SKKN Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8

SKKN Dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8 0 MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 1 3 Đối tượng nghiên cứu 1 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 1 5 Những điể[.]

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm sáng kiến 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận : 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp tổ chức thực 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 16 KẾT LUẬN 17 3.1 Kết luận: 17 3.2 Kiến nghị đề suất biện pháp: 17 4.Tài liệu tham khảo, Một số kí hiệu viết tắt Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đánh giá xếp loại SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình THCS, Tốn học chiếm vai trị quan trọng Tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà Tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt mơn khoa học khác góp phần giúp em phát triển cách toàn diện Từ vai trị quan trọng mà việc giúp em học sinh u thích, say mê Tốn học, giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu mơn Tốn u cầu tất yếu giáo viên dạy Tốn nói chung Nhất đất nước ta thời kỳ cơng nghiệp hố, đại hố, cần người động, sáng tạo có hiểu biết sâu rộng Trong chương trình tốn THCS tốn Bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Ở lớp bậc THCS em bắt đầu học Bất đẳng thức, việc giải loại tốn địi hỏi phải vận dụng cách hợp lí, độc đáo nhiều cách giải Vì tốn Bất đẳng thức thường xuyên xuất SGK, sách nâng cao khối lớp Nó tốn hay giúp học sinh phát triển trí thơng minh, sáng tạo, khả tư Toán học cao Mặt khác, năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt thi vào trường THPT chuyên thường gặp toán Bất đẳng thức phong phú đa dạng mang tính ứng dụng thực tiễn cao qua góp phần hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Tuy nhiên, Qua thực tiễn giáo viên dạy toán trường THCS nhận thấy phần đông em học mơn Tốn sợ giải tốn bất đẳng thức lí sau đây: - Không thuộc kiến thức không nắm vững kiến thức bất đẳng thức - Lí quan trọng em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, xác em chưa nắm phương pháp giải toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải cho đúng, chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức vào giải tốn Bởi tơi chọn đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” Nhằm mong muốn nâng cao chất lượng dạy học đại trà chất lượng học sinh giỏi 1.2 Mục đích nghiên cứu : Với mong muốn tìm giải pháp cho học sinh nắm vững phương pháp giải tốn bất đẳng thức, từ u chủ động tích cực học tốn qua nâng cao chất lượng học Toán đại trà chất lượng mũi nhọn Thơng qua hình thành kỹ tư logic, tối ưu giải vấn đề gặp phải sống 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Hàm Rồng năm học 2017 -2018 SangKienKinhNghiem.net 1.4.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc tài liệu SGK, sách tham khảo, tài liệu mạng - Phương pháp đàm thoại trực tiếp - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giáo dục thông qua thực tế dạy học Trên sở lý thuyết nghiên cứu phương pháp, giải pháp dạy học giải toàn bất đẳng thức điển hình để từ học sinh vận dụng vào giải số toán bất đẳng thức 1.5 Những điểm sáng kiến Các phương pháp giải bất đẳng thức xếp theo thứ tự thường gặp hơn, Các toán bất đẳng thức giảng dạy có tính khái qt hóa, mở rộng từ dễ đến khó dần, có tính kế thừa vận dụng để rèn kỹ năng, làm cho việc tiếp thu học sinh trở nên dễ NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.”mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục kỹ năng, phẩm chất trí tuệ thơng qua mơn Tốn Để hình thành cho học sinh kỹ tìm giải pháp tối ưu cho nhiều dạng toán mà em gặp sau Các toán chứng minh bất đẳng thức phong phú , đa dạng có mặt nhiều kỳ thi quan trọng thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên lớp chọn Việc nắm phương pháp kỹ giải toán bất đẳng thức yếu tố quan trọng giúp em có thành tích cao, có kết học tập cao học tập, kỳ thi Trong viết này, hy vọng đóng góp thêm số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễn dạy học mơn Tốn Trường THCS Hàm Rồng phương pháp giải toán học sinh khối yếu nhiều đặc biệt chứng minh bất đẳng thức Trong năm học vừa qua, nhà trường phân công giảng dạy tốn Qua thời gian giảng dạy tơi thấy ý thức học tập tự giác, sáng tạo học sinh chưa cao, em quen với kiểu học làm thụ động, với lí sau đây: - Không thuộc kiến thức không nắm vững kiến thức, trình bày làm lúng túng khơng biết trình bày cho - Các em chưa biết cách làm Tốn mà ta gọi phương pháp, phương pháp đặc trưng cho dạng Tốn Hơn mơi trường gia đình xã hội cịn ảnh hưởng nhiều đến học tập em như: - Một số học sinh có phụ huynh làm ăn xa, làm cơng nhân, nên thời gian giám sát, theo dõi, đôn đốc học tập em chưa tốt - Một số gia đình có hồn cảnh khó khăn nên chưa đầu tư nhiều vào việc học em, loại sách tham khảo khơng có SangKienKinhNghiem.net - Phong trào hiếu học địa phương chưa thực lớn mạnh nên em theo trào lưu mà khơng có tâm học - Một số em cịn bị lơi trị chơi điện tử, bị trào lưu mà mạng xã hội tác động làm em bị lôi vào hình tượng, thần tượng ảo dẫn đến lười học, xao nhãng học tập 2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.1 GIẢI PHÁP: Để thực hiện, áp dụng số giải pháp sau: - Soạn cách đầy đủ, chi tiết, phân dạng dạy theo đối tượng Mỗi dạng tốn bất đẳng thức trình bày theo hình thức từ dễ đến khó dần, toán bất đẳng thức phát triển theo hướng từ đơn giản đến phức tạp Các toán bất đẳng thức sau khó phát triển, khái qt hóa từ tốn trước, tốn quen thuộc mà học sinh nắm trước qua giúp học sinh hứng thú cảm thấy tốn bất đẳng thức đỡ khó hơn, từ u, hứng thú học, giải toán bất đẳng thức - Hướng dẫn học sinh học tập Cho học sinh nắm vững kiến thức sách giáo khoa, có đủ dạng tốn, bên cạnh cịn mở rộng tài liệu khác để củng cố, nâng cao Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể - Tổ chức cho em học tập chuyên đề lồng ghép vào tiết luyện tập phần bất đẳng thức luyện tập khóa, buổi dạy phụ đạo cho đối tượng học sinh tùy theo đối tượng khả tiếp thu học sinh để đưa tập mức độ khác nhau, Đồng thời hướng dẫn định hướng cho học sinh giỏi tự học, tự nghiên cứu dạng toán nhà - Thực giảng dạy theo phương pháp hướng người học làm trung tâm - Bồi dưỡng học sinh ln phải thường xun kiểm tra, đánh giá, sửa lỗi, an ủi, động viên học sinh trình giảng dạy lớp để em thêm tự tin, hứng thú học tập 2.3.2 CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.2.1 Các kiến thức cần vận dụng a Định nghĩa bất đẳng thức [1] a nhỏ b, kí hiệu a < b, a – b < a lớn b, kí hiệu a > b, a – b > a nhỏ b, kí hiệu a  b, a - b  a lớn b, kí hiệu a  b, a - b  b Các tính chất bất đẳng thức [5] Tính chất 1: a > b  b < a Tính chất 2: a > b, b > c  a > c Tính chất 3: a > b  a + c > b + c a>b  a–c>b-c a+c>b  a>b-c SangKienKinhNghiem.net Tính chất 4: a > c, b > d  a + b > c + d a > b, c < d  a - c < b - d Tính chất 5: a > b, c >  c > b.c a > b, c <  a.c < b.c Tính chất 6: a > b  0, c > d   a.c > b.c Tính chất 7: a > b >  a n > b n a > b  a n > b n với n lẻ a > b  a n > b n với n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca [9] Giải 2 a  b  c  ab  bc  ca Ta có  2(a  b  c )  ab  bc  ca  Xét hiệu 2a  2b  2c  (2ab  2bc  2ca )  a  b  2ab  a  c  2ca  b  c  2bc   a  b   a  c   b  c   2 Do a  b   với a, b; a  c   với a, c; b  c   với c, b Suy 2(a  b  c )  ab  bc  ca  2  a  b  c  ab  bc  ca a  b  Dấu “ = ” xảy  b  c   a  b  c a  c   Ví dụ 2: Cho a, b số thực dương Chứng minh rằng: (a + b) (a + b )  (a + b ) [4] Giải: 3 4 Xét hiệu: (a + b) (a + b ) - (a + b ) = a(a +b ) + b (a +b ) - a - b = a + ab + ba + b - a - b = - a - b + ab + ba = a(b - a ) + b (a - b ) = a(b - a ) - b (b - a ) = - (a - b) (a- b) (a + ab + b ) = - (a - b) (a + ab + b ) Vì a, b, số thực dương nên: (a –b )2  0, a + ab + b > Suy ra: (a – b )2 ( a  ab  b)   (a – b ) ( a  ab  b)   a  b a  b3  a  b  Dấu “=” xảy a = b SangKienKinhNghiem.net Cho học sinh tập rèn luyện có dạng cách làm phát triển nâng cao dần từ tập làm để học sinh luyện giải lớp nhà Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b2   ab  a  b [9] b) a2  b2  c2   2(a  b  c) c) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) [5] d) a4  b4  c2   2a(ab2  a  c  1) e) a2  b2  c2  ab  ac  2bc [8] f) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc [7] k) a + b + c + d + e  a (b + c + d + e) Hướng Dẫn a) Nhân hai vế với 2, xét hiệu VT - VP  a2  b2   ab  a  b  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  => Đpcm   b ) Xét hiệu VT – VP = (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  => Đpcm c)  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca   (a  b  c)2  => Đpcm d) Xét hiệu VT  VP  a4  b4  c2   2a(ab2  a  c  1)   (a2  b2 )2  (a  c)2  (a  1)2  => Đpcm f) Xét hiệu VT  VP  a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc       a2  2abc  b2 c2  b2  2abc  c2 a2  c2  2abc  b2 a2  2  (a  bc)  (b  ca)  (c  ab)   (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  => Đpcm 2 a  a  a  a  k ) Xét hiệu VT  VP    b     c     d     e   => Đpcm 2  2  2  2  Bài : Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: ab a2  b2 a) ab       [7] b) a3  b3  a  b    ; với a, b    c) a4  b4  a3b  ab3 d) a4   4a e) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c > f) a4  b4  g) 1  a2  a6 b2   b2 b6 a2  ; với a, b  ; với ab  1  ab h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) với ab > Hướng Dẫn: Thực xét hiệu vế bất đẳng thức SangKienKinhNghiem.net 2 ab (a  b)2 a2  b2  a  b  (a  b)2  ab      => Đpcm a)  ;        b) Xét hiệu VT- VP = …= (a  b)(a  b)2  với a, b  => Đpcm c) Xét hiệu VT- VP = …= (a3  b3 )(a  b)  (a  b)2 (a2  ab  b2 )  => Đpcm d) Xét hiệu VT- VP = …= (a  1)(a3  a2  a  3)   (a  1)2 (a2  2a  3)  (a2  2a  3)  a  1   => Đpcm e) Chú ý: a3  b3  (a  b)3  3a2 b  3ab2 Xét hiệu VT- VP = …= (a  b  c)  a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  => Đpcm f) Xét hiệu VP- VT = …= (a2  b2 )2 (a4  a2 b2  b4 )  => Đpcm g) Xét hiệu VT- VP = …= (b  a)2 (ab  1) (1  ab)(1  a2 )(1  b2 ) 0 h) Xét hiệu VT- VP = …= ab(a  b)(a3  b3 )  => Đpcm b Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta biến đổi tương đương (dựa vào tính chất bất đẳng thức) A > B  …  C > D cuối đạt bất đẳng thức C >D Khi ta kết luận A > B * Ví dụ : Cho a, b số thực Chứng minh a2  b2  2ab  Giải : * Ta có a  b2  2ab    a2  b2  2ab   a  b   a, b  ¡ ** Bất đẳng thức (**) bất đẳng thức Mặt khác phép biến đổi tương đương Vậy bất đẳng thức (*) phải bất đẳng thức Dấu “=” xảy a = b Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải toán sau : Bài tập Cho a, b, c, d  R.) Áp dụng bất đẳng thức a2  b2  2ab (*) chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4  b4  c  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d  4)  256abcd Hướng Dẫn a) Sử dụng a4  b4  2a2 b2 ; c4  d  2c2 d ; a2 b2  c2 d  2abcd => Đpcm b) Sử dụng a2   a ; b2   b ; c2   c => Đpcm c) Sử dụng a2   a ; b2   b ; c2   c ; d   d => Đpcm Ta đưa ví dụ mở rộng tập ứng dụng sau Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca SangKienKinhNghiem.net Giải Ta có a  b  c  ab  bc  ca  2(a  b  c )  ab  bc  ca  2  2a  2b  2c  (2ab  2bc  2ca )   a  b  2ab  a  c  2ca  b  c  2bc   a  b   a  c   b  c   a, b, c 2 Vì a  b   a, b ; a  c   a, c ; b  c   b, c a  b  c  ab  bc  ca Dấu “ = ” xảy  a = b = c Suy Hướng dẫn, yêu cầu học sinh giải toán sau : Bài tập 4: Cho a, b, c  R Áp dụng bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 2 a2  b2  c2  a  b  c   b)    a) (a  b  c)  3(a  b  c ) c) (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) Hướng dẫn a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) a4  b4  c  abc(a  b  c) a2  b2  c2  a  b  c  2 2  b)   a  b  c  a  b  c    c) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần a4  b4  c  abc(a  b  c)  a  b  c  a 2b  b c  c a  ab c  a 2bc  abc  abc a  b  c  c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụng + Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) [5] x y  xy Với x  0, y  Dấu “=” xảy x = y Chứng minh: - Ta có với x  0, y   x y  0, xy  2 x y  x y   xy     xy   x y 2 Xét hiệu    xy   x  y  xy   x  y   x, y    x y  x y  xy , x, y  Dấu “=” xảy x = y    xy, x, y     + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) [5] Với số a, b, x, y ta có: (a + b )(x + y )  (ax + by) Dấu “=” xảy ay = bx Chứng minh: Xét hiệu: (a + b )(x + y ) - (ax + by) = a x + a y + b x + b y - a x - b y - 2axby = a y - 2axby + b x SangKienKinhNghiem.net = (ay - bx)  Dấu “=” xảy ay = bx + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối [4] Với số a, b  R ta có: a + b  a  b Dấu “=” xảy a.b  Chứng minh: Ta có: a + b  a  b (1) với a, b  a + ab + b  a + 2ab + b (vì vế không âm)  ab  2ab  ab  ab (2) Vì bất đẳng thức (2) nên bất đẳng thức (1) Dấu “=” xảy a.b  Ví dụ Cho a, b, c > Chứng minh 1    (1) a b c abc [9] Giải : Ta có  1 1 1     a  b  c      a b c abc a b c b a c a b c  111             a b a c c b b a c a b c              6, a, b, c  a b a c c b b a c a b c Vì theo BĐT cauchy ta có     2,     2,   2 a b a c c b Dấu “ = ” xảy a = b = c > Hướng dẫn cho học sinh vận dụng ví dụ để giải tốn sau: Bài tập 5: a) Cho a, b, c >0 Chứng minh BĐT sau  1  (a  b  c )      (a  b  c) ab bc ca b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: x y z   x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: 1   P= 2 a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 d) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh: 2     30 ab bc ca a b c P Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ta được: 1    a  b b  c c  a 2(a  b  c) 9(a2  b2  c2 ) 3(a2  b2  c2 )  VT    (a  b  c) 2(a  b  c) abc SangKienKinhNghiem.net Chú ý: (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:  x 11 y 11 z 11 1    = 3    x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1 1 9     Suy ra: P    Ta có: x 1 y 1 z 1 x  y  z  4 P= *Chú ý: Bài tốn tổng qt sau: Cho x, y, z > thoả x  y  z  k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P= x y z   kx  ky  kz  c) Ta có: P  9  a2  2bc  b2  2ca  c2  2ab (a  b  c)2 d) VT  2  ab  bc  ca a b c   1 = 2 2   ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca a b c    30 (a  b  c)2 ab  bc  ca 1 1 Chú ý: ab  bc  ca  (a  b  c)2  3    Ví dụ 6: Cho a, b > Chứng minh 1   (1) a b ab [4] Giải : b a  b  a a  b  a  b   1 4ab a2  2ab  b2      Ta có   a b a  b ab a  b  ab a  b  ab a  b  ab a  b  ab a  b  a  b   0, ab a  b  a, b >0  1   , a, b  a b ab Dấu “ = ” xảy a = b a b Bài tập 6: Áp dụng bất đẳng thức    , a, b  chứng minh bất ab đẳng thức sau  1 1 1     2    ; với a, b, c > a b c ab bc ca   1 1 1    2   b)  ; với a, b, c > ab bc ca  a  b  c a  b  c a  b  2c  1 c) Cho a, b, c > thoả mãn    a b c 1   1 Chứng minh: a  b  c a  b  c a  b  2c ab bc ca abc    d) ; với a, b, c > ab bc ca a) SangKienKinhNghiem.net e) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  12 Chứng minh: xy 8yz xz    x  y y  4z 4z  x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:  1 1 1    2    pa pb pc a b c Hướng dẫn : a) Áp dụng (1) ba lần ta được: 1 1 1   ;   ;   a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a)   1 1 1    4    a b c  a  b  c a  b  c a  b  2c  11 1 ab       (a  b) d) Theo (1): ab 4a b ab c) Áp dụng a) b) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a  b  c  12  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4    p  a p  b ( p  a)  ( p  b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) < x < Chứng minh rằng: A  64 Giải: - Với < x < 2x > ; 16 – 2x > x  16  x  x(16  x)  64  2x(16 – 2x) Hay 2x(16 – 2x)  64 Hay A  64 Dấu “=” xảy 2x = 16 – 2x  x = Theo bất đẳng thức CơSi ta có: Ví dụ 8: Chứng minh : am  bn  với a + b =1 m + n = [7] Giải: Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (am + bn)  ( a + b )( m + n )  (am + bn)   am  bn  Dấu “=” xảy : an = bm Ví dụ 9: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xz = Chứng minh rằng: x + y + z  16 Giải: SangKienKinhNghiem.net 10 Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-x-ki ta có: (xy + yz + xz)  (x +y +z )(x +y +z )  16  (x +y +z ) (1) 2 2 Ta lại có: (x +y +z )  1(1 + + 1) (x +y +z ) = 3(x +y +z ) Từ (1) (2) suy ra: 16  3(x +y +z )  3(x +y +z )  16 (2) 16 Ví dụ 10 : Cho: A = x  2004  x  2005 Chứng minh rằng: A  với x [2]  x +y +z  Giải: Ta có: A = x  2004  x  2005 = x  2004  2005  x Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A = x  2004  2005  x  x  2004  2005  x = Hay : A  với x Dấu “=” xảy : ( x  2004)(2005  x)   2004  x  2005 d Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > Chứng minh a a ac   (1).[2] b b bc Giải a  với a > , b > b  a  b  ac  bc  ab  ac  bc  ac Ta có  a b  c   b(a  c) a ac   ( Chia vế cho b b  c  ) b bc a a ac Vậy suy   (1) b b bc Yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ để làm tốn sau : Bài tập vd 11 : Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c    [9] ab bc ca a b c d    2 b)  abc bcd cd a d ab ab bc cd da    3 c)  abc bcd cd a d ab a)  Hướng dẫn : a) Sử dụng (1), ta được: a a ac ;   abc ab abc b b ba ;   abc bc abc c c cb   abc ca abc SangKienKinhNghiem.net 11 Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm ( Điều phải chứng minh ) a a a   abcd abc ac b b b c c c     Tương tự: ; ; abcd bcd bd abcd cd a ac d d d   abcd d ab d b b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm ab ab abd   abcd abc abcd c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Ví dụ 12: Chứng minh Với a, b ta có: a + b +  ab + 2(a + b) Giải: 2 a + b +  ab + 2(a + b)  2a + 2b +  2ab + 4(a + b) (Nhân vế với 2) 2  2a + 2b + - 2ab - 4a - 4b   (a - 2ab + b ) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4)   (a - b) + (a – 2) + (b - 2)  Với a, b Dấu “=” xảy a = b = Ví dụ 13: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z  Chứng minh rằng: 1    x y z [8] Giải: 1   >0 x y z 1 1 1 Ta bất đẳng thức: (x + y + z) (   )  6(   ) x y z x y z x y z y 1 z x  + (  ) + + (  ) + + (  )  6(   ) y z y z x y z x z x y z y z x    2, Vì x > 0, y > 0, z > nên ta có:   2, y z y z x z Nhân vế bất đẳng thức: x + y + z  với (1)  Vì bất đẳng thức (1) tương đương với: x y  6(  x z 1 1  )     y z x y z 6(   )  + + + Dấu “=” xảy x = y = z = Ví dụ 14: Cho a, b số dương Chứng minh rằng: a + b  ab(a + b) [9] Giải: Ta có a + b  ab(a + b)  (a + b) (a - ab + b )  ab(a + b) (Chia vế cho a + b > 0)  (a - ab + b )  ab 3 SangKienKinhNghiem.net 12  (a - 2ab + b )   (a - b)  Đúng với a, b Dấu “=” xảy a = b Ví dụ 15: Cho x, y số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y  x - y > Chứng minh rằng: x + y < Giải: 2 Ta có x + y <  (x - y)(x + y ) < (x - y) (Nhân vế với x – y > )  (x - y)(x + y ) < x + y  x (x + y ) - y(x + y ) < x + y  x3+ x y2 - x2 y - y3 < x3+ y3  -2y + xy - x y <  - y (x + 2y - xy) <  y (x + 2y - xy) > (Nhân vế với – ) y2 y ) + y2 ] > y2 y + y2 ] >  y[( x - ) 4 7y y ] > Với x, y  y[( x - )  y[( x - Vậy : x + y < Ví dụ 16: Cho x, y, z số dương, thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 1 1    x y z xyz Chứng minh rằng: Giải: Ta có (x + y - z)   x + y + z  2(yz - x y + xz) 5  2(yz - x y + xz) (Vì : x + y + z = ) 3   yz - x y + xz (Chia vế cho )  yz - x y + xz   yz - x y + xz < 1 1 (Chia vế cho xyz > )     x y z xyz  Ví dụ 17: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện: a + b = Chứng minh rằng: a + b  [5] Giải: Ta có: a + b =  (a + b) =  a + 2ab + b = (1) SangKienKinhNghiem.net 13 Ta lại có : (a - b)  ( 2)  a - 2ab + b  Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2(a + b )   a2 + b2  1 Dấu “=” xảy a = b = 2 Ví dụ 18: Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: x + y  xyz Giải: Ta có : (x - y)   x + y  2xy  x + y + xy  4xy (Cộng vế với 2xy > ) (1)  (x + y)  4xy Suy ra: [(x + y) + z ]  4(x + y)z  16  4(x + y)z (vì : x + y + z = 4)  16 (x + y)  (x + y) z (Nhân vế với x + y > ) Theo (1) (x + y)  4xy Nên: 16 (x + y)  (x + y) z  4.4xyz  16 (x + y)  16xyz  x + y  xyz e Phương pháp chứng minh phản chứng Ví dụ 19: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: a+  2; b b+  2; c c+  a [9] Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : a+  2; b b+  2; c c+  a Cộng vế bất đẳng thức ta được: 1 + b+ +c+ 0, b > 0, c > nên: a +  2; b +  2; c +  a b c 1 Như : (a + ) + ( b + ) + (c + )  Điều mâu thuẫn với (1) a b c a+ Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức cho Ví dụ 20: Chứng minh khơng có số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Giải: Giả sử tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức : 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: SangKienKinhNghiem.net 14 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > (*) 2 Ta lại có: 4a(1 - a) – = 4a - 4a – = - (2a – 1)  Suy ra: 4a(1 - a)  (1) Tương tự ta có: 4b(1 - b)  (2) 4c(1 - c)  (3) Từ giả thiết phản chứng từ a, b, c dương , suy ra: – a > 0; – b > 0; – c > Do nhân theo vế bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c)  (**) Điều mâu thuẫn với (*) Vậy không tồn số dương a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức cho f Phương pháp quy nạp toán học Ví dụ 21: Chứng minh với số nguyên dương n  : n > 2n + (1) Giải: Với n = = ; 2n + = 2.3 +1 = Rõ ràng vế trái lớn vế phải Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n = k (k  n ; k  3), tức : k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức : k 1 > 2(k + 1) + Hay: k 1 > 2k + Thật vậy: k 1 = 2 k , mà k > 2k + (theo giả thiết quy nạp) Do : k 1 > 2(2k+1) = (2k +3) + ( 2k + 1) > 2k +3 (vì : 2k + > ) Suy ra: k 1 > 2k+3 với k  n Kết luận: > 2n + với số nguyên dương n  k) Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn + Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1  u2   un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1 Khi đó: S = a1  a2  a2  a3   an  an 1   a1  an 1 + Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak a a a a Khi đó: P = n  ak 1 a2 a3 an 1 an 1 [9] Ví dụ 22 : Chứng minh với số tự nhiên n  , ta có: a) 1 1     n 1 n  nn Giải : 1 Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1   n  k n  n 2n SangKienKinhNghiem.net 15 1 1 1 n          n 1 n  n  n 2n 2n 2n 2n 1 1 Vậy  với số tự nhiên n     n 1 n  nn  Bài tập VD 22: Chứng minh với số tự nhiên n  , ta có:   1     n 1 1 n 1 1 c)     1 1.2 2.3 3.4 (n  1).n a)  Hướng dẫn b)  2    n 2 [7] [7]   2    k   k , với k = 1, 2, 3, …, n k k k  k 1 1 1   , với k = 2, 3, …, n b) Ta có:  k k k  1 k  k 1 c) Ta có:   , với k = 2, 3, …, n (k  1).n k  k a) Ta có: 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Khi bắt đầu học chứng minh bất đẳng thức nhiều học sinh bối rối, thường xuyên mắc phải sai lầm trình bày, lập luận tốn đơn giản , thơng qua buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thống đặc biệt phân dạng loại toán , học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động , nắm vững kiến thức đồng thời học sinh nắm điểm trọng yếu kỹ vận dụng phương pháp vào toán, em làm tập cách linh hoạt, xác lập luận chặt chẽ logic Kết học tập em nâng lên rõ rệt thể rõ kiểm tra chương tinh thần học tập tích cực khơng ngại gặp tốn bất đẳng thức Từ xố cảm giác khó, phức tạp học sinh gặp dạng toán học sinh thấy dạng toán quan trọng, phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học tốn Góp phần giúp em tự tin, làm tốt kỳ thi quan trọng tiếp theo, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên, lớp chọn Trong thời gian hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm thân rút nhiều kinh nghiệm giảng dạy “ Bất đẳng thức” : Hệ thống tốt phương pháp vận dụng vào giải toán, chọn lựa toán phù hợp cho đối tượng học sinh từ đơn giản đến phức tạp Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Tình trạng TS Học sinh Học sinh Học sinh Ghi HS Khá - Giỏi Trung bình trung bình TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % Chưa áp dụng 60 28 46.7 18 30.0 14 23.3 Áp dụng 60 38 63.3 22 36.7 0 Kết cho thấy việc vận dụng phương pháp vào giảng dạy tốn giúp học sinh có kết cao học tập SangKienKinhNghiem.net 16 Đây nội dung khó có khối lượng kiến thức lớn đề tài nên tơi cảm thấy cịn nhiều vấn đề chưa trình bày hết tơi tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện mong muốn nhận thêm nhiều đóng góp để hồn thiện để là tư liệu thân giảng dạy đề tài để đồng nghiệp nhà trường đóng góp xây dựng làm tư liệu chung quan KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận Phần “ chứng minh bất đẳng thức , lớp 8.” nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt ứng dụng hiệu cho em lên lớp Trên số phương pháp thường dùng có hiệu học sinh lớp trường THCS , ôn tập cho em tạo tiền đề để sau em thi vào lớp 10 trường chuyên lớp chọn Mới đầu học sinh bở ngở việc chứng minh bất đẳng thức , thông qua buổi bồi dưỡng với cách ơn tập chi tiết, có hệ thống, đa số học sinh nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức vận dụng vào làm tập cách linh hoạt Tuy nhiên, khuôn khổ viết thời gian có hạn, khơng thể tránh sai sót nên Tơi mong nhận xét, góp ý cấp lãnh đạo, đồng nghiệp tổ chuyên môn 3.1.Kiến nghị: Trên phương pháp để giải toán “ Bất đẳng thức”, để học sinh nắm kiến thức có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả suy luận tính độc lập sáng tạo Với dạng tốn khơng có quy tắc tổng qt song giải giáo viên đặc điểm mà có hướng giải để gặp toán tương tự học sinh liên hệ Những sáng kiến kinh nghiệm có tính vận dụng tốt, đạt giải cao huyện mong Phòng Giáo Dục tạo điều kiện Cán bộ, giáo viên học hỏi kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 15 tháng 04 năm 2018 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trần Đức Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHỤ LỤC SangKienKinhNghiem.net 17 TT Tên tài liệu tham khảo Tác giả [1] Sách giáo khoa tốn Tơn Thân (Chủ biên) [2] Sách tập toán tập Tơn Thân (Chủ biên) [3] Sách : Ơn tập đại số Nguyễn Ngọc Đạm [4] Sách: Toán nâng cao toán Vũ Hựu [5] Sách: Kiến thức nâng cao toán Nguyễn Ngọc Đạm [6] [7] Sách: Những toán nâng cao chọn Lê Thị Hương lọc toán Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Quang Hanh Sách: 500 tốn chọn lọc tốn Ngơ Long Hậu [8] Sách: Toán nâng cao đại số Nguyễn Vĩnh Cận [9] Sách: Nâng cao phát triển tốn Vũ Bình MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT - Đpcm : Điều phải chứng Minh - VT : Vế trái - VP : Vế phải - BĐT : bất đẳng thức DANH MỤC SangKienKinhNghiem.net 18 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Đức Thành Chức vụ đơn vị công tác: Trường THCS Hàm Rồng TT Cấp Kết đánh đánh Năm học giá xếp giá xếp đánh giá xếp loại loại (A, loại (Phòng, B, Sở, C) Tỉnh ) Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh yếu giải toán so sanh phân số Dạy học sinh lớp vận dụng định lý vi ét giải toán phương trình bậc ẩn Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh giải tốn hình học cách vẽ thêm đường phụ Hướng dẫn học sinh yếu giải toán tỉ lệ thức Hướng dẫn học sinh yếu lớp sử dụng bảng tóm tắt giải tốn cách lập phương trình Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn chia hết Phịng A Phòng A 2000-2001 2001-2002 Sở GD C phòng 2005-2006 C 2007-2008 Phòng 2010-2011 Phòng B B 2014-2015 Phòng B 2015-2016 SangKienKinhNghiem.net 19 ... 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Để chứng minh bất đẳng thức A > B, ta xét hiệu A - B, suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh. .. toán bất đẳng thức, chưa biết cách trình bày lời giải cho đúng, chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức vào giải toán Bởi chọn đề tài: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ” Nhằm mong... toán bất đẳng thức lí sau đây: - Khơng thuộc kiến thức không nắm vững kiến thức bất đẳng thức - Lí quan trọng em chưa biết cách làm toán bất đẳng thức, xác em chưa nắm phương pháp giải toán bất đẳng