Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức30449

một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  víi M VÝ dơ  x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu: x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx)   ( x  y )  ( x z )  ( y  z )  ®óng víi mäi x;y;z  R 2 V× (x-y)  víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y; (x-z)2  víix ; z DÊu b»ng x¶y = x=z (y-z)2  víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z)  ®óng víi mäi x;y;z  R VËy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z  R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dơ 2: chøng minh r»ng : a2  b2  a  b   a)  ; b)   a2  b2  c2  a  b  c    3   c) HÃy tổng quát toán Giải: a) Ta xÐt hiÖu   a  b a  2ab  b a2  b2  a  b   = = 2a  2b  a  b  2ab   4     a2  b2  a  b  = a  b   VËy   ; DÊu b»ng x¶y a=b     a2  b2  c2  a  b  c  2 b)Ta xÐt hiÖu:   = a  b   b  c   c  a   3   a2  b2  c2  a  b  c   VËy  ; DÊu b»ng x¶y a = b =c 3   a12  a 22   a n2  a1  a   a n   c)Tỉng qu¸t:  n n  phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức đà chứng minh Chú ý đẳng thức sau: A B  A2  AB  B ThuVienDeThi.com A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC  A  B   A3  A2 B  AB  B3 b2  ab c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e  Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e số thùc chøng minh r»ng: a) a  b) a  b   ab  a  b b2  ab  4a  b  4ab  4a  4a  b (bất đẳng thức ®óng) Gi¶i: a) a   2a  b  b2  ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b    (a  b)  (a  1)  (b  1) Bất đẳng thức cuối Vậy a  b   ab  a  b DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e   4 a  b  c  d  e   4ab  c  d  e   a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c  VËy a      a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   2 Bất đẳng thức ®óng vËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh VÝ dơ 2: Cho a, b hai số dương có tổng b»ng Chøng minh r»ng : 1   a 1 b 1 Gi¶i: Dïng phÐp biến đổi tương đương ; 3(a + + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)   4(ab + a + b + 1)   4ab +   4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x>y Giải: Ta có: (vì a + b = 1) x2  y2 Chøng minh 2 x y x2  y2  2 : x y nên x- y  x2+y2  2 ( x-y) x y  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab  1 a3 + b3 + ab -  2 1 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -  a2 + b2 -  V× a + b = 2 2 2  2a + 2b -   2a + 2(1-a) -  ( v× b = a -1 )  4a2 - 4a +  0 ( 2a - )2  Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab  ThuVienDeThi.com Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab  DÊu '' = '' x¶y a = b = 2 Ph­¬ng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thøc phô: b) x  y 2  xy a) x  y  xy a b b a c)   a1  a  a3   a n n  a1 a a3 a n Víi  n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: a2 a22 an2 x12  x22   n2  a1 x1  a2 x2   an xn 2 2)BÊt đẳng thức Cô sy: 4) Bất đẳng thøc Trª- b­-sÐp: abc A  B  C abc NÕu  A  B  C NÕu    aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3 abc aA  bB  cC a  b  c A  B  C DÊu b»ng x¶y   3 A  B  C b/ C¸c vÝ dơ VÝ dơ 1: Cho a, b ,c số không âm chứng minh rằng: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thøc phô: x  y 2  xy Tacã a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac 2 2  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc DÊu “=” x¶y a = b = c Ví dụ 2: Giả sử a, b, c số dương , chứng minh rằng: a b c bc ca ab Giải: áp dụng BĐT Cauchy , ta cã : a + (b + c)  a(b  c)  T­¬ng tù ta thu ®­ỵc : b 2b  ca abc , a 2a  bc abc c 2c  ab abc DÊu b»ng ba BĐT đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số dương ) Từ suy : a b c   2 bc ca ab VÝ dô : Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x  y  y  x Chøng minh : 3x + 4y Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x  y  y  x )2 ( x  ; y  1)  (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2  ThuVienDeThi.com Ta l¹i cã : (3x + 4y)2  (32 + 42)(x2 + y2)  25 => 3x + 4y   2 x  y  Đẳng thức xảy x 0, y   x y    x   y   §iỊu kiÖn :  x  2 VÝ dô 3: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a  b  b  c  c  a  b, a   b   c   3,5 Giải : a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki víi bé sè ta cã :  a  b.1  =>  ab    b  c  c  a  1   1 a  b  bc  ca 2 c 1  ; ab  bc  ca  b, ¸p dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : a   b 2   3.(2a  2b  ac)  => DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = T­¬ng tù : b       b  c    c  a   (a  1)  a  1 2 c 1 Céng tõng vÕ cña bất đẳng thức ta : a  b   c   abc 3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 tr¸i víi gi¶ thiÕt : a + b + c = VËy : a   b   c   3,5 VÝ dô : Cho số dương a , b , c thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : Gi¶i : Ta cã : Ta cã : 1   9 a b c a b  0 ,a,b>0 b a 1 1 1 1    (   ) = (   ) (a + b + c) a b c a b c a b c a b a c b a b c c a c b a b b a b c c b c a a c =1         =  (  )  (  )  (  )  + + + = => 1 1    DÊu ''='' x¶y : a = b = c = a b c VÝ dô 5: Cho x , y > Chøng minh r»ng : 1   x y x y x Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : x  y  xy   ThuVienDeThi.com  y xy => (x + y)( 1 1  )  =>   x y x y x y VÝ dô 6: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: (a  c)  (b  d )  a  b  c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd  a  b c  d mµ a  c 2  b  d 2  a  b  2ac  bd  c  d    a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d VÝ dô 7: Chøng minh r»ng: a  b  c  ab  bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có   (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  a  b  c  a  b  c  2ab  bc  ac  2 2 2   a  b  c  ab  bc  ac 2 2 2 Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c Phương pháp 4:dùng tính chấtcủa tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ số dương a a ac  b b bc a a ac b – NÕu  th×  b bc b a – NÕu 2) NÕu b, d >0 th× tõ a c a ac c     b d b bd d ` a b c d    2 abc bcd cd a d ab a a ad 1  Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã: (1) abc abc abcd a a  MỈt kh¸c : (2) abc abcd a a ad Tõ (1) vµ (2) ta cã: < < (3) abcd abc abcd b b ba T­¬ng tù ta cã:   (4) abcd bcd abcd c c bc   (5) abcd cd a abcd d d d c   (6) abcd d ab abcd VÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng:  céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã ThuVienDeThi.com a b c d     ®iỊu ph¶i chøng minh abc bcd cd a d ab a c a ab  cd c  VÝ dô : Cho: < vµ b,d > Chøng minh r»ng < b d b b d2 d a c ab ab  cd cd c ab cd   Gi¶i: Tõ <     b d b b d2 d2 d b d a ab cd c Vậy < điều phải chøng minh b b2  d d 1 VÝ dụ 3: Cho a;b;c;d số nguyên dương thỏa mÃn : a+b = c+d =1000 a c tìm giá trị lớn b d Phương pháp 5: Phương pháp làm trội Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cè g¾ng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak  ak 1 Khi ®ã : S = a1  a2  a2  a3   an  an a1 an (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = Khi ®ã P = ak ak 1 a a1 a2 a n  a2 a3 an 1 an 1 VÝ dơ :Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : 1 1      n 1 n  nn 1   víi k = 1,2,3,…,n-1 n  k n  n 2n 1 1 n Do ®ã:         n 1 n  2n 2n 2n 2n Gi¶i: Ta cã   1     n 1 1 n 2 Gi¶i : Ta cã    k 1  k k k k  k 1 Ta cã: > 2  1 2 3 2 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:      ………………   n 1  n n    Céng tõng vÕ bất đẳng thức ta có 1     n 1 1 n ThuVienDeThi.com Víi n lµ sè nguyªn VÝ dơ : Chøng minh r»ng n k 1 Gi¶i: Ta cã Ta cã: VËy n k k 1 k 2 n  Z 1 1    k k k  1 k  k 1  1 2 1   32 1   n n 1 n 1      n Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức tam giác Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a;b;c> 0; |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |ab| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải: a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b  a  a (b  c)  b  b(a  c)  c  c ( a  b)   Céng tõng vÕ c¸c bÊt đẳng thức ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b) Ta có a > b-c   a  a  (b  c) > b > a-c   b  b  (c  a) > c > a-b   c  c  (a  b)  Nhân vế bất đẳng thức ta    a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  b  c  a  c  a  b 2  VÝ dơ 1: Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh tam giác) Chứng minh : Giải: Ta cã : p - a = 1 1 1   2(   ) pa pb pc a b c bca 0 T­¬ng tù : p - b > ; p - c > ; ThuVienDeThi.com áp dụng bất đẳng thức Tương tù : => 2( 1 1 4 ta ; x y x y p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c 1 1   ;   pb pc a pa pc b 1 1 1   )  4(   ) => điều phải chứng minh pa pc pc a b c DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi ®ã tam giác ABC tam giác Phương pháp 7: ®ỉi biÕn sè VÝ dơ1: Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c    bc ca ba x yz Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = => a = yzx zx y x yz , b= , c= 2 Khi ®ã : VT = = a b c yzx zx y x yz   =   bc ca ba 2x 2y 2z y x z x z y 3 (  )  (  )  (  )   111  x y x z y z 2 VÝ dơ2: Cho a,b,c > vµ a+b+c Theo bÊt đẳng thức Côsi ta có: x y z  3 xyz 1 1 1 1     x  y  z .     xyz x y z x y z 1 Mµ x+y+z < VËy    (®pcm) x y z Phương pháp 8: dùng tam thức bậc hai Cho tam thøc bËc hai f x   ax  bx  c NÕu   th× a f x   x  R NÕu   th× a f x   NÕu   th× a f x   a f x  b a víi x  x1 hc x  x2 víi x1  x  x2 x   ( x2  x1 ) VÝ dô: Chøng minh r»ng: f x, y   x  y  xy  x  y   Gi¶i:Ta cã (1)  x  x2 y  1 y  y   (1)   2 y  1  y  y   y  y   y  y     y  1   2 ThuVienDeThi.com (1) VËy f x, y   víi mäi x, Phương pháp 9: dùng quy nạp toán học Để chứng minh bất đẳng thức với n n0 ta thùc hiƯn c¸c b­íc sau : – KiĨm tra bất đẳng thức với n n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức ®óng víi n = k +1 (thay n = k+1vµo BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) kết luận BĐT với mäi n  n0 VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1      2 n n 1 Gi¶i : Víi n =2 ta cã    n  N ; n  (1) (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1 th× (1)  1 1      2 2 k (k  1) k 1 Theo gi¶ thiÕt quy n¹p  1 1 1       2   2 2 k k k  1 k 1 (k  1) 1 1      2 (k  1) k  k  1 k  k 11   k (k  2)  (k  1)  k2+2k 2n + (*) Gi¶i : + Víi n = , ta cã : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) với n = + Giả sử (*) víi n = k (k  N ; k  3) , tøc lµ : 2k > 2k + ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo giả thiết quy nạp ) ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( V× : 2k - > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k  + KÕt luËn : 2n > 2n + víi mäi sè nguyên dương n Ví dụ 3: Chứng minh r»ng : 2n   2n 3n  ThuVienDeThi.com (*) (n số nguyên dương ) Gi¶i : + Víi n = , ta cã : VT = VP = VËy (*) ®óng víi n = 2k   2k + Giả sử (*) với n = k ta cã : 3k  Ta cÇn chøng minh (*) ®óng víi n = k + , tøc lµ : 2k  2k   2k 2(k 1) cần chứng minh : 2k  3k  2(k  1) 2k   3k  2(k  1) 1 3(k  1)  dùng phép biến đổi tương đương , ta có : (2k + 1)2(3k + 4)  (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k +  12k3 + 28k2 + 20k +4  k  => (**) ®óng víi mäi k  VËy (*) dúng với số nguyên dương n Phương pháp 10: Chứng minh phản chứng Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > CMR: a > 0, b>0, c>0 Gi¶i : Giả sử a từ abc >  a  ®ã a < Mµ abc > vµ a <  cb < Tõ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) >  b + c < a < vµ b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > t­¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c , d tháa m·n ®iỊu kiƯn: ac  2.(b+d) Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt mét bất đẳng thức sau sai: a  4b , c  4d Gi¶i : Gi¶ sử bất đẳng thức : a 4b , c  4d ®Ịu ®óng ®ã céng vế ta a c 4(b  d ) (1) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d)  2ac (2) Tõ (1) vµ (2)  a  c  2ac hay a  c (vô lý) Vậy bất đẳng thøc a  4b vµ c  4d có bất đẳng thức sai Ví dơ 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng NÕu x+y+z > 1  có ba số lớn x y z x y z Gi¶i :Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – ( ) xyz =1 theo giả thiết x+y +z > 1   nªn (x-1).(y-1).(z-1) > x y z Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d­¬ng ThËt vËy ba số dương x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) ThuVienDeThi.com 10 VËy cã mét vµ chØ mét ba số x , y,z lớn tập nâng cao i / Dùng biến đổi tương đương x 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng: x  y2 x  y  x  y   xy  x  y   (v× xy = 1)  Gi¶i :Ta cã   y2 8 x  y 2 2   x  y   4.x  y   4 Do BĐT cần chứng minh tương đương với x  y 4  4x  y 2   8.x  y 2  x  y 4  4x  y 2    x  y   2  2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 1   2 1 x 1 y  xy  1   1           2 2   1 x 1 y  xy   x  y    y  xy  2) Cho xy  Chøng minh r»ng: Gi¶i : Ta cã  xy  x xy  y  0   x 1  xy   y 1  xy      y  x  xy  1  x( y  x) y( x  y)  0  2  x 1  xy   y 1  xy   x  y 1  xy  BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh ii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng: a  b  c  Gi¶i : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) 1.a  1.b  1.c 2  1   1.a  b  c  a  b  c 2  3.a  b  c  Ta cã  a2  b2  c2  (v× a+b+c =1 ) (đpcm) 1 2) Cho a,b,c sè d­¬ng Chøng minh r»ng: a  b  c .     (1) a b c a a b b c c a b a c b c Gi¶i : (1)                         b c a c a a b a c a c b x y ¸p dơng B§T phơ   Víi x,y > y x 1 Ta cã B§T cuèi cïng Vậy a b c .    (®pcm) a b c Iii / dùng phương pháp bắc cầu So sánh 31 11 17 14 11 Gi¶i : Ta thÊy 3111 < 3211 25 255 256 Mặt khác 256  24.14  24   1614  1714 VËy 31 11 < 17 14 (®pcm) iv/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 14 ThuVienDeThi.com 11  1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng :  ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab Giải : Vì a ,b ,c ,d > nªn ta cã ab ab abd   abcd abc abcd b  c bc bca   abcd bcd abcd d a d a d ac   abcd d ab abcd (1) (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức ta cã : 2 ab bc cd d a    3 abc bcd cd a d ab (®pcm) 2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng:  a b c   bc ca ab Giải :Vì a ,b ,c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > Vµ a < b +c ; b a2 + b2  VËy B = a = b = 2 Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i: a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) §Ỉt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 -  - DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - =  (x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, Tương tự Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = x   x  ; b, D = x  x   x  x  Gi¶i : a, ¸p dơng B§T : A  B  A  B DÊu '' = ''x¶y AB  => C = x    x  x    x    DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x)  VËy minC = x 2  x 2 b, T­¬ng tù : minD = : -3  x  c, minE = :  x  ThuVienDeThi.com 13 Bµi : Cho ba số dương x , y , z thoả mÃn : 1 + +  1 x 1 y z Tìm giá trị lớn tích : P = xyz Gi¶i : 1 y z yz )+(1)= +  (1  1 x 1 y 1 z 1 y 1 z (1  y )(1  z ) T­¬ng tù : zx  1 y (1  x)(1  z ) 1 z  xy (1  x)(1  y ) Tõ ®ã suy : P = xyz  Bµi : 1 MaxP = x = y = z = 8 Cho số dương a, b, c thảo mÃn : a + b + c =1 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : a b c F = (a  )  (b  )  (c  ) Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1   2)+6 a b c Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta cã : (a.1 + b.1 + c.2)2  3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2  a b c T­¬ng tù : ( ) ( Mặt khác : 1   2) a b c 1 1 1 1    (   ).1 = (   )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b a b c c b c a a c =3+(  )+(  )+(  )  3+2+2+2=9 1 1 1 1 1    => (   )  81 => (   )  27 F  + 27 + = 33 a b c a b c a b c => Dấu '' = '' xảy : a = b = c = Bài : Cho G = 1 Vậy MinF = 33 : a = b = c = 3 yz x   zx y   xy z  Tìm giá trị lớn G xyz Giải : Tập xác định : x  ; y  ; z  Ta cã : G = x 1 + x y2 + y Theo BĐT Cơsi ta có : x   T­¬ng tù : y2  ; y 2 z 3 z x 11 => x 1  x z 3 1 1  => G    z 2 2 3 ThuVienDeThi.com 14 VËy MaxG = 1 đạt x = ; y = ; z = 2 2 x Bài a, Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa H = x 1 víi x > b Tìm giá trị lớn K = x  x HD : ¸p dơng bất đẳng thức Côsi làm tương tự : - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phương pháp chứng minh bất đẳng thøc , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phương trình sau suy luận để nghiệm phương trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => phương trình có nghiƯm NÕu VT > VP hc VT < VP giá trị ẩn => phương trình vô nghiệm Bài : Giải phương trình : 13 x  + x  = 16x Giải: Điều kiện : x (*) áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x + x  = 13.2 x  + 3.2 x   13( x - + ) + 3(x + + ) = 16x 2 4   x 1  DÊu '' = '' x¶y    x 1   x= thoả mÃn (*) Phương trình (1) cã nghiƯm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lớn L = x  +  x b Giải phương trình : 2x +  x - x2 + 4x - = (*) Giải : a Tóm tắt : ( x  +  x )2  2(2x - + - 2x) =  x  +  x  => MaxL = x = b TX§ : x (*)  2 2x  +  x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 +  , dÊu '' = '' x¶y x = => víi x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = => phương trình (*) có nghiệm x = Bài : Giải phương trình :  x + x  = x2 - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x VP = (x - 3)2 +  DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = (  x + x  1)2  (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT  , dÊu '' = '' x¶y 6 x = x2  x = ThuVienDeThi.com 15 => giá trị x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm Bài : Giải phương trình : 3x 12 x 16 + HD: 3x  12 x  16  2; y  y  13 = x   x  y  y  13  VT  DÊu '' = '' x¶y :   y y => phương trình cã nghiÖm : x = ; y = Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Ngoài có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải , học sinh phải nắm kiến thức bất đẳng thức vận dụng Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1 =2 x y z x y Gi¶i : Không tính tổng quát, ta giả sử x y  z ta cã : =    => 2z  3, z z mµ z nguyên dương Vậy z = Thay z = vào phương trình ta : Theo giả sư , x  y , nªn = 1   x y 1  1 x y ; Do y nguyên dương nên y = hc y = y Víi y = không thích hợp Với y = ta có : x = VËy (2 ; ; 1) nghiệm phương trình Hoán vị số , ta nghiệm phương trình lµ: (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Bµi tËp ¸p dơng Bµi 1: Cho hai sè x vµ y mµ x+y=1 CMR : a) x2 +y2  ; b) x4+y4  Bµi 2: Cho a,b, c, d ,e số thực CMR: a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bài 3: Cho hai số dương x,y x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 2n+1 ThuVienDeThi.com 16 ... dơng bất đẳng thức Côsi làm tương tự : - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , phương pháp chứng minh bất đẳng thøc , ta biÕn ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) phương. .. (**) ®óng víi mäi k  VËy (*) dúng với số nguyên dương n Phương pháp 10: Chứng minh phản chứng Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để... x, Phương pháp 9: dùng quy nạp toán học Để chứng minh bất đẳng thức với n n0 ta thùc hiƯn c¸c b­íc sau : – KiĨm tra bất đẳng thức với n n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh