Toán – N ng u BÀI M T S PH NG PHÁP CH NG MINH CHIA H T – PH N I PH N : TÓM T T LÝ THUY T I nh ngh a phép chia Cho s nguyên a b b ta ln tìm đ cho: a = bq + r v i r b Trong đó: a s b chia, b s chia, q th c hai s nguyên q r nh t ng, r s d c bi t: r = a = bq, ta nói a chia h t cho b KỦ hi u: a b V y a b Có s nguyên q cho a = bq II C c t nh ch t : N u a b b c a c N u a b c b t k ac b N u a b c b a c b N u a + b c a c b c N u a b an bn N u ac b (a, b) =1 c b N u a b c d ac bd an ậ bn a ậ b ( v i a b, nN) an ậ bn a + b ( v i a -b, n ch n ) 10 an + bn a + b ( v i a -b, n l ) 11 Trong n s t nhiên liên ti p có ch s chia h t cho n III M t s d u hi u chia h t N a n a n1 a1a0 D u hi u chia h t cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8} + N a0 a0{0; 5} + N (ho c 25) a1a (ho c 25) + N (ho c 125) a a1a (ho c 125 D u hi u chia h t cho ; 9; 11 + N (ho c 9) a0+a1+…+an (ho c 9) + N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11 ThuVienDeThi.com Toán – N ng u IV ng d th c nh ngh a: Cho m s nguyên d ng N u hai s t nhiên a b cho s d chia cho m ta nói a đ ng d v i b theo modun m KỦ hi u: a b (modun) V y: a b (modun) a - b m Các tính ch t: N u a b (mod m) c d (mod m) a+c b+d (mod m) a-c b-d (mod m) N u a b (mod m) a+c b+c (mod m) N u a b (mod m) c d ((mod m) ac bd (mod m) N u a b (mod m) ac bc (mod m) N u a b (mod m) an bn (mod m) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u PH N II: M T S Ph ng pháp 1: S PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN CHIA H T D NG D U HI U CHIA H T Ví d 1: Tìm ch s a, b cho a56b 45 Gi i Ta th y 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = đ a56b 45 a56b Xét a56b b {0 ; 5} N u b = ta có s a56b a + + + a + 11 a=7 N u b = ta có s a56b a + + + a + 16 a=2 V y: a = b = ta có s 7560 a = b = ta có s 2560 Ví d 2: Bi t t ng ch s c a s không đ i nhân s v i Ch ng minh r ng s chia h t cho Gi i G i s đư cho a Ta có: a 5a chia cho có s d 5a - a 4a mà (4 ; 9) = a ( pcm) Ví d 3: CMR s 111 111 81 81sè Gi i Ta th y: 111111111 72 63 Có 111 111 = 111111111(10 + 10 + … + 10 + 1) 81sè Mà t ng 1072 + 1063 + … + 109 + có t ng ch s b ng 1072 + 1063 + … + 109 + V y: 111 111 81 ( pcm) 81 sè ThuVienDeThi.com Toán – N ng u Bài t p v nhà Bài 1: Tìm ch s x, y cho a) 34 x5 y 36 b) x36 y5 1375 Bài 2: Ch ng minh r ng : 10n + 72n ậ 81 H ng d n - áp s Bài 1: a) x = y = x =0 y = b) 1357 =125.11 x36 y5 125 y5 125 y = x3625 11 (5+6+x)-(2+3+7) 11 x=1 Bài 2: 10n + 72n ậ 1=10n ậ + 72n = 99 72n 9(11 8n) 81 n csè Ph ng pháp 2: S n csè D NG TệNH CH T CHIA H T C A M T TệCH S d ng tính ch t “Trong n s t nhiên liên ti p có ch s chia h t cho n” Ví d 1: CMR: a Tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho b Tích c a t nhiên liên ti p chia h t cho c Tích c a s ch n li n ti p chia h t cho Gi i a) Trong s t nhiên liên ti p bao gi c ng có s ch n S ch n chia h t cho V y tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho b) + Tích s t nhiên liên ti p ln chia h t cho tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho + Trong sô t nhiên liên ti p bao gi c ng có s chia h t cho tích s chia h t cho mà (2; 3) = V y tích c a s t nhiên liên ti p ln chia h t cho c Tích hai s ch n liên ti p : 2k.(2k+2) (kN) = 4.k(k+1) 2= Ví d 2: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 v i n ch n, n4 Gi i Vì n ch n, n4 ta đ t n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u V i k nên k - 2, k - 1, k + 1, k s t nhiên liên ti p nên s có s chia h t cho s chia h t cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k Mà (k - 2) (k - 1)k (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 3.8= 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16.24) V y n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 v i n ch n, n Ph ng pháp 3: XÉT T P H P S D TRONG PHÉP CHIA ch ng minh m t bi u th c A(n) chia h t cho m t s tr ng h p v s d chia n cho p p (p0) Ta có th xét m i Ví d 1: CMR: V i n N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia h t cho Gi i Ta th y th a s n 7n + s ch n V i n N A(n) Ta ch ng minh A(n) L y n chia cho ta đ c n = 3k + r (k N) v i r {0; 1; 2} - V i r = n = 3k n A(n) - V i r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n) - V i r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) v i n mà (2, 3) = V y A(n) v i n N Ví d 2: a) T m s d c a ph p chia m t s ph ng cho b) Ch ng minh r ng: Không t n t i n N đ n2 300 c) Ch ng minh r ng: t ng l y th a ch n c a s t nhi n li n ti p kh ng th s ph ng Gi i a) S ph ng có d ng n2 (n N) Xét tr L y n chia cho ta đ ng h p s d chia n cho 3, c n = 3k + r (k N) v i r {0; 1; 2} - V i r = n = 3k n2 = (3k)2 A(n) - V i r = n = 3k + n2 = (3k+ 1)2 = (3k+1)(3k+1) = 3k (3k+1) + 1(3k+1) = 9k2+ 3k + 3k + = 9k2+ 6k + A(n) chia cho d ThuVienDeThi.com Toán – N ng u - V i r = n = 3k + n2 = (3k+ 2)2 = 9k2+ 12k + A(n) chia cho d V y m t s ph ng chia cho s d có th ho c Nh n xét: M t s có d ng 3k + khơng th s ph ng b) Ta có: 300 có t ng ch s b ng nên 300 mà v i m i n N n2 chia cho ch có th d ho c nên n2 + chia cho d ho c V y không t n t i n N đ n2 300 c) T ng l y th a ch n c a s t nhiên liên ti p có d ng: (n-1)2k + n2k + (n+1)2k v i n, k N; n1) Trong s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 3, hai s cịn l i có d ng 3k+1 3k+2 nên t ng l y th a ch n c a s nguyên liên ti p chia cho có d nên khơng th m t sơ ph ng Ví d 3: Tìm t t c s t nhiên n đ 2n - Gi i L y n chia cho ta có n = 3k + r (k N); r {0; 1; 2} V i r = n = 3k ta có 2n - = 23k - = 8k ậ 1k (8 - 1) = v i r =1 n = 3k + ta có: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho d v i r = n = 3k + ta có : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mà 23k - 2n - chia cho d V y 23k - n = 3k (k N) Bài t p v nhà Bài 1: CMR: a) Tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho 24 b) Tích c a s ch n li n ti p chia h t cho 48 Bài 2: CMR : n(n + 1)(2n + 1) Bài 3: CMR: V i n l thì: a) n2 + 4n + b) n3 + 3n2 - n - 48 Bài 4: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) V i n N Bài 5: ThuVienDeThi.com Toán – N ng u a) T m s d c a ph p chia m t s ph b) Ch ng minh r ng: t ng b nh ph ph ng H ng cho 4; ng c a s t nhiên liên ti p khơng th s ng d n - áp s Bài 1: a) Trong s t nhiên liên ti p có s ch n liên ti p nên tích chia h t cho Trong s t nhiên liên ti p có s chia h t cho b) 2k (2k + 2) (2k +4) = 8k(k+1)(k+2) 8.6 =48 Bài 2: n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) Bài 3: a) n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) (vì (n + 1) , (n + 3) s ch n liên ti p) b) n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3).1 = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) 2k (v i n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 8.6 = 48 Bài L y n chia cho n = 5k+ r r {0; 1; 2; 3; 4} r = n A(n) r = 1, n2 + A(n) r = 2; n2 + A(n) A(n) v i n N Bài 5: t ng t ví d ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com Toán – N ng u PH N II: M T S Ph ng pháp 1: S PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN CHIA H T D NG D U HI U CHIA H T Ví d 1: Tìm ch s a, b cho a56b 45 Gi i Ta th y 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = đ a56b 45 a56b... y5 1375 Bài 2: Ch ng minh r ng : 10n + 72n ậ 81 H ng d n - áp s Bài 1: a) x = y = x =0 y = b) 1357 =125.11 x 36 y5 125 y5 125 y = x 362 5 11 (5 +6+ x)-(2+3+7) 11 x=1 Bài 2: 10n +... 1 063 + … + 109 + có t ng ch s b ng 1072 + 1 063 + … + 109 + V y: 111 111 81 ( pcm) 81 sè ThuVienDeThi.com Toán – N ng u Bài t p v nhà Bài 1: Tìm ch s x, y cho a) 34 x5 y 36 b) x36