Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ 10 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 13 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 15 III PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 18 DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG 18 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 20 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 22 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM 22 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ ĐẾN 25 DẠNG : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 27 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 75 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 75 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 77 III PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 77 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Dạng hai số khơng âm x, y  Dạng tổng sang tích: x  y  xy x y  x y  Dạng tích sang tổng: xy  hay xy      x2  y  Dạng lũy thừa: x  y  xy hay xy  Dấu "  " xảy  x  y x2   Dạng đặc biệt: x  x.1  2 Dạng ba số không âm x, y, z  Dạng tổng sang tích: x  y  z  3 xyz  Dạng tích sang tổng:  Dạng lũy thừa: x3  y3  z  3xyz hay xyz  x yz  x yz hay xyz   xyz   3   3 x3  y  z Dấu "  " xảy  x  y  z x3   3 Dạng tổng quát với n số không âm x1 , x2 , , xn  Dạng đặc biệt: x  x.1.1   Dạng tổng sang tích: x1  x2   xn  n n x1 x2 xn x  x   xn  x  x   xn  hay x1 x2 xn    Dạng tích sang tổng: x1 x2 xn   n n   n n n x  x2   xn  Dạng lũy thừa: x1n  x2n   xnn  x1 x2 xn hay x1 x2 xn  n Dấu "  " xảy  x1  x2   xn n n  Dạng đặc biệt: x  x.1.1  n 1 xn  n  n Bất đẳng thức trung gian 1    x  0, y  Dấu "  " xảy  x  y x y x y 1     x  0, y  0, z  Dấu "  " xảy  x  y  z x y z x yz DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  x  Lời giải  15 x2   Có T   x  x  1   x    14 4x       x  1   x    14   x  14  16 4x  4x  Vậy MinT  16 x  Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x  3x   2011 4x Lời giải Có M  x  x   x   2010 4x     x  1   x    2010   x  2010  2011 4x  4x  Vậy MinM  2011 x  Ví dụ Cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x2  y x y Lời giải Có H  x  y  xy  xy  x  y    x y x y   x  y  2 2 x y  x  y   x y   y   x x  y  x  y  x  1 x y   Vậy Min H      xy    x x 2   y       xy  DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : a b   b a   ab Lời giải ab  (b  1) b Có b   1.(b  1)    a b 1  ; 2 ab ab ab V| tƣơng tự: b a    a b 1  b a 1    ab  đpcm 2 Dấu ‘=” xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ Chứng minh: ab c   bc a   ca b   Lời giải: Có: 11abc 12 bc ca (a  9).9  (b  4).4 (c  1)  bc (a  9)  ca (b  4)  11abc  ab    2 12 Dấu “=” xảy a = 18, b = 8, c = ab c   bc a   ca b   ab (c  1).1  Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ Tìm gi{ trị lớn biểu thức: M = a b(a  2b)  b a(b  2a) Lời giải Xét: M  a 3b(a  2b)  b 3a(b  2a)  a 3b  (a  2b) 3a  (b  2a) a  b  b   5ab 2 a  b2 a  b2  6 M 2 2 Vậy MaxM = a = b =  Ví dụ Cho x  , y  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x  Lời giải Xét: P 24  24 x 14 x  10 y   24 y 14 y  10 x  24 x  14 x  10 y  24 y  14 y  10 x    24  x.1  y.1 2  x2  y    x2  y   48  24    P4   24    48  P   24     Vậy MaxP  x  y  Ví dụ Cho x  , y  Từ xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ P  x  y xy  x  y   x  y  x  y Lời giải  x  y 1  xy    x  y  xy  x  y    x  y  xy  x  y   2   x  y  4 x  y   x  y  2  x  y 2  xy  x  y 2  xy  xy    Dấu "=" xảy    x  y  x  y  x  y     x , y hai nghiệm phƣơng trình t  4t    t   Do x  y  x   , y   Vậy MinP  x   , y   DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Ví dụ Cho a , b , c  ab  bc  ac  Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b  a2  b2  Lời giải  c c2  Thay  ab  bc  ac , ta đƣợc: a b c P   a  ab  bc  ac b2  ab  bc  ac c  ab  bc  ac a b c     a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b  a a b b c c   ab ac ba bc ca c b a a b b c c     ab ac  ba bc  ca cb 2 a b a c c       b        ab ab  ac ac  bc bc    2 Vậy MaxP  a  b  c  Ví dụ Cho số dƣơng a , b , c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh:  ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Lời giải Ta có ab bc ca ab bc ca      c  ab a  bc b  ca c.1  ab a.1  bc b.1  ca ab bc ca    c  a  b  c   ab a  a  b  c   bc b  a  b  c   ca  ab   a  c  b  c  bc   a  b  a  c  ac  b  c b  a  a b b c c a   ac cb a b a c bc ba  a b   b c   c a           ( đpcm)  c  a c  b   a  b a  c   b  c a  b    Ví dụ Cho a  , b  , c  ab  bc  ac  3abc Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2 P   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  Lời giải Có P  2 a b c   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c   a  c  c b2  a  a c  b2  b2   c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  c  1 a  1 b  1       2      c c a   a a b  b b c  1 c  1 a  1 b           2 2 2 c c a  a a b  b b c   1   1   1   1  ab  bc  ac                2abc  c 2a   a 2b   b 2c   a b c  Vậy MinP  a  b  c  Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c T   2  9b  9c  9a Lời giải Có T  a 1  9b2   9ab2  b 1  9c   9bc  c 1  9a   9ca  9b2  9c  9a  9ab2   9bc   9ca  b c  a             9b    9c    9a   9ab2   9bc   9ca   a    b    c   1.9b2   1.9c   1.9a   1  a  b  c   ab  bc  ac   a  b  c   a  b  c    a  b  c  1 2 1 Vậy MinT  a  b  c  1 1 Ví dụ Cho a , b , c     Chứng minh: abc  1 a 1 b 1 c Lời giải 1 Có   2 1 a 1 b 1 c 1    b c cos i b c bc    1      2 2    1 a  1 b   1 c  1 b 1 c 1 b 1 c 1  b 1  c  Tƣơng tự: 2 1 b ac ; 2 1  a 1  c   c ab 1  a 1  b  Nhân bất đẳng thức dƣơng, chiều ta đƣợc: 8abc  hay abc  (đpcm) 1  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c  DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI 1 Tách x  y  z   x  y    y  z    z  x  2 xyz  xy yz zx x, y, z  Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b2  c2  Chứng minh: ab bc ac bc ca ab a) b)    abc ;    c a b a b c Lời giải ab bc ac  bc ca   ca ab   ab bc  a) Có             c a b 2 a b  2 b c  2 c a  bc ca ca ab ab bc     a  b  c (đpcm) a b b c c a 2 2 2  bc ca ab  b c c a a b b) Xét          a  b2  c  c  a b c  a b  b c c a   c a a 2b   a 2b b c           2 2 a b  2 b c  2 c a  b2c c a c a a 2b a 2b b c    a b2 b2 c 2 c2 a2 bc ac ab  a2  b2  c2   ,    (đpcm) a b Ví dụ Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh ABC Chứng minh (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc Lời giải Vì a, b, c l| độ d|i ba cạnh ABC nên a  b  c  0, b  c  a  0,c  a  b  (a  b  c)  (b  c  a) Có  (a  b  c)(b  c  a)  b; (b  c  a)  (c  a  b)  c;  (b  c  a)(c  a  b)  (c  a  b)  (a  b  c) a;  (c  a  b)(a  b  c)  Nh}n ba đẳng thức dƣơng chiều ta đƣợc (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc (điều phải chứng minh) DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ đạt giá trị biến Bước 2: Kẻ bảng xác định số với Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng sử dụng bất đẳng thức Cơ-si Ví dụ Cho a  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  2a  a Lời giải Phân tích toán a P 13  6,5 23  7, Từ bảng thứ dự đo{n P  37  9, 25 13  a  2 a a a2 Từ bảng thứ hai, ta suy a 5a với nên với a a Trình bày lời giải 5a 3a 3a 3.2 13  5a  3a Có P      2    5  5  ( a  2) 4 a a   5a 13   Vậy P   a  a  (thỏa mãn)  a  Ví dụ Cho x  0, y  x  y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức F  x  y  24  x y Lời giải Phân tích toán ( x ; y) (1 ; 5) (2 ; 4) (3 ; 3) 84  16,8 15 16 F Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n F  15 x  2, y  x x x  2, y  Từ bảng thứ hai, ta suy y (5 ; 1) 156  31, y 24 6 x 3x x y với nên với với nên với  ; x x y 16 y 24 y y  16 Trình bày lời giải Có  3x   24 y   x y  F          2 2 x   y 2 (4 ; 2) 39  19,5 3x 24 y 1  2   ( x  y )  18  ( x  y ) x y 2  18    15 (do x  y  6) Vậy F  15 x  3x 24 y (thỏa mãn)  ;  ;x y    x y y  Ví dụ Cho x  0, y  x  y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  28  x y Lời giải Phân tích toán  x; y  1;   2;1 69  34,5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n P  24 x  2, y  24 P x x x  2, y  Từ bảng thứ hai, ta suy y y 1 x 28 x 28 với nên với se với y  7x ; 4 x x y Trình bày lời giải Có   28  1 P    x     y   2x2  y  x  y  x  y    28  1    x     y   2( x  2)  ( y  1)  ( x  y )   x  y  28  7x   y      24 x y 28 Vậy P  24  x;  y; x   0; y   0; x  y   x  2, y  x y 2 Ví dụ Cho  x  3,  y  6,  z  x  y  z  12 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xyz Lời giải Nhận xét: Do y z vai trò nhƣ nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si tích yz , ta đƣợc  yz P  x( yz )  x    x(12  x)(12  x)   Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn P x 2 P 243  60, 75 50 243 x  x x3 Từ bảng thứ hai, ta suy 3x với 12  x nên ta biến đổi Từ bảng thứ dự đo{n max P  12  x 1  x  24    24  243 P  [(3x)(12  x)(12  x)]        12 12   12   243 Vậy max P  x  3, y  z  3 DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ  Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện ẩn phụ  Một số bất đẳng thức trung gian thƣờng dùng:  Với a, b  a  b2   (a  b)2  4ab Dấu xảy a  b  Với a, b, c  a  b2  c   (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) Dấu xảy a  b  c  Với a, b a  b2  a  b  a  b3  a  b     a, b;  a  b  Dấu xảy a  b 2     1   a  0, b  Dấu xảy a  b a b ab 1     a  0, b  0, c  Dấu xảy a  b  c a b c a bc x 2y x Ví dụ Cho x  0, y    Tìm giá trị nhỏ biểu thức K   y y x  Lời giải Đặt a K x , y a Có a a 16 31a Vậy MinK Đặt a Do m n Vậy MinA x p Ví dụ Cho x 2 x y 33 hay x 2, y a x y 32a a xy y x 3(mn 0, y 4 a 31a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 0, y 10 a x y 31a 16 31 y xy 32a 33 a Ví dụ Cho x x y x x np x pm) y y xy x a y y x x y xy x y a x2 y2 xy x y Tìm giá trị nhỏ A Lời giải 10 xy y xy x y x y Dấu “=” xảy nào: Lời giải Ta có: yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y y2 x2 11 1    z      1 1 1 2x y z    y z x z x y Đặt a  1 , b  ,c   abc  x y z Khi ta cần chứng minh: a2 b2 c2 abc    bc ac ab Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:  a  b  c   a  b  c  VP (đpcm) a2 b2 c2 VT     b  c a  c a  b a  b  c  2 Dấu “=” xảy x = y = z Câu 53: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020] Cho x; y; z ba số thực dƣơng thỏa mãn x(x  z)  y(y  z)  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P y3 x2  y2  x3   xy x2  z2 y  z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi x3 xz2 xz2 z x x      x 2 2 2xz x z x z x2  y2  y3 z Tƣơng tự  y  Suy P  x  y  z  xy y  z2 Theo gt z  x2  y2 P  xy  xy xy Vậy Pmin   x  y  z  Câu 54: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  a  P  b2  ab  a  1  b    c2  bc  b  1  c    a2  ca  c  Lời giải 64 Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Ta có: 1  a   b2  ab  a  a  b2  2a  2ab  2a   ab  a    2     2 ab  a  ab  a  ab  a  ab  a  1  b  Tƣơng tự:  c2  bc  b  1  c   2 ; bc  b   a2  ca  c   2 ca  c  1   Do đó: P         2Q  ab  a  bc   ca  c   Áp dụng (*) ta đƣợc: Tƣơng tự: 1   ab  a   ab  a  1  1 1     ab  a   1 1 1 1    ;     bc  b  4  bc  b   ca  c  4  ca  c   Do đó: 1 1 1 1   Q       2Q      1  ab  a  bc  b  ca  c    ab  a  bc  b  ca  c   1 1  P 6     1  ab  a  bc  b  ca  c   1 c ac  6     1  abc  ac  c bc.ac  abc  ca  c   1 c ac  6     1  ca  c  ca  c  ca  c     2 5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 55: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] ab bc ca    a  b  c  a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải Cho số thực dƣơng a, b, c Chứng minh rằng: Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Sử dụng (*) ta đƣợc: ab ab ab  1      a  b  2c  a  c    b  c   a  c b  c  65 Tƣơng tự: bc bc  1  ca ca  1  ;        b  c  2a  b  a a  c  c  a  2b  c  b b  a  Cộng bất đẳng thức theo vế ta đƣợc: ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b ab  1  bc  1  ca  1              a  c b  c   b  a a  c   c  b b  a    ab  bc ab  ca bc  ca     c  a bc a  b    b a  c  a  b  c  c a  b        a  c bc a  b   a  b  c   dpcm  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 56: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b c    b  ac c  ab a  bc Lời giải Ta có: a  c a  2b  c a  2b  c   b  ac  2 Mặt khác: a a 2 2a 2a       a  2b  c a  2b  c  a  2b  c  a  2b  c  b  ac b  ac b  ac  b  a  b  c  3 abc   Do đó: 4 2a 12 2a a  b  c     a  2b  c  7a  10b  7c a b c   VT  12      7a  10b  7c 7b  10c  7a 10a  7b  7c  a  b  c   c   17  ab  bc  ca   12  a  b2   a  b2  c  ab  bc  ca  a  b2  c  17  ab  bc  ca    a  b  c  Mặt khác:   12  a  b  c   a  b  c  17  ab  bc  ca  2 Dấu “=” xảy a = b = c = 66  12  a  b  c  a  b  c  2   dpcm  Câu 57: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a a a 3 b  b b  b 3 c c c c 3 a Lời giải Ta có: P a a b b  c c  a 3 b b 3 c c 3 a 2 a b c2    a  ab b  bc c  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: P  a2 a  ab  b2 b  bc a  b  c  abc3   c2 c  ac ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM:  ab  bc  ca  a  b bc ca   abc 2 a  b  c  abc  1 Do đó: P  a  b  c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P Câu 58: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số dƣơng a, b, c Chứng minh: a b c abc    4 b c a a  b2  c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc:  a  b  c   ab  bc  ca a b2 c abc     VT  ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a  b2  c 2 a  b2  c ab  bc  ca 2 ab  bc  ca a  b2  c  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c     2    ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta đƣợc: 67 VT  3 a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  a  b2  c 2 a  b2  c 2     dpcm  2  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 59: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b2   b c   c a   Dấu “=” xảy nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta đƣợc: ab  a b2   b c   c a      ab  bc  ca    a  b  c     dpcm  2 Câu 60:  a2   bc  ab  bc  ca   Dấu “=” xảy a  b  c  2  b2   ca   c2   ab  bc  ca  [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c số dƣơng thỏa mãn điều kiện a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R a b c   2  b  c  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: a ab2 ab2 ab     a a a 2 2b 1 b 1 b b bc c ca Tƣơng tự:  b c ; 2 2 1 c 1 a Cộng theo vế bất đẳng ta đƣợc: R a b c ab  bc  ca    a  b  c   2 2 1 b 1 c 1 a  a  b  c  a  b  c    3 32  3 Vậy giá trị nhỏ R Câu 61: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] Dấu “=” xảy a  b  c  68 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  2xy  4xyz  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc:  1 x  2xy  4xyz  x  x.4y  z   2   3 1 1  x  x  y  z    x  x   x   2 2  2  x  x 2  x  x   x 2  x  2     x    x  2x    x   x  1  2   x   x   Vì thế: x  2xy  4xyz   x   x  1   (đpcm) Dấu “=” xảy x  1, y  , z  Câu 62: [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Do x  y  z  Cho a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  abc  1   a  2b b  2c c  2a Lời giải Trƣớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:  a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Thật vậy:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab bc ca   a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  Suy ra:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca   Suy đpcm: abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có: 69  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca   ab  bc  ca  8 1 ab  bc  ca      a  2b b  2c c  2a  a  b  c  a  b  c ab  bc  ca  Lại có:     ab2c  a bc  abc  3abc a  b  c  a  b  c    a  b  c  3abc  a  b  c    abc 27 abc 92 a  b  c  Suy ra: P  2 abc  1 abc     2 a  2b b  2c c  2a abc   a  b  b  c  c  a    abc a  bc 1 Dấu “=” xảy khi:   abc    abc Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Câu 63: 1    Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn P a  ab  3b2   b2  bc  3c   c  ca  3a  Lời giải Ta có:     a  ab  3b2   a  2ab  b  ab  b   b     a  b   ab  b2   b2  b2  ab  2b  b  a  b   a  ab  3b2   b  a  b  1  Tƣơng tự: b2  bc  3c   a  ab  3b  2 c  b  c  2 ;  b  a  b  1 c  ac  3a  Với x, y dƣơng ta có:  x  y     x  y   4xy  2 a c  a  2 xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta đƣợc: 70  P b a  b     4b  a  b   c  b  c  2   4c  b  c   a c  a  2  4a  c  a   1        4b  a  b     4c  b  c     4a  c  a         1 1 1  1          a b c   a  b  b  c  c  a   AM  GM  Sử dụng bất đẳng thức (*) ta đƣợc:  1 1 1  1 1 1 1 1  P                 a b c    a  b   b  c   c  a   1 1  1   1   1                    8 16  a b  16  b c  16  c a      1        8  a b c   3 3    8 Dấu “=” xảy a = b = c =  Vậy giá trị nhỏ P Câu 64: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] Chứng minh  a  b  c   9abc   a  b  c  ab  bc  ca  với x, y, z số thực không }m Đẳng thức xảy nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c số thực không âm thì: a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   Biến đổi ta đƣợc hệ quả: a  b3  c  3abc  a  b  c   b2  c  a   c a  b  Mặt kh{c ta có đẳng thức:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  Khi ta có:  a  b  c   9abc  a  b3  c  9abc   a  b  b  c  c  a  Do đó: VT  a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a  Ta l| có đẳng thức: ) ) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  c ab  bc  ca  abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  71 Do đó: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a   a  b  c ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Câu 65: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho số dƣơng x, y, z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy   2x  z  2y  z  yz   2y  x  2z  x  zx  2z  y  2x  y  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta đƣợc:  2x  z  2y  z    x  x  z  y  z  y    xy  zx  yz  Do đó: xy   2x  z  2y  z  Tƣơng tự: xy  2x  z  2y  z  xy   xy  yz  zx yz yz  ;  2y  x  2z  x  xy  zx  yz Cộng bất đẳng thức theo vế ta đƣợc: P    xy xy  yz  zx zx zx   2z  y  2x  y  xy  zx  yz xy  zx  yz xy  zx  yz 1 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy giá trị lớn P Câu 66: 1) [TS10 Chuyên Bình Phƣớc, 2019-2020] Cho x, y số dƣơng thỏa mãn xy  Chứng minh rằng: 1    x  y  xy 2) Cho x, y số thực dƣơng thỏa mãn điều kiện:  x  y   4xy  12 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1   2018xy 1 x 1 y Lời giải 1) Ta có: 72  1   1   0        x  xy    y  xy   x  y  xy      xy   x   xy   y  0 1  x  1  xy  1  y  1  xy   xy  x  1  y    xy  y  1  x    1  x 1  y  1  xy  x      y  x 1  y   y  1  x 1  y  1    x  y 1  x  xy  0 y  x  x  y x  y x y   0 1  x 1  y   xy    y  x  x  y  xy y  x    0 1  x 1  y   xy   y  x  y   1  x 1  y           x    xy  1   0 xy     xy  1  (đúng xy  ) 1  x 1  y  1  xy  y x (1) Dấu “=” xảy x = y = Bất đẳng thƣc (1) c{c phép biến đổi l| tƣơng đƣơng nên b|i to{n đƣợc chứng minh 2) Sử dụng AM-GM ta có:  12   x  y   4xy  xy Đặt   4xy  8xy xy  4xy xy  t  t   , đó: 8t  4t  12   2t  t    2t  2t  3t      2t  t  1   t  1 t  1    t  1 2t  3t    t 1 Áp dụng bất đẳng thức ý ta có: P 1 2   2018xy   2018xy   2018t 1 x 1 y 1 t  xy Ta chứng minh:  2018t  2019  *  1 t Thật vậy: 73  *    2 t    2018  t  1    1 t   2018  t  1 t  1  1 t    1  t    2018  t  1   (đúng  t  )  1 t  Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 Câu 67: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta đƣợc: ) a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  2b b  2c c  2a a  2ab b  2bc c  2ca   a  b2  c  a a  b  c  2ab  2bc  2ca   b2  c   a  b2  c  a  b2  c a  b2  c  b3 c3 a3 b4 c4 a4      a  2b b  2c c  2a ab  2b bc  2c ca  2a )  a  b2  c   a ab  bc  ca  a  b  c    b2  c   a  b2  c  a  b2  c a  b2  c   Cộng theo vế ta đƣợc: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Dấu “=” xảy a  b  c  (đpcm) Câu 68: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  3; y   1  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  21  x     y   y  x  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 74    1    x   7y 21  62   x y T  21  x     y         y  x 3 x  y 3  7y 21 62 x 2 2   3 x y 3   2.7  62   80 Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị nhỏ T 80 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI  15 x2 Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x  3x   2011 4x x2  y Bài Cho x  y  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  x y Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  x  x  Bài Cho a  1; b  Chứng minh a b   b a   ab Bài Cho a  9; b  4; c  Chứng minh ab c   bc a   ca b   11abc 12 Bài Cho a  0; b  0; a  b2  Tìm giá trị lớn biểu thức M  a b  a  2b   b a  b  2a  Bài Cho x  0; y  0; x2  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x  Bài Cho x  0; y  xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Bài Cho a, b, c  ab  bc  ca  Tính giá trị lớn biểu thức P  a  a 1 Bài 10 Cho số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  b b 1  c c 1 ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Bài 11 Cho a  0, b  0, c  ab  bc  ca  3abc chứng minh a2 b2 c2   Tìm giá trị nhỏ P  c  c  a  a  a  b2  b  b2  c  Bài 12 Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a b c   2  9b  9c  9a 75 1 1    Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c 2 Bài 14 Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Chứng minh : bc ca ab ab bc ca a) b)       abc a b c c a b Bài 15 Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh ABC Bài 13 Cho a, b, c  Chứng minh  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc Bài 16 Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2a  a 24  x y 28 Bài 18 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x y Bài 19 Cho  x  3,  y  6,  z  x  y  z  12 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xyz x 2y x Bài 20 Cho x  0, y    Tìm giá trị nhỏ biểu thức K   y y x Bài 17 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức F  x  y  Bài 21 Cho x  0, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y  1 A Bài 22 Cho x  0, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy  x  y  xy  x  y  x  y  1 xy x2  y  xy x y Bài 23 Cho a  0, b  0, c  thỏa mãn b2  c2  a 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b  c  a    a b c    1 1 Bài 24 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P      x y x y 1 Bài 25 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    xy x y xy 1  1  Bài 26 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức K   x     y   x  y  1  1  Bài 27 Cho x  0, y  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  1  x    1  y   x  y  2 Bài 28 Cho x  0, y  x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    x  y x y Bài 29 Cho a  0, b  0, c  thỏa mãn  b2  bc  c     a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b  c  2   a b c Bài 30 Cho a  0, b  a3  b3  6ab  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    ab a  b ab 76 Bài 31 Cho a  0, b  a  b2  a  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b4  Bài 32 Cho x  0, y    x 1  2020  a  b y 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x2 y  y x II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA Bài Cho x  y  13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y Bài Cho x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2  y Bài Cho x  0, y  0, z  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  z Bài Cho 3x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức S  x  y 35 Bài Cho 4a  25b  Tìm giá trị lớn biểu thức H  6a  5b 10 Bài Cho x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  y  z Bài Tìm giá trị lớn biểu thức P  x    x  x  Bài Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức K  4a   4b   4c  Bài Cho a  0, b  0, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  b  c  c  a  a  b Bài 10 Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  ab bc ca   2 III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bài Cho x  2 , y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  y  x   y   24 Bài Cho x   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E  5x  2x   3x   Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  x  x   x   28 Bài Cho x  15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F  x2  x  x   15  x  3  x  15  x   38 Bài Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: T  a  4ab  b2  b2  4bc  c2  c2  4ca  a Bài Cho x  0, y  0, z  0, x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S  x  xy  y2  y2  yz  z  z  zx  x Bài Cho 2  a, b,c  a  b2  c2  22 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b  c Bài Cho x  0, y  0, z  thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: A  x  y2  z 77 Bài Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: K  3a   3b   3c  Bài 10 Cho  a, b,c  a  b  c  Chứng minh: ab  bc  ca  Bài 11 Cho a  1, b  1,c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  a  b2  c2 Bài 12 Cho 1  x, y, z  1, x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: T  x  y  z Bài 13 Cho 2  a, b,c  a  b  c  Chứng minh: a  b4  c4  32 Bài 14 Cho  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  x  y2  z Bài 15 Cho  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: M  x  y4  z4  12 1  x 1  y 1  z  Bài 16 Cho  a, b,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b2  c2  ab  bc  ca Bài 17 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  bc  ca  a b Bài 18 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P  bc  ca  a b Bài 19 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: F  3a   3b   3c  Bài 20 Cho a  0, b  0,c  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a  3a   2b2  3b   2c2  3c  Bài 21 Cho x, y  thỏa mãn: x  y  10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x  1 y4  1 Bài 22 Cho a  b  4ab  4a  4b2 Tìm giá trị lớn biểu thức: A  20  a  b3    a  b2   2013 Hết 78 ...  Suy   Bất đẳng thức đƣợc chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c ab  bc  ca  a  b2  c b) Ta có a  b  c   ab  bc  ca   2017  6051 ab  bc  ca Suy Áp dụng bất đẳng thức câu a,... bc b2  ca  c  ab  3 Lời giải Phƣơng pháp: Đặt x x3 y3 z3 a2 bc , y b2 c2 ca, z ab đƣa bất đẳng thức cần chứng minh 3xyz  - Chứng minh đẳng thức x3  y3  z  3xyz   x  y  z  x ...   a  b  c     ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tƣơng đƣơng, đẳng thức cho đƣợc chứng minh Với x, y dƣơng ta có bất đẳng thức: 2)   x2  y   x  y  (*)