Bài giảng chuyên đề kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a + b + c  ab + bc + ca , a, b, c  R a+b 2) a.b    , a, b    an + bn  a + b   10)  ,với a, b  , n  N *   n 11) a + b + c  a+b+c 3) a.b.c    , a, b    2 (a + b + c)  3 , a, b  R 12) ( a + b + c )  ( ab + bc + ca ) , a, b  R 13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  1 1 4) ( a + b )  +   , a, b > a b 5) 14) a + b  ab ( a + b ) , a, b  1 , a, b > +  a b a+b 15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  1 1 6) ( a + b + c )  + +   , a, b, c > a b c 3( a + b ) , a, b  R 16) a + ab + b  1 7) + +  , a, b > a b c a+b+c 17) a2 + b2  a + b   8)  , a, b  R   18) (1 + a)(1 + b)  + ab , a, b  a − ab + b2  , a, b  R, a + b2  2 a + ab + b ( ) ( ) 19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  + abc , a, b, c  a + b3  a + b    ,với a, b    9) 2 20) 1 , với ab  +  2 + a + b + ab CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài Cho x , y , z  Chứng minh rằng: x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  ( x + y + z ) Giải 3( a + b ) , a, b (*)  Ta ln có bất đẳng thức: a + ab + b  2 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật (*)  4a + 4ab + 4b  ( a + 2ab + b )  a − 2ab + b   ( a − b )  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a = b 3( x + y ) x + xy + y  = ( x + y) 2  Áp dụng (*) ta có: 2 Tương tự ta có: y + yz + z  ( y + z ) z + zx + x  ( z + x) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  ( 2x + y + 2z ) = ( x + y + z ) , (đpcm) x = y  Dấu “=” xảy   y = z  x = y = z z = x  Bài Cho a , b , c  thỏa + +  Chứng minh rằng: a b c b + 2ab + 4a 4c + 6bc + 9b 9a + 3ac + c + +  ab bc ca Giải  Ta có VT = = a b + 2ab + 4a 4c + 6bc + 9b 9a + 3ac + c + + a 2b b 2c c2a2 4 9 + + 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2 a ab b b bc c c ac a b c  Đặt x = ; y = ; z =  x, y, z  Ta có: VT = x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x Theo ta có: x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  ( x + y + z )  3 Mặt khác ( x + y + z ) =  + +   3.1 = Do VT  = VP, (đpcm) a b c 1 a = = = x = y = z   a b c   = = =  b = Dấu “=” xảy     + + =  a b c  + + =1 a b c c =   a b c Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức y + 2x2 z2 + y2 x2 + z + +  xy yz zx Bài Cho x , y , z  xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng: Giải  Ta ln có bất đẳng thức: a + b + c 2 (a + b + c)  , a, b (*) ( Thật (*)  3a + 3b + 3c  a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca )  ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( c − 2ca + a )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  (luôn đúng) 2 Dấu “=” xảy  a = b = c  Áp dụng (*) ta có: Tương tự ta có: y + 2x2 = xy y + x2 + x2  xy z2 + y2 zx + yx  yz xyz ( y + x + x) xy = y + 2x yz + xz = xy xyz x2 + z xy + zy  zx xyz Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: y + x2 z2 + y2  yz + xz zx + yx xy + zy  ( xy + yz + zx ) 3xyz x2 + 2z + +  + + = = (đpcm)  = xy yz zx xyz xyz  xyz  xyz 3.xyz x = y y = z   x = y = z = Dấu “=” xảy   z = x  xy + yz + zx = xyz Bình luận: Nếu khơng có giả thiết xy + yz + zx = xyz bất đẳng thức trở thành: ( xy + yz + zx ) y + 2x2 z2 + y2 x2 + z Đến tùy theo sáng tạo người đề ta có + +  xy yz zx xyz nhiều toán thú vị 1) Hướng 1: Rút gọn mẫu vế bất đẳng thức đơn giản ( xy + yz + zx ) 1 1 =  + +  xyz x y z 1 + +  3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ x y z x+ y+z 2) Hướng 2: Biến đổi 4) Hướng 4: Cho thêm điều kiện x + y + z  1; xyz  3; Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho số dương x, y, z thỏa Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + +  2020 x+ y y+z z+x y + x2 z2 + y2 x2 + z + + xy yz zx Giải  Ta ln có bất đẳng thức: a + b + c 2 (a + b + c)  , a, b (*) ( Thật (*)  3a + 3b + 3c  a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca )  ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( c − 2ca + a )   ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  (luôn đúng) 2 Dấu “=” xảy  a = b = c  Áp dụng (*) ta có: y + x = y + x + x 2 Chứng minh tương tự ta có: P 31 2 2  + + + + +  x y y z z x P 33 3  + +  x y z ( y + 2x ) =  y + x2 y + 2x 31 2  =  +  x y xy xy x2 + z 31 2   +  zx  z x (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức  2020  ( y + x + x)  z2 + y2 3 2   +  yz  y z 1 1  P  3 + +  x y z 2020  1 11 1 +    +  dấu “=” xảy a = b ta Hay a b a+b a+b 4 a b  1 11 1 1 1 + +   + + + + +  x+ y y+ z z+ x 4 x y y z z x 1 11 1 1 + +   + +   + +  4040 ( 2) x+ y y+ z z+ x 2 x y z  x y z Từ (1) ( 2)  P  4040 Dấu " = " xảy x = y = z = 4040 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  Vậy giá trị nhỏ P 4040 , x = y = z = 4040 )  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  ( Bài Cho x, y, z  Chứng minh rằng: x3 + y + z   3    Giải +) Ta có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  (*) 3 ( ) ( ) Thật (*)  ( a + b ) a − ab + b − ab(a + b)   (a + b) a − 2ab + b   ( a + b )( a − b )  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a = b +) Áp dụng (*) ta có:  x + y  xy( x + y) 3  y + z  yz( y + z) 3  z3 + x3  zx( z + x) ( ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: x3 + y + z  xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx( z + x),(**) +) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có: ( 1 1 1 + +  33 3  + +  , (***) x y z x y z x y z xyz  xy( x + y) + yz ( y + z ) + zx( z + x) )  x1 + y1 + z1   xyz 3 +) Nhân vế theo vế (**) (***) ta có: x + y + z   3   1  3 y + z z + x x+ y   ( x3 + y + z )  + +    + +  , (đpcm) y z  2 x y z  x +) Dấu “=” xảy  x = y = z Bài Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 + +  x3 + y + xyz y + z + xyz z + x3 + xyz xyz Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  (*) ( ) ( ) Thật (*)  ( a + b ) a − ab + b − ab(a + b)   (a + b) a − 2ab + b   ( a + b )( a − b )  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a = b = c +) Áp dụng (*) ta có: Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức z 1 3  =  x + y + xyz  xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z )  3 x + y + xyz xy ( x + y + z ) xyz ( x + y + z ) 1 y x   3 z + x + xyz xyz ( x + y + z ) y + z + xyz xyz ( x + y + z )  Tương tự ta có: +) Khi x+ y+z 1 1 + 3 + , (đpcm)  = 3 x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz ( x + y + z ) xyz +) Dấu “=” xảy  x = y = z Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: x3 + y + + xy y3 + z3 + + yz z + x3 + 3 zx Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  (*) 3 ( ) ( ) Thật (*)  ( a + b ) a − ab + b − ab(a + b)   (a + b) a − 2ab + b   ( a + b )( a − b )  (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a = b = c +) Áp dụng (*) ta có: ▪ xy ( x + y ) + x3 + y +  xy xy ▪ Tương tự ta có: = y3 + z3 +  yz xy ( x + y ) + xyz xy x+ y+z yz = xy ( x + y + z ) xy z + x3 +  zx = x+ y+z xy x+ y+z zx +) Cộng vế theo vế kết ta có: x3 + y + + xy  y3 + z3 + z + x3 + 1  +  x+ y+ z + +   xy yz zx yz zx   +) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   1   x+ y+z + +  3 xyz  3   = 3, (đpcm)  xy  xyz yz zx     +) Dấu “=” xảy  x = y = z Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 Bài Cho x, y, z  thỏa mãn + + = Chứng minh rằng: + + 1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x y z Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: Thật (*)  1 , a, b > (*) +  a b a+b a+b   (a + b)2  4ab  a − 2ab + b2   (a − b)2  0, (luôn đúng) ab a+b Dấu “=” xảy  a = b +) Áp dụng (*) ta có: 1 1 1  = =   +  x + y + z ( x + y) + ( x + z ) ( x + y) + ( x + z )  x + y x + z  Tiếp tục áp dụng (*) ta có: Do đó: 1 1  1 4  1 1 1 2 1 + +  =    + + + =  + +   x + y x + z  16  x + y x + z  16  x y x z  16  x y z  1 1 1 2 1 1 2 1   + +    + +  Tương tự ta có:   + +  x + y + z 16  x y z  x + y + z 16  x y z  x + y + z 16  x y z  +) Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có: 1 1 4 4 + +   + +  x + y + z x + y + z x + y + z 16  x y z  1 11 1 1 + +   + +  , mà theo giả thiết: + + = Do ta có bất 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  x y z  x y z 1 đẳng thức trở thành:  + +  1, (đpcm) 2x + y + z x + y + z x + y + 2z  Dấu “=” xảy  x = y = z Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức   + +  4 + +  x y z  x+ y y+z z+x Bài Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức: Giải +) Ta ln có bất đẳng thức: Thật (*)  1 , a, b > (*) +  a b a+b a+b   (a + b)2  4ab  a − 2ab + b2   (a − b)2  0, (luôn đúng) ab a+b Dấu “=” xảy  a = b +) Áp dụng (*) ta có:  3 31  =   +  x+ y x+ y 4 x y   2 2 1 =   +  y + z y + z 4 y z   1 11 1 =   +  z + x z + x 4 z x    1   1   1    + +     +  +  +  +  +   x+ y y+z z+x   x y   y z   z x  Từ kết ta có:     4 + +   + + , (đpcm) + + + x y y z z x   x y z Dấu “=” xảy  x = y = z Bài 10 (Chun tốn tỉnh Bình Phước 2020) a) Cho a, b  Chứng minh rằng: a − ab + 3b +  1 + +  Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P= ( a + 5b + ) a − ab + 3b2 + + b2 − bc + 3c + + c − ca + 3a + Giải a) Cho a, b  Chứng minh rằng: a − ab + 3b +  ( a + 5b + ) , (*) Ta có (*)  16 ( a − ab + 3b2 + 1)  ( a + 5b + )  15a + 23b2 − 26ab − 4a − 20b + 12  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  13 ( a − b ) + 10 ( b − 1) + ( a − 1)  (luôn đúng) 2 Dấu “=” xảy  a = b = b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P= a − ab + 3b2 +  Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: P   Ta ln có bất đẳng thức: Thật (**)  1 + +  Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c + b2 − bc + 3c + + c − ca + 3a + 4 + + a + 5b + b + 5c + c + 5a + 1 +  , x, y > (**) x y x+ y x+ y   ( x + y)2  xy  x − xy + y   ( x − y)  0, (luôn đúng) xy x+ y Dấu “=” xảy  x = y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1  + a + 5b + a + b + 4b (1) 1  + b + 5c + b + c + 4c ( 2) 1  + c + 5a + c + a + 4a (3) 1   11 1 + + Từ (1) , ( 2) , ( 3) ta có: P   +  + +   a+b+2 b+c+2 c+a+2 4 a b c  (***) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1 1  1  1     +    + +  a + b +  a + b  4  a b  2 ( 4) 1 1  1  1     +     + +  b + c +  b + c  4  b c  2 ( 5) 1 1  1  1     +     + +  c + a +  c + a  4  c a  2 ( 6) 3 1 1 3 3 Từ (***) , ( 4) , ( 5) , ( 6) ta được: P   + +  +  + = 8 a b c  8 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Vậy giá trị lớn P đạt a = b = c = Bài 11 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c) + + 2a 3b 2a + 3c Giải  Ta ln có bất đẳng thức: Thật (**)  1 +  , x, y > (*) x y x+ y x+ y   ( x + y)2  xy  x − xy + y   ( x − y)  0, (luôn đúng) xy x+ y Dấu “=” xảy  x = y  3b + 3c   4a + 3c   12b − 12c  + 2 +  + 1 +  + 8  2a   3b   2a + 3c   Ta có: P + 11 =    = ( 4a + 3b + 3c)  + +   2a 3b 2a + 4c   16  + = 16   (4a + 3b + 3c) 4a + 3b + 3c  2a + 3b 2a + 3c   Áp dụng (*) ta có: P + 11  (4a + 3b + 3c)  3  Vậy P nhỏ , dấu xảy chẳng hạn (a, b, c) =  ,1,1 2  Bài 12 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ a3 + b3 b3 + c3 c3 + a P= + + a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Giải  Ta ln có bất đẳng thức: x − xy + y  , x; y; z  (*) x + xy + y x − xy + y   ( x − xy + y )  x + xy + y  2( x − y )2  0, (luôn đúng) Thật (*) 2 x + xy + y Dấu “=” xảy  x = y Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  Áp dụng (*) ta có: Tương tự ta có: a3 + b3 a2 − ab + b2 = +  (a + b) ( ) a b a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 b3 + c3 c3 + a  + ( ) b c  (c + a) 2 2 b + bc + c c + ca + a Từ kết ta có: P = a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + +  (a + b + c) 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 (a + b + c)  3 abc = 3 =  P  3 a = b = c  a = b = c = Dấu “=” xảy   abc = Vậy P = (a, b, c) = (1,1,1) Bài 13 (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b số dương thỏa mãn điều kiện ab  Chứng minh rằng: 1 + + 2020ab  2021 1+ a 1+ b Giải  Ta ln có bất đẳng thức: Thật (*)  1 , (*) +  + a + b + ab 2+a+b   ( + a + b ) + ab  (1 + a )(1 + b ) (1 + a )(1 + b ) + ab ( )  + ab + a + a ab + b + b ab  + 2a + 2b + 2ab ( ) ( ) ( )  ab − 2ab + a ab − a + b ab − b   ( a− b )( ) ab −  (ln a , b  ; ab  1)  Áp dụng (*) ta có:  Đặt 1 + + 2020ab  + 2020ab 1+ a 1+ b + ab ab = t (  t  1) Ta cần chứng minh + 2020t  2021 1+ t Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  ( t − 1) ( 2020t + 4040t + 2019 )  (luôn đúng) Dấu " = " xảy t = hay a = b = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 14 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1   + +  3 + +  a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  Bài 15 Cho a ,b,c > thỏa abc  Tìm giá trị nhỏ P = bc ac ab + + 2 a b + a c b a + b c c a + c 2b Bài 16 (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 2021 + +  a + b + b + c + c + a = 2021 Chứng minh rằng: b+c a +c a +b 2 2 2 2 Bài 17 (Chun tốn Hải Phịng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = Chứng minh x x +5 + y y +5 + 3z ( z2 + )  Bài 18 (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức xy + yz + yz +  xy + yz + xy Bài 19 (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với số thực dương a b thay đổi, tìm giá trị lớn  1 + biểu thức: S = ( a + b )  2 b − ab + 2a  a − ab + 2b    Bài 20 (Chuyên toán Đồng Nai) Cho −  a, b, c  + a2 + b2 + c2 Chứng minh + +  2 + 3b + c + 3c + a + 3a + b Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 21 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca + +  (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài 22 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b + ac Bài 23 Cho số dương a, b, c thỏa mãn c + ab c + a + bc  1 + +  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P= b + a − ab + 3b2 + + b2 − bc + 3c + 1 + c − ca + 3a + Bài 24 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a + b2 b2 + c2 c2 + a 3(a + b2 + c2 ) + +  a+b b+c c+a a+b+c Bài 25 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh x2 x + y + 14 xy 2 + y2 y + 3z + 14 yz 2 + z2 z + 3x + 14 xz 2  x+ y+z Bài 26 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= a2 + 4a + b2 + 4b + c2 + 4c + + + a2 + a b2 + b c2 + c Bài 27 Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a + b3 b3 + c c3 + a3 1 + +  + + 2 2 2 ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c Bài 28 Cho a, b, c  thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ab bc ca + 5 +  a + b + ab b + c + bc c + a + ca Bài 29 Cho x, y, z  thỏa xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh rằng: x3 y3 z3 1 1 + +   + +  2 z+x x+ y y+z x y z Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 30 Với a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = a +1 b +1 c +1 + + a + 2a + b + 2b + c + x + 2 Bài 31 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y2 + z = 3xyz Chứng minh: x2 y2 z2 + +  y+2 z+2 x+2 Bài 32 Cho a, b, c dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + x − yz + y − zx + z − xy + 2 Hết Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a + b + c  ab + bc + ca , a, b, c  R a+b 2) a.b    , a, b    an + bn  a + b   10)  ,với a, b  , n  N *   n  a+b+c 3) a.b.c    , a, b    11) a + b + c 2 (a + b + c)  , a, b  R 1 1 4) ( a + b )  +   , a, b > a b 5) 1 , a, b > +  a b a+b 1 1 6) ( a + b + c )  + +   , a, b, c > a b c 7) 1 , a, b > + +  a b c a+b+c a2 + b2  a + b   8)  , a, b  R   12) ( a + b + c )  ( ab + bc + ca ) , a, b  R 13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  14) a + b  ab ( a + b ) , a, b  15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  3( a + b ) , a, b  R 16) a + ab + b  2 17) a − ab + b2  , a, b  R, a + b2  2 a + ab + b a + b3  a + b   9)  ,với a, b    ( ) 18) (1 + a)(1 + b)  + ab , a, b  ( ) 19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  + abc , a, b, c  20) 1 , với ab  +  2 + a + b + ab Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài Cho x , y , z  Chứng minh rằng: Bài Cho a , b , c  thỏa x + xy + y + y + yz + z + z + xz + x  ( x + y + z ) + +  Chứng minh rằng: a b c b + 2ab + 4a 4c + 6bc + 9b 9a + 3ac + c + +  ab bc ca y + 2x2 z2 + y2 x2 + z + +  xy yz zx Bài Cho x , y , z  xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng: Bài (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho số dương x, y, z thỏa giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + +  2020 Tìm x+ y y+z z+x y + x2 z2 + y2 x2 + z + + xy yz zx )  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  ( Bài Cho x, y, z  Chứng minh rằng: x3 + y + z   3    Bài Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 + 3 +  3 x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz Bài Cho x, y, z nlà số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: x3 + y + + xy y3 + z3 + + yz z + x3 + 3 zx 1 1 1 Bài Cho x, y, z  thỏa mãn + + = Chứng minh rằng: + + 1 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x y z Bài Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức:   + +  4 + +  x y z  x+ y y+z z+x Bài 10 (Chun tốn tỉnh Bình Phước 2020) a) Cho a, b  Chứng minh rằng: a − ab + 3b +  b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ( a + 5b + ) 1 + +  Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức P= a − ab + 3b + 2 + b − bc + 3c + 2 + c − ca + 3a + Bài 11 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c) + + 2a 3b 2a + 3c Bài 12 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá a3 + b3 b3 + c3 c3 + a trị nhỏ P = + + a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Bài 13 (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b số dương thỏa mãn điều kiện ab  Chứng minh rằng: 1 + + 2020ab  2021 1+ a 1+ b Bài 14 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1   + +  3 + +  a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  Bài 15 Cho a ,b,c > thỏa abc  Tìm giá trị nhỏ P = bc ac ab + + 2 a b + a c b a + b c c a + c 2b Bài 16 (Chun tốn Ninh Bình 2020) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 2021 + +  a + b + b + c + c + a = 2021 Chứng minh rằng: b+c a +c a +b 2 Bài 17 (Chun tốn Hải Phịng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 2 Chứng minh x x2 + + y y2 + + 3z ( z2 + )  Bài 18 (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức : xy + yz + yz +  xy + yz + xy Bài 19 (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với số thực dương a b thay đổi, tìm giá trị lớn  1 + biểu thức: S = ( a + b )  2 b − ab + 2a  a − ab + 2b Bài 20 (Chuyên toán Đồng Nai) Cho −  a, b, c     Chứng minh: Bài 21 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: + a2 + b2 + c2 + +  2 + 3b + c + 3c + a + 3a + b ab bc ca + +  (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 22 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b + ac Bài 23 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a − ab + 3b + c + c + ab a + bc  1 + +  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P= b + + b − bc + 3c + 2 + c − ca + 3a + Bài 24 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a + b2 b2 + c2 c2 + a 3(a + b2 + c2 ) + +  a+b b+c c+a a+b+c Bài 25 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng: x2 x + y + 14 xy 2 y2 + y + 3z + 14 yz 2 + z2 z + 3x + 14 xz 2  x+ y+z Bài 26 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= a2 + 4a + b2 + 4b + c2 + 4c + + + a2 + a b2 + b c2 + c Bài 27 Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a + b3 b3 + c c3 + a3 1 + +  + + 2 2 2 ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c Bài 28 Cho a, b, c  thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: ab bc ca + 5 +  a + b + ab b + c + bc c + a + ca Bài 29 Cho x, y, z  thỏa xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh rằng: x3 y3 z3 1 1 + +   + +  2 z+x x+ y y+z x y z Bài 30 Với a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = Tìm giá trị lớn biểu a +1 b +1 c +1 + + thức: M = a + 2a + b + 2b + c + x + Bài 31 Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y2 + z = 3xyz Chứng minh: x2 y2 z2 + +  y+2 z+2 x+2 Bài 32 Cho a, b, c dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + x − yz + y − zx + z − xy + 2 Hết Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606 ... Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN... Văn Quý – Tell: 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài Cho x , y , z  Chứng minh rằng: Bài Cho a , b , c  thỏa x +... 0943.911.606 Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức y + 2x2 z2 + y2 x2 + z + +  xy yz zx Bài Cho x , y , z  xy + yz + zx = xyz Chứng minh rằng: Giải  Ta ln có bất đẳng