=a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm... WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thứcVí dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn... chứng m
Trang 1PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1
1 >
3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A2 ≥ 0 với ∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An ≥ 0 với∀A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A ≥ 0 với ∀A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - A < A = A
+ A B+ ≥ A + B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ A−B ≤ A − B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 [(x−y) 2 + (x−z) 2 + (y−z) 2]≥ 0đúng với mọi x;y;z∈R
Vì (x-y)2 ≥0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 ≥0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
Trang 2WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
(y-z)2 ≥0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x2 + y2 + z2 ≥ xy+ yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z)2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z∈R
Vậy x2 + y2 + z2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
2 2
2 2
1 2 2
n
a a
a n
a a
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2
0 2
0 2
m q m p m n m
m
m q
m p
m n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a4 +b4 +c4 ≥abc(a+b+c)
Trang 3) 2 (
) 2 (
0 2
2 2
2 2
2
0 2
2 2
2 2 2
0
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 4 4 4
2 2
2 4 4 4
≥
− +
− +
− +
− +
− +
−
⇔
≥
− +
+
− +
+
− +
+
− +
− +
− + +
⇔
ac ab ac
bc bc
ab a
c c
b b
a
ab a a c b a
ab c a c c b ac b c b b a a
c c
b b
a
ab c ac b bc a
c a a
c c b c
b b a b
a
ab c ac b bc a c b a
ab c ac b bc a c b a
Trang 4WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x〉y Chứng minh
y x
y x
y x
−
2
≥ 2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2 ≥ 2 2( x-y) ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0
⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
<
+ +
=
z y x z y x
z y x
1 1 1
1
x (vì1x+ 1y+1z< x+y+z theo gt) ⇒2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 ⇒x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộcphải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 < 2
+
+ +
+ +
<
c a
c c b
b b a a
Giải:
c b a
a b
a
a c
b a b a c b a b a
+ +
>
+
⇒ + +
>
+
⇒ + +
<
+
Tương tự ta có : ( 2 )
c b a
b c
b
b
+ +
>
c c
a
c
+ +
+
c c b
b b a
a
(*)
c b a
c a b a
a b a a
+ +
+
<
+
⇒ +
<
Tương tự : ( 5 )
c b a
b a c b
b
+ +
+
<
b c a c
c
+ +
+
c c b
b b a
+ +
<
c a
c c b
b b a
Trang 5b) x2 + y2 ≥ xy
dấu( = ) khi x = y = 0 c) (x+y)2 ≥ 4xy
d) + ≥ 2
a
b b
n
n n
n
a a
a a a
a
a a a n a a
1
2 1 2
1
Dấu “=” xảy ra khi a1 =a2 = =a n
Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
2
3 4 2
2 1 2
4 1 4
2
= +
+ +
+
x x
x x
a
x x
Khi đó phương trình có dạng :
2
3 1 1
+
+ +
+
b b
1
3
1 1 3
+ +
≥
b a b a b a b a
Vậy phương trình tương đương với :
0 1
4 2 1 1
Trang 6WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
1 1
1
2 2
2
+ +
≤ +
+ +
+ +
⇒
≥ +
+
ac ab bc
a bc a
bc a bc
2
1 1 2
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
− +
+
− +
+
−
c b
a c
b a
c b
a
(*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
) 1 ( ) )(
)(
(
3 3
c b a b a c a c b
abc c
b a
c b
a c
b a
c
b
a
− +
− +
− +
≥
− +
+
− +
2
1 ) )(
(b+c−a c+a−b ≤ b+c−a+c+a−b =c
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
) 3 ( 1 ) )(
)(
(
) )(
)(
(
≥
− +
− +
− +
→
≤
− +
− +
−
+
c b a b a c a c
b
abc
abc c
b a b a c a c
c b a
, , 0
0
Chứng minh rằng: ( ) ( ) (2 )2
4ac x y z
c a c
z b
y a
x cz
Giải: Đặt f(x) =x2 − (a+c)x+ac= 0 có 2 nghiệm a,c
y a
x ac zc yb
xa
z c a y c a x c a c
z ac zc b
y ac yb a
x ac
xa
y c a b
y ac yb c a b
ac
b
+ + +
+
⇒
+ + + + +
≤ +
+ +
⇔ +
≤
+
⇔
) ( )
( ) (
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Trang 7( ) ( )( )
4 4
2
2 2
2 2
đpcm z
y x ac
c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
z y x c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
z y x c a c
z b
y a
x ac zc yb xa
+ +
⇔
+ + +
⇔
+ + +
)(
( )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
a b
b a
=
+ + +
=
2 2
2
2 1
2 2
2
2 1
b b
a a
a a
• Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng
• Nếu a,b > 0:
Đặt: (i n)
b
b a
Suy ra:
b a b a b
a b
n n
n n
.
1 )
( 2
1 )
( 2
1
2 2 1 1
2 2
2
2 1 2
2 2
2 1 2
2 1 1
≤ +
+ +
⇒
≤ + + + +
+ + +
≤ +
+
β α
Lại có: a1b1+a2b2 + +a n b n ≤ a1b1 + a2b2 + + a n b n
Suy ra: ( ) ( )( 2 2 )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
n
i i
b
a b
a b
a dáu cùng
n i
2
2 1
1 1
α
β α
Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng: ∀x∈R , ta có:
8
1 cos sin 8 x+ 8 x≥
Giải: Ta có: sin 2 x+ cos 2 x= 1 , ∀x∈R
Trang 8WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của:
A C C
B B
1
2
1
m m
m m
m m m m
m m m
m m
2 ,
3 2 2
2
2 1
n Z n
a a
2
+ + + +
n
a a
1 1 4
1
1 1
2
2
k k
k k
2 3
1
3
1 2
1
2
2 1 2
+ + + +
n a
a a n
a a
1 1
1 + + a +b +c ≥ a+ b+ c
⇒ 3(a2 +b2 +c2)≥a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ac)
⇒ a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép
b
a a
a
2 1
2 1
thì
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
Trang 9Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b
a a
a
2 1
2 1
b
a a
a
2 1
2 1
thì
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
a + + + n + + + n ≥ + + + n n
.
2 1
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b
a a
a
2 1
2 1
Ví dụ 1: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
3
2 sin
sin sin
2 sin sin 2 sin sin 2 sin
.
C B
A
C C B
B a
+ +
+ +
S là diện tích tan giác chứng minh rằng ∆ABC là tam giác đều
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư .
a
C B
A
2 sin 2
sin 2
sin
sin sin
1 sin
sin sin
2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin
2 sin sin 2 sin sin 2 sin sin
3
2 sin 2 sin 2 sin sin sin
sin
C B
A C
B A
C C
B B A
A
C C B
B A
A
C B
A C
B A
+ +
≤ +
+
+ +
⇔
+ +
≥
≥ +
+ +
+
Dấu ‘=’ xảy ra ABC dêu
C B
A
C B
sin 2
sin
sin sin
sin
Mặt khác:
) 2 ( 2 sin sin ).
sin 2 )(
sin 2
(
sin sin sin 4 sin sin 2 sin
2
) cos(
) cos(
sin 2 cos ) cos(
sin
2
2 sin ) cos(
).
sin(
2 2 sin 2 sin 2
sin
S C b a C B R A R
C B A B
A C
B A B
A C C
B A C
C B
A B
A C
B A
−
=
+
− +
= +
+
Thay (2) vào (1) ta có
3
2 sin
sin sin
2 sin sin 2 sin sin 2 sin
C B
A
C C
B B a
+ +
+ +
Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ ∆ABC đều
Ví dụ 2(HS tự giải):
a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 1+1+1 ≥ 9
c b
a b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z≥ 4 ( 1 −x)( 1 −y)( 1 −z)
c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
d)Cho x≥ 0,y≥ 0 thỏa mãn 2 x − y = 1 ;CMR: x+y
Trang 10WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
≥ +
≥
≥
b a
c c a
b c b
2 2 2
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
3
.
2 2 2 2
2
2
3 3
1
=
2 1
Vậy
2
1 3 3
3
≥ +
+ +
+
c c a
b c b
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3 1
Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
2 2 2
x
Ta có 2 + 2 + 2 ≥ 2 ( + ) = 2 ( + 1 ) ≥ 4
ab ab cd
ab c
ac ab
- Cho a > -1,α ≥ 1 thì (1 +a)α ≥ 1 +na Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0
- cho a≥ − 1 , 0 < α < 1 thì (1 +a)α ≤ 1 +na Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi
5 5
Trang 115 5
⇔
c b a
c c
b a
b c
a c b c
b a
a c b c
b
a
a
+ +
− + +
− + +
1
2 1
(2)Chứng minh tương tự ta đuợc:
c b a
b a c c
b
a
b
+ +
− + +
c b a c
b
a
c
+ +
− + +
1
(4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
c b a
c c
b a
b c
b
a
a
(đpcm)Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho a1,a2, a n > 0 ;r≥ 1 Chứng minh rằng
r n
r n r
r
n
a a
a n
a a
2 0
2 3
0 2 1 2
a
a a a
Chứng minh tương tự:
) 3 ( 3
2
) 2 ( 3
8
81
1 1 1 2 2
1 1 1 2 9
đpcm c
b a c b a
c b a c b a c
b a c
Trang 12WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
b a
b a x
x x x x
x
c
c c n c
c c c c
4
2
2 1 2
1
Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
>
+
>
d c b
d c a
d c a
⇒ (a-c)(b-d) > cd
⇔ ab-ad-bc+cd >cd ⇔ ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
2 2
2+b +c =
abc c b a
1 1 1
6
5
≤ 〈 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
c b a
1 1
1 + − 〈
abc
1
Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có ⇒(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 +a2b+b2c+c2a
Trang 13c a b
c a b
c a b
a d
c b
+ + +
+ + +
+ + +
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
d c b a
d a c
b a
a c
b
a
a
+ + +
+
<
+ +
a c
b a
a
+ + +
a
a
+ +
+ + +
+
(3) Tương tự ta có
d c b a
a b d
c b
b d
c b
a
b
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
d c b a
c d b
a d
d d
c b
a
d
+ + +
+
<
+ +
<
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
cd ab
<
+
+
2 2
ab <
d
c d
cd d
b
cd ab b
cd ab
<
+
+
2
2 điều phải chứng minh
Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
d
b c
a+
Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử :
c
a d
b
≤ Từ :
c
a d
b
d
b d c
b a c
Trang 14WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
a + =
d c
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1+u2+ +u n
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
u k =a k −a k+ 1
Khi đó :S = (a1 −a2) (+ a2 −a3)+ +(a n−a n+1)=a1 −a n+1
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 u n
Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k=
2 2
1
+ +
=
n n
n
a
a a
a a
a a a
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
4
3 1
2
1 1
1 2
+ + + +
+ +
<
n n n
n
Giải: Ta có
n n n k
1 1
1
2
1 2
1
2
1 1
n n
+ +
>
1
2 2
2 1
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 1
1 1
Trang 15Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
c a b
c b a
) (
) ( 2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
b a c a c b c b a c b a
− +
− +
− +
>
⇒
− +
− +
− +
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Trang 161 x y
M : M2(x1+x2,y1+y2);…;M n(x1+ +x n,y1+ +y n)
Giả thiết suy ra M n ∈ đường thẳng x + y = 1 Lúc đó:
2 1
2 1
2
2 2 2
3
2 3 3
2 1
2 2
Phương pháp 13: Đổi biến số
Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
y+ −
; b =
2
y x
z+ −
; c =
2
z y
x y
z y
x x
z x
y
⇔( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6
z
y y
z z
x x
z y
x x y
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2 ;
y
x x
y
+ ≥ 2
z
x x
z
; + ≥ 2
z
y y
z
nên ta có điềuphải chứng minh
1 2
1
2 2
+
+ +
+
a (1)
Giải: Đặt x = a2 + 2bc ; y = b2 + 2ac ; z = c2 + 2ab Ta có x+y+z=(a+b+c)2 < 1 (1) ⇔ 1+1+1 ≥ 9
z y
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Trang 17Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x+y+z≥3.3 xyz, và: 1x +1y+1z ≥3.3 1
z y x z y
x Mà x+y+z < 1 Vậy 1+1+1≥ 9
z y
Gợi ý: Đặt x =u , y =v ⇒2u-v =1 và S = x+y =u2 + ⇒v2 v = 2u-1
thay vào tính S min
Bài tập tự giải
1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 25 16 > 8
+
+ +
+
c a c
b c b a
2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
CMR
( m n p) (m n p)
b a
pc a c
nb c b
+
+ +
+ +
2 2
0 )
(
0
0 ,
0 )
(
0
0 ,
0 )
(
a x x
f
a x x
f
a x x
2
0
0
2 1
S
f a x
2
0
0
2 1
S
f a x
x
Trang 18WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm ( ) ( ) 0
2 1
α
β α
f f x
x
x x
Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n0ta thực hiện các bước sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giảthiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cầnchứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n>n0
Ví dụ1: Chứng minh rằng :
n n
1 2
1
2
1 1
1
2 2
2 + + + < − ∀n∈N;n> 1 (1) Giải: Với n =2 ta có
2
1 2 4
1 1
2
1 1
1
2 2
1 1 2 ) 1 (
1 1
2
1 1
1
2 2
2 2
2 + + +k + k+ < −k + k+ < −k+
⇔
k k
1 1
1 1
1 )
1 (
1
1
1
2 2
+
+ +
<
+ + +
) 1 (
1
1 < ⇔ + < + +
+
k k
Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
Thật vậy với n = k+1 ta có
Trang 19b a b
2
2
1 1 1
= +
1 1
1 1
≥ + + +
a ≥ ≥ ⇒ (a k −b k).(a−b)≥ 0
(+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b ⇔ k k k k
b a b
1 +a + +a n ≤
a Chứng minh rằng:
2
1 ) 1 ( ) 1 )(
2
1
1 a1 Bài toán đúngn=k (k∈ Ν): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
2
1 ) 1 ( ) 1 )(
1 ( −a1 −a2 −a k ≥
n= k+1 Ta cần chứng minh:
2
1 ) 1 ( ) 1 )(
1 ( −a1 −a2 −a k+1 ≥
Ta có: ( 1−a1)( 1−a2) ( 1−a k+1)=( 1 −a1)( 1 −a2) ( 1 −a k−1)[ 1 − (a k +a k+1) +a k a k+1]
2
1 )]
( 1 )[
1 ( ) 1 )(
1 2
1 ( −a1 −a2 −a n ≥
Ví dụ 5: Cho 1 ≤n∈ Ν, a i,b i∈R,i= 1 , 2 , ,n Chứng minh rằng:
) )(
( )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
( )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
Trang 20WWW.VIETMATHS.COM 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
n= k+1 Ta cần chứng minh:
) )(
( )
1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1 1 2
2 1
1b +a b + +a k+b k+ ≤ a +a + +a k+ b +b + +b k+
1 2 2
2
2 1 2 2
2
2
( ) 1
VP = + + + k + + + k + + + k +
2 1
2 1 2
2 2
2 1
+a b b b k a k b k ≥ (a1b1+a2b2 + +a k b k) + 2a1b1a k+1b k+1 + 2a2b2a k+1b k+1 +
2 1
2 1 1 1
+ + a k b k a k b k a k b k
2 )
2 2 1
2 1
a n
a a
2
2 1 2 2
a k
a a
2
2 1 2 2
(
2 1
2 2
2 1 2 1 2
1
+
+ + +
≤ +
+ +
k
a a
a k
a a
(1)Đặt:
k
a a
a
a = 2 + 3 + + k 1+
) 2 (
1
1 )
1
a k
a k a k k
a a
a k a
2 3
2 2 2 2
2 2
2 1
+
+ + +
k
a a
=
3 ) 1 (
4 1
>
n n
n=k≥ 2: giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k > (k+ 1 )k−1
n= k+1:Ta c ó: k k(k+ 1 )k+ 1 ≥ (k+ 1 )k− 1 (k+ 1 )k+ 1 = (k+ 1 ) 2k− 2 (k+ 1 ) 2 = [(k+ 1 ) 2 ]k− 1 (k+ 1 ) 2
) 2 ( ) 2 (k2 + k k 1 k2 + k
n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sinkx ≤ksinx
n= k+1 Ta cần chứng minh: sin(k+ 1 )x ≤ (k+ 1 ) sinx
≤ +
R x x
x
R b a b a b a
, 1 cos , sin
, ,
Nên: sin(k + 1 )x = sinkxcosx+ coskxsinx
x kx x
≤ ≤ sinkx + sinx ≤ksinx + sinx = (k+ 1 ) sinx
⇒Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy: sinnx ≤nsinx, ∀n∈ Ν ∗ , ∀x∈R+
Trang 21Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng
Kiến thức:
1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức
đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giảthiết , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p ⇒ q”
Muốn chứng minh p⇒q(với p: giả thiết đúng, q: kết luận đúng) phép chứng minhđược thực hiên như sau:
Giả sử không có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc psai Vậy phải có q (hay q
B – Phủ định rôi suy trái giả thiết
C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng
D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
ac ≥ 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
a2 < 4b , c2 < 4d
Giải:
Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 < 4b , c2 < 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được
) ( 4 2
a + < + (1)
Theo giả thiết ta có 4(b+d) ≤ 2ac (2)
Từ (1) và (2) ⇒ a2 +c2 <2ac hay (a−c)2 < 0 (vô lý)
Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 < 4b và c2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai
Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng
Nếu x+y+z > 1x+1y+1z thì có một trong ba số này lớn hơn 1
Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
=x + y + z – (1x+1y+1z) vì xyz = theo giả thiết x+y +z > 1x+1y+1z
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1 ⇒ xyz > 1 (trái giả thiết)
Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)