Sử dụng nguyên lí dirichle chứng minh bất đẳng thức

12020 Bồi dưỡng HSG THCS và ôn thi vào 10 chuyênBồi dưỡng HSG THCS và ôn thi vào 10 chuyên 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40[.]

2020 Bồi dưỡng HSG THCS ôn thi vào 10 chuyên 44 === NGUYỄN TÀI CHUNG === 37 20 21 31 34 27 46 30 13 24 23 39 19 17 48 22 Sử dụng nguyên lí Dirichle 43 25 18 35 50 10 36 29 chứng minh 14 15 11 26 49 47 bất đẳng thức 38 40 28 41 33 42 12 16 32 45 π Pleiku 24/05/2020 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 MỤC LỤC A Lý thuyết ví dụ giải toán B Bài tập Đề Lời giải MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ GIẢI TỐN Nếu nhốt chim Bồ Câu vào chuồng có chuồng chứa chim Bồ Câu Khẳng định gần hiển nhiên gọi Nguyên lý Dirichle Bây ta hình dung trục số, điểm chia trục số thành phần, hay chuồng mà vách ngăn số Như với ba số a, b, c mà ta xem +∞ chim Bồ Câu có chuồng −∞ chứa hai chim Bồ Câu, nghĩa có hai số khơng âm (tức có hai chim Bồ Câu thuộc chuồng [0; +∞)) khơng dương (tức có hai chim Bồ Câu thuộc chuồng (−∞; 0]) Do ta giả sử có hai số, mà ta gọi a b, cho ab ≥ Như vậy, toán bất đẳng thức, ta chọn “điểm rơi” (tức đẳng thức tốn), ví dụ đẳng thức xảy a = b = c = k ta giả sử số ( a − k ), (b − k ) không âm không dương, tức giả sử ( a − k )(b − k ) ≥ Bài Cho a, b, c số thực khơng âm Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca) L Lời giải Cách Ta có tương đương a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca)

⇔ a2 − 2ab + b2 + c2 − 2c + + 2abc − 2ac − 2bc + 2c ≥ ⇔( a − b)2 + (c − 1)2 + 2c ( a − 1) (b − 1) ≥ Theo nguyên lí Dirichlet, ba số a − 1; b − 1; c − tồn hai số khơng âm khơng dương Khơng tính tổng quát, ta giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ Khi 2c ( a − 1) (b − 1) ≥ Vậy ta điều phải chứng minh Cách khơng tính tổng qt, giả sử ( a − 1)(b − 1) ≥ ab ≥ a + b − ⇒ 2abc ≥ 2ac + 2bc − 2c Suy a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ a2 + b2 + c2 + 2ac + 2bc − 2c + ≥ 2ab + (c − 1)2 + 2ac + 2bc ≥ 2( ab + bc + ca) Do đó, ta có điều phải chứng minh Lưu ý Bạn đọc cần lưu ý tốn này, kết cịn sử dụng số tốn khác, chẳng hạn toán trang 5, toán trang |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Bài (APMO 2005) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh


a2 + b2 + c2 + ≥ 3( a + b + c )2 L Lời giải Theo ngun lí Dirichlet ba số a2 − 1; b2 − 1; c2 − tồn hai số không âm không dương Không tính tổng quát, ta giả sử

a2 − b2 − ≥ Ta có




a2 + b2 + = a2 − b2 − + a2 + b2 +


Do a2 + b2 + ≥ a2 + b2 + Như




a2 + b2 + c2 + ≥ a2 + b2 + c2 + Ta cần chứng minh a2 + b2 +

c2 + ≥ 3( a + b + c )2 Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có ( a + b + c)2 = ( a.1 + b.1 + 1.c)2 ≤ a2 + b2 + Vậy ta có điều phải chứng minh Lưu ý
+ + c2
2 = a2 + b2 +

+ c2 Theo dõi lời giải ta thấy rằng, bất đẳng thức a2 +
b2 +

c2 + ≥ 3( a + b + c )2 với số thực a, b, c (không cần điều kiện a, b, c dương) Ngoài cách giải trên, ta cịn đưa lời giải "điệu nghệ" sau: Ta có a2 +


b2 + = a2 + b2 + a2 b2 +

= a2 + b2 + a2 b2 + +
≥ a2 + b2 + 2ab + ≥ 3( a + b )2 + Vậy để giải toán, ta cần chứng minh !
( a + b )2 + + c2 ≥ ( a + b + c )2 Tuy nhiên điều kiểm chứng dễ dàng nhờ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sau: !  2
a+b √ ( a + b )2 √ · 2+1·c ≤ + + c2 ( a + b + c) = 2 MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Ta làm tập mạnh tập phía sau Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh


a2 + b2 + c2 + ≥ 3( a + b + c)2 + ( abc − 1)2 L Lời giải Ta có tương đương


a2 + b2 + c2 + ≥ 3( a + b + c)2 + ( abc − 1)2
⇔ a2 + b2 + c2 + a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + + 2abc ≥ ( ab + bc + ca) Ta có: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca) (do ví dụ trang 2) Lại có


a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + = a2 b2 + + b2 c2 + + c2 a2 + ≥ 2ab + 2bc + 2ca Do 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 + ≥ 4ab + 4bc + 4ca Như ta điều phải chứng minh Bài Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng Chứng minh ( ab + bc + ca) − abc ≤ 28 L Lời giải Theo ngun lí Dirichlet ba số a − 2; b − 2; c − tồn hai số không âm không dương Không tính tổng quát, ta giả sử ( a − 2) (b − 2) ≥ Khi ab + ≥ 2a + 2b ⇔ abc + 4c ≥ 2ac + 2bc ⇔4c − 2ac − 2bc ≥ − abc Do ( ab + bc + ca) − abc ≤ ( ab + bc + ca) + 4c − 2ac − 2bc Ta cần chứng minh 3ab + bc + ca + 4c ≤ 28 ⇔3ab + c ( a + b) + 4c ≤ 28 ⇔3ab + c (6 − c) + 4c ≤ 28 Thật vậy, ta có ( a + b)2 + 6c − c2 + 4c ≤ (6 − c)2 + 10c − c2 3ab + c (6 − c) + 4c ≤ Do  2 1 3ab + c (6 − c) + 4c ≤ − c + c + 27 = − c − + 28 ≤ 28 Vậy ta điều phải chứng minh |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 B BÀI TẬP Đề Bài Cho a, b, c số thực dương có abc = Chứng minh 1 + + + ≥ ( a + b + c) a b c Bài (Rumania Mathematical Olympiad 2006) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ a2 + b2 + c2 a b c Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( a + 1) (b + 1) (c + 1) Bài Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + abc ≥ Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh a2 + b2 + c2 + a + b + c ≥ ( ab + bc + ca) Bài 10 (HSG Toán 9, Gia Lai 2018-2019) Xét x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + 2xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx − 2xyz Bài 11 (IMO 1984) Cho a, b, c số thực không âm có tổng Chứng minh ab + bc + ca − 2abc ≤ 27 Bài 12 (T3/476-Toán học & Tuổi trẻ, tháng năm 2017) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2( ab + bc + ca) − abc Bài 13 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh


a2 + b2 + c2 + ≥ ( ab + bc + ca) MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Bài 14 Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng Chứng minh 9abc + ≥ ( ab + bc + ca) Bài 15 Cho a, b, c số dương cho a2 + b2 + c2 + abc = Chứng minh: ab + bc + ca − abc ≤ (USA 2001) a + b + c ≤ (Iran 2002) Bài 16 (P131, Tạp chí Pi, tháng năm 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz = Chứng minh 2( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ) ≤ ≤ 3( x2 + y2 + z2 ) + xy + yz + zx Bài 17 Cho a, b, c số thực dương cho ab + bc + ca + abc = Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 18 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c + = abc Chứng minh rằng: ( a + b + c) ≤ ab + bc + ca Bài 19 (Mathematical Reflections 3/2020) Xét a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh 3 + + − ≥ + a + b + c (1 + a)(1 + b)(1 + c) Bài 20 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 +
b2 +

c2 + ≥ ( a + b + c + 1)2 16 Bài 21 Cho a, b, c số thực dương có tổng Chứng minh


a2 − a + b2 − b + c2 − c + ≥ Bài 22 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: i h abc + + √ ( a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ a + b + c |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Bài 23 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 + abc + ≥ ( a + b + c) Bài 24 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng:
a3 + b3 + c3 + 3abc + ≥ ( ab + bc + ca) Bài 25 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:          1 1 1 a+ −1 b+ −1 + b+ −1 c+ −1 + c+ −1 a + − ≥ b c c a a b Bài 26 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) + ≥ a+b+c+1 Bài 27 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) + ≥ ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) Bài 28 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a+3 ( a + 1) + b+3 ( b + 1) + c+3 ( c + 1)2 ≥ Bài 29 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = xy + yz + zx 6= Chứng x+1 y+1 z+1 25 + + ≤ p minh rằng: y+1 z+1 x+1 4( xy + yz + zx ) Bài 30 (Chọn đội tuyển Tốn vịng THPT Chun Hùng - Gia Lai 2020-2021) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh b3 a b c + + ≥ + 16 c + 16 a + 16 Bài 31 (P43, Tạp chí Pi, tháng năm 2017) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh bất đẳng thức sau (2 − a) (2 − b) (2 − c) ≥ abc Hỏi đẳng thức xảy nào? MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên 11 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Bài 10 Nếu chia trục số thành hai phần số 0, số (2x − 1), (2y − 1), (2z − 1) ln tồn hai số nằm phía, khơng tính tổng qt giả sử z (2x − 1) (2y − 1) ≥ ⇒ ( x + y) − 4xy ≤ ⇒ z ( x + y) − 2xyz ≤ Từ x2 + y2 + z2 + 2xyz = suy − z2 = 2xyz + x2 + y2 ≥ 2xy + 2xyz = 2xy (z + 1) ⇒ xy ≤ 1−z 1−z z Vì P = xy + yz + zx − 2xyz ≤ + = 2 1 Với x = y = z = P Vậy giá trị lớn P 2 1 Bài 11 Theo ngun lí Dirichlet ba số a − ; b − ; c − tồn hai số 3 khơng âm khơng dương Do khơng tính tổng quát, ta giả sử    1 ≥ a− b− 3 Khi 1 ≥ ( a + b) c 2c ⇔ abc + ≥ c ( a + b) ⇔ −2abc ≤ − c ( a + b) 9 ab + Đặt T = ab + bc + ca − 2abc − Ta có 27 2c ≤ ab + bc + ca + − c ( a + b) − 27 27 2 7 ( a + b) ≤ c + c (1 − c ) + − c + c ( a + b) + ab − 27 27 5c − 3c2 − 2c + c2 (1 − c )2 c + c (1 − c ) + − = + − 27 27 20c − 12c2 + − 18c + 9c2 + 2c − 3c2 − = − 36 27 36 27   + 2c − 3c2 27 + 6c − 9c2 − 28 − = · 9 12 T = ab + bc + ca − 2abc − = = = = = −9c2 + 6c − (3c − 1)2 =− ≤ · 12 · 12 Vậy ta điều phải chứng minh Bài 12 Cách Theo nguyên lý Dirichlet, số a − 1, b − 1, c − ln có hai số có tích khơng (1) âm Vì vai trị a, b, c nên ta giả sử ( a − 1)(b − 1) ≥ Khi (1) ⇔ ab ≥ a + b − ⇔ abc ≥ ac + bc − c MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên 12 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sử dụng giả thiết a + b + c = 3, ta có: P = 2( ab + bc + ca) − abc ≤ 2( ab + bc + ca) − ac − bc + c = 2ab + c( a + b) + c ( a + b )2 (3 − c )2 + c( a + b) + c = + c (3 − c ) + c c2 ( c − 1)2 = − 3c + + 3c − c2 + c = − ≤ 2 ≤ 2· Dấu "=" xảy a = b = c = Vậy max P = Cách Vì P đa thức đối xứng theo ba biến a, b, c nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Khi 3a ≥ a + b + c ≥ 3c ⇔ 3a ≥ ≥ 3c ⇔ a ≥ ≥ c ⇒( a − 1)(c − 1) ≤ ⇒0 < ac ≤ a + c − = − b − = − b Ta có: P = 2( ab + bc + ca) − abc = 2b( a + c) + 2ac − abc = 2b(3 − b) + ac(2 − b) ≤ 2b(3 − b) + (2 − b)2 = −b2 + 2b + = − (b − 1)2 ≤ Từ thấy P = a = b = c = Vậy max P = Bài 13 Theo toán trang 3, ta có


a2 + b2 + c2 + ≥ 3( a + b + c )2 Mặt khác ( a + b + c)2 ≥ ( ab + bc + ca) Như vậy, ta điều phải chứng minh 1 Bài 14 Theo nguyên lí Dirichlet ba số a − ; b − ; c − tồn hai số 3 khơng âm khơng dương Do khơng tính tổng quát, ta giả sử    1 a− ≥ b− 3 Khi 9ab + ≥ 3a + 3b ⇔ 9abc + c ≥ 3ac + 3bc Do ta có 9abc + − ( ab + bc + ca) ≥ 3ac + 3bc − c + − 4ab − 4ac − 4bc = − ac − bc − c − 4ab Ta cần chứng minh − ac − bc − c − 4ab ≥ ⇔ 4ab + ac + bc + c ≤ ⇔4ab + ac + bc + c ≤ ( a + b + c)2 ⇔4ab + ac + bc + c ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ⇔ a2 + b2 + c2 − 2ab + ac + bc − c ≥ ⇔( a − b)2 + c ( a + b + c) − c ≥ ⇔ ( a − b)2 ≥ Vậy ta điều phải chứng minh 13 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Bài 15 Theo ngun lí Dirichlet ba số a − 1; b − 1; c − tồn hai số không âm khơng dương, khơng tính tổng qt, ta giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ Khi ab + ≥ a + b ⇔ abc + c ≥ ac + bc ⇔ − abc ≤ c − ac − bc Do ab + bc + ca − abc ≤ ab + bc + ca + c − ac − bc = ab + c Ta cần chứng minh ab + c ≤ Thật vậy, ta có = a2 + b2 + c2 + abc ≥ 2ab + c2 + abc ⇒4 − c2 ≥ ab (c + 2) ⇔2 − c ≥ ab ⇔ ≥ c + ab Theo ví dụ trang 2, ta có a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( ab + bc + ca)
⇔2 a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ ( a + b + c)2
⇔2 a2 + b2 + c2 + abc + ≥ ( a + b + c)2 ⇔( a + b + c)2 ≤ ⇔ a + b + c ≤ Bài 16 Cách 1: Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:  Chứng minh bất đẳng thức 2( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ) ≤ (1) Áp dụng giả thiết toán vào (1) ta viết lại 2( xy + yz + zx ) ≤ + 4xyz (2) Theo nguyên lí Dirichlet, ba số x, y, z tồn hai số không lớn 1 khơng nhỏ Do vai trị x, y, z nên ta giả 2 sử hai số có tính chất vừa nêu x y Khi (2x − 1)(2y − 1) ≥ ⇔ 2(y + x ) ≤ 4xy + (3) Do đó, từ (3) cho ta 2(yz + zx ) ≤ 4xyz + z (4) Từ giả thiết toán, kết hợp với x2 + y2 ≥ 2xy ta (1 − z)(1 + z) = − z2 = x2 + y2 + 2xyz ≥ 2xy(1 + z) Từ đó, + z > nên 2xy ≤ − z Cộng (4) (5) theo vế ta (2) đó, (1) chứng minh (5) MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên 14 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679  Chứng minh bất đẳng thức 3( x2 + y2 + z2 ) + xy + yz + zx ≥ (6) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương, từ giả thiết toán cho ta » = x2 + y2 + z2 + 2xyz ≥ 4 2x3 y3 z3 Do xyz ≤ Vì thế, theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có 1 + + ≥√ ≥ x y z xyz Suy xy + yz + zx ≥ 6xyz Vì với giả thiết tốn, ta có 3( x2 + y2 + z2 ) + xy + yz + zx ≥ 3( x2 + y2 + z2 ) + 6xyz = Vậy bất đẳng thức (6) chứng minh Dấu "=" xảy x = y = z = Cách 2: Để chứng minh bất đẳng thức đề cho, ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:  Chứng minh bất đẳng thức 2( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ) ≤ Trước hết, ta chứng minh y z x + + = x + yz y + zx z + xy Thật vậy, ta có y z xyz(1 − x2 − y2 − z2 − 2xyz) x + + −2 = = x + yz y + zx z + xy ( x + yz)(y + zx )(z + xy) Từ (7) ta có 2= x2 y2 z2 + + x2 + xyz y2 + xyz z2 + xyz ( x + y + z )2 x2 + y2 + z2 + 3xyz 2( x + y + z )2 = 2( x2 + y2 + z2 ) + 6xyz 2( x + y + z )2 = − x − y2 − z2 ≥ Suy − x2 − y2 − z2 ≥ ( x + y + z)2 hay 2( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ) ≤ (7) 15 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679  Chứng minh bất đẳng thức 3( x2 + y2 + z2 ) + xy + yz + zx ≥ tương tự cách Nhận xét Nếu đặt a = 2x, b = 2y, c = 2z giả thiết toán viết dạng a2 + b2 + c2 + abc = bất đẳng thức (2) lời giải cách viết dạng ab + bc + ca ≤ + abc Bất đẳng thức xuất kỳ thi Olympic Toán học Mỹ (USAMO) năm 2001 trình bày chuyên đề (ý toán 15) Bài 17 Theo ngun lí Dirichlet ba số a − 1; b − 1; c − tồn hai số không âm khơng dương Do khơng tính tổng qt, ta giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ Khi c ( a − 1) (b − 1) ≥ ⇔ c ≥ ac + bc − abc Như a + b + c ≥ a + b + ac + bc − abc Ta cần chứng minh a + b ≥ ab + abc Ta có ab + bc + ca + abc = ⇔ c = − ab a + b + ab Khi đó, ta có tương đương  − ab a + b ≥ ab + abc ⇔ a + b ≥ ab + a + b + ab ⇔ ( a + b) ( a + b + ab) ≥ ab (4 + a + b)  ⇔( a + b)2 + ( a + b) ab ≥ 4ab + ab ( a + b) ⇔( a + b)2 ≥ 4ab ⇔ ( a − b)2 ≥ Vậy ta điều phải chứng minh Bài 18 Ta có abc = a + b + c + ≥ AM− GM √ 3 abc + Do √  √  √ √ 3 3 abc − abc − ≥ ⇔ abc − abc + abc + ≥ √  √ 2 √ 3 ⇔ abc − abc + ≥ ⇔ abc ≥ ⇔ abc ≥ Khi a + b + c + ≥ ⇔ a + b + c ≥ Theo ngun lí Dirichlet số a − 2, b − 2, c − không âm khơng dương Khơng tính tổng qt giả sử ( a − 2) (b − 2) ≥ ⇒ ( a + b) ≤ + ab ⇒ 2c + ab + ≥ ( a + b + c) MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên 16 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Ta cần chứng minh ab + bc + ca ≥ 2c + ab + Hay cần chứng minh bc + ca ≥ 2c + Ta có: ( a + b )2 a + b + c + = abc ≤ c 4! c ( a + b )2 ⇒a + b + ≤ c − = ( a + b − 2) ( a + b + 2) 4 c ⇒1 ≤ ( a + b − 2) ⇒ bc + ca ≥ 2c + 4 Vậy ta điều phải chứng minh Bài 19 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [(1 + a)(1 + b) + (1 + b)(1 + c) + (1 + c)(1 + a)] ≥ + 4(1 + a)(1 + b)(1 + c) ⇔3 [3 + 2( a + b + c) + ab + b + ca] ≥ + 4(1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc) ⇔9 + 9( a + b + c) ≥ + 8( a + b + c) + 4abc ⇔ a + b + c + ≥ 4abc (1) Theo nguyên lí Dirichlet, số ( a − 1), (b − 1), (c − 1) tồn hai số không âm khơng dương, khơng tính tổng qt giả sử (b − 1) (c − 1) ≥ Khi (2) + bc ≥ b + c ⇒ + a + bc ≥ a + b + c Mà a + b + c = ab + bc + ca từ (2) ta có (3) + a + bc ≥ ab + bc + ca ⇔ + a ≥ a(b + c) Do a + b + c + − 4abc ≥ a(b + c) + (b + c) − 4abc = (b + c)( a + 1) − 4abc (3) ≥ a(b + c)2 − 4abc ≥ 4abc − 4abc = Như (1) chứng minh tốn giải hồn tồn 1 Bài 20 Theo ngun lí Dirichlet ba số a2 − ; b2 − ; c2 − tồn hai số 4 không âm khơng dương Khơng tính tổng qt, ta giả sử    1 2 ≥ a − b − 4 Ta có: a2 +

b2 + =  a2 −  b2 −  +  a2 + b2 +  17 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Nên a2 +1 b2
 + + Khi  



2 c2 + a +b + a +1 b +1 c +1 ≥ 4 +1 ≥
 a2 b2 Ta cần chứng minh 
c2 + ≥ ( a + b + c + 1)2 16

⇔ 4a2 + 4b2 + c2 + ≥ ( a + b + c + 1)2  a2 + b2 + Thật vậy, theo bất đẳng thức B.C.S, ta 2
 1 1 + + + c2 + 4 4 4a + 4b + + +

⇔ 4a2 + 4b2 + c2 + ≥ ( a + b + c + 1)2  ≥  1 1 2a + 2b + + 1.c + 2 2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu "=" xảy chẳng hạn a=b=c= Bài 21 Theo ngun lí Dirichlet ba số a − 1; b − 1; c − tồn hai số không âm không dương, khơng tính tổng qt, ta giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ Ta có: a2 − a +

b2 − b + = a2 b2 − a2 b + a2 − ab2 + ab − a + b2 − b + = a2 b2 − a2 b − ab2 + ab + a2 + b2 − a − b + = ab ( ab − a − b + 1) + a2 + b2 − a − b + = ab ( a − 1) (b − 1) + a2 + b2 − a − b + ≥ a2 + b2 − a − b − Do a2 − a + Ta cần chứng minh

b2 − b + ≥ ( a + b )2 − ( a + b ) +
1 = (3 − c )2 − (3 − c ) + = c − 4c + 2

c − 4c + c2 − c + ≥

⇔ c2 − 4c + c2 − c + ≥ h ih i ⇔ (c − 1)2 − 2c + (c − 1)2 + c − ≥ MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên 18 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 ⇔(c − 1)4 + c(c − 1)2 − (2c − 4)(c − 1)2 − 2c2 + 4c − ≥
⇔(c − 1)2 c2 − 2c + + c − 2c + − 2(c − 1)2 ≥
⇔(c − 1)2 c2 − 3c + ≥ Vậy ta điều phải chứng minh Bài 22 Theo ngun lí Dirichlet số ( a − 1) , (b − 1) , (c − 1) tồn hai số không âm khơng dương Khơng tính tổng qt, giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ ⇒ ab ≥ a + b − Ta cần chứng minh i h c ( a + b − 1) + + √ ( a − 1)2 + ( b − 1)2 + ( c − 1)2 ≥ a + b + c i h ⇔ √ ( a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ a + b − + 2c − c( a + b) i h ⇔ √ ( a − 1)2 + ( b − 1)2 + ( c − 1)2 ≥ ( a + b − 2) (1 − c ) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có ( a + b − 2)2 + ( c − 1)2 ( a − 1) + ( b − 1) + ( c − 1) ≥ √ ≥ |( a + b − 2) (1 − c)| √ ≥ ( a + b − 2) (1 − c ) 2 Vậy ta điều phải chứng minh Bài 23 Theo nguyên lí Dirichlet ba số ( a − 1) , (b − 1) , (c − 1) ln có hai số khơng âm khơng dương Khơng tính tổng quát giả sử ( a − 1) (b − 1) ≥ ⇔ abc ≥ ac + bc − c Suy

a2 + b2 + c2 + abc + ≥ a2 + b2 + c2 + ac + bc − c + Ta cần chứng minh
a2 + b2 + c2 + ac + bc − c + ≥ ( a + b + c)
⇔4 a2 + b2 + c2 + 2ac + 2bc − 2c + 16 ≥ 10 ( a + b + c) ⇔(b + c − 2)2 + (c + a − 2)2 + 3( a − 1)2 + 3(b − 1)2 + 2(c − 1)2 ≥ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên ta điều phải chứng minh Bài 24 Theo ngun lí Dirichlet số ( a − 1), (b − 1), (c − 1) không âm không dương Không tính tổng quát giả sử ( a − 1)(b − 1) ≥ ⇒ ab + ≥ a + b ⇒ 3abc ≥ 3ac + 3bc − 3c 19 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679 Suy

a3 + b3 + c3 + 3abc + ≥ a3 + b3 + c3 + 3ac + 3bc − 3c + Ta cần chứng minh
a3 + b3 + c3 + 3ac + 3bc − 3c + ≥ ( ab + bc + ca)
⇔5 a3 + b3 + c3 + ≥ 9ab + 6bc + 6ca + 3c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có √ 3c = c3 1.1 ≤ c3 + + 1; √ 6ca = c3 a3 ≤ 2c3 + 2a3 + 2; √ 6bc = b3 c3 ≤ 2b3 + 2c3 + 2; √ 9ab = a3 b3 ≤ 3a3 + 3b3 + Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta
a3 + b3 + c3 + ≥ 9ab + 6bc + 6ca + 3c Vậy ta có điều phải chứng minh Lưu ý Ta nhắc lại bất đẳng thức AM-GM (hay gọi bất đẳng thức Cô-si) Với số không âm a1 , a2 , ta có √ a1 + a2 ≥ a1 a2 , dấu đẳng thức xảy a1 = a2 Với số không âm a1 , a2 , a3 ta có √ a1 + a2 + a3 ≥ a1 a2 a3 , dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 Với số không âm a1 , a2 , ., an , ta có √ a1 + a2 + · · · + a n ≥ n a1 a2 a n , n dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an 1 Bài 25 Đặt x = a + ; y = b + ; z = c + , bất đẳng thức cần chứng minh b c a viết lại thành ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1) ( z − 1) + ( z − 1) ( x − 1) ≥ ⇔ xy + yz + zx ≥ ( x + y + z) MỤC LỤC |Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS ôn thi vào 10 chuyên ... + z2 ) + 6xyz = Vậy bất đẳng thức (6) chứng minh Dấu "=" xảy x = y = z = Cách 2: Để chứng minh bất đẳng thức đề cho, ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:  Chứng minh bất đẳng thức 2( x2 + y2... Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:  Chứng minh bất đẳng thức 2( x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ) ≤ (1) Áp dụng giả thiết toán vào (1) ta viết lại 2( xy + yz + zx ) ≤ + 4xyz (2) Theo nguyên lí Dirichlet,... 0968774679 SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ GIẢI TỐN Nếu nhốt chim Bồ Câu vào chuồng có chuồng chứa chim Bồ Câu Khẳng định gần hiển nhiên gọi Nguyên lý Dirichle