Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan45099

chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Lời nói đầu Trong môn Toán trường phổ thông chuyên đề Bất đẳng thức xem chuyên đề khó, nhiều học sinh chí giỏi lo ngại tránh né học sinh chưa hình thành phương pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc chứng minh Bất đẳng thức Qua nội dung Bài tập lớn em xin trình bày chuyên đề: Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ứng dụng việc chứng minh giải toán có liên quan Các tập với độ khó nâng dần lên nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức Nội dung chuyên đề bao gồm: Phần I - Kiến thức cần nắm: Đây phần tóm tắt số kiến thức lý thuyết mà học sinh cần nắm để sử dụng trình chứng minh Bất đẳng thức Phần II - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp phương pháp chứng minh Bất đẳng thức thường dùng cho học sinh THCS Với mổi phương pháp có kiến thức cần nắm, ví dụ minh hoạ, tập áp dụng để học sinh tự hình thành tư cảm nhận phương pháp Phần III - ứng dụng việc chứng minh bất đẳng thức: Trình bày ứng dụng phổ biến chứng minh Bất đẳng thức Phần IV - Hướng dẫn, giải BT áp dụng: Đây phần giải chi tiết BT áp dụng cho phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Phần V - Bài tập tổng hợp tự giải: Bao gồm tập tổng hợp cho tất dạng phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Cơ sở lý luận Thực tiễn Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức phong phú học sinh hình thành phương pháp chứng minh ứng dụng Bất đẳng thức Toán học chưa có Số học sinh hiểu điểm phần thấp chí không có, đa số em điểm Trung Bình Yếu Ngoài ra, số lượng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức kiến thức chương trình THCS nên học sinh thời gian để ý đến kiến thức mà giáo viên giảng phần Do ®ã häc sinh kh«ng cã høng thó häc sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức Do thời gian nghiên cứu làm đề tài ngắn nên đưa số liệu điều tra cụ thể mong qua đề tài hi vọng công cụ hữu ích cho em có hứng thú học tập môn Toán nói chung chuyên đề Bất đẳng nói riêng Phần I - kiến thức I Một số bất đẳng thức cần nhớ: a 0; a  0;  b  b  b o Bất đẳng thức Cô sy: a1 a a3   a n n  a1 a a3 a n Víi  n dÊu b»ng x¶y a1  a2   an o Bất đẳng thức Bunhiacopski: a 2  a22   an2 x12  x22   n2  a1 x1  a2 x2   an xn Dấu đẳng thức xảy a1 a2 a    n x1 x2 xn o Bất đẳng thức Trê- bư-sép: abc aA bB  cC a  b  c A  B  C   NÕu  3 A B C Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 abc  A  B  C NÕu  abc A  B  C DÊu b»ng x¶y II - Một số bất đẳng thức phụ đà chứng minh o x y  xy o x  y  xy dÊu( = ) x = y = o x  y 2  xy o a b  2 b a 1   ( Khi b, c  0) b c bc  b  (khi x  0) o b  ( Khi x, y  0) bc (b c) III Các bất đẳng thức tam giác IV Các hàm lượng giác thông dụng V Các tính chất Tính chÊt 1: a > b b < a TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b – c a + c > b a > b – c TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b – d TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ VI Các đẳng thức đáng nhớ VII Các kiến thức toạ độ vec tơ VIII – C¸c kiÕn thøc vỊ tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc: a a  a, b, c R  ab abc a c a ac c     a, b, c , d  R  b d b bd d Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Phần II Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức vô đa dạng xin trình bày dạng phương pháp thông dụng sau: Dạng Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tương đương Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky bất đẳng thức phụ Dạng Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Dạng Chứng minh phản chứng Dạng Phương pháp lượng giác Dạng Phương pháp chứng minh qui nạp Dạng Phương pháp áp dụng tính chất dÃy tỉ số Dạng Phương pháp dùng tam thức bậc hai Dạng Phương pháp dùng tính chất bắc cầu Dạng 10 - Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác Dạng 11 Phương pháp đổi biến số Dạng 12 Phương pháp làm trội (chứng minh bất đẳng thức có n số hạng) Ngoài phương pháp chứng minh Bất đẳng thức đà nêu nhiều phương pháp khác như: Phương pháp toạ độ vectơ, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, sử dụng cực trị, Nhưng kiến thức lý thuyết em chưa có nên xin trình bày số phương pháp Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Dạng 1- Dựa vào định nghĩa phép biến đổi tương tương đương Đây phương pháp nhất, dựa vào tính chất bất đẳng thức đơn giản để biến đổi bất đẳng thức phức tạp đề thành bất đẳng thức đơn giản bất đẳng thức đà chứng minh phần bạn ý đến đẳng thức: 2  a  2ab  b  (a  b)  2 2  a  b  c  2ab  2ac  2bc  (a b c) Phương pháp: Khi biến đổi tương đương ta cố gắng làm xuất điều kiện đà cho giả thiết nhằm áp dụng điều kiện giả thiết để chứng minh bất đẳng thức Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức ( 0;  0;  0;  )  ChuyÓn vế thừa số dạng đẳng thức để dể chứng minh Làm xuất tích thừa số có chứa yếu tố đề ®Ĩ ta xÐt dÊu c¸c thõa sè ®ã  Chia nhá tõng vÕ ®Ĩ chøng minh sau ®ã céng vÕ theo vế bất đẳng thức để điều ph¶i chøng minh Mét sè vÝ dơ: VÝ dơ 1: Chøng tá r»ng víi a, b  th×: (ax  by )(bx  ay )  (a  b) xy (1) Gi¶i (1)  abx  a xy  b yx  bay  a xy  2abxy  b xy  ab( x  y  xy )   ab( x  y )  Bất đẳng thức a, b VÝ dô 2: Cho  a  b  c Chøng minh r»ng: a b c b c a      b c a a b c Gi¶i a b c b c a       ( a c  b a  c 2b  b c  c a  a 2b ) b c a a b c abc (a 2c  b 2c)  (b a  a 2b)  (c 2b  c a )   abc Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán c(a b )  ab(b  a )  c (b  a )  abc (b  a )(ca  cb  ab  c )  abc (b  a )(c  b)(c  a )   abc V×  a  b  c a b c b c a VËy      b c a a b c VÝ dơ 3: Víi a, b, c  chøng minh: a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c Gi¶i a b c 1    2(   ) bc ca ab a b c 2  a  b  c  2(bc  ac  ba ) (do abc  0)   a  b  c  2bc  2ac  2ab   (a  b  c)  Hiển nhiên a b c 1 Vậy    2(   ) bc ca ab a b c VÝ dô 4: Chøng minh r»ng mäi a,b,c,d th× : a  b  c  d   a  b  c  d (1) Gi¶i (1)  a  b  c  d   (a  b  c  d )  2 2  a  a  (b  b)  (c  c)  (d  d )   1 1  (a  )  (b  )  (c  )  (d  )  2 2 a  b2  c2  d   a  b  c  d 3 4 VÝ dô 5: Chøng minh r»ng nÕu: a  b  th× a  b  a  b (1) VËy : Gi¶i (1)  a b a b  4 3  a (a  1)  b3 (b  1)  Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán a (a 1)  b3 (b  1)  (a  1)  (b  1)  (a  1)  (b  1)   (a  1)(a  1)  (b  1)(b3  1)  a  b    (a  1) (a  a  1)  (b  1) (b  b  1)  a  b Suy điều phải chứng minh V×: (a  1)   (a  1) (a  a  1)  (b  1)   (b  1) (b  b  1) ab  ab2 Bài tập áp dung: 4 Bµi 1: Cho a + b = Chøng minh r»ng: a  b  Bµi 2:Chøng minh với số nguyên dương n ta có: 1    2 (n  1) n Bµi 3: Chøng minh m,n,p,q ta ®Òu cã m + n + p + q +1 m(n + p + q +1) Bµi 4: Chøng minh r»ng: (a  b )(a  b )  (a  b )(a  b ) 10 10 2 8 4 a3  b3  a  b    Trong ®ã : a > , b > Bµi 5: Chứng minh bất đẳng thức : Bài 6: Chứng minh rằng: Với số dương a, b, c, d ta cã: a3 b3 c3 d3 abcd     2 2 2 a b b c c d d a Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpsky bất đẳng thức phụ Đây phương pháp phổ biến việc chứng minh Bất đẳng thức Chúng ta dựa vào điều kiện đà cho đề để ta lựa chọn phương pháp cho thích hợp Ngoài ra, ta cần phải ý đến dấu BĐT để sử dụng bất đẳng thức để chứng minh Khi áp dụng BĐT đà chứng minh bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh thành vế nhỏ sau cộng vế theo vế để BĐT cần chứng minh Mét sè vÝ dơ: VÝ dơ 1: Sinh viªn: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Chứng minh với số thực d­¬ng x,y,z ta cã: xyz ( x  y  z  x  y  z   ( x  y  z )( xy  yz  zx) Gi¶i 3( x  y  z )  ( x  y  z )  x  y  z  3( x  y  z  x  y  z  3 xyz  xy  yz  zx  3 xyz Do ®ã ta cã: xyz ( x  y  z  x  y  z ) xyz ((  1) x  y  z )  ( x  y  z )( xy  yz  zx) ( x  y  z )(3 xyz 1 xyz 3  xyz 1   DÊu “=” x¶y x=y=z VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: 19942000  19952000  19962000 (1) Gi¶i 1994 2000 1996 2000 2000 ) 1 ( )  (1  ) 1995 1995 1995 Theo bất đẳng thức Becnuli ta có: 2000 2000 1994 2000 (1 )  1  1 ( ) 1995 1995 1995 2000 1994 2000 V×: 1( ) 1995 1995 VÝ dô 3: Cho a  b  Chøng minh rằng: a4 b4 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 4số 1,1,a,b ta có: (1) ( Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán (1.a 1.b)2  (12  12)(a2  b2)  (a  b)2  2(a2  b2)   2(a2  b2) a2 b2 áp dụng bất đẳng thøc Bunhiacopxki cho 4sè 1,1,a2,b2 ta cã: (1.a2  1.b2)  (12  12)(a4  b4 )   (a2  b2)  2(a4  b4 )    2(a4  b4 ) a4  b4  VÝ dô 4: Cho a,b,c>0 Chøng minh r»ng: 1    a b c abc Gi¶i Ta cã: 1 a a b b c c (a  b  c)(   )          a b c b c a c a b a b c a b c  3(  ) (  ) (  )  b a a c c b a b V× :  2 b a c a  2 a c b c  2 c b a b c a b c Nªn:  (  )  (  )  (  )  b a a c c b VÝ dơ 5: Cho sè d­¬ng a,b,c,d chøng minh r»ng: a b c d    2 b c c d a d a b Giải áp dụng bất đẳng thức phụ: 1 (x,y> 0) xy (x  y)2 Ta cã: Sinh viªn: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán a c a(d a) c(b  c) a2  c2  ad  bc   4 bc da (b  c)(d  a) (a  b  c  d)2 T­¬ng tù: b d b2  d2  ab  cd  4 c d a b (a  b  c  d)2 Céng vÕ theo vÕ ta cã: a b c d a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd    4 b c c d a d a b (a  b  c  d)2 Ta chøng minh: a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd 2 (a  b  c  d)2  4a2  b2  c2  d2  ad  bc  ab  cd  2(a  b  c  d)2  2a2  2b2  2c2  2d2  4ac  4bd   (a  c)2  (b  d)2  Bµi tập áp dụng: Bài 1: Cho x,y,z thoà mÃn x(x  1)  y(y  1)  z(z  1)  xyz4 Chøng minh r»ng: Bµi 2: Cho a>b>c>0 vµ a  b  c  Chøng minh r»ng a3 b3 c3    bc ac ab Bµi 3: Cho x , y số thực thoả mÃn x2 + y2 = x  y  y  x Chøng minh r»ng : 3x + 4y  Bµi 4: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng: ab  bc  ca  Bµi 5:Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: p pa  p b  pc  3p (1) Bài 6: Cho a, b,c số khác Chøng minh r»ng: a b2 c2 a b c      b2 c2 a b c a Bµi Cho ba sè a, b, c  Tho¶ m·n ab  bc  ca  abc Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang 10 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Chứng minh rằng: b  2a c  2b a  2c    (*) ab bc ca Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Đây phương pháp chứng minh BĐT mà học sinh THCS dễ nhận dạng để chứng minh sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Ta cần phải ý đến dấu BĐT để sử dụng bất đẳng thức để chứng minh Khi áp dụng BĐT đà chứng minh bạn nên tách nhỏ BĐT cần chứng minh thành vế nhỏ sau cộng vế theo vế để BĐT cần chứng minh Ví dụ 1: Cho sè d­¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a3 b3 c3 a b c      b3 c3 a3 b c a Giải Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta cã: a3 b3 b3 c3 c3   a3 b3 b3 c3 c3 1 a (1) b 1 b (2) c c (3) 3 a a a Céng vÕ theo vÕ (1) (2) vµ (3) ta cã:  1 a3 b3 c3 a b c a b c  )   2(   )   2(  b c a b c a b c a a b c  2(   )  b c a a3 b3 c3 a b c      VËy: b3 c3 a3 b c a VÝ dơ 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n Chøng minh r»ng: abc  1   2 1 a b c Giải Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang 11 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Ta có: 1 b c 1  1   1 a 1 b 1 c b c áp dụng bất đẳng thức C«si: bc 2 1 a (1  b)(1  c) ac 2 1 a (1  a)(1  c) ab 2 1 c (1  a)(1  b) Nhân lại ta được: 8abc (1 a)(1  b)(1  c) (1  a)(1  b)(1  c)  abc  VÝ dô 3: Giả sử a,b,c d, số dương thoà mÃn: 1 1    3 1 a 1 b 1 c 1 d Chøng minh r»ng: abcd  81 Gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 1 1 1 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 1 d a b c d     1 1 a 1 a 1 a 1 a a(1  b)  b(1  a) c(1  d)  d(1  c) 1  (1  a)(1  b) (1  c)(1  d) a  b  2ab c  d  2cd    a  b  ab c d cd áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã: ab  2ab cd  2cd ab cd 1     ab  ab  cd  cd  ab  cd Sinh viªn: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang 12 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán abcd abcd  2 4  ab  cd  abcd   ab  cd  abcd  44 abcd 44 abcd 1   24 abcd  abcd (1  abcd)2   abcd  44 abcd   34 abcd  abcd Bài tập áp dụng: Bài 1: Chøng minh r»ng: ( a+ b + c ) ( 1 + + ) ≥ víi a,b,c > a b c Bµi 2: Cho a,b,c lµ độ dài cạnh tam giác với chu vi 2p Chøng minh r»ng: abc a) (p  a)(p  b)(p  c)  1 1 1 b)    2(   ) pa pb pc a b c Bµi 3: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng: a   b   c   3,5 Bµi 4:Cho a, b, c độ dài cạnh 2p chu vi tam giác Chứng minh r»ng: abc ( p  a )( p  b)( p  c)  D¹ng – Chøng minh phản chứng Đây phương pháp chứng minh BĐT dựa vào phương pháp chứng minh phản chứng Toán học Để chứng minh mệnh đề A ta giả sử mệnh đề A sai chứng minh r»ng tõ mƯnh ®Ị A sai ta suy mét điều mâu thuẩn để kết luận A Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B sai, tức A B đúng, từ chứng minh lập luận xác ta suy điều mâu thuẩn từ giả thiết Kết luận A B Điều vô lý trái với giả thiết, điều trái ngược , từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh phản chứng: Dùng mệnh đề đảo Phủ định suy điều trái với giả thiết Sinh viên: Nguyễn Mạnh Hùng Lớp: CĐSP Toán Tin K48 ThuVienDeThi.com Trang 13 chuyên đề bất đẳng thức - ĐSSC thực hành giải toán Phủ định suy trái với điều Phủ định suy hai điều trái ngược Một số ví dụ: VÝ dô 1: Cho a, b, c, d  R vµ a  b  2cd Chøng minh r»ng Ýt hai bất đẳng thức sau ®óng c2  a, d2  b Gi¶i Gi¶ sư hai bất đẳng thức sai, có nghĩa ta : c2 a d2 b c2  a  vµ d2  b   c2  a  d2  b   c2  d2  (a  b)   c2  d2  2cd  V× a+b =2cd  (c  d)2  M©u thuÉn Nên có hai bất đẳng thức đà cho Ví dụ 2: Cho sè d­¬ng a,b,c nhá h¬n Chøng minh r»ng cã bất đẳng thức sau sai: a(2  a)  b(2  b)  c(2 c) Giải Giả sử bất đẳng thức sau đúng, nhân ba đẳng thức lại ta a(2 a)b(2 c)c(2 c)  Mµ  a(2  a)  2a  a2   (a  1)2  T­¬ng tù ta cã:  b(2  b)   c(2  c)  Suy ra: abc(2  a)(2  b)(2  c)  M©u thuẫn Vậy có bất đẳng thức đà cho sai Ví dụ 3: Cho số tự nhiên khác nhỏ 108 Chứng minh chọn số đó, chẳng hạn a,b,c cho a