Đề tài Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức44374

A: Đặt vấn đề Toán học môn khoa học tự nhiên , toán học có vai trò quan trọng lình vực khoa học , toán học nghiên cứu nhiều đa dạng phong phú , toán bất đẳng thức toán khó , để giải toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức sử dụng nhiều ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế giảng dạy trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , toán chứng minh bất đẳng thức thường cách giải mẫu , không theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả tư chưa tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin tập trung giới thiệu số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng bất đẳng thức đà biết , phương pháp phản chøng vµ mét sè bµi tËp vËn dơng , nh»m giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung DeThiMau.vn Qua đề tài ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế mong góp ý thày cô giáo để đề tài hoàn thiện , xin chân thành cảm ơn DeThiMau.vn B giải vấn đề phần I: điều trathực trạng trước nghiên cứu Khigiảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức thấy học sinh nhiều lúng túng việc làm tập ,hay định hướng cách làm ,đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài thấy Số lượng học sinh 30 Điểm giỏi Điểm Điểm trung Điểm yếu Điểm bình 13 Trước vấn đề thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức , taođiều kiện cho học sinh làm tập bất đẳng thức Phần II: phương pháp nghiên cứu Phương pháp điều tra Phương pháp đối chứng Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phần III: nội dung đề tài i : Các kiến thức cần lưu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhá h¬n b , kÝ hiƯu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiƯu a > b , + a nhỏ b , kÝ hiƯu a < b, + a lín h¬n hc b»ng b , kÝ hiƯu a > b , 2, Một số tính chất bất dẳng thøc : a, TÝnh chÊt 1: a > b b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c DeThiMau.vn c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với số dương a , b ta cã : ab  ab DÊu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với số a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thøc x¶y a b  x y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a b ab Dấu đẳng thức xảy : ab II : Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp : Dùng định nghÜa - KiÕn thøc : §Ĩ chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A-B >0 - L­u ý : A2  víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = DeThiMau.vn - VÝ dô : Bµi 1.1 : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2  víi mäi x (y - 1)2  víi mäi y (z - 1)2  víi mäi z => H  víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi 1.2 : Cho a, b, c, d, e số thực : Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) a a a a = (  b )2 + (  c )2 + (  d )2 + (  e )2 a a Do(  c )2  víi mäi a, c a Do (  d )2  víi mäi a, d a Do (  e )2  víi mäi a, e Do (  b )2  víi mäi a, b => H  víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = Bài 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức : a2  b2  a  b      10 DeThiMau.vn a Gi¶i : a2  b2  a  b   XÐt hiÖu : H =    2(a  b )  (a  2ab  b ) = 1 = (2a  2b  a  b  2ab)  (a  b)  Víi mäi a, b 4 DÊu '' = '' x¶y a = b Phương pháp ; Dùng phép biến đổi tương đương - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức đà chứng minh - Một số bất đẳng thức thường dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 …………………………… VÝ dơ : Bµi : Cho a, b hai số dương cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : 1   a 1 b 1 Gi¶i: Dùng phép biến đổi tương đương ; 3(a + + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)   4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)   4ab +   4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c số dương thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a)  a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2  4ab , (a + b + c)2 = (a  b)  c 2  4(a  b)c => 16  4(a + b)c => 16(a + b)  4(a + b)2c  16 abc => a + b  abc 11 DeThiMau.vn T­¬ng tù : b + c  abc c + a  abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài 2.3 : Chứng minh bất đẳng thøc : a3  b3  a  b      ; ®ã a > ; b > Gi¶i : Dïng phép biến đổi tương đương : Với a > ; b > => a + b > a3  b3  a  b      ab ab ab   .(a  ab  b )            2 ab  - ab +       4a2 - 4ab + 4b2  a2 + 2ab + b2  3a2 - 6ab + 3b2  3(a2 - 2ab + b2)  a2 b2 a3  b3  a  b Bất đẳng thức cuối ; suy :    Bµi 2.4: Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab  Gi¶i : 1 a3 + b3 + ab -  2 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -  a2 + b2 -  V× a + b = Ta cã : a3 + b3 + ab  2a2 + 2b2 -  2a2 + 2(1-a)2 -  ( v× b = a -1 ) 4a2 - 4a +  ( 2a - )2 Bất đẳng thức cuối VËy a3 + b3 + ab  DÊu '' = '' x¶y a = b = 12 DeThiMau.vn 2 a3  b3  a  b   Bµi 2.5 : Chøng minh bất đẳng thức : Trong ®ã : a > , b > Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > a3  b3  a  b   Ta cã :    ab  a  b  a  b    a  ab  b            ab a  ab  b    2   4a2 - 4ab + 4b2  a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 )  3(a - b)2 Bất đẳng thức a3  b3  a  b   =>    DÊu '' = '' xảy a = b Bài 2.6 : Víi a > , b > Chøng minh bất đẳng thức : a a b b b a Giải : Dùng phép biến đổi tương ®­¬ng : a  a  b      b b a ( a a  b b )  ab ( a  b )  (  a )3  ( b )3  ab ( a  b )  ( a  b )(a  ab  b)  ab ( a  b )  ( a  b )(a  ab  b)  ( a  b )( a  b )  BÊt ®¼ng thøc ci ®óng ; suy : a  a b b b a Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc 13 DeThiMau.vn - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh , Một số hệ từ bất đẳng thøc trªn : x2 + y2  2xy Víi a, b > , a b  2 b a Các ví dụ : Bài 3.1 : Giả sử a, b, c số dương , chứng minh rằng: a b c   2 bc ca ab Gi¶i ¸p dơng B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c)  a(b  c)  a 2a bc abc Tương tự ta thu : b 2b  ca abc , c 2c  ab abc Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số dương ) Từ suy : a b c   2 bc ca ab Bµi 3.2: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x  y  y  x Chøng minh r»ng : 3x + 4y  Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x  y  y  x )2 ( x  ; y  )  (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x2 + y2  Ta l¹i cã : (3x + 4y)2  (32 + 42)(x2 + y2)  25 => 3x + 4y  14 DeThiMau.vn  2 x  y Đẳng thức xảy x 0, y   x y   §iỊu kiƯn :  x  2  x   y   5 Bµi 3: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, a  b  b  c  c  a  b, a   b   c  3,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki víi bé sè ta cã :  a  b.1  b  c  c  a 1  1   1 a  b    =>  a  b  b  c  c  a   3.(2a  2b  ac)  bc    ca   => a  b  b  c  c  a  DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, ¸p dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : a 1  T­¬ng tù : (a  1)  a  1 2 b b 1  1 ; c 1  c 1 Céng tõng vế bất đẳng thức ta : a 1  b 1  c 1  abc 3,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiÕt : a + b + c = VËy : a   b   c 3,5 Bài 3.4 : Cho số dương a , b , c thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1   9 a b c Gi¶i : a b  0 ,a,b>0 b a 1 1 1 1 Ta cã :    (   ) = (   ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1         b c a c a b Ta cã : 15 DeThiMau.vn a b b b c a c b 1 =>    a b c DÊu ''='' x¶y : a = b = c = c a a c = 3(  )(  )(  )  + + + = Bµi 3.5 Cho x , y > Chøng minh r»ng : 1   x y x y Giải áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : x  y  xy 1   x y xy 1  )  x y 1 =>   x y x y => (x + y)( Phương pháp ; Dùng tính chất bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng tính chất đà học để vận dụng vào giải tập Các ví dụ : Bài 4.1 : Cho số x , y thoả mÃn điều kiện : x + y = Chøng minh r»ng : x4 + y4  Gi¶i Theo tÝnh chÊt bắc cầu ta có : (x2 - y2)  x4 + y4  2x2y2  2(x4 + y4)  (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2   x2 + y2  2xy  2(x2 + y2 )  (x +y)2 2(x2 + y2 )  V× : x + y =  x2 + y  (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4  DÊu '' = '' x¶y x = y = Bµi 4.2: 16 DeThiMau.vn Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do a, b, c, d > nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi 4.3 : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã : (1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b T­¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a 5.phương pháp : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự nhiên Bài 5.1: Cho a>b>0 CMR: a1996  b1996 a1995  b1995 > a1996  b1996 a1995 b1995 Giải : Để chứng minh bất đẳng thức , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nÕu a>b>0 vµ m,n lµ hai sè tù nhiên mà m>n a m bm a n  bn  (1) a m  bm a n bn Thật ta dùng phép biến đổi tương ®­¬ng ®Ĩ chøng minh a m  b m  2b m a n  b n  2b n  (1)  a m  bm a n  bn 2b m 2b n 2b m 2b n  1- m       a  bm a n  bn a m  bm a n  bn 17 DeThiMau.vn bm bm bn bn 1 am an b b    1      a m bm a n bn am an bm bn a m  bm a n  bn   1 1 bm bm bn bn bm bn am an a a  m  n  ( ) m  ( ) n (2) b b b b a Bất đẳng thức (2) a>b>0 nên m>n bất đẳng thức (1) b m n a m  bm a n  bn ¸p dơng bất đẳng thức trung gian m m n n vối a>b>0 m>n nên a b a b m=1996, n=1995 bất đẳng thức phảI chứng minh ®óng a b a b > 1995 1995 1996 1996 a b a b 1996 1996 1995 1995 ph­¬ng pháp 6: Dùng bất đẳng thức cạnh tam giác a , b, c, độ dài ba cạnh tam giác a ; áp dụng kết tập (3.5) , ta ; Tương tự : 1   pb pc a 18 DeThiMau.vn 1 4    p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c 1   pa pc b 1 1 1 => 2(   )  4(   ) pa pc pc a b c => điều phải chứng minh DÊu '' = '' x¶y : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác Bài 6.2: Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc Giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b  c  a   a  (b  c)  a c  a  b   b  (c  a )  b a  b  c   c  ( a  b)  c Tõ ®ã a  (b  c)2 b  (c  a)2 c  (a  b)2  a 2b 2c  (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)  a 2b c  (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2  a 2b c  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc Vì a, b, c, ba cạnh tam giác nên a+b-c>0 b+c-a>0 c+a-b>0 abc>0 Vậy bất đẳng thức dẫ chứng minh Phương pháp : Chøng minh ph¶n chøng - KiÕn thøc : Gi¶ sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vô lý trái với giả thiết , điều trái nhược , từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định suy điều trái với giả thiết 19 DeThiMau.vn + Phủ định suy trái với đIều + Phủ định suy hai đIều tràI ngược + Phủ định suy kết luận Các ví dụ : Bài : Cho < a,b,c,d 3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Giải: Giả sử ngược lại bốn đẳng thức Nhân ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > => a(1  a)b(1  b)c(1  c)d (1  d )  256 (1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : a 1 a  2 T­¬ng tù : b(1 - b)  c(1 - c)  d(1 - d)  a (1  a )  => a(1 - a) Nhân bất đẳng thøc ; ta cã : a(1  a)b(1  b)c(1  c)d (1  d )  256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai Bài 7.2 : ( Phủ định suy hai điều trái ngược ) Chứng minh số dương a, b, c thoả mÃn ba bất đẳng b c a thức sau : a   ; b   ; c   20 DeThiMau.vn Gi¶i Gi¶ sử tồn số dương a, b, c thoả mÃn bất đẳng thức : a 1 2 ; b 2 ; c 2 b c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta : 1 b c b c a 1  (a  )  (b  )  (c  )  (1) a b c 1 V× a, b, c > nªn ta cã : (a  )  ; (b  )  ; (c  )  a b c 1 => (a  )  (b  )  (c ) Điều mâu thuẫn với (1) a b c a Vậy không tồn số dương a, b, c thoả mÃn bất đẳng thức nói => đpcm Bài 7.3 : Chứng minh số dương a, b, c thoả mÃn bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > ; 4b(1 - c) > ; 4c(1 - a ) > H­íng dẫn : tương tự : Bài 7.4 : ( Phủ định suy trái với điều ®óng ) Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b  Gi¶i : Gi¶ sư : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = ) Chia c¶ hai vÕ cho số dương a, b ta : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 V« lý VËy : a + b  Phương pháp : Đổi biến số 21 DeThiMau.vn - Kiến thức : Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa toán đà cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán đà biết cách giải Các ví dụ : Bài : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a b c bc ca ba Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x yz yzx zx y x yz => a = , b= , c= 2 => a + b + c = Khi ®ã : a b c yzx zx y x yz =     bc ca ba 2x 2y 2z y x z x z y 3 = (  )  (  )  (  )   111  x y x z y z 2 VT = Bµi 8.2 : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta có bất đẳng thức : - ( x  y )(1x y )   (1  x ) (1  y ) Giải: x2 y2 Đặt : a = (1  x )(1  y ) 1 x2 y2 vµ b = (1  x )(1  y ) ( x  y )(1  x y ) => ab = (1  x ) (1  y ) Ta cã dƠ thÊy víi a, b : Mà : (a - b)2 = 1    x  1 1 (a  b)  ab  (a  b) 4   (a + = 1    y  1 1 Suy : -  ab  4 b)2 Bµi 8.3 : Cho a, b, c > ; a + b + c  Chøng minh r»ng : 22 DeThiMau.vn 1   9 a  2bc b 2ca c 2ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > , x + y + z  Cøng minh r»ng : 1   9 x y z Ta chøng minh : (x + y + z)( 1 )9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z nªn suy 1   9 x y z 9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0) + Gi¶ sư bÊt ®¼ng thøc ®óng víi n = k > (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thøc ®óng víi n > (n > n0) - VÝ dơ : Bµi 9.1 : Chøng minh r»ng víi số nguyên dương n 2n > 2n + (*) Gi¶i : + Víi n = , ta cã : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) với n = + Giả sử (*) víi n = k (k  N ; k  3) , tøc lµ : 2k > 2k + ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo giả thiết quy nạp ) 23 DeThiMau.vn ®ã : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( V× : 2k - > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k  + KÕt luËn : 2n > 2n + víi số nguyên dương n Bài 9.2 : Chøng minh r»ng : 2n   2n 3n (*) (n số nguyên dương ) Giải : Vậy (*) với n = 2k  + Giả sử (*) với n = k ta cã :  2k + Víi n = , ta cã : VT = VP = 3k  Ta cÇn chøng minh (*) ®óng víi n = k + , tøc lµ : 2k  2k  2k  1  2k 2(k  1) 3k  2(k  1) 2k  1 cần chứng minh : 3(k  1)  3k  2(k  1) dùng phép biến đổi tương đương , ta có : (2k + 1)2(3k + 4)  (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k +  12k3 + 28k2 + 20k +4  k  => (**) ®óng víi mäi k  VËy (*) dúng với số nguyên dương n 10 Phương pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng Bài 10.1 :CMR tam giác nhọn tổng trung tuyến lớn 4lần bán kính đường tròn ngoại tiếp C A1 B1 G A B C1 Gi¶i: Gäi ma, mb, mc độ dài ba đường trung tuyến R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R 24 DeThiMau.vn Vì ABC tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABCnếu G trọng tâm tam giác ABC tâm nằm ba tam gi¸c tam gi¸c GAB, tam gi¸c GAC ,tam giác GBC Giả sử tâm nằm tam giác GAB 0A +0B=2R GA+ GB > 2R mµ GA= AA1= 2 ma ,GB= BB1 = mb 3 Nªn GA+GB > 2R  (ma+mb) >2R  ma+mb >3R Mµ tam gi¸c 0CC1 cã CC1 >0C  mc >R Do ®ã ma+ mb+ mc > 3R+R=4R VËy ma+mb+ mc >4R Bài 10 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác vuông đỉnh A hai điểm B C , kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt cạnh AB AC M N , chứng minh AB AC AB  AC  MB+NC< Gi¶i A N C l M B Gäi I lµ tiÕp điểm tiếp tuyến MN với đường tròn tâm tính chất tiếp tuyên cho ta MB=MI ,NC=NI Từ MN=MB+NC tam giác vuông AMN MN< AM+AN Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC  MN< AB AC Ngoài tam giác vuông AMN ta có cạnh huyền MN>AM MN> AN 2MN > AM+AN Vì MN=BC+CN Nên 3MN > AM+AN +BM+CN ®ã 3MN > AB+AC  MN > VËy AB  AC AB  AC  MB+NC< 25 DeThiMau.vn AB  AC ...Qua đề tài ( (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên cứu... '' x¶y a = b Phương pháp ; Dùng phép biến đổi tương đương - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức đà chứng minh - Một số bất ®¼ng thøc... abc>0 Vậy bất đẳng thức dẫ chứng minh Phương pháp : Chứng minh phản chứng - KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chøng minh bÊt đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đà biết