Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
359,18 KB
Nội dung
B t đ ng th c CÁC PH http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt NG PHÁP CH NG MINH B T NG TH C ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt PH NG PHÁP 1: S d ng đ nh ngh a bi n đ i t ng đ ng 1.C s lí thuy t: Ta s d ng m t s bi n đ i s c p đ đ a b t đ ng th c c n ph i ch ng minh v m t b t đ ng th c m i mà b t đ ng th c m i ho c có th ch ng minh đ c 2.M t s ví d minh h a đ Ta có th bi n đ i t ng A.Bi n đ i t ng đ VD1: Cho a,b,c>0.Cmr: Gi i ng đ ng tr c ti p ho c đ t n ph r i bi n đ i t ng ng tr c ti p a b c a2 b2 c2 b c c a a b b c2 c2 a a2 b2 (1) a2 a b2 b c2 c ) ( ) ( )0 2 2 2 bc ca ab b c c a a b a b a c ab ac b c b a bc ba c a c b ca cb 0 (b c )(b c) (c a )(c a ) (a b )(a b ) ab(a b) ac(a c) bc(b c) ab(b a) ca (c a) cb(c b) 0 (b c )(b c) (c a )(c a) (a b )(a b) (1) ( 1 1 ab( a b ) bc(b c) 2 2 (c a )(c a ) ( a b )(a b) (b c )(b c) ( c a )(c a ) 1 ca (c a ) (2) 2 (a b )(a b ) (b c )(b c) a b Do a,b,c>0 nên n u a b thì: 1 (b c )(b c) (c a )(c a ) 1 0 (b c )(b c) (c a )(c a ) ab(a b) 2 a b N u a b thì: 1 (b c )(b c) (c a )(c a ) 1 ab(a b) 0 2 (b c )(b c) (c a )(c a ) 1 ab(a b) 0 2 (b c )(b c) (c a )(c a ) Nh v y ta ln có: ThuVienDeThi.com B t đ ng th c T http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt ng t : 1 bc(b c) 0 2 (c a )(c a ) (a b )(a b ) 1 ca (c a ) 0 2 (a b )(a b ) (b c )(b c) C ng v v i v c a b t đ ng th c (2) v i a,b,c>0 đpcm VD2: Cho a, b, c 0;1.Cmr: a b c (1 a )(1 b )(1 c) b c 1 c a 1 a b 1 Gi i: Do vai trị c a a,b,c nh nên có th gi s : a, b, c a a a (1) b c 1 S a S c b b b (2) c a 1 S b S c 1 c (3) Ta cm cho: (1 a)(1 b)(1 c) a b 1 t S a b c 1 0 (1 c) (1 a)(1 b) a b 1 (1 a b ab)( a b 1) (1 c) 0 a b 1 a b a ab a ab b b a b ab ab (1 c) 0 a b 1 a b ab a b ab 0 a b 1 b(a 1)(a b) (1 c) i u ln a, b, c 0;1 a b 1 (1 c) T (1),(2),(3) 1 c a b c a b c (1 a )(1 b)(1 c) 1 b c 1 c a 1 a b 1 S c S c S c S c đpcm VD3: n n1 Cho p(x) a0 x a1x an1x an có n nghi m phân bi t, n 2, n Ch ng t : (n 1)a1 2n n (1) Gi i a (1) (n 1) a0 n 2 (2) n0 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt Do đa th c p(x) có n nghi m phân bi t nên theo đ nh lí Viet ta có: A : x1 x x n a a1 B : x1 x x x3 x n1 x n a0 a0 n n n n Ta có: A xi x i xi x j x i 2B i 1 i 1 i , j 1 i 1 i j n n i 1 i 1 (2) (n 1) A 2nB (n 1)( x i B) 2nB (n 1) x i 2B n n i 1 i 1 n x i x i B A n n x i 1 2 i n xi i u theo bđt Bunhiacopski v i b s i 1 ( x1 , x2 , , x n ) (1,1, ,1) D u b ng không x y vì: x1 x2 x n (các nghi m c a p(x) phân bi t) 1 (1) đpcm B t n ph sau bi n đ i t ng đ ng VD1: CMR: a, b, c ta có a b b c c a 3a b c 2(a b c )a b c (1) Gi i a 2b b c c a a2 b2 c2 ( ) (2) bc ca ab c4 a4 b4 c2 a2 b2 t x , y ,z Ta có: xyz=1 ab bc ca 1 Khi (2) tr thành: 2( x y z ) x y z 1 ( ) 2( x 1)( y 1) ( xy 1) (3) x y (1) Vì xyz=1 nên t n t i s nh h n hay b ng ho c s l n h n hay b ng ( x 1)( y 1) (3) V y b t đ ng th c cho đ c ch ng minh VD2: CMR: (1 cos A)(1 cos B)(1 cos C ) cos A cos B cos C (1) Gi i Ta ln có: cos A, cos B, cos C (1 cos A)(1 cos B)(1 cos C ) N u ABC vng ho c tù cos A cos B cos C Khi (1) ln N u ABC nh n cos A cos B cos C Khi (1) cos A cos B cos C (2) cos A cos B cos C ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt A B t x tan , y tan , z tan Ta có (1) C 2 x2 1 1 y 1 z2 1 y2 1 x2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 x2 1 y2 1 z2 1 2x 2y 2z 2x2 2y 2z 1 2 2 2 xyz 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z tan A tan B tan C A B C tan tan 2 A B C (3) tan A tan B tan C cot cot cot 2 M t khác: ABC ln có: tan A tan B tan C tan A tan B tan C A B C A B C cot cot cot cot cot cot 2 2 2 A B C T (3) tan A tan B tan C cot cot cot 2 A B C (4) tan A tan B tan C tan tan tan 2 x y tan x tan y tan Ta có b đ sau: x, y : x, y 2 ABC nh n A, B, C A B C cot Áp d ng b đ : tan A tan B tan 2 BC A tan B tan C tan cot 2 CA B tan C tan A tan cot 2 A B C C ng v v i v ta có: 2(tan A tan B tan C ) 2(tan tan tan ) 2 A B C tan A tan B tan C tan tan tan (đpcm) 2 V y b t đ ng th c cho đ tan c ch ng minh 3.Bài t p áp d ng Bài 1: V i m i a,b d u m,n s t nhiên ch n ho c l CMR: HD: a m b m a n b n a m n b m n (1) 2 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt (1) (a n b n )(a m b m ) a,b d u m,n s t nhiên ch n ho c l Bài 2: Cho a,b,c s th c th a mãn: a, b, c Cmr: a b c a b b c c a (1) HD: (1) a (1 b) b (1 c) c (1 a) Mà a (1 b) b (1 c) c (1 a ) a (1 b) b(1 c) c(1 a ) a b c ab bc ca (a 1)(b 1)(c 1) abc (do a, b, c ) Bài 3: Cho a,b >0.Cm: (a b)(a b )(a b ) 4(a b ) (1) b a b a b a b a HD: (1) (1 )(1 ( ) )(1 ( ) ) 4(1 ( ) ) b (1 t )(1 t )(1 t ) 4(1 t ) a ba ba ba ba Bài 4: Cho ab ab c ab ab c t t 1 a b c Cmr: f (a, b, c) max , , Bài 5: Cho a,b,c>0.Cm b t đ ng th c: HD: áp d ng vd1.A PH b2 c2 c a2 a b2 2( a b c ) a b c NG PHÁP 2:S d ng tam th c b c hai 1.C s lí thuy t: Xét f ( x) ax bx c (a 0) , : b 4ac Xu t phát t đ ng nh t th c b f ( x) a ( x ) ta có k t qu sau: a 4a a nh lí 1: f ( x) x a nh lí 2: f ( x) x a nh lí 3: f ( x) x ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt a nh lí 4: f ( x) x nh lí 5: f ( x) có nghi m x1 x2 b x1 x a Khi f ( x) a( x x1 )( x x ) x x c a ch ng minh A B ta vi t bi u th c A B thành tam th c b c hai theo m t bi n s Sau d a vào đ nh lí v d u c a tam th c b c hai suy u ph i ch ng minh 2.Các ví d minh h a VD1: Cho a,b,c s th c th a mãn: a 36 abc Cmr: Gi i a2 b c ab bc ca (1) (1) (b c) a(b c) 3bc a2 (2) a T abc bc 12 4a 12 a a2 0 (3) a a a (do a 36 ) Theo đ nh v d u tam th c b c hai (3) (1) đpcm a Th vào (2) ta có: (b c) a(b c) VD2: Gi s A, B, C góc c a m t tam giác không cân tai C.Bi t r ng ph ng trình : (sin A sin B) x (sin C sin A) x sin B sin C (1) Có m t nghi m th c.Cmr: B 60 Gi i Vì ABC khơng cân t i C nên A B sin A sin B V y (1) pt b c hai M t khác sin A sin B sin B sin C sin C sin A nên (1) có nghi m x1 nghi m là: x c sin B sin C a sin A sin B Vì (1) có m t nghi m th c nên x1 x sin B sin C sin A sin C sin B sin A sin B AC AC B B AC B sin cos sin cos cos sin 2 2 2 B B B sin sin 30 B 60 đpcm 2 2 VD3: Cho ABC có đ dài c nh a,b,c di n tích S.Khi ta có: ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt (2 x 1)a ( 1)b c 3S , x (1) x Gi i: (1) 2a x a x 2b b x c x 3Sx, x 2a x ( a b c 3S ) x 2b x (2) Có (a b c 3S ) (4 ab) (a b c 3S 4ab)(a b c 3S 4ab) Theo đ nh lí cơsin: c a b 2ab cos C a b c 2ab cos C Xét a b c 3S 2ab cos C 3S ab cos C 3S ab sin C 2ab(cos C sin C ) áp d ng Bunhiacopski ta có: (cos C sin C ) cos C sin C 4ab 2ab(cos C sin C ) 4ab Nên 2 ( a b c 3S 4ab)(a b c 3S 4ab) 0 Theo đ nh lí v d u c a tam th c b c hai (2) (1) đ c cm cos C sin C tan C C 120 D u ‘=’ x y VD4: Cho ABC có đ dài c nh a,b,c.Cmr: 50abc 20a 15b 12c 20a(b c ) 15b(c a ) 12c(a b ) (1) Gi i: Theo đ nh lí hàm s cos ta có: b c a 2bc cos A c a b 2ac cos B a b c 2ab cos C (1) 50abc 40ab cos A 30abc cos B 24abc cos C 50 40 cos A 30 cos B 24 cos C 25 (8 cos A cos B)5 24 cos C 25 (8 cos A cos B )5 24 cos C 25 (2) Coi n có: 64sos A 96 cos A cos B 36 cos B 96 cos( A B) 100 64 cos A 96 cos A cos B 36 cos B 96 cos A cos B 96 sin A sin B 100 100 64 sin A 36 sin B 96 sin A sin B 100 (8 sin A sin B ) (2) (1) đ c cm sin A D u b ng x y sin B ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt VD5: Cho a,b,c th a mãn a b x,y thay đ i th a mãn ax by c (1) CMR: x y Gi i c2 a2 b2 a T gi thi t a b b Khơng m t tính t ng quát ta gi s : b c ax c ax T (1) y Do x y x b b (a b ) x 2acx c b t f ( x) (a b ) x 2acx c ac b2c2 ) a2 b2 a b2 2 c2 b c x2 y2 2 đpcm b a b2 a2 b2 Có a b f ( x) f ( VD6: Cho a b c d v i a, b, c CMR: ac bd cd 96 Gi i t S ac bd cd T c d d c Nên S ac b(3 c ) c(3 c ) c (a b 3)c 3b (*) Xét tam th c f ( x) Ax Bx C AC B B ) 2A 4A 12b (a b 3) (a b) 6(a b) 11 (*) S S 4 2 2 t t a b t (a b) 2(a b ) N u A f ( x) f ( t Trên ; hàm f (t ) t 6t 11 t ng f (t ) f ( ) Do S 96 đpcm 3.Bài t p áp d ng: Bài 1: V i n s nguyên d ng cho 2n s b t kì: a1 , a , , a n , b1 , b2 , , bn n n n i 1 i 1 i 1 Cmr: ( )( bi ) ( bi ) D u b ng x y nào? (B t đ ng th c Bunhiacopski) ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt n HD: Xét f ( x) (ai x bi ) x i 1 n n n i 1 i 1 i 1 Vi t l i: f ( x) ( )x 2( bi ) x bi x Theo đ nh lí v d u c a tam th c b c hai đpcm Bài 2: Cho ABC Cmr x ta đ u có: x2 cos A x(cos B cos C ) (1) HD: (1) x 2(cos B cos C ) x 2(1 cos A) x BC BC A Cm: ' cos cos sin 2 Bài 3: Cmr n u b,c,d s th c th a mãn d c b ,thì v i m i s th c a ta có b t đ ng th c: (a b c d ) 8(ac bd ) (1) 1 HD a (1) v b t đ ng th c b c n a ch ng minh cho ' Bài 4: Cho a,b,c s d ng th a mãn: a 2b b c c a Cmr có th d ng đ c m t tam giác có đ dài c nh a,b,c x y z xy yz zx Bài 5: Cho x,y,z nghi m c a h : Cmr: x, y, z HD: (a b c ) (1) y z x y z x yz x( y z ) yz x x (1) y,z hai nghi m c a ph ng trình: X ( x 4) X x x (2) Do x,y,z t n t i nên (2) có nghi m Bài 6: Cmr : HD: 1 x2 y2 z cos A cos B cos C (1) v i x, y, z x y z xyz a (1) v b t ph ng trình b c hai v i n x ch ng minh cho Bài 7: Cho a,b,c đ dài c nh c a tam giác.Cmr n u ax by cz ayz bzx cxy Bài 8: Cho ABC v i c nh a,b,c đ ng cao , hb , hc v i p ta có: p (1 ) 2 abc a (a 2ha ) b(b hb ) c(c 2hc ) a (b c) b(c a ) c(a b) ca a b a 2ha b 2hb c 2hc bc 10 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c PH n http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt NG PHÁP 3: S d ng b t đ ng th c c A.B t đ ng th c Cauchy 1.C s lí thuy t: V i n s không âm a1 , a , , a n ta ln có: n a1 a a n a1 a a n D u b t đ ng th c x y a1 a a n n 2.Các ví d minh h a a, T a 3b b 3c c 3a VD1 Cho a,b,c>0 a b c CMR: b, S a 7b b 7c c 7a 33 Gi i a, Áp d ng b t đ ng th c côsi cho s d a 3b 3c b ng t : b 3c c a 1 c 3a Ta có: T ng a+3b,1,1: a 3b C ng v b t đ ng th c ta đ c: 4( a b c) a b c theo gi thi t D u b ng x y a b c T a 3b b 3c c 3a b, Áp d ng b t đ ng th c côsi cho s d a 7b b 7c b 7c c a 22 c 7a ng a+7b,2,2 Ta có: a 7b T ng t : 3 C ng v b t đ ng th c ta đ c: 8( a b c ) 12 (vì a b c ) ( a 7b b 7c c a ) S a 7b b 7c c 7a 33 D u b ng x y a b c 4 a b c VD2: Cho a,b,c s d ng.Cmr bc ca ab Gi i t S a b c a b c Ta có: S 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 11 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt S 3 S ( a b c)( 1 ) (1) bc ca ab abc abc abc bc ca ab Áp d ng b t đ ng th c Cauchy Cho s d ng: a+b,b+c,c+a có: a b b c c a 33 (a b)(b c)(c a ) Cho s d ng 1 1 1 , , có: 33 ab bc ca ab bc ca (a b)(b c)(c a ) Nhân v b t đ ng th c ta có: 2( S 3) ( a b b c c a )( 1 1 ) 33 ( a b)(b c )(c a ) 33 ( a b )(b c)(c a ) ab bc ca S đpcm 2 D u b ng x y a b c S 3 VD3: Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : f ( x) x Gi i: kho ng 0; x3 x2 x2 x2 x3 1 55 ( x ) ( ) 3 x x 27 x D u “=” x y x5 3 x f ( x) x V y = 0; 27 V i x ta có: f ( x) b c a b c a VD4: cho a,b,c>0.Cmr: ( c)( a)( b) abc (1) Gi i: a b b c c a a a c Ta có VT(1)= ( b ca)( b) c b a ab ac bc 1 a2 b c abc c b a ab ac bc 0, 0, a 0, b 0, c Áp d ng bđt cauchy cho c b a ab ac bc 33 abc a b c 33 a b c c b a (1) ( c)( a)( b) (1 abc ) (2) VT 33 abc 33 (abc) abc VT (1 abc ) đpcm D u b ng x y a=b=c VD5: Cho a, b, c , a b c CMR: a b c 1 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 12 ThuVienDeThi.com (1) B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt Gi i a b c a b c ) 111 ( 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a b c a b c (2) 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a.1 a a a Xét 1 a a 1 1 a a a b b b 1 c c c 1 , T ng t 2 b c 1 b 1 c a b c a b c 3 abc V y 2 1 a 1 b 1 c 4 1 a 1 b 1 c (1) a b c a b c 3 (do a+b+c=3) 2 1 a 1 b 1 c 4 1 a 1 b 1 c D u b ng x y a=b=c=1 VD6: Cho a,b,c>0 Cmr: Gi i a T 4 a 8bc b b 8ac 4 c c 8ab 4 1 4 Ta có: (a b c ) (a ) (a b c a )(a b c a ) 4 4 4 3 (a b c a )(b c ) 8a bc 4 4 4 (a b c ) 8a bc (a ) 2 (a b c ) a (bc a ) a a 8bc a3 4 a b c T b ng t : b 8ac c c 8ab V yT a a 8bc b b 8ac c c 8ab D u b ng x y a=b=c VD7: Cho n s d ng a1 , a , , a n Cmr: 1 n2 a1 a a n a1 a a n Gi i Áp d ng b t đ ng th c cauchy cho n s d Ta có: a1 a2 an n n a1a an ng 13 ThuVienDeThi.com b3 4 a3 b3 c3 c3 4 a3 b3 c3 B t đ ng th c 1 a1 a an http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt n 0 a1 a a n 1 ) n (a1 a a n )( a1 a an n 1 n2 a1 a a n a1 a a n D u b ng x y a1 a a n VD8: Cho x,y,z>0.Cmr: x y z x yz xyz y z x Gi i Áp d ng cauchy cho s d ng có: 3x x x z x x z 33 y y x y y x xyz 3y y y z y yz 33 3 z z x z z x zzx z z x z z x 3z 33 x x y x x y xxy 3( x y z ) x y z 3( ) xyz y z x Nh n xét: Ta có th thêm b t u ki n tóan đ có tốn m i x y z x yz y z x x y z Bài toán 2: Cho x,y,z>0 x+y+z=1.Cmr: y z x xyz Bài toán 1: Cho x,y,z>0 xyz=1.Cmr: x y y z z x Bài toán 3: Ch ng minh x, y, z có: (1 )(1 )(1 ) 3.K thu t Cauchy ng c d u: ây m t nh ng k thu t khéo léo,m i m n t đ ng th c cauchy.Ta xét ví d sau: VD1: Cho x,y,z>0 x+y+z=3.Cmr: x yz xyz ng nh t c a b t 1 2 2 1 x 1 y 1 z Gi i Ta không th s d ng tr c ti p b t đ ng th c cauchy d u đ i chi u: 1 1 1 2 2x y 2z 1 x 1 y 1 z 1 Mà x y 2z Tuy nhiên ta có th s d ng b t đ ng th c cauchy theo cách sau: x2 1 x2 1 x2 14 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt Vì x x T ng t ta đ x x2 x2 x x2 x V y 1 2 2x 2 1 x 1 x 1 x c: 3 1 x y z 3( ) 3 2 2 2 2 1 x 1 y 1 z D u “=” x y x=y=z=1 VD2: Cmr m i s d ng có t ng b ng S Gi i Làm t a 1 c 1 d 1 4 b 1 b 1 c 1 d 1 ng t ví d trên: a 1 (a 1)b b (a 1) ab b a a a 1 2 2b b 1 b 1 ab b bc c cd d da d T ng t suy ra: S a b 1 c 1 d 1 2 2 ab bc cd da a b c d S (a b c d ) ( ab bc cd da ) a b c d S 4 a b c d ( ab bc cd da) 4 S 4 D u b ng x y a=b=c=d=1 4.Bài t p đ ngh : Bài 1:Cho a, b Cmr: (a b) 4(a b ) Bài 2:Cmr x, y, z , a, b, c ta có: ax by cz ( a b c )( x y z ) Bài3: Cho a,b,c d ( a b c)( x y z ) ng th a mãn: 4(a b c) 3abc 1 Cmr: a b c 1 HD: T gi thi t ab bc ca 1 Áp d ng b đt cauchy cho s d ng: 2ab a b 1 3 2bc b c 1 2ca c a C ng v v i v đpcm a, b, c Bài 4: Cho Ch ng minh r ng: a b b c c a a b c 15 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 3 (a b ) ( a b) 2 2 a, b, c Cm: a b c Bài 5: Cho b2 c2 1 a2 abc 3 HD: a b HD: S d ng k thu t cauchy ng c d u: a 1 (a 1)b b (a 1) ab b a a a 1 2 2b b 1 b 1 Bài 6: Cho a,b,c>0 a+b+c=1.Cmr: 1 (1 )(1 )(1 ) 64 a b c a a a b c 44 a bc a a a Bài 7: Tìm GTLN c a hàm s : f ( x) x (2 x) đo n 0;2 a HD: HD: Vi t f ( x) 33 ( x) (2 x) 5 Áp d ng bđt cauchy cho s không âm:3 s b ng Bài 8: Cmr: n u n s d ng a1 , a , , a n th a mãn x ,5 s b ng 2-x 1 1 n ph i có: a1a an a1 a2 an (n 1) n Bài 9: Cho n s a i có t ng a1 a a n ph i ch ng b t đ ng th c sau đúng: ( B/B t đ ng th c bunhiacopski: 1.C s lí thuy t: 1 1)( 1) ( 1) (n 1) n a1 a2 an V i b n s (a1 , a , , a n ) (b1 , b2 , , bn ) ta ln có: ( a1b1 a b2 a n bn ) ( a1 a a n )(b1 b2 bn ) (1) 2 2 2 D u đ ng th c x y (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) b s t l T c là: a1 a a b b b n ho c n b1 b2 bn a1 a an Gi i N u a12 a 2 a n ho c b1 b2 bn (1) hi n nhiên Do v y ch c n xét tr ng h p: a12 a 2 a n b1 b2 bn Ta có x R : a12 x 2a1b1 x b1 (a1 x b1 ) 2 a x 2a b2 x b2 ( a x b2 ) ………… 2 a n x 2a n bn x bn ( a n x bn ) C ng v v i v b t đ ng th c ta có: 16 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 2 2 ( a1 a a n ) x ( a1b1 a b2 a n bn ) x b1 b2 bn Tam th c b c hai v trái không âm v i m i x nên 2 2 2 2 2 2 ( a1b1 a b2 a n bn ) ( a1 a a n )(b1 b2 bn ) ( a1b1 a b2 a n bn ) ( a1 a a n )(b1 b2 bn ) D u b ng x y x0 cho: a1 x0 b0 a1 x0 b1 a n x bn 2.Các h qu : a a1 a n b1 b2 bn HQ1: V i dãy s (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) , bi 0, i 1,2, , n 2 a1 a2 an (a1 a a n ) b1 b2 bn b1 b2 bn HQ2: V i dãy s (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) , bi 0, i 1,2, , n Ta có: (a1 a a n ) n(a12 a 2 a n ) B t đ ng th c bunhiacopski th ng đ c áp d ng đ ch ng minh b t đ ng th c v i s th c th ng có d ng sau: a, f ( x) g ( x) c v i f ( x), g ( x) 0, f ( x) g ( x) A b, f ( x) g ( x) c v i af ( x) bg ( x) c a b2 c, af ( x) bg ( x) a b k v i f ( x) g ( x) k (k 0) d, h ( x) f ( x) g ( x ) đ, a cos x b sin x a b e, a cos x b sin x cos x c sin x d m f, a cos x b sin x cos x c M m cos x n sin x p g, f ( x) M 3.M t s ví d : VD1: Cho ph ng trình x ax bx ax (1) a, b R Bi t (1) có nh t nghi m th c.Cmr: a b D u b ng x y nào? Gi i Gi s (1) có nghi m th c x0 Ta có: x ax0 bx0 ax0 (2) x0 T (2) ( x t y0 x0 x0 ) a ( x0 ) b (3) x0 T (3) y0 ay b ( y 2) (ay0 b) x0 17 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt Áp d ng bunhiacopski cho b s (a,b) ( y0 ,1) ( ay b ) ( a b )( y 1) 2 ( y 2) ( a b )( y 1) a2 b2 ( y 2) 2 y0 M t khác: y0 ( x0 ) x0 t y0 t , t (t 2) 9 t 1 t t5 t5 t5 9t t t (1 ) (t 5)5 5t 25 Do đó: a b D u b ng x y t=0 y0 x 1 2 V i x0 a , b , a b2 5 2 V i x 1 a , b , a b2 5 a2 b2 VD2: x, y, z ,Cmr: x2 1 y z 6( x y z ) Gi i: Gi s h qu v i dãy s ( x, y, z ) (1,1,1) có: x2 1 y z ( x y z) 32 ng ( x y z ) 32 ta có: Áp d ng b t đ ng th c cauchy v i s d x2 1 y z 6( x y z ) D u đ ng th c x y x=y=z=1 VD3: Trong ABC ch ng minh: Gi i 1 2 1 1 ( )2 ( )2 r hb hc Ta có S aha bhb chc hb hb hc hc r 1 1 2p (a b c) pr r hb hc 2S h h h 1 ( ) ( c2 b2 a2 ) r hc hb r h h h c2 b2 a2 D u b ng x y hb hc r hc hb 18 ThuVienDeThi.com B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt VD4: Gi s x, y, z 1 x y z Cmr: x y z x y z Gi i T 1 x 1 y 1 z 1 2 1 x y z x y z Áp d ng bđt Bunhiacopski cho ( x , y , z ) ( x 1 , y 1 x y x 1 y 1 z 1 Ta có: ( x y z 1) ( x y z )( ) x y z , z 1 z ) y z (đpcm) D u b ng x y x y z VD5: Cho ABC c nh a,b,c i m M ABC G i kho ng cách t M t i x y z x 1 BC,CA,AB l n l Cmr: t :x,y,z a2 b2 c2 (R bán kính đ 2R x y z Gi i ng tròn ngo i ti p ABC ) abc a b c (a b c )(ax by cz ) 4R 2R abc Ln có: a b c ab bc ca ( a b c )(ax by cz ) ( ab bc ca)( ax by cz ) 1 ( )(ax by cz ) abc abc a b c Ta có: ax by cz 2S Áp d ng bđt bunhiacopski: ( x y z ) ( ax a by b 1 1 ) ( ax by cz )( ) a b c c cz a b2 c2 a2 b2 c2 x y z 2R 2R a b c D u b ng x y ABC đ u, M tr ng tâm x y z ( x y z )2 VD6: Cho s d cho tr c Cmr: S ng x,y thay đ i cho: x y a b a,b s (a x) x2 a2 D u b ng x y nào? x y a b ( x y) a b Gi i Áp d ng bđt Bunhiacopski cho s ta đ ( x x y x y (a x) a b ( x y ) a b ( x y) ( x a x) (a b)( c: ) ( x y a b x y )( (a x) x2 ) x y ab x y 19 ThuVienDeThi.com x2 (a x) ) x y abx y B t đ ng th c http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt x2 a2 (a x) x y ab x y ab ax x : x y : abx y D u b ng x y abx y x y x ax x y ab x y x(a b x y ) (a x )( x y ) ax by VD7: Xác đ nh u ki n c n đ v i h s th c r1 , r2 , , rn cho 2 x1 x x n ( r1 x1 r2 x rn x n ) dãy x1 , x , , x n R Gi i i u ki n c n: Ch n ( x1 , x2 , , xn ) (r1 , r2 , , rn ) r1 r2 rn (*) i uc nđ : Dãy (ri ) th a mãn u ki n (*) theo bunhiacopski 2 2 2 ( r1 x1 r2 x rn x n ) ( r1 r2 rn )( x1 x x n ) ( r1 r2 rn )( x1 x2 x n ) ( x1 x x n ) 2 2 2 2 ( r1 r2 rn ) 2 ( x1 x x n ) ( r1 x1 r2 x rn x n ) K t lu n u ki n c n đ là: r12 r2 rn 4.B t đ ng th c Bunhiacopski m r ng Cho s a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c , c3 Cmr: (a1b1c1 a b2 c a 3b3 c3 ) (a13 b13 c13 )(a b2 c )(a3 b3 c3 ) (1) Gi i Áp d ng bđt cauchy cho s d ng ta có: a1 3 a1 a a 3 b1 3 b1 b2 b3 c1 3 c1 c c3 3a1b1c1 3 a1 a a3 33 3 b1 b2 b3 T ng t có bđt cho s d ng có t s là: a , b2 , c a , b3 , c3 C ng v v i v c a b t đ ng th c ta đ c: 3(a1b1c1 a b2 c a 3b3 c3 ) 3 3 3 3 (a1 a a )(b1 b2 b3 )(c1 c c3 ) 3 3 3 3 3 ( a1b1c1 a b2 c a 3b3 c3 ) ( a1 a a )(b1 b2 b3 )(c1 c2 c3 ) đpcm L u ý: v i cách làm t ng t ta có tr ng h p t ng quát: Cho m b s , m i b g m n s không âm: (ai , bi , , k i ), i 1,2, , m 20 ThuVienDeThi.com 33 3 c1 c2 c3 ... x x c a ch ng minh A B ta vi t bi u th c A B thành tam th c b c hai theo m t bi n s Sau d a vào đ nh lí v d u c a tam th c b c hai suy u ph i ch ng minh 2 .Các ví d minh h a VD1: Cho a,b,c... c n ph i ch ng minh v m t b t đ ng th c m i mà b t đ ng th c m i ln ho c có th ch ng minh đ c 2.M t s ví d minh h a đ Ta có th bi n đ i t ng A.Bi n đ i t ng đ VD1: Cho a,b,c>0.Cmr: Gi i ng đ ng... http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt PH NG PHÁP 1: S d ng đ nh ngh a bi n đ i t ng đ ng 1.C s lí thuy t: Ta s d ng m t s bi n đ i s c p đ đ a b t đ ng th c c n ph i ch ng minh v m t b t đ ng th c m i mà