Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VƯƠNG THỊ NGÁT CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC Hà Nội – 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: ThS Hồng Ngọc Minh Sinh viên thực khóa luận: Vương Thị Ngát Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiên cứu, học tập làm việc cách nghiêm túc, em hồn thành Khóa luận tốt nghiệp Trước trình bày nội dung Khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới người giúp đỡ em suốt thời gian qua Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới ThS Hồng Ngọc Minh – giáo viên mơn Tốn trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên Hà Nội, người trực tiếp hướng dẫn em suốt trình thực Khóa luận tốt nghiệp Gần tháng qua, thầy ln quan tâm, giúp đỡ tận tình bảo để em hồn thành tốt Khóa luận Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ThS Đào Thị Hoa Mai – giảng viên trường Đại học Giáo Dục – ĐHQGHN Mặc dù, cô không người trực tiếp hướng dẫn em cô hỗ trợ, động viên giúp đỡ em tận tình trình thực Khóa luận Khi em gặp khó khăn ln người lắng nghe tìm cách giải khó khăn giúp em Thực em cảm ơn cô rất nhiều! Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn – giảng viên trường Đại học Giáo Dục – ĐHQGHN, người truyền cảm hứng cho em đến với Bất đẳng thức định thực Khóa luận với đề tài Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Giáo Dục – ĐHQGHN thầy cô bên trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội - ĐHQGHN, người giảng dạy trang bị cho em kiến thức quan trọng, quý báu em theo học trường tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình thực Khóa luận Ngồi ra, em vơ biết ơn gia đình, bạn bè người thân động viên, giúp đỡ em q trình học tập hồn thành Khóa luận tốt nghiệp Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2018 Sinh viên Vương Thị Ngát i DANH MỤC VIẾT TẮT THPT Trung học phổ thông ĐHQGHN Đại học Quốc Gia Hà Nội BĐT Bất đẳng thức AM – GM Arithmetic Mean – Geometric Mean, Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân CMR Chứng minh GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ NXB Nhà xuất HN Hà Nội ii LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC VIẾT TẮT ii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM 1.1 GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM 1.2 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP CỦA AM – GM KẾT LUẬN CHƯƠNG 12 CHƯƠNG MỘT SỐ KỸ THUẬT CƠ BẢN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 13 2.1 SỬ DỤNG CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN NHẤT 13 2.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI 22 2.3 KỸ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG 38 2.4 KỸ THUẬT THÊM BỚT 49 2.5 KỸ THUẬT ĐẶT ẨN PHỤ 59 2.6 KỸ THUẬT AM – GM NGƯỢC DẤU 71 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 79 KẾT LUẬN 79 KHUYẾN NGHỊ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Tốn học nay, bất đẳng thức ln vấn đề hay khó Các toán bất đẳng thức xuất phổ biến thi từ cấp tiểu học đại học, chí sau đại học Đây nội dung dùng để phân loại học sinh kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Vẻ đẹp hấp dẫn bất đẳng thức người u Tốn vơ tận, ln mang lại cảm xúc khó tả ta chinh phục tốn bất đẳng thức Bất đẳng thức lĩnh vực quan trọng Đại số học Các nhà Tốn học có chung nhận định rằng: “Các kết toán học thường biểu thị bất đẳng thức đẳng thức” Giống GS Hoàng Tụy nói: “Các nhà Tốn học làm việc với bất đẳng thức nhiều đẳng thức.” Trong sống ngày, ta biết trạng thái cân tạm thời, khoảnh khắc Mọi thứ vận động phát triển, trạng thái cân nhanh chóng bị phá vỡ để thay vào trạng thái bất cân tạo hướng tới trạng thái cân Nó đẳng thức bất đẳng thức sống Vì bất đẳng thức vấn đề khó nên để làm tốt tốn bất đẳng thức thử thách mong muốn người học toán Các lời giải bất đẳng thức nói chung thường khiến cho học sinh cảm thấy “từ trời rơi xuống” Khi giảng dạy bất đẳng thức hay tham khảo tài liệu đó, thường xuyên gặp phải lời giải như: “ta có…”, “ta chứng minh…” Học sinh thường xuyên phải chấp nhận lời giải mang tính chất áp đặt thế, dĩ nhiên học sinh hay thầy khơng thoải mái đón nhận trình bày lời giải Thực tế, khơng có lời giải từ trời rơi xuống cả, kết cuối mày mị tìm phương pháp sáng tạo lời giải Không thế, cịn kết khổ luyện có phương pháp cho lị sản phẩm Trước đây, viết BĐT có thầy Phan Huy Khải, Phan Đức Chính, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Đức Tấn, …Hiện nay, cịn có thầy Trần Phương, Phạm Kim Hùng, Trần Tuấn Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Võ Giang Giai…đó bậc thầy lĩnh vực bất đẳng thức Nhưng vấn đề họ viết đa phần hàn lâm, với lực học sinh bình thường khó lĩnh hội Bản thân giáo viên dạy Tốn tương lai, hy vọng ngơn ngữ nhiệt huyết mình, em truyền tải đến học sinh vấn đề bất đẳng thức cách đơn giản dễ hiểu Đó lý em mạnh dạn xác định tên đề tài nghiên cứu em là: “Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức” Mục đích nghiên cứu - Muốn trau dồi bổ sung kiến thức nội dung bất đẳng thức, nội dung mà thân gặp phải nhiều khó khăn q trình học tập giảng dạy Sau znghiên cứu này, em hy vọng kỹ BĐT em cải thiện - Tạo cho tài liệu riêng ngôn ngữ theo cách hiểu thân, phục vụ cho trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học Đồng thời, gửi tới cho học sinh tài liệu tham khảo BĐT theo lối viết đơn giản dễ hiểu - Có hội để trao đổi, học hỏi kinh nghiệm từ bạn bè đồng nghiệp, người có chung niềm đam mê với BĐT gần xa Nhiệm vụ nghiên cứu - Bồi dưỡng trau dồi kiến thức chuyên môn, nghiệp vụ - Gửi tới học sinh số dạng tập có tính vận dụng cao, trình bày từ mức độ dễ đến khó, nhằm giúp học sinh bước nâng cao kiến thức kỹ để đạt kết tốt kỳ thi - Giúp học sinh nắm phương pháp chứng minh BĐT có nhìn tổng qt BĐT Đối tượng, khách thể, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp chứng minh - Khách thể nghiên cứu: nội dung BĐT chương trình Tốn phổ thông - Phạm vi nghiên cứu: Các kỹ thuật bất đẳng thức AM – GM Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài nghiên cứu này, em kết hợp phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp tư tổng hợp - Phương pháp chọn lọc, phân tích tổng hợp Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận trình bày chương: Chương Tổng quan bất đẳng thức AM – GM Chương Một số kỹ thuật bất đẳng thức AM – GM CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM 1.1 GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM Trong chương trình Tốn phổ thơng nay, biết đến bất đẳng thức sau: Nếu x1 , x2 , , xn số thực khơng âm, x1  x2   xn n  x1 x2 xn n (1) Đẳng thức xảy x1  x2   xn Bất đẳng thức có tên gọi xác bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Inequality of Arithmetic Mean and Geometric Mean) Ở nhiều nước giới, người ta gọi bất đẳng thức theo kiểu viết tắt bất đẳng thức AM – GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) Ở nước ta, bất đẳng thức gọi theo tên nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức bất đẳng thức Cauchy Thật ra, cách gọi tên khơng xác Cauchy khơng phải người đề xuất bất đẳng thức mà người đưa phép chứng minh đặc sắc cho Vậy bất đẳng thức AM – GM đời phát triển nào? Câu hỏi mang tính lịch sử thu hút nhiều quan tâm nhà Toán học đại G H Hardy (1877 – 1947), nhà Toán học xuất sắc người Anh tiếng với luận A Mathematician’s Apology, hay với phương pháp Hardy Littlewood circle – công cụ thông dụng lĩnh vực Giải tích số, coi người tiên phong cơng việc hệ thống đưa nghiên cứu nguồn gốc bất đẳng thức kinh điển Tiếp theo ta cần nhắc tới đóng góp D S Mitrinovic (1908 – 1995) – nhà Toán học người Serbia với tham vọng thống kê tập hợp tất bất đẳng thức sơ cấp Ông tỏng thành viên sáng lập Hiệp hội khoa học Serbia, biết đến với câu danh ngôn độc đáo: “There are no equalities, even in the human life, the inequalities are always met” (tạm dịch “Khơng có đẳng thức, chí đời sống người – bất đẳng thức luôn hữu”) Từ thời xa xưa, người cổ đại biết tới bất đẳng thức tam giác vấn đề xuất phát từ thực tế Ít lâu sau, Euclid (Ơ-clit) – vị “cha đẻ hình học” sử dụng ý tưởng từ phương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM – GM tổng quát với n  (bất đẳng thức AM – GM coi bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bất đẳng thức tam giác) Vào thời cận đại, Cauchy (Cô-si) xem người phát đưa phép chứng minh tài tình cho bất đẳng thức AM – GM tổng quát dựa phép quy nạp Toán học Nhưng điều người biết thực tế, trước đó, vào năm 1729, C Maclaurin (1698 – 1746), nhà Toán học tiếng người Scotland chứng minh bất đẳng thức Ơng có nhiều đóng góp lớn lĩnh vực bất đẳng thức Tuy nhiên ông không trọng việc đặt tên bất đẳng thức tổng qt tìm Có lẽ mà lịch sử bất đẳng thức AM – GM lại ghi dấu ấn Cauchy Maclaurin Xét ý nghĩa Toán học, bất đẳng thức AM – GM coi bốn cầu nối quan trọng cho phát triển bất đẳng thức từ thời đại Newton đến đầu kỷ XX Trong sách “Means and their Inequalities” (Springer Publishing House 1/1988) nhóm tác giả P S Bullen, D S Mitrinovi, P M Vasic, họ đưa 50 cách chứng minh cho bất đẳng thức AM – GM Sau số chứng minh thông dụng phổ cập  Cách Đặt   x1  x2   xn n Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  n  x1 x2 xn (2) Với bất đẳng thức tổng qt phép quy nạp Tốn học có lẽ đường khả thi mà nghĩ tới Thật vậy, ta sử dụng phép quy nạp để chứng minh (2) Cơ sở: Với n  , bất đẳng thức hiển nhiên Giả thiết quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n (n  1) , tức: Với x1 , x2 , , xn  ,  x  x   xn      x1 x2 xn n   n n Bài 47: Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc  Chứng minh ab  bc  ca  Bài giải Theo giả thiết ta có: ab  bc  ca  abc  Điều tương đương với abc   ab  bc  ca    a  b  c    12   ab  bc  ca    a  b  c  ,  a  2 b   c     a   b     b   c     a   c   , 1 Tương tự Bài 46, ta đặt tiếp a  1   a2 b2 c2 2m 2n 2p ,b ,c Thay vào bất đẳng thức n p pm mn cần chứng minh trở thành 2m 2n  n p pm 2n 2p p 2m   3, pm mn mn n p hay m n n p p m 2 2  3, n p pm pm mn mn n p Đến đây, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta m n m n   , n p pm m p n p n p n p   , pm mn pm mn p m p m   mn n p mn n p 66 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có m n n p p m m p n p mn 2 2     n p pm pm mn mn n p m p n p mn Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 48: CMR với số thực dương a , b, c ta ln có a3 a3   b  c   b3 b3   c  a  c3  c3   a  b   Bài giải Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành bc 1    a  Đặt x   ca 1    b    ab 1    c  bc ca ab 1 trở thành , y ,z a b c 1  x3  1  y3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có dạng  ab  67 1  z3  ab , ta có  1  x3  1  x   x  x  1   1  x    x  x  1 x  2 Chứng minh tương tự, ta thu 1 1    , x2  y  z  2 Hay tương đương,  bc   2  a  ca   2  b    ab   2  c   Đến đây, ta dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có bc   2  a  ca   2  b  ab   2  c     a2 b  c  b2 c  a c2 a  b a2 a2   , 2 2  a  b2  c2   2a 2  b  c   2a b2 b2   , 2 2  a  b2  c2   2b 2  c  a   2b c2 c2   2 2  a  b2  c2   2c 2  a  b   2c Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 49: Chứng minh với số thực dương a , b, c ta ln có a  bc   b  c  a  b2  c2   b  ca   c  a  b c2  a2  68  c  ab   a  b  c  a  b2   Bài giải Đặt x  a  b  c  , y  b  c  a  , z  c  a  b  Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với yz zx x y    x y z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số, ta có yz zx x y    33 x y z Đến đây, ta cần yz zx x y x y z  x  y  y  z  z  x  xyz  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM lần nữa, ta  x  y  y  z  z  x  xyz  xy yz zx  xyz Như vậy, toán giải hoàn toàn Đẳng thức xảy a  b  c   Kết luận chung 2.5: Kỹ thuật đặt ẩn phụ giúp ta thu gọn số ẩn toán, khiến toán trở nên gọn đơn giản Khi đặt ẩn phụ, ta cần ý đến điều kiện ẩn cần linh hoạt việc chọn ẩn 69 Bài tập đề xuất Cho a , b, c số thực dương tùy ý Chứng minh ab bc ca    3 a  b2  c  c a b Cho a , b, c số thực dương tùy ý Chứng minh  a  b  b  c   c  a   3 a  b  c  3abc  a  b  c   ab  bc  ca  3 Cho số thực a , b, c khác đôi Chứng minh 2  a   b   c          a b  bc   c a  Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn a  b  c   ab  bc  ca   1   CMR a b c ab  bc  ca   27  1 1 Cho số thực a , b, c thỏa mãn  a  b  c       10 CMR a b c a 1   b2  c     b c a 70  27   2.6 KỸ THUẬT AM – GM NGƯỢC DẤU Bài 50: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    2 2 1 b 1 c 1 a Bài giải Ta có: a ab  a   b2  b2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a ab ab ab a a a 2 2b 1 b 1 b Chứng minh tương tự, ta có b bc  b  ,  c2 c ca c 2 1 a Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta thu a b c ab  bc  ca ab  bc  ca    abc  3 2 2 1 b 1 c 1 a Đến đây, ta cần ab  bc  ca  3, tốn coi giải Ta thấy, ab  bc  ca  a  b  c  Bất đẳng thức ln Như vậy, tốn giải xong 71 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 51: Cho số dương a , b, c Chứng minh a3 b3 c3 abc    2 2 a b b c c a Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a3 ab ab b a a a 2 2ab a b a b Chứng minh tương tự, ta có b3 c b , 2 b c c a  c  c2  a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Bài 52: Chứng minh với số thực dương a , b, c thỏa mãn a  b  c  3, ta ln có 1 a 1 b 1 c     b2  c  a Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có b2  a  1 b2  a  1 1 a b  ab  a 1  a 1  a 1 2b 1 b b 1 72 Chứng minh tương tự, ta có 1 b c  bc  b 1 , 2 1 c 1 c a  ca  c 1 2 1 a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 a 1 b 1 c a  b  c ab  bc  ca     3 2 2 1 b 1 c 1 a ab  bc  ca  a  b  c      3 2 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 53: Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    b  ab c  bc a  ca Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a b b 1 11            1 2 b ab b a b 4 a  b  ab b a  b Tương tự, ta có b 11      1 , c  bc c  b  c 11      1 a  ca a  c  Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta thu 73 a b c 3 1 1        b  ab c  bc a  ca  a b c  Bài tốn cho quy toán chứng minh 1    a b c Bất đẳng thức tương đương với 1  1  1    a     b     c    a  b  c  a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM lần nữa, ta có 1 1  a  a  2,  b  2,  c  a a b c Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 54: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz  Chứng minh x4 y y4 z z4 x    2 x 1 y 1 z 1 Bài giải Áp dụng kỹ thuật AM – GM ngược dấu, ta có x4 y x2 y x2 y xy 2  x y  x y  x2 y  2x x 1 x 1 Tương tự, ta có 74 y4 z yz  y2 z  , 2 y 1 z4 x zx  z2 x  2 z 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta suy cần phải chứng minh x2 y  y z  z x  xy  yz  zx  2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM số, ta có x y  y z  z x 3xyz   2 Đến đây, ta cần chứng minh x2 y  y z  z x  xy  yz  zx Sử dụng AM – GM kết hợp với giả thiết xyz  ta có x y  x y  y z  3 x y.x y y z  3xy, y z  y z  z x  3 y z y z.z x  yz , z x  z x  x y  3 z x.z x.x y  3zx Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x  y  z  Bài 55: Cho số dương a , b, c thỏa mãn abc  Chứng minh abc  1 a 1 b 1 c   1 b 1 c 1 a 75 Bài giải Ta có b 1  a  1 a  1 a  , 1 b 1 b Bài tốn cho viết lại thành, chứng minh b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  33 b 1  a  c 1  b  a 1  c   3 abc  1 b 1 c 1 a Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 56: Cho số thực không âm a , b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    b  16 c  16 a  16 Bài giải Sử dụng kỹ thuật AM – GM ngược dấu, ta có  a 1 ab3   ab3  a   a      b3  16 16  b3  16  16  b  23  23  1 ab3   ab  a    a  16  12b  16  12 Tương tự, ta có 76    b 1 bc  c 1 ca  b   c     12  12 c  16 16  a  16 16   ,  Bài toán cho quy chứng minh 1 ab  bc  ca 3 16  12   ,  Hay tương đương ab  bc  ca  Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh ab  bc  ca  abc  Khơng tính tổng quát, giả sử b số nằm a c Từ ta có a  b  c  b  a   0, Do ab2  bc  ca  abc  b  a  c   a  b  c b  a   b  a  c  2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1  2b   c  a    c  a    2b. c  a   c  a      2  b c  a Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy  a, b, c    0,1,  hoán vị tương ứng  Kết luận chung 2.6: 77 Kỹ thuật AM – GM ngược dấu kỹ thuật hay, khéo léo, mẻ ấn tượng bất đẳng thức AM – GM Trong kỹ thuật này, ta cần phải linh hoạt việc tách ghép biểu thức để đưa điều phải chứng minh Kỹ thuật thực hiệu toán bất đẳng thức hoán vị Bài tập đề xuất CMR với số thực dương a , b, c, d thỏa mãn điều kiện a  b  c  d  4, ta có a b c d     2 2  b c  c d  d a  a 2b Chứng minh với số thực dương a, b, c, d , ta ln có a4 b4 c4 d4 abcd     3 3 3 a  2b b  2c c  2d d  2a Cho số thực dương a , b, c a  b  c  Chứng minh a2 b2 c2    a  2b3 b  2c c  2a Cho a, b, c, d  a  b  c  d  Chứng minh 1 1     2 2 1 a 1 b 1 c 1 d Cho a, b, c, d  a  b  c  d  Chứng minh a 1 b 1 c 1 d 1     b2  c  d  a  78 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu, khóa luận em thu kết sau: - Trình bày kiến thức liên quan đến bất đẳng thức AM – GM - Tổng hợp đưa kỹ thuật bất đẳng thức AM – GM Các kỹ thuật trình bày cách đơn giản dễ hiểu, lồng ghép tập minh họa có tính vận dụng cao Được trình bày với mức độ từ dễ đến khó, làm tăng hứng thú cho người đọc nghiên cứu Như vậy, nói mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu khóa luận hồn thành Tuy nhiên, q trình thực nghiên cứu khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận lời nhận xét đóng góp từ quý thầy cô bạn KHUYẾN NGHỊ Thông qua trình nghiên cứu này, em xin đề xuất số ý kiến sau: - Giáo viên dạy Toán phổ thông nên đưa nội dung Bất đẳng thức tới học sinh nhiều thông qua buổi tập huấn, bồi dưỡng chuyên đề hay bồi dưỡng học sinh giỏi Thậm chí, đưa vào tự chọn hay luyện tập lớp để học sinh tiếp cận với nội dung hay thú vị - Khi dạy phần bất đẳng thức, giáo viên nên chia thành kỹ thuật đưa lưu ý để học sinh nhận biết, định hướng lời giải cho toán cách nhanh gọn xác - Khuyến khích học sinh tích cực tìm hiểu học tập bất đẳng thức để thấy vẻ đẹp bất đẳng thức Toán học, đời sống ngày 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh, Sử dụng phương pháp AM – GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh, Sử dụng phương pháp Cauchy – Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2010 [4] Võ Giang Giai, Tuyển tập toán bất đẳng thức cực trị đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Huỳnh Chí Hào, Chuyên đề “Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức” [6] Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi vào đại học bất đẳng thức, NXB Giáo dục Việt Nam [7] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức, 2006 [8] Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Tập 1, NXB Hà Nội, 1998 [9] Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Cô-si, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [10] Diễn đàn bất đẳng thức Việt Nam, Tuyển tập bất đẳng thức thi vào lớp chuyên Toán năm học 2009-2010 [11] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất Tri thức, 2009 [12] Tăng Hải Tuân, Bất đẳng thức qua đề thi chọn HSG mơn Tốn trường, tỉnh nước năm 2014-2015 80 ... bất cân tạo hướng tới trạng thái cân Nó đẳng thức bất đẳng thức sống Vì bất đẳng thức vấn đề khó nên để làm tốt tốn bất đẳng thức ln thử thách mong muốn người học toán Các lời giải bất đẳng thức. .. học” sử dụng ý tưởng từ phương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM – GM tổng quát với n  (bất đẳng thức AM – GM coi bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bất đẳng thức tam giác) Vào thời... - Giới thiệu lịch sử đời phát triển bất đẳng thức AM – GM - Đưa cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM - Các dạng thường gặp bất đẳng thức AM – GM cách chứng minh dạng thường gặp Những nội dung