Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng... Chú[r]
(1)19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa A B A B A B A B 2/Tính chất + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > A.C > B.C + A>B và C < A.C < B.C + < A < B và < C <D < A.C < B.D + A > B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > và A > A m > A n + m > n > và <A < A m < A n +A < B và A.B > 1 A B 3/Một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + -A <A= A + A B A B ( dấu = xảy A.B > 0) + A B A B ( dấu = xảy A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) ( x y ) ( x z ) ( y z ) đúng với x;y;z R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z = Lop10.com (2) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) đúng với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : (y-z)2 a2 b2 a b a) ; b) a2 b2 c2 a b c 3 c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a2 b2 a b a) Ta xét hiệu a b a 2ab b 1 = = 2a 2b a b 2ab = a b 2 4 4 a2 b2 a b Vậy Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c 2 = a b b c c a Vậy 3 3 Dấu xảy a = b =c a a 22 a n2 a1 a a n c)Tổng quát n n Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 mn n mp p mq q m 1 2 2 m m m m n p q 1 (luôn đúng) 2 2 2 2 m m n 0 n m m p0 m2 p Dấu xảy m n p q q 0 m q 2 m 22 m Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta luôn có : a b c abc(a b c) a, b, c Giải: Ta có : a b c abc(a b c) , Lop10.com 2 (3) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a b c a bc b ac c ab 4 2a 2b 2c 2a bc 2b ac 2c ab a2 b2 a2 b2 2a b b 2 b 2 c2 a2 b2 b2 c2 Đúng với a, b, c c2 c c 2b c c 2 2 a2 2a c 2 2a bc 2b ac 2c ab a2 (a b 2 b c 2b ac) (b c c a 2c ab) (a b c a 2a ab) a2 ab bc bc ac ab ac 2 2 0 Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Nếu A < B C < D , với C < D là bất đẳng thức hiển nhiên, đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B Chú ý các đẳng thức sau: A B 2 A AB B A B C 2 A B C AB AC BC A B 3 A3 A B AB B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh b2 ab b) a b ab a b c) a b c d e ab c d e a) a Giải: b2 ab 4a b 4ab 4a 4a b 2a b b2 (BĐT này luôn đúng) Vậy a ab (dấu xảy 2a=b) b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) a) a a 2ab b a 2a b 2b (a b) (a 1) (b 1) Bất đẳng thức cuối đúng Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 c) a b c d e ab c d e 4 a b c d e 4ab c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c a 2b a 2c a 2d a 2c 2 2 Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a 10 b10 a b a b a b Giải: a 10 a a a b a b b a b b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) b10 a b a b a b a 8b 2 b2 12 10 2 10 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh Lop10.com 12 a 12 a b a b b12 (4) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh x2 y2 2 x y x2 y2 Giải: 2 vì :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y y xy y x, y R b/ a b c a b c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z 1 1 x yz x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) (vì < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương Nếu trường hợp sau xảy thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn Ví dụ 5: Chứng minh : a b c 2 ab bc ac Giải: 1 a a (1) ab abc ab abc b b c c (2) , (3) Tương tự ta có : bc abc ac abc Ta có : a b a b c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c (*) ab bc ac a ac Ta có : a a b ab abc b ab (5) , Tương tự : bc abc (4) c cb ca abc (6) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c 2 ab bc ac (**) Từ (*) và (**) , ta : a b c (đpcm) ab bc ac Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x y xy b) x y xy dấu( = ) x = y = Lop10.com (5) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức c) x y xy a b b a d) Ví dụ Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x y 2 xy Tacó a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 2 2 a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b , ta có: a b ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1 a a n n n a1 a a n n a a a n a1 a a n n Dấu “=” xảy a1 a a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x x x x x 1 1 a Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt , a, b x x b Khi đó phương trình có dạng : a b b 1 a 1 a b Vế trái phương trình: a b a b 1 a b 1 a b 1 1 1 1 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 1 1 a b c b 1 a 1 a b 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 3 3 a 1b 1a b 3 2 a 1b 1a b Vậy phương trình tương đương với : a 1 b 1 a b a b 2x 4x x Ví dụ : Cho x, y , z > và x + y + z = Tìm GTLN P = Giải : P = 3- ( x y z x 1 y 1 z 1 1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > thì x 1 y 1 z 1 a b c 3 abc 1 1 1 1 1 33 a b c a b c abc a b c abc a b c Lop10.com (6) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 1 Suy Q = x 1 y 1 z 1 Vậy max P = x = y = z = Ví dụ 3: -Q 9 nên P = – Q 3- = 4 Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 abc 2abc a bc b ac c ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a bc 2a bc 1 1 a bc a bc ab ac Tương tự : 1 1 1 1 b ac b ac bc ab c ab c ab ac bc 2 abc a bc b ac c ab 2abc Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c (*) bca cab abc Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc 33 (1) bca cab abc (b c a )(c a b)(a b c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b c a )(c a b) (b c a c a b) c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b c a )(c a b)(a b c) abc abc (3) (b c a )(c a b)(a b c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC là Ví dụ 5: 0 a b c x y z a c Cho Chứng minh rằng: by cz 4ac a b c 0 x, y, z Giải: Đặt f ( x) x (a c) x ac có nghiệm a,c Mà: a b c f (b) b (a c)b ac ac y a c yb ac a c y b b x y z xa ac ( yb ac ) ( zc ac ) a c x a c y (a c) z a b c x y z xa yb zc ac a c x y z a b c b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Lop10.com x y z 2 (7) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 2 xa yb zc ac x y z a c x y z a b c x y z 2 4xa yb zc ac a c x y z a b c x y z a c x y z 2 (đpcm) xa yb zc ac 4ac a b c Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n ): a1 , a , a n , b1 , b2 , , bn Ta luôn có: (a1b1 a b2 a n bn ) (a12 a 22 a n2 )(b12 b22 bn2 ) Dấu “=” xảy Hay a a1 a n b1 b2 bn b b1 b2 n (Quy ước : mẫu = thì tử = ) a1 a an Chứng minh: a a a a 2 n Đặt 2 b b1 b2 bn Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng Nếu a,b > 0: b , i i i 1,2, n , Thế thì: 12 22 n2 12 22 n2 a b Mặt khác: i i i2 i2 1 1 n n ( 12 22 n2 ) ( 12 22 n2 ) 2 Suy ra: a1b1 a b2 a n bn a.b Đặt: i Lại có: a1b1 a b2 a n bn a1b1 a b2 a n bn Suy ra: (a1b1 a b2 a n bn ) (a12 a 22 a n2 )(b12 b22 bn2 ) i i i 1,2, , n a a a n b1 b2 bn n n cùng dáu Dấu”=” xảy Ví dụ : Chứng minh rằng: x R , ta có: sin x cos x Giải: Ta có: sin x cos x 1, x R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: sin x.1 cos x.1 sin x cos x 12 12 1 sin x cos x sin x cos x Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: 1 sin x.1 cos x.1 sin x cos8 x 12 12 sin x cos x 4 Lop10.com (8) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P tan A tan B tan B tan C tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , , ci )(i 1,2, , m) Thế thì: (a1 a a m b1b2 bm c1c c m ) (a1m b1m c1m )(a 2m b2m c 2m )(a mm bmm c mm ) Dấu”=” xảy bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m thì t i cho: a t i , b t i bi , , c t i ci , Hay a1 : b1 : : c1 a : b2 : : c a n : bn : c n a12 a 22 a n2 Ví dụ 1: Cho n Z,n a a a Chứng minh rằng: n 2 n 1 Giải: k N * ta có: k2 1 k2 1 1 k k 2 1 1 k k k 2 1 1 1 1 1 5 1 3 n 3 n n 2 2 n 2 2 Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: a a1 a n a12 a 22 a n2 n 1 Ví dụ 2: 1 (đpcm) 3 n Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: (a c) (b d ) a b c d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a b c d mà a c 2 b d 2 a b 2ac bd c d a b a b c d c d (a c) (b d ) a b c d Ví dụ 3: Chứng minh : a b c ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 12 12 12 (a b c ) 1.a 1.b 1.c 2 a b c a b c 2ab bc ac a b c ab bc ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a1 a a n a a a n b1 b2 bn a1b1 a b2 a n bn thì n n n b1 b2 bn a)Nếu Lop10.com (9) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a1 a a n b1 b2 bn Dấu ‘=’ xảy và a1 a a n thì b1 b2 bn b)Nếu a1 a a n b1 b2 bn a1b1 a b2 a n bn n n n a a a n Dấu ‘=’ xảy và b1 b2 bn Ví dụ 1: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = và sin A sin 2a sin B sin B sin C sin 2C S sin A sin B sin C S là diện tích tan giác chứng minh ABC là tam giác Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư A B C Suy ra: sin A sin B sin C sin 2a sin B sin 2C Áp dụng BĐT trebusep ta được: sin A sin B sin C sin A sin B sin 2C 3sin A sin A sin B sin B sin C sin 2C sin A sin A sin B sin B sin C sin 2C (sin A sin B sin 2C ) sin A sin B sin C sin A sin B sin C Dấu ‘=’ xảy ABC dêu sin A sin B sin 2C Mặt khác: sin A sin B sin 2C sin( A B ) cos( A B ) sin 2C sin C cos( A B ) cos C sin C cos( A B ) cos( A B ) sin C.2 sin A sin B sin A sin B sin C (2 R sin A)(2 R sin B ) sin C a.b sin C S ( 2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin 2a sin B sin B sin C sin 2C S sin A sin B sin C Dấu ‘=’ xảy ABC Ví dụ 2(HS tự giải): a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 b/ c/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 1 9 a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) CMR: a b c bc ca ab d)Cho x ,y thỏa mãn x y ;CMR: x+y Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a b c Chứng minh Lop10.com a3 b3 c3 bc ac ab (10) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải: a2 b2 c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b c a c a b Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2 a b c a2 b2 c2 a b c b2 c2 = = bc ac ab bc ac ab 2 Vậy a3 b3 c3 bc ac ab Ví dụ 4: Dấu xảy a=b=c= Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 Chứng minh : a b c d ab c bc d d c a 10 2 Giải: Ta có a b 2ab c d 2cd 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x ) ab x Ta có a b c 2(ab cd ) 2(ab ) (1) ab Mặt khác: ab c bc d d c a = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 = ab ac bc ab ac bc 2 2 Vậy a b c d ab c bc d d c a 10 Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức: a)Dạng nguyên thủy: Cho a -1, n Z thì 1 a n na Dấu ‘=’ xảy và a n b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, thì 1 a na Dấu xảy và a = a - cho a 1,0 thì 1 a na Dấu xảy va Ví dụ : Chứng minh a b b a 1, a, b Giải - Nếu a hay b thì BĐT luôn đúng - Nếu < a,b < Áp dụng BĐT Bernouli: b 1 a a b a 1 a ab 1 1 a a a ab a b Chứng minh tương tự: b a Suy a b b a ab b b Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh a5 b5 c5 a b c 3 (1) Lop10.com 10 (đpcm) (11) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải 1 5 3a 3b 3c 3 abc abc abc Áp dụng BĐT Bernouli: 5b c 2a 3a b c 2a (2) 1 1 abc abc abc 5 Chứng minh tương tự ta đuợc: 5c a 2b 3b 1 abc abc (3) 5a b 2c 3c 1 abc abc (4) 5 Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có 5 3a 3b 3c (đpcm) abc abc abc Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a , a n 0; r Chứng minh r a1r a 2r a nr a1 a a n n n Dấu ‘=’ a1 a a n (chứng minh tương tự bài trên) Ví dụ 3: Cho x, y, z Chứng minh 2 x y z 2x 2 y 2z 81 Giải Đặt a x , b y , c z 1 a, b, c 2 a a 1a a 3a a (1) a Chứng minh tương tự: 3 b c 3 c b ( 2) (3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta 1 côsi 1 1 a b c 2 a b c 2 a b c a b c 81 1 1 (a b c) (đpcm) a b c Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x1 , x , , x n a, b, c Ta luôn có: Lop10.com 11 (12) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức c x1 c x2 c xn c x1 c x2 c xn nc4c c a b a b Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh ab >ad+bc Giải: a c d b c d a c d b d c ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc Tacó (a-c)(b-d) > cd (điều phải chứng minh) 2 1 1 Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a b c Chứng minh a b c abc 2 2 Giải: Ta có :( a+b- c) = a +b +c +2( ab –ac – bc) 2 ( a +b +c ) 1 1 ac+bc-ab Chia hai vế cho abc > ta có a b c abc ac+bc-ab Ví dụ 3: Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a 2b 2c a b b c c a Giải: Do a < a và Ta có 1 a .1 b 1-b- a + a b > 1+ a b > a + b mà 0< a,b <1 a > a , b > b Từ (1) và (2) 1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b Tương tự b + c b c ; c + a c a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 2b 2c a b b c c a Ví dụ Chứng minh : Nếu a b c d 1998 thì ac+bd =1998 Giải: Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d 2abcd a d b c - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rõ ràng (ac+bd)2 ac bd 2 ad bc 2 1998 ac bd 1998 Ví dụ (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c hứng minh : a 12 + a 22 a32 a 2003 2003 b/ Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1 a b c Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) Lop10.com 12 (13) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dùng tính chất tỷ số Phương pháp 9: Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac thì b b bc a a ac b – Nếu thì b bc b a – Nếu 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a ac c b d b bd d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh 1 a b c d 2 abc bcd cd a d ab Giải: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a ad 1 abc abc abcd a a Mặt khác : abc abcd (1) (2) Từ (1) và (2) ta có \ a a ad < < abcd abc abcd (3) Tương tự ta có b b ba abcd bcd abcd c c bc abcd cd a abcd d d d c abcd d ab abcd (4) (5) (6) cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có a b c d điều phải chứng minh abc bcd cd a d ab a c a ab cd c Ví dụ :Cho: < và b,d > Chứng minh < b d b b d2 d a c ab cd ab ab cd cd c Giải: Từ < b d b d b b d2 d2 d a ab cd c Vậy < điều phải chứng minh b b2 d d 1 Ví dụ : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c tìm giá trị lớn b d Giải: Không tính tổng quát ta giả sử : a vì a+b = c+d c Lop10.com 13 a b a b Từ : c d c d a ab b c cd d (14) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức b a b 998 999 d c d a b 999 b/Nếu: b=998 thì a=1 = Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 c d c d a b Vậy giá trị lớn =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 a/ Nếu :b 998 thì Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đó :S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Biến đổi các số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = Khi đó P = ak ak 1 a a1 a2 a n a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với số tự nhiên n >1 chứng minh 1 1 n 1 n nn 1 Giải: Ta có với k = 1,2,3,…,n-1 n k n n 2n 1 1 n Do đó: n 1 n 2n 2n 2n 2n Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 n 1 1 Với n là số nguyên n 2 k 1 k Giải: Ta có k k k k 1 1 Khi cho k chạy từ đến n ta có > 1 2 3 2 ……………… n 1 n n Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có Ví dụ 3: Chứng minh n k 1 Giải: Ta có k 2 n Z 1 1 k k k 1 k k Lop10.com 14 1 n 1 1 n (15) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cho k chạy từ đến n ta có 1 1 2 1 32 1 1 1 n n 1 n n Vậy n k k 1 2 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác thì : a;b;c> Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh tam giác chứng minh 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo cạnh tam giác nên ta có 0 a b c 0 b a c 0 c a b a a (b c) b b(a c) c c ( a b) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ Ta có a > b-c a a (b c) > b > a-c b b (c a ) > c > a-b c c ( a b) Nhân vế các bất đẳng thức ta a 2b c a b c b c a c a b 2 a 2b c a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b 2 Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh ab bc ca a b c 2(ab bc ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a b c 2abc Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh : c(a c) c(b c) ab , a b và b c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn u ( c, b c ) ; v ( a c , c ) Thì u b , v a ; u.v c(a c) c(b c) Lop10.com 15 (16) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Hơn nữa: u.v u v cos(u, v) u v c(a c) c(b c) ab (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho 2n số: xi ; y i , i 1,2, , n thỏa mãn: n i 1 xi2 y i2 n n i 1 i 1 xi yi Chứng minh rằng: 2 Giải: Vẽ hình y MN MK H M x O x+y=1 Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M ( x1 , y1 ) : M ( x1 x , y1 y ) ;…; M n ( x1 x n , y1 y n ) Giả thiết suy M n đường thẳng x + y = Lúc đó: OM x12 y12 , M M x 22 y 22 , M M x32 y32 ,…, M n 1 M n x n2 y n2 Và OM M M M M M n 1 M n OM n OH n 2 (ĐPCM) Phương pháp 13: Đổi biến số xi2 y i2 i 1 2 a b c (1) bc ca ab yzx zx y x yz Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b= ;c= 2 yzx zx y x yz ta có (1) 2x 2y 2z y z x z x y y x z x z y 1 1 1 ( ) ( ) ( ) x x y y z z x y x z y z y x z y z x nên ta có điều 2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( 2; x y y z x z Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > và a+b+c <1 Chứng minh 1 9 (1) a 2bc b 2ac c 2ab Giải: Đặt x = a 2bc ; y = b 2ac ; z = c 2ab Ta có Lop10.com 16 x y z a b c (17) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 1 (1) x y z Với x+y+z < và x ,y,z > 1 1 3 x y z xyz Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3 xyz , và: x y z . Mà x+y+z < Vậy 1 (đpcm) x y z x y z Ví dụ3: Cho x , y thỏa mãn x y CMR x y 2 Gợi ý: Đặt x u , y v 2u-v =1 và S = x+y = u v v = 2u-1 thay vào tính S Bài tập tự giải 1) Cho a > , b > , c > CMR: 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc bc ca ab Phương pháp 14: 25a 16b c 8 bc ca ab m n p m n p Dùng tam thức bậc hai Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a a f ( x) 0, x a f ( x) 0, x f(x) > 0, x a f ( x) 0, x Định lí 2: Phương trình f(x) = có nghiệm x1 x a f Phương trình f(x) = có nghiệm : a f x1 x S 2 Phương trình f(x) = có nghiệm : a f x1 x S 2 Lop10.com 17 (18) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức x x Phương trình f(x) = có nghiệm f f x x Ví dụ 1:Chứng minh f x, y x y xy x y Giải: Ta có (1) x x2 y 1 y y (1) 2 y 1 y y y y y y y 1 2 Vậy f x, y với x, y Ví dụ2: Chứng minh rằng: f x, y x y 2x 2 y xy x xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 y y y x y x y xy x xy ( y 1) x y 1 y x y 2 2 Ta có y 1 16 y Vì a = y 1 f x, y (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực các bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n n0 2 1 1 n N ; n 2 n n 1 Giải: Với n =2 ta có (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Ví dụ1: Chứng minh : (1) Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật n =k+1 thì (1) 1 1 2 2 k (k 1) k 1 Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 2 2 2 2 k (k 1) k k 1 k 1 1 1 2 (k 1) k k 1 k k 11 k (k 2) (k 1) k2+2k<k2+2k+1 k (k 1) Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh n an bn ab Ví dụ2: Cho n N và a+b> Chứng minh (1) Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có Lop10.com 18 (19) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ab (1) k 1 a k 1 b k 1 k a k 1 b k 1 ab ab (2) 2 a k b k a b a k 1 ab k a k b b k 1 a k 1 b k 1 Vế trái (2) 2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a ab a b b a k b k a b (3) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a -b a b k ak b bk a k b k a b (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b a b k a k b k a k b k .a b Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) Ví dụ 3: Cho a 1 ,1 n Chứng minh : (1 a) n n.a Giải n=1: bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1 a) k k a n= k+1 Ta cần chứng minh: (1 a) k 1 (k 1).a Ta có: (1 a) k 1 (1 a).(1 a) k (1 a).(1 k a) (k 1)a k a (k 1)a Bất đẳng thức đúng với n= k+1 V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1 a) n n.a , n k Ví dụ 4: Cho n a1 , a ,, a n thoả mãn a1 a a n Chứng minh rằng: (1 a1 )(1 a ) (1 a n ) 2 Giải n=1: a1 a1 Bài toán đúng n=k ( k ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1 a1 )(1 a ) (1 a k ) 2 Ta có: (1 a1 )(1 a ) (1 a k 1 ) (1 a1 )(1 a ) (1 a k 1 )[1 (a k a k 1 ) a k a k 1 ] 1 (1 a1 )(1 a ) (1 a k 1 )[1 (a k a k 1 )] (Vì a1 a a k 1 (a k a k 1 ) ) 2 Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1 a1 )(1 a ) (1 a n ) Ví dụ 5: Cho n , , bi R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: n= k+1 Ta cần chứng minh: (1 a1 )(1 a ) (1 a k 1 ) (a1b1 a b2 a n bn ) (a12 a 22 a n2 )(b12 b22 bn2 ) Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (a1b1 a b2 a k bk ) (a12 a 22 a k2 )(b12 b22 bk2 ) Lop10.com 19 (20) 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức n= k+1 Ta cần chứng minh: (a1b1 a b2 a k 1bk 1 ) (a12 a 22 a k21 )(b12 b22 bk21 ) (1) Thật vậy: VP(1) (a12 a 22 a k2 )(b12 b22 bk2 ) (a12 a k2 ).b + a (b12 b22 bk2 ) a k21 bk21 (a1b1 a b2 a k bk ) 2a1b1 a k 1bk 1 2a b2 a k 1bk 1 2a k bk a k 1bk 1 a k21bk21 (a1b1 a b2 a k bk ) (a1b1 a b2 a k bk ) a k 1bk 1 a k21 bk21 (a1b1 a b2 a k 1bk 1 ) Vậy (1) chứng minh Ví dụ 6: Cho n , , bi R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: ( a1 a a n a12 a 22 a n2 ) n n Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng a1 a a k a12 a 22 a k2 ) k k 2 a a a k 1 a1 a a k 1 ) n= k+1 Ta cần chứng minh: ( (1) k 1 k 1 a a a k 1 Đặt: a k VP(1) (a12 k a 2ka1 a ) k 1 2 a 22 a32 a k21 a12 a 22 a k21 2 a a a k 1 a k k a k k 1 k k (k 1) n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ( Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: n n Giải: n=2 (n 1) n 1 3 n n (n 1) n 1 , n , n n n (n 1) n 1 n=k : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k (k 1) k 1 n= k+1:Ta c ó: k k (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) k (k 1) [(k 1) ] k 1 (k 1) (k 2k ) k 1 (k 2k ) (vì (k 1) k 2k k 2k ) k k (k 2) k (k 1) k 1 (k 2) k Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy n n (n 1) n1 , n , n Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx n sin x , n , x R Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx k sin x n= k+1 Ta cần chứng minh: sin(k 1) x (k 1) sin x a b a b , a, b R Ta có: sin x , cos x 1, x R Nên: sin( k 1) x sin kx cos x cos kx sin x sin kx cos x cos kx sin x sin kx sin x k sin x sin x (k 1) sin x Lop10.com 20 (21)