Toán 6 Bài 2: Một số phương pháp chứng minh chia hết34415

Toán – N ng u BÀI M T S PH NG PHÁP CH NG MINH CHIA H T – PH N I PH N : TÓM T T LÝ THUY T I nh ngh a phép chia Cho s nguyên a b b  ta ln tìm đ cho: a = bq + r v i  r   b Trong đó: a s b chia, b s chia, q th c hai s nguyên q r nh t ng, r s d c bi t: r = a = bq, ta nói a chia h t cho b KỦ hi u: a  b V y a  b  Có s nguyên q cho a = bq II C c t nh ch t : N u a  b b  c  a  c N u a  b c b t k  ac  b N u a  b c  b  a  c  b N u a + b  c a  c  b  c N u a  b  an  bn N u ac  b (a, b) =1  c  b N u a  b c  d  ac  bd an ậ bn  a ậ b ( v i a b, nN) an ậ bn  a + b ( v i a -b, n ch n ) 10 an + bn  a + b ( v i a -b, n l ) 11 Trong n s t nhiên liên ti p có ch s chia h t cho n III M t s d u hi u chia h t N  a n a n1 a1a0 D u hi u chia h t cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N   a0   a0{0; 2; 4; 6; 8} + N   a0   a0{0; 5} + N  (ho c 25)  a1a  (ho c 25) + N  (ho c 125)  a a1a  (ho c 125 D u hi u chia h t cho ; 9; 11 + N  (ho c 9)  a0+a1+…+an  (ho c 9) + N  11  [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)]  11 ThuVienDeThi.com Toán – N ng u IV ng d th c nh ngh a: Cho m s nguyên d ng N u hai s t nhiên a b cho s d chia cho m ta nói a đ ng d v i b theo modun m KỦ hi u: a  b (modun) V y: a  b (modun)  a - b  m Các tính ch t: N u a  b (mod m) c  d (mod m)  a+c  b+d (mod m) a-c  b-d (mod m) N u a  b (mod m)  a+c  b+c (mod m) N u a  b (mod m) c  d ((mod m)  ac  bd (mod m) N u a  b (mod m)  ac  bc (mod m) N u a  b (mod m)  an  bn (mod m) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u PH N II: M T S Ph ng pháp 1: S PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN CHIA H T D NG D U HI U CHIA H T Ví d 1: Tìm ch s a, b cho a56b  45 Gi i Ta th y 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = đ a56b  45  a56b  Xét a56b   b  {0 ; 5} N u b = ta có s a56b   a + + +   a + 11  a=7 N u b = ta có s a56b   a + + +   a + 16  a=2 V y: a = b = ta có s 7560 a = b = ta có s 2560 Ví d 2: Bi t t ng ch s c a s không đ i nhân s v i Ch ng minh r ng s chia h t cho Gi i G i s đư cho a Ta có: a 5a chia cho có s d  5a - a   4a  mà (4 ; 9) =  a  ( pcm) Ví d 3: CMR s 111 111   81 81sè Gi i Ta th y: 111111111  72 63 Có 111 111  = 111111111(10 + 10 + … + 10 + 1) 81sè Mà t ng 1072 + 1063 + … + 109 + có t ng ch s b ng   1072 + 1063 + … + 109 +  V y: 111  111  81 ( pcm) 81 sè ThuVienDeThi.com Toán – N ng u Bài t p v nhà Bài 1: Tìm ch s x, y cho a) 34 x5 y  36 b) x36 y5  1375 Bài 2: Ch ng minh r ng : 10n + 72n ậ  81 H ng d n - áp s Bài 1: a) x = y = x =0 y = b) 1357 =125.11 x36 y5  125  y5  125  y = x3625  11 (5+6+x)-(2+3+7) 11  x=1 Bài 2: 10n + 72n ậ 1=10n ậ + 72n = 99   72n  9(11   8n) 81 n csè Ph ng pháp 2: S n csè D NG TệNH CH T CHIA H T C A M T TệCH S d ng tính ch t “Trong n s t nhiên liên ti p có ch s chia h t cho n” Ví d 1: CMR: a Tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho b Tích c a t nhiên liên ti p chia h t cho c Tích c a s ch n li n ti p chia h t cho Gi i a) Trong s t nhiên liên ti p bao gi c ng có s ch n  S ch n chia h t cho V y tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho b) + Tích s t nhiên liên ti p ln chia h t cho  tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho + Trong sô t nhiên liên ti p bao gi c ng có s chia h t cho  tích s chia h t cho mà (2; 3) = V y tích c a s t nhiên liên ti p ln chia h t cho c Tích hai s ch n liên ti p : 2k.(2k+2) (kN) = 4.k(k+1)  2= Ví d 2: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 v i  n ch n, n4 Gi i Vì n ch n, n4 ta đ t n = 2k, k2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) ThuVienDeThi.com Toán – N ng u V i k  nên k - 2, k - 1, k + 1, k s t nhiên liên ti p nên s có s chia h t cho s chia h t cho  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  Mà (k - 2) (k - 1)k  (3,8)=1  (k - 2) (k - 1) (k + 1)k  3.8= 24  16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k  (16.24) V y n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 v i  n ch n, n  Ph ng pháp 3: XÉT T P H P S D TRONG PHÉP CHIA ch ng minh m t bi u th c A(n) chia h t cho m t s tr ng h p v s d chia n cho p p (p0) Ta có th xét m i Ví d 1: CMR: V i  n  N Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia h t cho Gi i  Ta th y th a s n 7n + s ch n V i  n  N  A(n)   Ta ch ng minh A(n)  L y n chia cho ta đ c n = 3k + r (k  N) v i r  {0; 1; 2} - V i r =  n = 3k  n   A(n)  - V i r =  n = 3k +  2n + = 6k +   A(n)  - V i r =  n = 3k +  7n + = 21k + 15   A(n)   A(n)  v i  n mà (2, 3) = V y A(n)  v i  n  N Ví d 2: a) T m s d c a ph p chia m t s ph ng cho b) Ch ng minh r ng: Không t n t i n  N đ n2   300 c) Ch ng minh r ng: t ng l y th a ch n c a s t nhi n li n ti p kh ng th s ph ng Gi i a) S ph ng có d ng n2 (n N) Xét tr L y n chia cho ta đ ng h p s d chia n cho 3, c n = 3k + r (k  N) v i r  {0; 1; 2} - V i r =  n = 3k  n2 = (3k)2   A(n)  - V i r =  n = 3k +  n2 = (3k+ 1)2 = (3k+1)(3k+1) = 3k (3k+1) + 1(3k+1) = 9k2+ 3k + 3k + = 9k2+ 6k +  A(n) chia cho d ThuVienDeThi.com Toán – N ng u - V i r =  n = 3k +  n2 = (3k+ 2)2 = 9k2+ 12k +  A(n) chia cho d V y m t s ph ng chia cho s d có th ho c Nh n xét: M t s có d ng 3k + khơng th s ph ng b) Ta có: 300 có t ng ch s b ng nên 300  mà v i m i n  N n2 chia cho ch có th d ho c nên n2 + chia cho d ho c V y không t n t i n  N đ n2   300 c) T ng l y th a ch n c a s t nhiên liên ti p có d ng: (n-1)2k + n2k + (n+1)2k v i n, k N; n1) Trong s t nhiên liên ti p có m t s chia h t cho 3, hai s cịn l i có d ng 3k+1 3k+2 nên t ng l y th a ch n c a s nguyên liên ti p chia cho có d nên khơng th m t sơ ph ng Ví d 3: Tìm t t c s t nhiên n đ 2n -  Gi i L y n chia cho ta có n = 3k + r (k  N); r  {0; 1; 2}  V i r =  n = 3k ta có 2n - = 23k - = 8k ậ 1k  (8 - 1) =  v i r =1  n = 3k + ta có: 2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + mà 23k -   2n - chia cho d  v i r =  n = 3k + ta có : 2n - = 23k + - = 4(23k - 1) + mà 23k -   2n - chia cho d V y 23k -   n = 3k (k  N) Bài t p v nhà Bài 1: CMR: a) Tích c a s t nhiên liên ti p chia h t cho 24 b) Tích c a s ch n li n ti p chia h t cho 48 Bài 2: CMR : n(n + 1)(2n + 1)  Bài 3: CMR: V i  n l thì: a) n2 + 4n +  b) n3 + 3n2 - n -  48 Bài 4: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4)  V i  n  N Bài 5: ThuVienDeThi.com Toán – N ng u a) T m s d c a ph p chia m t s ph b) Ch ng minh r ng: t ng b nh ph ph ng H ng cho 4; ng c a s t nhiên liên ti p khơng th s ng d n - áp s Bài 1: a) Trong s t nhiên liên ti p có s ch n liên ti p nên tích chia h t cho Trong s t nhiên liên ti p có s chia h t cho b) 2k (2k + 2) (2k +4) = 8k(k+1)(k+2)  8.6 =48 Bài 2: n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2)  Bài 3: a) n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3)  (vì (n + 1) , (n + 3) s ch n liên ti p) b) n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3).1 = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) 2k (v i n = 2k + 1, k  N) = 8k(k + 1) (k +2)  8.6 = 48 Bài L y n chia cho  n = 5k+ r r  {0; 1; 2; 3; 4}  r =  n   A(n)   r = 1,  n2 +   A(n)   r = 2;  n2 +   A(n)   A(n)  v i  n  N Bài 5: t ng t ví d ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com Toán – N ng u PH N II: M T S Ph ng pháp 1: S PH NG PHÁP GI I BÀI TOÁN CHIA H T D NG D U HI U CHIA H T Ví d 1: Tìm ch s a, b cho a56b  45 Gi i Ta th y 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = đ a56b  45  a56b... y5  1375 Bài 2: Ch ng minh r ng : 10n + 72n ậ  81 H ng d n - áp s Bài 1: a) x = y = x =0 y = b) 1357 =125.11 x 36 y5  125  y5  125  y = x 362 5  11 (5 +6+ x)-(2+3+7) 11  x=1 Bài 2: 10n +... 1 063 + … + 109 + có t ng ch s b ng   1072 + 1 063 + … + 109 +  V y: 111  111  81 ( pcm) 81 sè ThuVienDeThi.com Toán – N ng u Bài t p v nhà Bài 1: Tìm ch s x, y cho a) 34 x5 y  36 b) x36