Đề tài Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức49680

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TRÀ VINH ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2007 – 2008 ……………… ………………… MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Người viết: CHUNG THUẬN THIÊN -1- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để giải tốn điều quan trọng phải lựa chọn phương pháp để giải tốn Các tốn đặc biệt toán bất đẳng thức đa dạng phong phú phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhiều ; việc lựa chọn phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khó khăn Đối với học sinh THPT đa số em ngại gặp toán bất đẳng thức em học khá, giỏi lại thích thú say mê với tốn bất đẳng thức Các toán bất đẳng thức giường khơng thể thiếu đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi Bất đẳng thức vấn đề nhiều người u tốn quan tâm Tơi người u tốn Tơi ln ln học hỏi tìm kiếm phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Sau chứng minh bất đẳng thức Tôi đặt câu hỏi :” Tại lại có bất đẳng thức ; Liệu từ bất đẳng thức xây dựng bất đẳng thức khác có liên quan hay khơng ?” Sau học sinh giải toán đặc biệt tốn bất đẳng thức Tơi ln khuyến khích yêu cầu em xây dựng bất đẳng thức có liên quan bất đẳng thức Cách làm giúp em học sinh nhìn nhận toán cách sâu sắc đồng thời phát triển tư sáng tạo cho học sinh Việc đề tốn quan trọng q trình giảng dạy mơn Tốn Vì tơi chọn đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ” -2- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức B NỘI DUNG  CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN : 1).a  b  a  b  2).a  bvàb  c  a  c 3).a  b  a  m  b  m m > 4).a  b  a.m  b.m m < a.m  b.m 5) a  b  a  c  b  d cd 6) a  b   a.c  b.d cd 0 x x m >  a b 7).a  b   x a  b x m < 8).a  1: x  y   a x  a y 9).0  a  1: x  y   a x  a y 10) x  a   a  x  a 11) x  a  x   ahayx  a 12) x  y  x  y 13) x  y  x  y a a 14)  ( a, b, c  0) ab abc a c a ac c 15)     ( a, b, c, d  0) b d b bd d     -3- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  BÀI TỐN: Xét tốn: với điều kiện R ( có ) Chứng minh : p = f( x, y, z,…)  A (  A )  Phương pháp giải: + Chứng minh p  g (t ) với t  D + Chứng minh g (t )  A với t  D Vấn đề đặt đánh giá biểu thức p để đưa biểu thức biến g(t) chứng minh g (t )  A - Việc chứng minh g (t )  A sử dụng cách biến đổi ( dự đoán dấu xảy ), ngồi học sinh lớp 12 làm cách nhanh chóng cách sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để giải - Cịn đánh giá p nói chung phong phú tùy thuộc tốn lựa chọn đánh giá thích hợp ( dùng cách biến đổi, sử dụng bất dẳng thức cổ điển bunhiacopki, côsi )  Kiến thức bổ sung Bất đẳng thức bản: a) Bất đẳng thức Côsi : Cho x1 , x2 , , xn (n  2) số khơng âm Khi đó: x1  x2   xn  n n x1 x2 xn đẳng thức xảy x1  x2   xn b) Bất đẳng thức bunhiacopxki : ( x12  x2   xn )( y12  y2   yn )  ( x1 y1  x2 y2   xn yn ) x x x đẳng thức xảy    n y1 y2 yn c) Bất đẳng thức svac – xơ ( hệ bất đẳng thức bunhiacopxki ) : Với y1 , y2 , , yn (n  2) số dương : xn  x1  x2   xn  x12 x2     y1 y1 y1 y1  y2   yn x x x đẳng thức xảy    n y1 y2 yn 2.Tính chất; a) Nếu p có giá trị khơng đổi ta hốn vị vịng quanh biến x,y,z…chẳng hạn p = f(x, y, z ) = f ( y, x, z ) = f( z, x, y ) Khi khơng tính tổng qt ta giả sử x = Max( x, y, z,…) x = Min( x, y, z,…) I MỘT BIẾN LÀ ẨN PHỤ t = h( x, y, z…) Sau số tốn ví dụ mở đầu -4- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  Bài toán 1: Với x, y số dương Chứng minh rằng: x  y  xy  yx (1) Hướng dẫn: Vì x số dương nên: y y y y 1         Đặt t  t  x x x x (1) trở thành t  t  t     t  1  t  1  0() () với t   đpcm Tổng quát ta có tốn sau: Cho x, y số dương Chứng minh : x n  y n  xy n1  yx n1  n  2, n  N  Chứng minh hoàn toàn tương tự toán  Bài toán 2: Với x, y khác không chứng minh rằng: x4 y  x2 y  x y       2 y x  y x  y x (2) Hướng dẫn Đặt t  x y x y x y  t      ( áp dụng bất đẳng thức Côsi ) y x y x y x Khi (2) trở thành : t      t    t     t    t  2t  t  3   2' +) Với t  : Ta có t  2t  t    t    t  1   Nên bất đẳng thức  2'  +) Với t  2 : Ta có t  2t  t   (t  2)  t    3  11  Và t +  nên bất đẳng thức  2'    Vậy bất đẳng thức   , dấu xảy t = - hay x = - y  đpcm  Bài toán 3: Với x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  x  y  z  xyz - Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN, NN đạt x = y = z điểm biên, Thử vào ta có phán đốn 2  P  2 Hướng dẫn Từ đẳng thức x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z  x  y  z  xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  điều kiện ta có: -5- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  x y z   2   P   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z         Đặt t  x  y  z   t  t2  t3 P  t (2  )    3t   t  t  2  2  2 2 Dấu xảy t  Vậy Pmin  2 x   2, z  y  hoán vị    Pmax  2 x  2, z  y  hoán vị Sau ta xét ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P thấy ẩn phụ  z , y, x  1 15 Chứng minh rằng: x  y  z      Bài toán 4: Cho  x yz  x y z  Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1 1    x  y  z  33  x yz x y z xyz x yz Đặt t  x  y  z   t  1 9 27 27 15   t   Vậy x  y  z     t   t  x y z t 4t 4t 4t 2 Dấu xảy x  y  z   đpcm Tổng quát ta có toán : Cho x1 , x2 , , xn  n   số dương : x yz x1  x2   xn  k  k  R*  b  0; ak  bn 1 1  bn  ak Chứng minh : a  x1  x2   xn   b        * x x x k n   Sơ lược lời giải : 1 1  bn a  x1  x2   xn   b       a  x1  x2   xn   x x xn  x1  x2   xn  2 bn t   bn  bn  bn  ak  1  at   bn     t  a   bn  k  a    t k  k k  k t k    -6- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Nhận xét 1: - Từ toán * ta có: Đặc biệt hóa Với a = 1; b = 4; n = 3; k = ta có tốn :  z , y, x   1  51 Chứng minh rằng: x  y  z       Cho  x yz  x y z  Kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có  z , y, x  Bài toán 2’: Cho  x yz   1 17 Cmr: x   y   z   y z x Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có : ( x2  1  4 2 ) x x x           y2 y y2 y  17  Tương tự sau cộng lại kết hợp toán ta suy điều phải chứng minh Với a = 1; b = 9; n = 3; k = kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có tốn Cho zx,y,yxz0 Cmr: x2  1  y   z   82 x y z Với a = - 1; b = 1; n = 2; k = ta có tốn: 1 x, y  Cho Chứng minh rằng:    x  y   x y x y  Bằng cách thay đổi giả thiết, đặt ẩn phụ ta có Bài tốn 2”: Cho xx,y y01 Chứng minh rằng: x y   1 x 1 y Thật vậy: Bằng cách đặt : a   x ; b   y kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki toán ta suy điều phải chứng minh Tổng quát : Cho x1 , x2 , , xn  n   số dương : x1  x2   xn  m  m   Chứng minh rằng: x1  m  x1 x2   m  x2 xn  m  xn m.n n 1 Chứng minh hoàn toàn tương tự ! -7- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức - Nếu đổi chiều bất đẳng thức điều kiện(bài tốn (*)) tốn thay đổi ? Trả lời câu hỏi ta có tốn : Cho x1 , x2 , , xn  n   số dương : x1  x2   xn  k  k  R*  b  0; ak  bn 1 1  bn  ak Chứng minh : a  x1  x2   xn   b       ** x x x k n   Từ tốn (**) ta khai thác ta toán thú vị…  Như làm tốn ta dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu tốn có chu kì hoạt động : Bài tốn cụ thể  tổng quát  đặc biệt  ( phân tích, so sánh… )  toán  tổng quát (chú ý tổng quát có nhiều hướng: theo số, theo số biến số mũ)  Bài toán 5: Với x, y, z số dương x y.z  Chứng minh rằng: x  x  yz y y  zx z  z  xy  (5) Hướng dẫn Đặt a  x , b  y , c  z Bài toán trở thành : a, b, c số dương a.b.c  Chứng minh : a2 a  bc b2  Áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ ta có: a2 a  bc  b2 b  ac  c2 c  ab  Bình phương hai vế bất đẳng thức: b  ac  c2 c  ab a  b  c  (4') 2 a  bc  b  ac  c  ab   a  b  c a  b  c   VT (5')     2 a bc b ac c ab       a  bc  b  ac  c  ab      a  b  c   3(a  b  c  ab  bc  ac) 4 a  b  c a  b  c     2    a  b  c    ab  bc  ac    a  b  c   3 ( Vì ab  bc  ac  3  abc   ) -8- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức a  b  c Đặt t  t  ( a  b  c  3 abc  ) t2 t 3 3t  15 t  3 3.9  15     2  Ta có: 3(t  3) 12 12 t  12 12 t   VT (5')   VT (4 ')  2 Dấu xảy x = y = z =  điều phải chứng minh Tổng quát : ta có tốn sau: với x1 , x2 , , xn  n   số dương x1 x2 xn  xn x1 x2 n     Cmr: x1  x2 x3 xn x2  x3 x4 xn xn  x1 x2 xn1  x y z     Bài toán 6: Cho x, y , z  Cmr: P  2 x  y  z 1 1 x 1 y 1 z 10 Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ chiều bất đẳng thức lại ngược Một ý nghĩ nảy sinh biến đổi P để làm đổi chiều bất đẳng thức ? Hướng dẫn  x2  y2   z2   P  x 1   y 1   z 1      x y z          3  x y z   1     2  x y z      2 2 4 x y z      x  y z  1      y  y z  z  x  y  z  x3  y  z  xx Đặt t  x  y  z từ điều kiện  t  Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki Cơsi ta có: x  y  z   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   xyz  3 t  x2  y  z  2  x  y  z  1   x  y  z      t   t  2   2t 2t 3t  10t  P  1  1     t 10 10 10 t t   t 3t   t   3t  3t 3 (  t )(57t  9) 9 P   3t  10t  10 10 Dấu xảy x = y = z =  đpcm 2 -9- Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Khi gặp tốn có điều kiện phức tạp khó sử dụng xử lí điều kiện Ta xét toán sau:  x, y, z   0;1 Chứng minh rằng: x  y  z   Bài toán 7: Cho   x y.z  1  x 1  y 1  z  (1) Hướng dẫn 1   ( x  y  z )  xy  yz  xz  xyz  x  y  z   2( x  y  z )  ( x  y  z )  xyz  x yz Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:    xyz nên    x yz 2 2 x  y  z   2( x  y  z )  ( x  y  z )      Đặt t = x + y + z < t < Khi : 15 3 t  t  2t   (2t  3) (  t )   27 27 4 Dấu xảy t  hay x = y = z =  đpcm 2 x2  y  z   Nhận xét 2: từ ý tưởng phương pháp giải ta sáng tạo bất đẳng thức : Chẳng hạn : Từ bất đẳng thức Côsi Cho x, y số dương Chứng minh :  x  y    x y  xy Cho x, y, z số dương không lớn Chứng minh : 1 1  x 1  y 1  z    x yz 1 b)   1  x 1  y 1  z  x yz a) Từ ta có tốn Tổng qt : ( ý câu b chặt câu a ) Cho x1 , x2 , , xn  n   số dương khôg lớn  Chứng minh rằng: a n1 an    a  x1  a  x2   a  xn  x1  x2   xn n Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :  na   x1  x2   xn    a  x1  a  x2  a  x3     n   n n 1 n a a  na  t  na  t  n n1a n  t (na  t ) n1  Bất đẳng thức trở thành :     0 t n  n  n  ta n1  n - 10 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:   n  1 na   n  1 t  na  t  na  t   na  t     n   n n 1 n  n  1 t  na  t  na  t   na  t    n  1 a  t  na  t   n n1a n n Kết hợp điều kiện toán nên bất đẳng thức (*) Ngồi từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt sau: Cho x1 , x2 , , xn  n   số dương khôg lớn a Chứng minh rằng:  n 1     n  n 1 a n1  n 1    x1  x2   xn  n  n 1 an   a  x1  a  x2   a  xn  n Chứng minh hoàn toàn tương tự tổng quát ! Từ đẳng thức, bất đẳng thức , đơn giản ta tạo vơ số tốn ! Để kết thúc phần I xin đưa thêm số toán làm theo phương pháp : ************* Một số toán ************ I1 Cho I Cho xx, y, zy 0z  xx.,yy.,zzx0 y  z  2 2 Chứng minh : x  y  z  27 xyz  30 Chứng minh : x  y  z  Hướng dẫn : Từ bất đẳng thức bunhiacopxki , Svac – xơ đẳng thức: x  y  z  2( xy  xz  yz )   x  y  z  I Cho x, y, z nằm đoạn 1; 2 Cmr :  xy  yz  zx  ( x  y  z )  x y z 4 I Cho x, y , z  Chứng minh rằng:    x y.z  y z x x yz  x, y, z  1 108 Chứng minh rằng: I Cho     x yz  x  x2 y  y z  z  27 x y 27   với x, y thuộc R I Chứng minh rằng:  2  x4  y 2 HD: đặt t = x  y  x yz 3 I Cho   x, y , z   0;  Chứng minh rằng: 27 1    2  x   y   z    x  y  z 2 HD: đặt t =  x  y  z  2 - 11 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  4 I Cho x, y, z  Chứng minh rằng: x  y  z   y  z  x   z  x  y   x  y  z 1 12 HD: Giả sử x  y  z  Đặt t = x( y + z ) ta chúng minh x  y  z   y  z  x   z  x  y   t (1  3t )  4 2 I Cho x  y  z  xyz  Chứng minh rằng: x  y  z  x, y , z   x, y, z   0;1 xy  yz  zx  x  y  z x2 y2 z2 Chứng minh rằng:   3 ( y  z  x) ( z  x  y ) ( x  y  z ) I10 Cho  Nhận xét 3: - Nếu chứng minh g(t)  cách biến đổi trước tiên phải dự đoán dấu xảy đâu để giá hay tách nhóm hợp lý - Khi đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện sát ẩn phụ đặc biệt chứng minh g(t) phương pháp đạo hàm II MỘT BIẾN LÀ x( y z) - Ở ví dụ phải làm xuất ẩn phụ, sau ta xét lớp toán mà ẩn phụ x y z Đưa biến nhờ điều kiện :   Bài toán 8: Cho x  y  z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  xyz  x, y , z  27 Hướng dẫn Từ điều kiện toán ta thấy  z    z  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:  x y xy  yz  zx  xyz  z ( x  y )  xy (1  z )  z ( x  y )    1  z     z3  z2  z  1 z   xy  yz  zx  xyz  z (1  z )     1  z     1 1  5 8 Với z,  z   z  z   4 3   27 27 Dấu xảy x = y = z =  đpcm  Bài toán 9: Cho x  y  z  Chứng minh rằng:  xyz   xy  yz  zx  x, y , z   Hướng dẫn Khơng tính tổng qt giả sử z = min(x,y,z) Từ điều kiện dễ thấy  z  - 12 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn (9) Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  x y (9)   xy ( z  2)  z ( x  y )       z  2  z( x  y)    2 z  1  z    z  3z   3 z   5 0 0   z    z (3  z )   24 4   Đúng với z   o;1 Dấu xảy x = y = z =  đpcm  Nhận xét 4: - Nếu lấy điều kiện  z  bất đẳng thức đánh giá biểu thức không Ở sử dụng tính chất để làm hạn chế điều kiện biến để đánh giá biểu thức - Ta có tốn Tổng qt toán sau:   x  y  z  3; x, y , z  a Bài toán 9’ Cho  a  0; b  0;    b  Chứng minh rằng: a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  Hướng dẫn Khơng tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z) 3a   Ta có: b a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  xy ( a  bz )  az ( x  y )  (3a  b)   z  3a   a  bz   az (3  z )  (3a  b)  b( z  1)  z     4 b   a Chú ý: Nếu  3 việc chứng minh tốn tổng qt khơng cần sử dụng tính b Từ điều kiện dễ thấy  z   a  bz  0; z  Thay đổi hình thức tốn: - Sử dụng đẳng thức x  y  z  2( xy  yz  zx)   x  y  z  ta đưa tốn tốn tương đương hình thức khác: Chẳng hạn tốn phát biểu dạng tương đương : Cho xx,y,yzz0 Chứng minh rằng: x  y  z  xyz  Hay sử dụng đẳng thức: x  y  z  xyz   x  y  z   x  y  z   3( xy  yz  zx)   Bài tốn phát biểu dạng : Cho xx,y,yzz0  Chứng minh rằng: 2( x  y  z )  xyz  - Đặt ẩn phụ : a = mx; b = my; c = mz a  1 ; b  ; c  v v x y z - 13 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Chẳng hạn : toán phát biểu dạng tương đương    Cho x  y  z  Chứng minh rằng:  27 xyz  18( xy  yz  zx) x, y , z   Cho xyz  xy  yz  zx Chứng minh rằng: x y z  27 xyz  18( x  y  z ) x, y , z  - Sử dụng tính chất bắc cầu bất đẳng thức ta có: Chẳng hạn 9: Từ bất đẳng thức Côsi: x  y  z  xyz Ta có tốn xx,y,yzz0 Chứng minh rằng: x  y  z  15  6( xy  yz  zx) ) Từ cách chứng minh toán tổng quát ta có tốn Tương tự:   x  y  z  3; x, y , z  a Bài toán 9” Cho  a  0; b  0;    b  Chứng minh rằng: a ( xy  yz  zx)  bxyz  (3a  b)  Chú ý: Để chứng minh : sử dụng Tính chất với z = max(x,y,z) Đặc biệt hóa ta có toán: Với a = 1; b = - 2: Cho xx,y,yzz0 Chứng minh rằng: xy  yz  zx  xyz  Sau ta xét tiếp số tốn sử dụng tính chất để làm hạn chế phạm vi biến:   Bài toán 10: Cho x, y, z   0; 2 Chứng minh rằng: x  y  z  x yz 3 Hướng dẫn Khơng tính tổng qt, giả sử z = max ( x,y,z) Từ điều kiện   z  Ta có: x  y  z  x  y  xy ( x  y )  z  ( x  y )3  z  (3  z )3  z   z  27 z  27  9( z  1)( z  2)   Với z ,1  z  Dấu xảy ( x,y,z ) = ( 0, 1, 2) hoán vị  đpcm  Bài tốn 11: Cho x  y  z  Chứng minh rằng:  x  y  z   x y z  x, y , z   Hướng dẫn.Ta có :  x  1 y  1   y  1 z  1   z  1 x  1     x  1 y  1 z  1   Do ba số  x  1 y  1 ;  y  1 z  1 ;  z  1 x  1 có số khơng âm - 14 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Giả sử  x  1 y  1   xy  x  y  Ta có: 2( x  y  z )  x y z   x  y   z   x  y  1 z  2  3  z   2z    z  z  z  4z3  z  6z    ( z  1) ( z  z  2)    x  y  z  Dấu xảy ( x  1)( y  1)   x  y  z  2 ( z  1) ( z  z  2)   điều phải chứng minh 2 Bằng cách sử dụng tính chất ta tạo toán  x y.z  17    Chứng minh rằng: xy  yz  zx  chẳng hạn Cho  x, y , z   ;   2   ************* Một số toán ************ II1 Cho x  y  z  x, y , z  a ) y  z  16 xyz Chứng minh rằng: b).xy  yz  zx  xyz c).9 xyz   4( xy  yz  zx)  Chứng minh rằng: 3( x  y  z )  xyz  10 II Cho x, y , z  xy  yz  zx   2 x y 2   II3 Cho x, y  0;  Chứng minh rằng: 2 1 y 1 x   x y 2x HD: Giả sử  y  x  ta chứng minh   2  y  x  x2 II Cho x  y  z  Chứng minh rằng: x, y , z  x 1 y2 1 z2 1   a) + y 1 z 1 x 1 n n n x 1 y 1 z 1   b) + yn 1 zn 1 xn   - 15 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Hướng dẫn Giả sử x = max(x,y,z) x2  y  z  y2 1 z2 1 2 + y z         y  z  x2  x2  x2  1   ( y  z )2   x2  2x   x 1 x 1 Câu b tương tự ! II5 Cho  x, y, z   0; 2 Chứng minh rằng: x n  y n  z n  2n  x yz 3 Đưa dần biến: Từ biểu thức P có n biến ta đánh giá đưa ( n - 1) biến … cuối biến Sau ta xet số ví dụ đặc trưng thể phương pháp này:  Bài toán 12: Cho x, y, z nằm đoạn 1; 2 Chứng minh rằng: x  y  z  xyz Hướng dẫn Đặt f ( x, y, z )  x  y  z  xyz Không tính tổng quát giả sử :  x  y  z  f ( x, y, z )  f ( x, y,1)  z  xyz  (1  xy )  ( z  1)(1  z  z  xy )  Vì : z   nên  z  z  xy   z  z  z   z  z  4( z  1)  z   Mặt khác : f ( x, y,1)  f ( x,1,1)  y  xy  (1  x)  ( y  1)(1  y  y  x)  Vì: y   nên  y  y  x   y  y  y  y  y   ( y  1)( y  2)  y   Vậy f ( x, y, z )  f ( x,1,1)  x  x   ( x  2)  x  1    x,1  x   Dấu bất đẳng thức xảy (x, y, z) = ( 2, 1, 1) hoán vị (2, 1, 1)  điều phải chứng minh  Bài toán 13: ( toán số ) Cho xx,y,yzz0  Chứng minh rằng:  xyz   xy  yz  zx  Hướng dẫn Đặt P( x, y, z) = 2( xy + yz + zx ) – xyz Ta cần chứng minh f  x, y, z   Do vai trò x, y, z f nên theo tính chất ta giả sử  x  y  z kết hợp điều kiện ta dễ dàng suy  x  - 16 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Xét : yz yz , ) 2 yx ( y  z )2  y  z ( y  z )2  2( xy  yz  xz )  xyz   x  x   x 4   yz yz 3 x 3 x  ( x  2)( y  z )   f ( x, y, z )  f ( x, , )  f ( x, , ) 2 2  x  3x    x3  3x  ( x  1) ( x  2)  f ( x, y , z )  55  5 5 x;0  x  4  x   y  z 2  Dấu xảy   x  y  z 1 x   điều phải chứng minh  Bài toán 14: Cho x, y, z số dương Chứng minh : x  y  z  xyz f ( x, y , z )  f ( x, Hướng dẫn Không tính tổng quát , giả sử z  y  x  Đặt f ( x, y, z )  x  y  z  xyz Ta có: f ( x, y , z )  f ( x, y ,   z xy  z xy )  z    xy   xy  z xy  xy  z  Mặt khác: Đặt g ( x, y )  f ( x, y , g ( x, y )  g ( x, x )  y  x   xy )  x  y     xy   x   xy  xy  y  x3  xy  z   0 Vậy f ( x, y, z )  f ( x, y, xy )  g ( x, y )  g ( x, x)   Dấu xảy  z   điều phải chứng minh  Nhận xét : x  y xy  x  y  z - Khi đưa biểu thức biến biến hay biến thường xét hiệu biểu thức bất đẳng thức biểu thức với x ( y z ) thay trung bình nhân trung bình cộng - thường ta phải sử dụng tính chất có đánh giá - 17 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức ************* Một số toán ************ II Cho xx.,yy.,zz10 Chứng minh :  x  y  y  z  z  x    x  y  z  1 II Cho xyx, y, zyz0 zx  xyz  Chứng minh : x  y  z  xyz  x , y , z  2 II Cho x  y  z  Chứng minh : a ).xy  yz  zx  xyz b).9 xyz    xy  yz  zx   II Cho x, y   0;  x y 2 2    Chứng minh :  y  x2  1  x y z    II 10 Cho x, y   ;3 Chứng minh : x y yz zx 3  II 11 Cho x, y, z số dương chứng minh : xyz  2( x  y  z )   5( x  y  z ) xy  yz  zx  II 12 Cho x, y , z  Chứng minh : 3( x  y  z )  xyz  10 2 II 13 Cho x  y  z  x, y , z  Chứng minh : x  y  z  x y  y z  z x 2 2 x  y  z 3 II 13 Cho x, y , z  Chứng minh : 7( xy  yz  zx)  12  xyz    III KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TRONG LƯỢNG GIÁC Ở bất đẳng thức đại số Vậy lượng giác liệu đánh giá khơng ? sau ta xét số ví dụ lượng giác  Bài tốn 15: Chứng minh tam giác ABC ta có : sin A  sin B  sin C  (15) - 18 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức Hướng dẫn (15)  sin A  sin B  sin C  2sin Đặt cos A B A B C  sin C  2cos  sin C cos 2 C  t   t 1 Ta có: C C C C  sin C  2cos  cos sin  2 2 C C  2cos (1  sin )  2t  3(1  t ) 2 2cos   Áp dụng bất đẳng thức côsi :    3(1  t )  2t   (1  t )   2t 1     4  3t  6t  (t  ) 3t   6 3 15' với t > Vì sin A  sin B  sin C  A B  1 cos  Dấu xảy   C cos   cos    điều phải chứng minh  2t     31    t    23  (15’) CA  B2   Bài toán 16: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1  cos A1  cos B 1  cos C   cos A cos B cos C (16) Hướng dẫn +) Nếu tam giác có góc vng góc tù bất đẳng thức ln +) Nếu tam giác nhọn, ta có:  cos A  (cos B  cos C )  cos B cos C 1 cos A cos B cos C BC B C    cos cos    cos A 2     1 cos A  cos( B  C )  cos( B  C )    2  (16)  16' - 19 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức A A   A    2sin 4sin 2sin  cos A   1  2  VT (16')  1  cos A  (1  cos A)  cos A 2  Ta có : A  A A A A  4sin  2sin  4sin  4sin 1  2sin  2 2 1 2 0  0 cos A cos A cos A 16’’ Vì tam giác nhọn nên (16’’) ln Do (16) B C  cos   A BC Dấu xảy  A 1  sin    điều phải chứng minh * Trong tam giác ABC ta có điều kiện A  B  C  1800 Nên gợi ý cho sử dụng tính chất để làm hạn chế vi biến từ đánh giá biểu thức Sau ví dụ :  Bài tốn 17: Chứng minh tam giác ABC ta có : 3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A) (17) Hướng dẫn Khi hốn vị ( A, B, C ) bđt ( 17) khơng thay đổi khơng tính tổng quát Giả sử : A = ( A, B, C ) Vì A  B  C  1800  3A A  cos  2 T  3(cos A  cos B  cos C )  2(sin A sin B  sin B sin C  sin C sin A)  BC B C     cos A  cos cos   cos( B  C )  2   BC B C  cos( B  C )  2sin A.2sin  cos 2 B C  A A  cos A  cos   cos( B  C ) A 6sin 4sin cos  2  A A A A Vì sin  0,  cos   6sin  4sin A cos  2 2 A A  2sin (3  4cos )  2 Nên 00  A  600  - 20 - Giáo viên: CHUNG THUẬN THIÊN DeThiMau.vn .. .Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để giải tốn điều quan trọng phải lựa chọn phương pháp để giải tốn Các toán đặc biệt toán bất đẳng thức. .. học hỏi tìm kiếm phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Sau chứng minh bất đẳng thức Tôi đặt câu hỏi :” Tại lại có bất đẳng thức ; Liệu từ bất đẳng thức xây dựng bất đẳng thức khác có liên quan... DeThiMau.vn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức xây dựng số bất đẳng thức  BÀI TỐN: Xét tốn: với điều kiện R ( có ) Chứng minh : p = f( x, y, z,…)  A (  A )  Phương pháp giải: + Chứng minh