Thông tin tài liệu
Toán – N ng u BÀI M T S Ph PH ng pháp 4: BI N NG PHÁP CH NG MINH CHIA H T - PH N II I BI U TH C C N CH NG MINH V D NG T NG Gi s ch ng minh A(n) k ta bi n đ i A(n) v d ng t ng c a nhi u h ng t ch ng minh m i h ng t đ u chia h t cho k Ví d Cho A 22 22004 Ch ng minh r ng: a) A b) A c) A 30 Gi i 2004 Ta có A 2 2003 2004 2003 A (2 ) (2 ) (2 ) 2(1 2) (1 2) (1 2) Mà (2;3) = nên A 2.3 t c A Ví d 2: CMR: V i n s t nhiên ch n bi u th c: A = 20n + 16n - 3n - 323 Gi i Ta th y 323 = 17.19 mà (17;19) = (1) Bi n đ i : A = (20n - 3n) + (16n – 1n) 20n - 3n (20-3) = 17 16n – 1n (16 + 1) 17 (do n ch n) A 17 (2) M t khác : A = (20n - 1) + (16n - 3n) 20n - (20 - 1) = 19 16n - 3n (16 + 3)= 19 (do n ch n) A 19 (3) T (1), (2) (3) A 323 Ví d 3: CMR: n3 + 11n v i n N* Gi i Ta có: n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n = n(n + 1)(n - 1) + 12n Vì n – 1; n ; n + s t nhiên liên ti p n(n + 1) (n - 1) 12n V y n3 + 11n Ví d 4: Tìm s t nhiên n cho: a) 18n + ThuVienDeThi.com Toán – N ng u b) 3n + n +1 Gi i a) 18n + 14n + 4n + – 4n – 4(n – 1) Mà (4,7) =1 nên n – V y n = 7k +1 (kN) b) 3n+ n + (n + 1) + n + 4n+1 n + {1; 2; 4} n {0; 1; 3} Ph ng pháp 5: DÙNG QUY N P TOÁN H C Gi s ch ng minh A(n) p (1) v ina B c 1: Ta ch ng minh (1) v i n = a t c ch ng minh A(a) p B c 2: Gi s (1) v i n = k t c ch ng minh A(k) p v i k a Ta ch ng minh (1) v i n = k + t c ph i ch ng minh A(k+1) p B c 3: K t lu n A(n) p v i n a Ví d : Ch ng minh A(n) = 16n - 15n - 225 A(n) = 16n - 15n - 225 (1) (1) v i n N* v i n N* Gi i V i n = A(n) = 225 v y n = (1) Gi s (1) v i n = k ngh a A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph i CM (1) v i n = k+1 t c A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Th t v y: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16.16k - 15k – 15.1 – =16.16k - 15k – 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = (16k - 15k - ) + 15.(16k – 1) = A(k) + 15.(16k – 1) Ta có A(k) 225 (gi thi t quy n p) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u 16k – = 16k – 1k (16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1) 15.15=225 A(k+1) 225 V y A(n) = 16n - 15n - 225 v i n N* (1) Bài t p v nhà Bài 1: CMR: a) A 100 120 b) B = 62n + 19n - 2n+1 17 v i n N c) C = 3n + 63 72 v i n ch n n N, n d) D= 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 v i n N Bài 2: T m s t nhi n n đ : a) 7n n + b) 4n – 13 Bài 3: Ch ng minh r ng: a) A(n) = 5n + 2.3n-1 +1 v i n b) B(n) =33n+3 - 26n - 27 169 v i n c) C(n) = 4n + 15n – v i n H * * ng d n - áp s Bài 1: a) A = (3 + 32 + 33 + 34) + + (397 + 398 + 399 + 3100) = 3(1+ + 32 + 33 ) + + 397 (1+ + 32 + 33 ) = 3.40 + + 397 40 3.40 = 120 b) B = (62n - 2n )+ (19n - 2n) = (36n - 2n )+ (19n - 2n) 17 c) Có 72 = 9.8 n = 2k (k N) C =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63 C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64 (8, 9) = C 8.9 C 72 d) 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 - 5n + 8.64 n =5n.59 + (64n - 5n) 59 ThuVienDeThi.com Toán – N ng u Bài 2: a) n {0; 4; 17} b) n = 13k -2 (kN*) Bài : a) Xét n = A1 = 51 + 31-1 + = Gi s An v i m i n = k ngh a Ak = k + k-1 + Ta s ch ng minh An v i m i n = k + Th t v y: A k + = k+1 + 3k + = 5k + k – + = 5k + k – + +4 k + k – =5k + k – + + 4( 5k + k – ) Vì 5k + k – + M t khác: 5k + k – s ch n 5k + k – 4( 5k + k – ) A k+ đpcm b) B(k+1) =(3k+3 – 26k – 27) + 26(27k+1 –1) 169 v i n c) C(k+1) = 4(4k + 15k – ) - 45k + 18 ThuVienDeThi.com * ... =3n + 63 = 32k + 63 = 9k + 63 C =3n + 63 = (32k – 1) + 64 = (9k - 1k) + 64 (8, 9) = C 8.9 C 72 d) 5n+2 + 26. 5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8 .64 n = 5n.59 - 5n + 8 .64 n... - 1) + 15.16k - 15 = (16k - 15k - ) + 15.(16k – 1) = A(k) + 15.(16k – 1) Ta có A(k) 225 (gi thi t quy n p) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u 16k – = 16k – 1k ( 16 – 1) = 15 nên 15.(16k – 1) ... a A(k) = 16k - 15k - 225 Ta ph i CM (1) v i n = k+1 t c A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225 Th t v y: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - = 16. 16k - 15k – 15.1 – = 16. 16k - 15k – 16 = (16k - 15k
Ngày đăng: 30/03/2022, 15:43
Xem thêm:
