Tài liệu Báo cáo đề tài: Phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân doc

---∞--- 1 Tính cấp thiết của đề tài: 9 Bất đẳng thức tích phân là một dạng toán rất thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, các kỳ thi olympic bởi vì nó là một dạng toán tương

LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu khoa học là một việc làm hết sức thiết thực nhằm rèn luyện cho mỗi chúng ta cĩ khả năng: khám phá, suy luận, tư duy để tiếp cận được cái mới, phát hiện ra cái mới và đĩ cũng là mục đích cần đạt được sau khi một nhà nghiên cứu khoa học hồn thành xong một đề tài

Em-một sinh viên nghiên cứu khoa học rất cảm

ơn Trường Đại học An Giang, tồn bộ quý thầy cơ khoa

sư phạm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp cho em và các

sinh viên nghiên cứu khoa học hồn thành đề tài một cách thuận lợi

Chân thành cảm ơn thầy VÕ TIẾN THÀNH đã

nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong quá trình thực

hiện đề tài Và một lần nữa cảm ơn quý thầy cơ tổ bộ mơn tốn đã cĩ những đĩng gĩp hết sức quý báo cho đề tài của

em được hồn thiện hơn

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Trần Quang Vinh

Lời mở đầu 3

Phần I: Cơ sở lý thuyết của đề tài 4

Chương I: Phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đánh giá 5

I Đánh giá hàm số f(x) theo cận [a,b] 5

II Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số dưới dấu tích phân 12

Bài 2: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để chứng minh bất đẳng thức tích phân 17

Bài 3: Một số phương pháp khác 22

Bài 4: Đạo hàm và bất đẳng thức tích phân 27

Chương II: Ứng dụng của bất đẳng thức tích phân I Tính giới hạn 33

II Chứng minh phương trình có nghiệm 37

III Chứng minh một bất đẳng thức đại số 39

IV Giải một số bài phương trình hàm 45

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

-∞ -

1) Tính cấp thiết của đề tài:

9 Bất đẳng thức tích phân là một dạng toán rất thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, các kỳ thi olympic bởi vì nó là một dạng toán tương đối khó và phức tạp Ngay

từ khi còn ngồi ở ghế nhà trường phổ thông bất đẳng thức tích phân luôn là một vấn đề làm tôi hứng thú, bỏ rất nhiều thời gian chỉ vì một vài bài toán và có một số bài toán tưởng như không thể nào giải được Hiện nay đã là một sinh viên Đại Học nhưng em luôn mong ước

là sẽ có điều kiện để nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này

9 Hiện nay trong sách giáo khoa Giải tích 12 chỉ đưa ra một ví dụ và một vài bài tập liên quan đến bất đẳng thức tích phân Một số tài liệu tham khảo về tích phân chỉ dùng lại

ở việc đưa ra một loạt bài tập (không phân loại) về bất đẳng thức tích phân

9 Cho nên, nếu đề tài này thành công sẽ giúp ích rất nhiều cho những học sinh phổ thông trong việc học toán nói chung và bất đẳng thức tích phân nói riêng

2) Đối tượng nghiên cứu:

9 Những phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân; những ứng dụng của bất đẳng thức tích phân

3) Nhiệm vụ nghiên cứu:

9 Phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân

9 Đưa ra các ứng dụng của bất đẳng thức tích phân để giải các loại toán khác

4) Phương pháp nghiên cứu:

9 Nghiên cứu lý luận (phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan đến chuyên đề bất đẳng thức tích phân)

5) Nội dung nghiên cứu:

Phần I:

Cơ sở lý thuyết của đề tài

(bao gồm các định lý, hệ quả các tính chất của bất đẳng thức tích phân)

Phần II:

Bất Đẳng Thức Tích Phân Chương I: Phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức tích phân

Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đánh giá

I Đánh giá hàm số f(x) trên [a,b]

II Sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số f(x)

Bài 2: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để chứng minh bất đẳng thức

4.1 Định lý giá trị trung bình thứ nhất: Nếu các hàm số f(x),g(x) khả tích trên

[a,b], g(x) không đổi dấu trên (a,b) Ký hiệu

4.2 Định lý giá trị trung bình thứ hai:

a) Nếu các hàm số f(x),g(x) khả tích trên [a,b], g(x) là hàm đơn điệu trên (a,b) thì

5 Một số bất đẳng thức liên quan đến tích phân:

™ Bất đẳng thức Bunhiakopki: Cho f(x),g(x) là những hàm số liên tục trên

Ta kí hiệu f 1 : [0, f(a)] Æ R là ánh xạ ngược của f(x)

Khi đó ∀x∈ [0, a], y∈ [0, f(a)], ( ) 1( )

∫ ta thực hiện các bước như sau:

1) Bước 1: xác định một hàm số g(x) thoả mãn các điều kiện:

Từ nhận xét trên ta thấy để chứng minh hàm số bằng phương pháp đánh giá ta có thể đi theo các hướng sau đây:

¾ Hướng 1: Đánh giá hàm số f(x) theo cận [a,b] bằng phương pháp đại số:

¾ Hướng 2: Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trên cận [a, b]

Sau đây ta sẽ phân tích từng dạng bài cụ thể:

I ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ f(x) THEO CẬN [a,b] BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ:

♦ Bài toán 1: Chứng minh bất đẳng thức :

19 1

π 6

™ Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân là một hàm số phức hợp thì trong nhiều

trường hợp cần đánh giá đồng thời các hàm số đơn lẻ

♦ Bài toán 3: Cho 4 ,

< <

∀x∈[0, α] ta có: 0 ≤ x ≤ tgx

⇒ 0 ≤ xn ≤ tgnx ⇒ 0 ≤ xn+1 ≤ xtgnx

4 0

1 = x

Vậy cả (1) và (2) được chứng minh

♦ Bài toán 7: Chứng minh rằng: ∫π 2 ≤2π∫ 2 ( )

♦ Bài toán 8: Cho số nguyên m ≥ 2 và n ∈ N * Chứng minh rằng:

Do (1) ⇒ ( ) ( ) 2(

2

b a

ới S’ABCD à diện tích hình thang cong ABCD, SCD

≥

⎧

⎩S

x dx x

e + dx π

2 1

=arctg 1 1

44

-g minh rằn-g : ∀a∈R I(a) ≥

t =

Vậy hàm số f(t) đạt giá trị nh nhất trên [0, 1] tại điểm ỏ tức I(a) đạt giá trị nhỏ

nh t trên [-1ấ , 0] tại điểm 1

2 2 2

Để giải quyết tốt bài toán bất đẳng thức tích phân bằng phương pháp đánh giá hàm

số cần phải chú ý một số điểm sau:

- Nếu cận tích phân của cả hai vế bất đẳng thức như nhau thì ta tiến hành đánh giá hàm số

t pháp đổi biến số thích hợp để đưa cận tích phân của 2 vế như nhau rồi tiến hành đánh giá (như bài 7

- Nói chung trong một bài bất đẳng thức tích phân

dưới dấu tích phân (như bài 1, 2)

- Nếu cận tích phân của 2 vế bấ đẳng thức không bằng nhau thì ta cần sử dụng phương

∫ một cách trực tiếp là rất khó Khi đó, cần đánh giá bất đẳng thức f x( )≤g x( )

sao cho b ( ) là một tích phân dễ tính hơn

a

g x dx

∫

b a

♦ Bài toán 5: Bất đẳng thức Young :

Cho a∈ *, f : [0, a] Æ R là một ánh xạ thuộc lớp C 1 sao cho [ ]

1

21

a

0

1

=

b1

Áp dụng bất đẳng thức Young ∀y∈[0, f(a)] thì:

g(y) = g(f(f—1(y))) ≥ f-1(y)

2

1 2 0

§ Bài 3:

MỘT SỐ P

-☺ - Trong bài này sẽ đưa ra một số bài toán không giải theo 2 phương pháp cơ bản trên

2 liên tục sao cho tồn tại c ∈

π 0,

x 0

b a

b a

™ Nhận xét: Bài toán này không được đưa vào phương pháp đánh giá hàm số

bởi vì nó chỉ là một bài toán khảo sát hàm số thông thường để tìm giá trị nhỏ nhất

♦ Bài toán 4: Cho g: [a, b] Æ [0, 1]

a) Chứng minh rằng a + G(x) ≤ x ∀ ∈x [ ]a,b

b) Giả sử f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên đoạn [a,b]

Chứng minh rằng: ∫a x f t g t dt( ) ( ) ≥∫a a+G x( )f t dt( ) ∀x∈[ ]a,b

Giải:

a) Theo định lý giá trị trung bình với mỗi x∈[a, b], tồn tại c∈[a, x] sao cho:

n=50

sinsin

sin = -1

k k

t k x

π π

= = f x là một hàm giảm ∀x∈[a, b] α ≥ 0 và sinx ≤1

⇒ Áp dụng định lý giá trị trung bình thứ 2 ta được:

- Bước 2: đánh giá g c( )⇒ kết quả cần chứng minh.

♦ Bài toán 7: Cho f(x) liên tục trên [0, 1] thỏa mãn điều kiện:

F x =∫ f t dt thì F(x) là một nguyên hàm của f(x), với F(0) = 0, F(1) = c

và f(x) ≥ 0 nên F(x) là một hàm đơn điệu tăng, vậy ∀x∈ [0,1] thì F(x) ≤ F(1) = c

Và do f(x) ≤ 1

1 c- xf x

2

1 0

2 1 0

1 0

1 0

1

12

= xdx- xf x

1 =

2

11

§ Bài 4:

ĐẠO HÀM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

-☺ - Nhận thấy rằng ngoại trừ đạo hàm f x'( ) của hàm đa thức là tương đối đơn giản hơn f x( ); Còn nói chung đạo hàm f x'( ) là một hàm số phức tạp hơn rất nhiều so với hàm số f x( ) Cho nên : từ việc ước lượng liên quan đến f x( ) thì khó có thể tìm ra được những ước lượng có ý nghĩa liên quan đến đạo hàm f x'( ) của nó Ngược lại, sự hiểu biết

về đạo hàm f x'( ) lại cung cấp những thông tin có giá trị về f x( )

Để nhận ra mối liên hệ của đạo hàm và tích phân ( hay giữa f x( )và f x'( ) ) ta cần chú ý các định lý sau đây:

+ Định lý Lagrăng: cho f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) thế

thì tồn tại một số c∈( )a b, sao cho f c'( ) f b( ) f a( )

'

c x c

(Ở đây coi x0 < c nếu x0 > c thì ta sẽ đổi cận tích phân)

♦ Bài toán 3: Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục f' x( ) trên đoạn [a,b], f(x) = 0

'

'

b a

Giả sử f(x1) < 0 và f(x2) > 0 với x1, x2 ∈ [0, 1] theo định lý giá trị trung gian của hàm

số liên tục tồn tại x ∈ (x1, x2) sao cho f(x) = 0 (giả sử x1 < x2)

Vì f x( ) liên tục trên đoạn [0, 1] nên nó đạt gái trị lớn nhất trên đoạn này, tức là tồn tại điểm b ∈ [0, 1]

''2

x x

2 22

1

2 20

a a

b a

=-2 f x

b-a =M 4

612

b a

2 2

2 2

2 2

a b a

b a

+ +

1- Phương pháp 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá:

1.1- Đánh giá hàm số f(x) trên [a,b] bằng phương pháp đại số

1.2- Sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số f(x)

2- Phương Pháp 2: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để chứng minh bất đẳng thức tích phân

Ngoài ra có một số dạng toán không mẫu mực cũng được trình bày một cách tỉ mỉ trong bài 3

Trong bài 4 tôi còn đưa ra một số bài toán mang tính chất bổ trợ cho việc nhận định phương hướng chứng minh bất đẳng thức tích phân dễ dàng hơn

k n

n n n n

k

n

n k

k S n

k

n

n k

* 3

1 3

x n

n

e dx e

0

1lim

21

x n

n

e

dx e

x

=+

1

1

0,11

1 0

11

11

Cho trước số ε >0, do f x( ) liên tục tại x0 nên ∃ >δ 0 sao cho

p p

p

β α

0

2

p p

x x

2 2

II CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM :

♦ Bài toán 1: Cho f(x) xác định và liên tục trên đoạn [ ]0,1 và thoả mãn điều kiện :

( ) ( )

Giải :

Với cách giải trên ta đi đến bài toán tổng quát sau:

♦ Bài toán 2: Cho α R ;f x∈ + ( ) liên tục trên [0, +∞) thoả mãn điều kiện:

( ) ( )

⇒ Tồn tại số x∈(0,1) sao cho F x( )=0

♦ Bài toán 4: Giả sử f x ,f x , ,f x 1( ) ( )2 n( ) là những hàm liên tục nhận của giá trị dương trên đoạn [ ]0,1 Đặt k ∫1 k( )

Vậy tồn tại ít nhất một điểm x0∈( )0,1 sao cho f x1( ) ( )0 f2 x0 f n( )x0 ≤a a1 .2 a n

III CHỨNG MINH MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ:

Để chứng minh một bất đẳng thức đại số ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như : khảo sát hàm số, sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ( Cauchy, Bunhakopski…) nhưng ở đây ta sẽ sử dụng một phương pháp khác đó là sử dụng bất đẳng thức tích phân

♦ Bài toán 1: Chứng minh rằng : ln2 > 2

3 Giải :

dx

x x

dx

1

0 x x

++

không tỷ lệ nhau trên

1

1

ln 21

n n

k

k

n n

k k

k x

♦ Bài toán 9: Chứng minh rằng : ∀ ∈n N - 1 * { }

Chứng minh rằng : p x( ) ≤1 ∀ ∈x [ ]0,1

2 Giải :

sao cho ( )0

12

0

1 0

IV GIẢI MỘT SỐ BÀI PHƯƠNG TRÌNH HÀM :

♦ Bài toán 1: Cho hàm số f(x) thuộc lớp C 1 trên đoạn [0, 1] và thỏa mãn điều kiện

x

1

0 1 0

tiếp tục quá trình trên ta được: f x( )=1 ∀ ∈ ,1x [ ]0

♦ Bài toán 2: Tìm f(x) biết f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [a,b] và thỏa các điều kiện :

f x dx x dx

1 0

Nhưng khi đĩ hàm f x( ) khơng khả vi tại x = 1

Vậy khơng tồn tại hàm số nào thỏa mãn yêu cầu

Một số kết quả đạt được ở chương II:

Ứng dụng của bất đẳng thức tích phân để giải quyết một số dạng tốn:

Kết luận

@@@@@@@@@@@@@@@@@

Sau khi nghiên cứu về bất đẳng thức tích phân, tơi nhận

thấy rằng bất đẳng thức tích phân là một dạng tốn hết sức uyển chuyển, phức tạp Nĩ địi hỏi người làm tốn cần phải nhạy bén, cĩ khả năng phán đốn, phân tích vấn đề Đặc biệt nĩ cĩ một số ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết một số dạng tốn khác như: tính giới hạn, chứng minh một bất đẳng thức đại số, chứng minh phương trình cĩ nghiệm, giải một số bài phương trình hàm…

Nĩi về hiệu quả của đề tài thì tơi chưa khẳng định được điều

gì, vì nĩ chưa được kiểm nghiệm trong thực tiển Nhưng em chắc một điều sau khi hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học này thì tơi đã nắm một cách tổng quan và cĩ hệ thống hơn về bất đẳng thức tích phân Và hơn nữa cĩ thể vận dụng chúng để giải một số bài tốn khác

Tơi hy vọng đề tài này sẽ trở thành tài liệu bổ ích cho các bạn học sinh, sinh viên tham khảo trong quá trình học tập và giảng dạy sau này

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Trần Quang Vinh

[01] Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ - Bài tập toán cao cấp tập 1 – Nhà xuất bản giáo dục – 2001

[02] Ngô Thúc Lanh (chủ biên) – Sách giáo khoa giải tích 12 – Nhà xuất bản giáo dục – 1998

[03] Trần Đức Long – Bài tập giải tích – Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 2002

[04] Trần Thanh Minh (chủ biên) - Giải toán tích phân và Giải tích tổ hợp – Nhà xuất bản giáo dục – 2001

[05] Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập giải tích tập 1 – Nhà xuất bản giáo dục –