩn định lý cosin ta đợc gì? Phải bổ sung gì? B 1 x + xy + y = x −  − ÷xy + y = x − 2cos1200 xy + y  2 120 120 0 120 C A x + xz + z = x − 2cos1200 xz + z Từ đó: Đặt OA = x; OB = y; OC = z (x, y, z, 0) vµ AOB = 1200, AOC = 1200 ⇒ BOC = 1200 ⇒ AB = x + y − xycos1202 = x + xy + y AC = x + z − xzcos1202 = x + xz + z BC = y + z − xz cos1200 = y + z + yz Vµ AB + AC BC (điều phải chứng minh) Bài to¸n 2: Chøng minh r»ng: a2 + a + + a2 − a + ≥ 2, ∀a ∈R (1) Bàigiải: (1) a + ÷ + +  a − ÷ + ≥ 2 2    Đặt A = ; ữ ữ; 2   1 3 B ( a; 0); C =  ;− ÷ ÷; 2   Khi ®ã: AB = 1   a− 2÷ + ;   BC = 1   a− 2÷ + ;   AC =2 Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với AB + BC AC, bất đẳng thức Đẳng thức xẩy A, B, C thẳng hàng B nằm A C a = Nh bất đẳng thức tởng chừng nh tầm cách giải thông thờng lại thật gọn nhẹ với phơng pháp sử dụng xem toán đoán mắt hình học 10 */ Trên số kinh nghiệm thân trực tiếp tham gia giảng dạy Thực tế cho thấy ®a sè häc sinh rÊt høng thó ®ỵc häc dạng toán Cơ sở trực quan hình học phần giảm nhẹ đợc độ khó toán Vận dụng hình học toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính toán cồng kềnh phức tạp Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân trờng THPT Chúc Động với nội dung phơng pháp nêu giúp học sinh có nhìn toàn diện môn toán hình thành học sinh cách nhìn toán đại số dới mắt hình học, đồng thời qua chuỗi toán giúp em học toán chủ động sáng tạo hơn, không lòng với làm để toán không dừng lại cách giải mà biết xung quanh toán kiến thức liên quan, kích thích em tìm tòi nhiều cách giải cho vấn đề Trong phần này, nhiều dạng ứng dụng hình học toán đại số mà tác giả cha trình bày Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày năm Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết không tránh khỏi sai sót Chúng mong nhận đợc góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập IV Kết thực có so sánh đối chứng: Sau cố gắng, nỗ lực kết hợp đồng biện pháp thực đặc biệt đổi phơng pháp vào giảng dạy cụ thể, thực tế cho thấy kết thu 11 đợc khả quan Nhiều em thể hện hứng thú học tập phân môn Chính yêu thích, hứng thú học tập động lực thúc đẩy em tìm tài liệu, chuẩn bị vở, hăng hái thảo luận gìơ học Sự cố găng phấn đấu khiến kết học tập em tiến Sau bảng so sánh đối chứng kết điều tra qua hai học kì lớp: Lớp S Học kì I 2009- 2010 Khá giỏi Trungbình Yếu Học kì I 2009- 2010 Khá giái Trungb×n Ỹu kÐm h Ü Sè TØ Sè TØ Sè l- TØ Sè TØ Sè TØ Sè TØ 10A1 sè 38 lỵg 09 lƯ 24% lỵng 15 lƯ 39% îng 14 lÖ 37% lîg 11 lÖ 29% lîng 16 lƯ 42% lỵng 11 lƯ 29% 10A1 42 10 24% 16 38% 16 38% 13 31% 19 45% 10 24% Thời đại ngày thời đại cđa c«ng nghƯ th«ng tin, cđa khoa häc kÜ tht Trong bối cảnh nhiều học sinh không ý đầu t mặn mà với việc mua sách tham khảo, tự giải tập toán, tự tìm tòi học hỏi điều dễ hiểu Trách nhiệm nặng nề ngời giáo viên giảng dạy toán trờng phổ thông đem tâm huyết mình, đánh thức, khơi gợi niềm say mê, hứng thú học tập môn toán, góp phần vào chiến lợc đào tạo ngời chủ nhân tơng lai đất nớc ngày mai V Các kiến nghị sau qúa trình thực đề tài Khi thực xong sáng kiến , xin kiến nghị với cấp ngµnh mét vµi ý kiÕn nh sau: - Cung cÊp, bổ sung nhiều hơn, thiết thực cho ngời dạy ngời học tài liệu , sách tham khảo môn toán Đại số lớp 12 10, sách tham khảo chứng minh bất đẳng thức nhiều phơng pháp Chơng Mỹ,ngày 10 tháng năm 2010 Tác giả ký tên Nguyễn Thị Kiều Anh ý kiến đánh giá nhận xét hội đồng khoa học së 13 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ý kiến đánh giá nhận xét hội đồng khoa học cấp ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 14 ... nên nhẹ nhàng việc trình bày chứng minh ii sử dụng Bất đẳng thức tam giác chứng minh Bất đẳng thức đại số A Cơ sở lý thuyết Với ba điểm A, M, B ta có AM + MB AB (Đẳng thức xảy A, M, B thẳng hàng,... nghiêm trọng: Về đa số học sinh có sách giáo khoa nhng tài liệu tham khảo tập chứng minh bất đẳng thức ít, mặt khác số học sinh su tầm đợc sách hay tập tập chứng minh bất đẳng thức nhng không đồng... BC = 1   a− 2÷ + ;   AC =2 Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với AB + BC AC, bất đẳng thức Đẳng thức xẩy A, B, C thẳng hàng B nằm A C a = Nh bất đẳng thức tởng chừng nh tầm cách giải