19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức42132

19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa A  B  A  B   A  B  A  B  2/Tính chất + A>B  B  A + A>B B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B C > D  A+C > B + D + A>B C >  A.C > B.C + A>B C <  A.C < B.C + < A < B < C B >  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > A >  A m > A n + m > n >  1  A B 3/Một số bất đẳng thức + A  với  A ( dấu = xảy A = ) + An  với  A ( dấu = xảy A = ) + A  với A (dấu = xảy A = ) + -A 0) + A  B  A  B ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Giải: ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx)   ( x  y )  ( x z )  ( y  z )  với x;y;z  R Vì (x-y)2  vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2  vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2  với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z  xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z = b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz – 2yz = ( x – y + z)  với x;y;z  R Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz với x;y;z  R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z - 2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2  b2  a  b   a)  ;   toán b) a2  b2  c2  a  b  c    3   c) Hãy tổng quát Giải: a2  b2  a  b   a) Ta xét hiệu    a  b a  2ab  b = = 2a  2b  a  b  2ab = a  b 2   4 4  Vậy   a2  b2  a  b      b)Ta xét hiệu  Dấu xảy a=b   a  b2  c2  a  b  c  2   = a  b   b  c   c  a   Vậy 3   a2  b2  c2  a  b  c    3   Dấu xảy a = b =c a12  a 22   a n2  a1  a   a n  c)Tổng quát   n n   Tóm lại bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1          2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m m   n 0 n  m  m   p0  m2 p  Dấu xảy    m n  p  q   q 0  m q  2  m  m  22     Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a  b  c  abc(a  b  c) Giải: Ta có : a  b  c  abc(a  b  c) , a, b, c   a  b  c  a bc  b ac  c ab   2a  2b  2c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2   a2  b2   a2  b2   2a b  b   b   b 2 2  c2  c2  c2   c   c   2b c  c 2 2  a2   2a c 2  2a bc  2b ac  2c ab   a2   (a b 2  b c  2b ac)  (b c  c a  2c ab)  (a b  c a  2a ab)   a2   ab  bc   bc  ac   ab  ac  2 2 0 Đúng với a, b, c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau: A  B 2  A  AB  B A  B  C 2  A  B  C  AB  AC  BC A  B 3  A3  A B  AB  B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2  ab b) a  b   ab  a  b a) a  ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức c) a  b  c  d  e  ab  c  d  e  Giải: b2 a) a   ab  4a  b  4ab  4a  4a  b   2a  b 2  b2 (BĐT đúng) Vậy a   ab (dấu xảy 2a=b) 2 b) a  b   ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b    (a  b)  (a  1)  (b  1)  Bất đẳng thức cuối Vậy a  b   ab  a  b Dấu xảy a=b=1 a  b  c  d  e  ab  c  d  e   c) 4 a  b  c  d  e    4ab  c  d  e       a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c   a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   2 2 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a 10  b10 a  b  a  b a  b  Giải: a 10      b10 a  b  a  b a  b   a a b a b b  a a b a b b  a b a  b  a b b  a   a2b2(a2-b2)(a6-b6)  12 10 2 10  12 12  4  12   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x  y Giải: Chứng minh x2  y2 2 x y x2  y2  2 :x  y nên x- y   x2+y2  2 ( x-y) x y  x2+y2- 2 x+ 2 y   x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2   x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy  x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y  y  xy  y   x, y  R b/ a  b  c  a  b  c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z   1 1     x yz  x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  (vì   < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh :  Giải: a b c   2 ab bc ac 1 a a    (1) ab abc ab abc b b c c Tương tự ta có :  (2) ,  (3) bc abc ac abc Ta có : a  b  a  b  c  Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c    (*) ab bc ac a ac Ta có : a  a  b   ab abc b ab Tương tự :  (5) , bc abc (4) c cb  ca abc (6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c   2 ab bc ac (**) Từ (*) (**) , ta :  a b c    (đpcm) ab bc ac Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x  y  xy b) x  y  xy dấu( = ) x = y = c) x  y 2  xy a b b a d)   Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  xy Tacó a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac 2 2  a  b  b  c  c  a   64a b c  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a/ Với hai số không âm : a, b  , ta có: a  b  ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1  a   a n  n n a1 a a n n  a  a   a n   a1 a a n    n   Dấu “=” xảy a1  a   a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm 2x 4x 2x Ví dụ : Giải phương trình : x  x  x x  1 1  a  Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt  , a, b  x x b  Khi phương trình có dạng : Vế trái phương trình: a b    b 1 a 1 a  b  a   b     a  b 1   a  b 1   a  b 1    1    1    1      3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1  1     a  b  c         b  1  a  1  a  b   3  b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b   3 3 a  1b  1a  b  3 2 a  1b  1a  b  Vậy phương trình tương đương với : a 1  b 1  a  b  a  b   2x  4x   x  Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = x y z   x 1 y 1 z 1 Giải : P = 3- ( 1   ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > x 1 y 1 z 1 a  b  c  3 abc  1 1 1 1 1   33  a  b  c          a b c abc a b c abc a b c 1     x 1 y 1 z 1 Vậy max P = x = y = z = Suy Q = -Q   ThuVienDeThi.com 9 nên P = – Q  3- = 4 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 abc    2abc a  bc b  ac c  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a  bc  2a bc  Tương tự : 1 1       a  bc a bc  ab ac  2 1 1  1 1            b   ac b ac  bc ab  c   ab c ab  ac bc  2 abc     a  bc b   ac c   ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c    (*) bca cab abc a b c abc    33 (1) bca cab abc (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b  c  a )(c  a  b)  (b  c  a  c  a  b)  c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c)  abc abc   (3) (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: 0  a  b  c  x y z  a  c  Cho  Chứng minh rằng:  by  cz      4ac a b c 0  x, y, z Giải: Đặt f ( x)  x  (a  c) x  ac  có nghiệm a,c Mà: a  b  c  f (b)   b  (a  c)b  ac  ac y  a  c  yb  ac  a  c y b b x y z    xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c y  (a  c) z a b c  x y z  xa  yb  zc  ac     a  c x  y  z  a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ThuVienDeThi.com x  y  z 2 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 2 xa  yb  zc ac x  y  z   a  c x  y  z  a b c x y z 2  4xa  yb  zc ac     a  c  x  y  z  a b c  x y z  a  c  x  y  z 2 (đpcm)  xa  yb  zc ac     4ac a b c Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n  ): a1 , a , a n , b1 , b2 , , bn Ta ln có: (a1b1  a b2   a n bn )  (a12  a 22   a n2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  Hay a a1 a    n b1 b2 bn b b1 b2    n (Quy ước : mẫu = tử = ) a1 a an Chứng minh: a  a  a   a 2 n Đặt  2  b  b1  b2   bn  Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức  Nếu a,b > 0: b ,  i  i i  1,2, n , Thế thì:  12   22    n2  12   22    n2 a b Mặt khác:  i  i   i2   i2 1  1       n  n  ( 12   22    n2 )  ( 12   22    n2 )  2 Suy ra:  a1b1  a b2   a n bn  a.b Đặt:  i    Lại có: a1b1  a b2   a n bn  a1b1  a b2   a n bn Suy ra: (a1b1  a b2   a n bn )  (a12  a 22   a n2 )(b12  b22   bn2 )   i   i i  1,2, , n  a a a     n b1 b2 bn  1  n  n dáu Dấu”=” xảy   Ví dụ : Chứng minh rằng: x  R , ta có: sin x  cos x  Giải: Ta có: sin x  cos x  1, x  R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: ThuVienDeThi.com 8 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức      sin x.1  cos x.1  sin x  cos x 12  12   1  sin x  cos x   sin x  cos x   Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa:         1  sin x.1  cos x.1   sin x  cos8 x 12  12  sin x  cos x  4 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P   tan A tan B   tan B tan C   tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , , ci )(i  1,2, , m) Thế thì: (a1 a a m  b1b2 bm   c1c c m )  (a1m  b1m   c1m )(a 2m  b2m   c 2m )(a mm  bmm   c mm ) Dấu”=” xảy   bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m  t i cho: a  t i , b  t i bi , , c  t i ci , Hay a1 : b1 : : c1  a : b2 : : c  a n : bn : c n a12  a 22   a n2  n  Z,n   Ví dụ 1: Cho  Chứng minh rằng: a a1 a    n  2 n 1 Giải: k  N * ta có:   k2 k2   1  1   k   k    2  1   1 k k k 2    1 1  1   1   1                  5  1 3 n 3 n n  2  2 n  2 2  Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski: a a1 a    n  a12  a 22   a n2 n 1 Ví dụ 2: 1      (đpcm) 3 n Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: (a  c)  (b  d )  a  b  c  d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó mà   ac+bd  a  b c  d a  c 2  b  d 2  a  b  2ac  bd  c  d  a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d 1 Ví dụ 3: Chứng minh : a  b  c  ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c)   a   (a  b  c )  1.a  1.b  1.c  2 2 ta có 2   b  c  a  b  c  2ab  bc  ac   a  b  c  ab  bc  ac 2 a=b=c Phương pháp 6: Kiến thức: Điều phải chứng minh Dấu xảy Bất đẳng thức Trê- bư-sép a1  a   a n b1  b2   bn a)Nếu  a1  a   a n b1  b2   bn a1b1  a b2   a n bn  n n n a  a   a n Dấu ‘=’ xảy  b1  b2   bn a  a   a n b)Nếu  b  b   b n  a1  a   a n b1  b2   bn a1b1  a b2   a n bn  n n n a  a   a n Dấu ‘=’ xảy  b1  b2   bn Ví dụ 1: Cho  ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R = sin A sin 2a  sin B sin B  sin C sin 2C S  sin A  sin B  sin C S diện tích tan giác chứng minh  ABC tam giác  Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư  A  B  C  Suy ra: sin A  sin B  sin C  sin 2a  sin B  sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin 2C    3sin A sin A  sin B sin B  sin C sin 2C  sin A sin A  sin B sin B  sin C sin 2C  (sin A  sin B  sin 2C ) sin A  sin B  sin C sin A  sin B  sin C Dấu ‘=’ xảy    ABC dêu sin A  sin B  sin 2C  Mặt khác: ThuVienDeThi.com 10 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức sin A  sin B  sin 2C  sin( A  B) cos( A  B)  sin 2C  sin C cos( A  B)  cos C  sin C cos( A  B)  cos( A  B)  sin C.2 sin A sin B  sin A sin B sin C  (2 R sin A)(2 R sin B) sin C  a.b sin C  S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin 2a  sin B sin B  sin C sin 2C S  sin A  sin B  sin C Dấu ‘=’ xảy   ABC Ví dụ 2(HS tự giải): a/ Cho a,b,c>0 a+b+c=1 b/ c/ Cho x,y,z>0 x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ) CMR: a b c    bc ca ab d)Cho x  ,y  thỏa mãn x  y  ;CMR: x+y  a  b  c  Chứng minh Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 a3 b3 c3    bc ac ab Giải:  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2 a b c a2  b2  c2  a b c   b2  c2     = = bc ac ab bc a c a b 2 a3 b3 c3 Vậy    bc ac ab Dấu xảy a=b=c= Cho a,b,c,d>0 abcd =1 Chứng minh : Ví dụ 4: a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10 2 Giải: Ta có a  b  2ab c  d  2cd 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x   ) ab x Ta có a  b  c  2(ab  cd )  2(ab  )  (1) ab Mặt khác: ab  c  bc  d  d c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 =  ab     ac     bc      ab   ac   bc   ThuVienDeThi.com 11 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Vậy a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10 Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức: a)Dạng nguyên thủy: Cho a  -1,  n  Z 1  a n   na Dấu ‘=’ xảy a  n   b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1,   1  a    na Dấu xảy a = a    - cho a  1,0    1  a    na Dấu xảy va  Ví dụ : Chứng minh a b  b a  1, a, b  Giải - Nếu a  hay b  BĐT ln - Nếu < a,b < Áp dụng BĐT Bernouli: b 1  a  a  b a    1 a    ab     1    1 a  a a ab a  b Chứng minh tương tự: b a  Suy a b  b a  ab b b Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh a5  b5  c5  a  b  c    3   (1) Giải 5 1   3a    3b    3c   abc abc abc Áp dụng BĐT Bernouli: 5b  c  2a   3a   b  c  2a  (2)    1    1 abc  abc abc  5 Chứng minh tương tự ta đuợc: 5c  a  2b   3b     1 abc abc (3) 5a  b  2c   3c     1 abc abc (4) 5 Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có 5  3a   3b   3c          (đpcm) abc abc abc ThuVienDeThi.com 12 (đpcm) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Chú ý: ta có tốn tổng qt sau đây: “Cho a1 , a , a n  0; r  Chứng minh r a1r  a 2r   a nr  a1  a   a n     n n   Dấu ‘=’  a1  a   a n (chứng minh tương tự trên) Ví dụ 3: Cho  x, y, z  Chứng minh 2 x    y  z 2x  2 y  2z  81 Giải Đặt a  x , b  y , c  z 1  a, b, c  2  a   a  1a     a  3a    a  Chứng minh tương tự: 3 b c 3 c b  (1) a (2) (3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta  1  côsi 1 1  a  b  c  2     a  b  c 2    a b c a b c  81 1 1  (a  b  c)     (đpcm) a b c Chú ý: Bài toán tổng quát dạng “ Cho n số x1 , x , , x n  a, b, c  Ta ln có: c x1 c x2   c xn c  x1 c  x2   c  xn  nc4c c  a b a b Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B B>C A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh ab >ad+bc Giải: a  c  d b  c  d Tacó   a  c  d    b  d  c   ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc ThuVienDeThi.com 13 (a-c)(b-d) > cd (điều phải chứng minh) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 2 thỏa mãn a  b  c  Chứng minh Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 1 1    a b c abc Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)  2 ( a +b +c ) 1 1  ac+bc-ab   Chia hai vế cho abc > ta có    a b c abc  ac+bc-ab  Ví dụ 3: Cho < a,b,c,d 1-ab-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c 0 ta có  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho a + b mà 0< a,b a , b > b Từ (1) (2)  1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b Tương tự b + c   b c ; c + a   c a Cộng bất đẳng thức ta có : 2a  2b  2c   a b  b c  c a Ví dụ Chứng minh : Nếu a  b  c  d  1998 ac+bd =1998 Giải: Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d  2abcd  a d  b c - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rõ ràng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998  ac  bd  1998 Ví dụ (HS tự giải) : a/ Cho số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c hứng minh : a 12 + a 22  a32   a 2003  b/ Cho a;b;c  thỏa mãn :a+b+c=1 a b 2003 c Chứng minh rằng: (  1).(  1).(  1)  Phương pháp 9: Dùng tính chất tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c số dương ThuVienDeThi.com 14 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a a ac   b b bc a a ac b – Nếu   b bc b a – Nếu 2) Nếu b,d >0 từ a c a ac c     b d b bd d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh 1 a b c d    2 abc bcd cd a d ab Giải: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a ad 1  abc abc abcd a a Mặt khác :  abc abcd (1) (2) Từ (1) (2) ta có \ a a ad < < abcd abc abcd (3) Tương tự ta có b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd (4) (5) (6) cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có a b c d     điều phải chứng minh abc bcd cd a d ab a c a ab  cd c Ví dụ :Cho: < b,d > Chứng minh <  b d b b d2 d a c ab ab  cd cd c ab cd Giải: Từ <       b d b b d2 d2 d b d a ab  cd c Vậy <  điều phải chứng minh b b2  d d 1 Ví dụ : Cho a;b;c;dlà số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c tìm giá trị lớn  Giải:  b d Khơng tính tổng qt ta giả sử : a ab b   c cd d ThuVienDeThi.com 15 a c  b d Từ : a c  b d 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a  a+b = c+d c b a b  998    999 d c d a b 999 b/Nếu: b=998 a=1   =  Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 c d c d a b Vậy giá trị lớn  =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 a/ Nếu :b  998 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1 Khi :S = a1  a2  a2  a3   an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = Khi P = a a1 a2 a n  a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với số tự nhiên n >1 chứng minh 1 1      n 1 n  nn 1 Giải: Ta có   với k = 1,2,3,…,n-1 n  k n  n 2n 1 1 n Do đó:         n 1 n  2n 2n 2n 2n Ví dụ 2: Chứng minh rằng:   1     n 1 1 Với n số nguyên n 2 Giải: Ta có    k 1  k k k k  k 1 1  Khi cho k chạy từ đến n ta có >   1  2 3 2  ………………   n 1  n n  ThuVienDeThi.com 16  ak ak 1 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức  Ví dụ 3: Chứng minh n k k 1 2 n  Z 1 1    k k k  1 k  k Giải: Ta có Cho k chạy từ đến n ta có 1  1 2 1   32 1 1 1        n n 1 n n Vậy n k k 1 2 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a;b;c> Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c số đo ba cạnh tam giác chứng minh 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b  a  a (b  c)  b  b(a  c)  c  c ( a  b)   Cộng vế bất đẳng thức ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ Ta có a > b-c   a  a  (b  c) > b > a-c   b  b  (c  a ) > c > a-b   c  c  ( a  b)  Nhân vế bất đẳng thức ta     a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b  2  a 2b c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  b  c  a  c  a  b 2  Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác ThuVienDeThi.com 17  1     n 1 1 n Cộng vế bất đẳng thức ta có  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2/Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a  b  c  2abc  Phương pháp 12: Sử dụng hình học tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh : c(a  c)  c(b  c)  ab , a  b  b  c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn u  ( c, b  c ) ; v ( a  c , c ) Thì u  b , v  a ; u.v  c(a  c)  c(b  c) Hơn nữa: u.v  u v cos(u , v)  u v  c(a  c)  c(b  c)  ab  (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho 2n số: xi ; y i , i  1,2, , n thỏa mãn: n  i 1 xi2  y i2  n n x y i 1 i i 1 i  Chứng minh rằng: 2 Giải: Vẽ hình y MK MN H M x x+y=1 O Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M ( x1 , y1 ) : M ( x1  x , y1  y ) ;…; M n ( x1    x n , y1    y n ) Giả thiết suy M n  đường thẳng x + y = Lúc đó: OM  x12  y12 , M M  x 22  y 22 , M M  x32  y32 ,…, M n 1 M n  x n2  y n2 Và OM  M M  M M    M n 1 M n  OM n  OH  n 2  (ĐPCM) Phương pháp 13: Đổi biến số   xi2  y i2  i 1 Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh ThuVienDeThi.com 18 2 a b c    (1) bc ca ab 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= x yz yzx ; b= yzx zx y x yz    2x 2y 2z y z x z x y y x z x z   1  1  1   (  )  (  )  (  x x y y z z x y x z y y x z x z Bất đẳng thức cuối (   2;   2;  x y x z y zx y ;c= ta có (1)  y )6 z y  nên ta có z điều phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > a+b+c x y z 1 1    3 x y z xyz Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x  y  z  3 xyz , và: x  y  z .     Mà x+y+z < Vậy 1    (đpcm) x y z x y z Ví dụ3: Cho x  , y  thỏa mãn x  y  CMR x  y  2 Gợi ý: Đặt x  u , y  v  2u-v =1 S = x+y = u  v  v = 2u-1  thay vào tính S Bài tập tự giải 1) Cho a > , b > , c > CMR: 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc    bc ca ab Phương pháp 14: 25a 16b c   8 bc ca ab  m  n  p  m  n  p  Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a    f(x) > 0, x   ThuVienDeThi.com 19 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a  f ( x)  0, x     a  f ( x)  0, x     a  f ( x)  0, x     Định lí 2: Phương trình f(x) = có nghiệm x1    x  a f    Phương trình f(x) = có nghiệm :  a f     x1  x      S   2 Phương trình f(x) = có nghiệm :  a f       x1  x    S   2   x    x  f   f    Phương trình f(x) = có nghiệm   x1    x   Ví dụ 1:Chứng minh f x, y   x  y  xy  x  y   Giải: Ta có (1)  x  x2 y  1 y  y   (1)   2 y  1  y  y   y  y   y  y     y  1   2 Vậy f x, y   với x, y Ví dụ2: Chứng minh rằng: f x, y   x y  2x  2 y  xy  x  xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   1  y   y y x y  x  y  xy  x  xy   ( y  1) x  y 1  y  x  y  2 2 Ta có   y  1  16 y  Vì a = y  1  f x, y   (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức với n  n0 ta thực bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức với n  n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp ) 2 ThuVienDeThi.com 20 ... c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B  C < D , với C < D bất đẳng. .. b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: ThuVienDeThi.com 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a/ Với hai số không âm : a, b  , ta có: a  b  ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức... n Cộng vế bất đẳng thức ta có  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2/Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a  b