185 bat dang thuc hay

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P 2x y.[r]

Tuy n t p b t đ ng th c t Onluyentoan.vnể ậ ấ ẳ ứ ừ Bài 1: Cho a,b số thực không âm Chứng minh :

2 3 2 2 .

4 2

a b b a a b

       

      

       

       

Bài 2: Cho số thực a,b,c>0 Chứng minh rằng:

2 2 2

( ) ( ) ( )

3

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b bc b c ca c a ab a b

  

  

  

Bài 3: Cho số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng:

1

x y z

x x yz  y y zx  z z xy 

Bài 4: Cho số thực dương a,b,c thoả mãn abc=1 Chứng minh :

2 2

1 1

3 2(a b c)

a b c    

Bài 5: Chứng minh với số thực dương x,y,z thỏa mãn x(x+y+z)=3yz, ta có:

3 3

(x y ) 3(x y y z z x )(  )(  ) ( z x ) 5(y z )

Bài 6: Cho số thực a,b,c thỏa mãn :

1

6

a b a ab ab c

  

   

   

 Chứng minh : a + b − c ≤ 4.

Bài 7: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 9 5( ).

a b c ab bc ca   a b c 

Bài 8: Cho x,y,z>0 thoả mãn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2( ) 2( ) 2( )

x y z y z x z x y P

yz zx xy

  

  

Bài 9: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều

kiện ab+bc+ca=a+b+c Chứng minh : 2 2 2 a b b c c a a b b c c a

  

  

Bài 10: Cho số thực a,b,c∈[0,1] thỏa mãn điều kiện a+b+c=2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau : P a2 4a 5 b2 4b 5 c2 4c5

Bài 11: Với a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=abc Chứng minh bất đẳng thức sau : 3

a b c b c a 

Bài 12: Giả sử hệ phương trình:

2

2

3 16

x xy y y yz z

   



  

 Chứng minh rằng: xy yz zx  8 Bài 13: Cho số thực a,b>0 thỏa mãn

2

2(a b )ab(a b ab )( 2) Tìm giá trị

nhỏ biểu thức:

3 2

3 2

4 a b a b

P

b a b a

   

      

   

Bài 14: Chứng minh với số thực dương a,b,c, ta ln có :

2 2

2 2 2 ( 3 3) .

ab bc ca a b c

a b c ab bc ca

c a b b c a

 

           

 

Bài 15: Cho x,y,z∈[0,1] thỏa mãn

1

1 4x5 4 y5 4 z5

Tìm giá trị lớn : Pxy z2

Bài 16: Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn: abcd a2b2c2d2.Chứng minh rằng: abcd a b c d 8    

Bài 17: Cho số thực x,y,z thỏa mãn

2 2 3

x y z  .Tìm giá trị lớn biểu thức:

P xy yz 2zx  

Bài 18: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số :

2

12

y  x x   x  x

Bài 19: Cho số thực không âm x,y thỏa mãn x+y=1.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P 1x2011 1y2011

1 1

2 6

P

x y y z z x

  

     

Bài 21: Cho số thực khác không x,y thỏa mãn xy x y(  )x2y2 xy Tìm giá trị lớn biểu thức sau : 3

1

P

x y

 

Bài 22: Chứng minh với số thực x,y,z, ta có:

2 2 2

x xy y  y yz z  x xz z

Bài 23: Cho số thực a,b,c đôi khác thuộc đoạn [0;2] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

1 1

( ) ( ) ( )

P

a b b c c a

  

  

Bài 24: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

2 2

2 2

a b c

a bc b ac c ab Bài 25: Cho số thực x,y thỏa mãn bất phương trình 5x25y2 5x15y 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 3y. 

Bài 26: Cho a,b số thực thỏa mãn a2b2 4a b Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P 2a 3b. 

Bài 27: Cho số dương a,b,c thỏa mãn abc+a+c=b Tìm giá trị lớn biểu thức 2

2

1 1

P

a b c

  

  

Bài 28: Cho số x,y,z thỏa mãn 1x y z, , 4,xy x z,  Tìm giá trị lớn

giá trị nhỏ biểu thức

x y z

P

x y y z x z

  

  

Bài 29: Cho số x,y,z thỏa mãn1x y z, , 9và xy x z,  Tìm giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thức

x y z

P

x y y z x z

  

  

Bài 30: Cho : x≥y≥z>0 Chứng minh rằng:

2 2

2 2 x y y z z x

Bài 31: Chứng minh với a,b,c > 0ta có:

2 2

a bc b ca c ab

a b c b c c a a b

  

    

  

Bài 32: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh

2 2

2 2

1 1

82

a b c

a b c

     

Bài 33: Cho số dương x,y,z>0,xyz=1 Chứng minh rằng:

4 4

2 2

3

1 1

x y y z z x x   y   z   Bài 34:

Bài 35: Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm giá trị lớn của: P 9xy 10yz 11zx  

Bài 36: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3 Chứng minh rằng: 2

(a c b )( 1)abc a( b c 1)

Bài 37: Cho số 0<x , y , z , t<1 x+y+z+t=1.Tìm giá trị nhỏ

biểu thức: 1 1

x y z t

T

x y z t

   

   

Bài 38: Cho a b c, , [0;2] a b c 3   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ :

2 2

2 24 2060

P a  b  c  a c

Bài 39: Cho a, b,c 0 21ab2bc8ca12 Tìm giá trị nhỏ của:

1

P

a b c   

Bài 40: Cho số x,y,z thay đổi thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 1 Hãy tìm GTLN GTNN biểu thức: A x y z xy yz zx     

Bài 41: Cho số x,y,z,t thay đổi thỏa mãn điều kiện:

2 2

0

x y z t x y z t

    



   

 Hãy tìm

GTLN, GTNN biểu thức: A xy yz zt tx    Bài 42: Chứng minh a,b,c>0 thì:

2 3 2

2 2

( )

4

a b c a b c a b c a b c abc ab bc ca

 

     

   

Bài 43: Cho số thực x , y thỏa điều kiện

2 9 1

x  y  .Tìm giá trị lớn

giá trị nhỏ biểu thức sau:

2

( 1) 3(2 1) (3 1)

3

x xy y

T

x y

    



 

Bài 44: Chứng minh với t ∈ [−1;1], ta có: 1 t 1 t  1 1 t2  2 t2

Bài 45: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn :

2 2 1

x  y z  Chứng minh rằng:

1 1

(x y z)

x y z   

1 1

(x y z)

x y z   

Bài 46: Cho a,b,c khơng âm, đơi phân biệt Tìm min: 2

2 2

1 1

( )( )

( ) ( ) ( )

P a b c

a b b c c a

    

  

Bài 47: Cho a,b,c dương thỏa mãn a3b3c3 Chứng minh rằng:    

2 2 6 .

a b  c  c a c b 

Bài 48: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh

4 4

2 2 2

3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c

b c b c  c a c a  a b a b  Bài 49:

Bài 50: Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyz Chứng minh rằng: xy yz zx   3 x2 1 y2 1 z21

Bài 51: Cho a,b,c số thực thỏa mãn: a − 2b + 3c = 16 Tìm giá trị nhỏ : P2(a2b2c2) 4( a b c  ) 15

Bài 52: Cho số dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3 8

a b c abc P

a b c

   



 

Bài 53: Cho hai số không âm a b thỏa mãn: a b 210 Chứng minh :

4

Bài 54: Cho a,b,c không âm thỏa mãn a b c 3   Tìm giá trị lớn

của      

2 2 2

P a  ab b b  bc c c  ca a

Bài 55: Cho số thực dương x,y,z thỏa x + y + z = Chứng minh rằng:

2 2

27

x y y z z x  

Bài 56: Cho x,y,z≥0 thỏa mãn: xyz=1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

(1x) (1y) (1z) 4

Bài 57: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức:

3 3

3 3

3 3

1 1

P a b c

a b c

     

Bài 58:

Bài 59: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x1;y1 x y   4xy Tìm

GTLN,GTNN biểu thức:

3

2

1

3( )

P x y

x y

   

Bài 60: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức 2

2 2

abc bc ca

P a b

a b b c c a

    

  

Bài 61:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn:a+b+c=2 Tìm GTLN của:

2 2

ab bc ca

M

c ab a bc b ca

  

  

Bài 62: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:

2 2 4( )2

a b c a b

a b c

b c a a b c

      

 

Bài 63: Cho a,b,c ba số thực không âm có tổng 3 Chứng minh:

9

2

a ab  abc

Bài 64: Chứng minh với số thực dương a,b,c, ta có

( )( )

( )( )( ) (3 )

abc a b a b c a b b c c a a b c

  

 

Bài 65: Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng Chứng minh rằng: 3

4(a b c ) 15 abc1

Bài 66: Chứng minh với số thực dương a,b,c, ta ln có 2

2 2

a b c ab bc ca

ab bc ca a bc ca b ca ab c ab bc  

  

       

Bài 67: Cho x,y,z số thực lớn −1 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

1 1

2

1 1

x y z

y z z x x y

  

  

     

Bài 68: Chứng minh a,b,c>0 thì:

2

(a b c) a b b c c a ab bc ca a c b a c b

    

  

    

Bài 69: Chứng minh với a,b,c>0, ta có:

3

3

a ab abc a b a b c a

    



Bài 70: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh 3

3

3 9,

3

a b c

abc  

 

Bài 71: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1.Chứng minh

rằng: 2

9

(1 ) (1 ) (1 )

x y z

y x z y x z 

Bài 72: Cho a,b,c số dương thay đổi cho

1 1

1

1 1

a b c  Tìm giá

trị nhỏ biểu thức

1

a b c P

a b c   

 

Bài 73: Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn

3 3 3.

x y z  Chứng minh rằngxy yz zx xyz   2

Bài 74: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz Chứng minh

2 2

2 1

Bài 75: Cho x,y>0 thỏa mãn xy + x + y = Tìm biểu thức:

2

1

x y xy

P

y x x y

  

  

Bài 76: Cho a,b,c≥0: ab + bc + ca = Tìm Min :

1 1

P

a b b c c a a b c

   

    

Bài 77: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng  2

2 2

9

2 2

1 a b c a b c

b c a ab bc ca

 

     

     

     

 

     

Bài 78: Giả sử a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc=1 Chứng minh rằng:

1 1 a b c

a b c       

Bài 79: Tìm GTNN, GTLN hàm số:

2

4 16

y x   x  x Bài 80: Cho số thực x,y thỏa:

2 4

x y  .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5 54 14

P  x   x y

Bài 81: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 2

1 1

1 1

a  b  c  

Bài 82: Xét số thực a,b,c,d thoả mãn điều kiện

2 1, 3

a b  c d  Tìm giá trị lớn củaM ac bd cd  

Bài 83: Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2 2

2 2 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b c a b

T

a b b c c a a b b c

   

    

Bài 84: Cho a,b,c>0 abc=1 Chứng minh rằng:

 

2 2 2012 a b c

a b b c c a a b c ab bc ca

 

    

 

Bài 86 :Cho a,b,c số thực dương thoả mãn a3b3c3 3 Chứng minh

2 2

3 8 8 8

a b c

b   c   a  

Bài 87: Cho a,b,c≥0 thỏa mãna2b2 c2 3.Tìm GTNN biểu thức:

3 3

2 1 1 1

a b c

P

b c a

  

  

Bài 88: Cho a,b,c≥0 thỏa mãna2b2 c2 3 Chứng minh

2 2 3 2( ).

a b c  abc a b c 

Bài 89: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a2b2c2 3 Tìm giá trị lớn của: A a b c abc   

Bài 90: Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh

3

18 2 a4 b3 c 9(ab bc ca  )

Bài 91: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn:  4 4  2 2

9 a b c  25 a b c 48 0

Tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức:

2 2

2 2

a b c

P

b c c a a b

  

  

Bài 92: Cho a,b,c dương vàa2b2c2 3.Chứng minh:

3

ab bc ca c  a  b 

Bài 93: Cho số thực a,b,c không âm có tổng a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức : P a2  a 4 b2 b 4 c2 c

Bài 94: Tìm Max Min biểu thức: 2

( )(1 )

(1 )(1 )

x y xy

x y

 

 

Bài 95: Cho a,b,c làđộ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng

3 a b c b c a

b c a a b c

   

     

   

   

Bài 96: Cho a,b,c>0 abc=1 Chứng minh rằng:

3 3 3

(1 ) (1 ) (1 ) 27

a bc ca b ca ab c ab bc

b c a a b c

     

  

Bài 97: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức:

4 10

4 10

1 sin sin sin

1 cos cos cos

x x x

T

x x x

  



  

Bài 98: Chứng minh với số thực không âm a,b,c, ta ln có

2 2 2 2 2

2(a b )(b c )(c a ) ( ab bc ca abc)

Bài 99: Cho số thực a,b,c thỏa mãn6a 3b 2c abc 24    Chứng minh rằng:

2 2

(a 1)(b 4)(c 9) 144

Bài 100: Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c dương,

( ) 4( )

( )

a b c a b c c

ab a c a b a c

     

    

   

Bài 101: Cho a,b,c,d ∈ [3;4].Tìm GTLN, GTNN của:

2

3

4 16

a c a d

T

d a b a

 

   

      

 

   

Bài 102: Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh :

2 2

1 1

1 (1a) (1b) (1c) ab bc ca  1

Bài 103: Cho a,b,c>0 thoả mãn a + b + c = Tìm GTLN của: a bc b ca c ab

T

a bc b ca c ab

  

  

  

Bài 104: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 Chứng minh

1

1 1

a b c

a b  b c  c a  

Bài 105: Chứng minh với số thực a,b,c không âm ta ln có:

4 2

(a b c  ) 8(a b c )(ab bc ca  )

Bài 106: Cho a,b,c số thực thoản mãn a,b,c>1 a + b + c = abc Chứng minh rằng: (a2 1)(b21)(c2 1) 8

Bài 107: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng:

3 3

a b c

a b c b c a c a b 

Bài 108: Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

3

8( )( )( )

1

3 ( )( )( )

a b c a bc b ca c ab a b b c c a

    

 

 

 

  

Bài 109: Cho x≥1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1

2

y x x  

Bài 110:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

x y y z z x P

x y z

    



  

Bài 111: Cho x,y,z ∈ [1,2] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

x y y z z x P

z x y

  

  

  

Bài 112: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãna2 b2 c2 1 Tìm giá trị lớn biểu thứcP a b b c c a  

Bài 113: Cho a,b,c dương Chứng minh

3 3

2 2 2 3

a b c a b c

a ab b b bc c c ac a

 

  

     

Bài 114: Cho a,b,c số thực thỏa mãn a2b2c2ab bc ca  1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thứcP a 2b24 c2

Bài 115: Cho số thực a,b,c đôi khác thỏa mãnab ac b  bc Tìm

giá trị nhỏ biểu thức:

2

a c

P

a b b c

   

   

 

   

Bài 116: Cho số thực không âm a,b thỏa mãn a2b2 1 Tìm giá trị lớn

của biểu thức P a (a b )

2

2 .

2

a b Q a    

 

Bài 117: Cho a,b,c≥0 thỏa mãn: a+b+c=1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: F a b c( , , )a b c(  )3b c a(  )3c a b(  )3

Bài upload.123doc.net: Cho a,b,c≥0 thỏa mãn c2 a2 ab b Chứng minh 3 3 5

a b  abc c

Bài 119: Cho số thực a,b,c khác đôi thỏa mãn

2

2

b  bc ca  ab

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

4

a b c

P

a b b c c a

     

       

  

Bài 120: Cho số thực khơng âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P(a b3 3b c3 3c a3 3)(ab bc ca  )

Bài 121: Cho a,b,c≥0 thỏa mãn:ab+bc+ca+6abc=9 Chứng minh rằng:

3

a b c   abc

Bài 122: Cho a,b,c số thực không đồng thời 0, thỏa mãn: (a b c  )2 2(a2b2c2) Tìm GTLN, GTNN biểu thức:

3 3

( )( )

a b c P

a b c ab bc ca  



   

Bài 123: Cho a,b,c≥0 thỏa mãn a+b+c=2 Chứng minh rằng:

2 2

(a bc b)( ca c)( ab) 1

Bài 124: Cho a,b,c>0 thỏa mãn: abc=1 Chứng minh rằng:

(a b b c c a )(  )(  ) 5(  a b c  )

Bài 125: Cho a,b,c≥0 Chứng minh:

2 2

2(a 1)(b 1)(c 1) ( a1)(b1)(c1)(abc1)

Bài 126: Cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca=3 Chứng minh rằng:

2 2

3

(1 )(1 )(1 ) 1728

( )

abc

a b c

a b c

   

 

Bài 127: Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện

2 2

5

x y z x y z

   



  

 .Tìm giá trị

nhỏ giá trị lớn biểu thức:

2

x y P

z   

 Bài 128: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn

2 2 2( )

a b c  ab bc ca  khơng có hai số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

a b c

P

b c c a a b

     

     

  

     

Bài 129: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a2 b2c2 2011(ab bc ca  ) hai số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a b c

P

b c c a a b

  

Bài 130: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a2b2 c2 3 Chứng minh rằng:

6

4

a b c

ab bc ca abc

   

  

Bài 131: Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng:

3 3 3

( )( )( )

3

x y z

xyz x y y z z x  

    

Bài 132: Cho số thực a,b,c,d thoả mãn: a2b2 1,c2d2 1 ac+bd=0 Tìm GTLN của: T (a b )2 (c d )2

Bài 133: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn

3

a b c  

.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2 1

A a b c

a b c

     

Bài 134: Chứng minh với số thực a,b,c ta ln có:

4 4

(a b ) (b c ) (c a ) 8(a b ) (c a c b )(  )

Bài 135: Cho a,b,c>0 abc=1 Chứng minh:

2 2 3

1 1

a b c

b c a 

Bài 136: Cho a≥b≥c>0 Chứng minh rằng:

2

2 2

4 ( ) 4( )

3 ( ) ( )

a b c ab bc ca a b c a b c

   



   

Bài 137: Cho số thực a,b,c,d,e ∈ [−1,1] thỏa mãn a + b + c + d + e = Tìm giá trị lớn biểu thức: P a 2b2c2d2e2

Bài 138: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ của:

1

P abc abc

 

Bài 139: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc = ab + bc + ca Chứng minh:

1 1

2 3

a b c a b c  a b  c 

Bài 140: Cho a,b,c số dương thỏa mãn a b b c c a abc2    1.Chứng minh

rằng :

2 2

2 2 2 2 2 2

1

2 ( )( )( )

a b c

Bài 141: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a≤b≤c abc=1 Chứng minh rằng:

2

1 1

a b c

a b c

    

Bài 142: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a≤b≤c

1 1

a b c

a b c     

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ab c

Bài 143: Cho a,b,c số thực đôi khác thỏa: a+b+c=0 Chứng

minh:

2

4 4

1 1 33

( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ) 16

ab bc ac

a b b c c a

    

  

Bài 144: Cho a,b,c>0 abc=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

4

(1 )(1 )(1 )

(1 )(1 )(1 )

a b c

P

a b c

  



  

Bài 145: Cho a,b,c>0 abc=1 Chứng minh rằng:

3 3

9

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )

8

a b c a b c

     



Bài 146: Cho x,y,z>0 Tìm Min biểu thức:

3 3 3

3 3

2 2

4( ) 4( ) 4( ) x y z

P x y y z z x

y z x

 

          

 

Bài 147: Cho số thực khơng âm a,b,c cho khơng có hai số đồng thời Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

2

7 7

a b c

P

a b c b c a c a b

  

     

Bài 148: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh rằng:

2 2 2

3 3 3

1 1 2011 2011 2011

2011 2011 2011

a b b c c a

a b c a b b c c a

  

    

  

Bài 149: Với số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1 Chứng minh bất đẳng

thức  

3

1

a b c

a b c bca    

Bài 151: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn: a2b2c2 1 Chứng minh

rằng: 1 1

a b c

bc ca  ab

  

Bài 152: Cho số thực a,b>0 thỏa mãn

2

2(a b )ab(a b ab )( 2) Tìm giá

trị nhỏ biểu thức:

3 2

3 2

4 a b a b

P

b a b a

   

      

   

Bài 153: Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh  2

2 2

1

a b c

a b b b c c c a a      abc

Bài 154: Tìm giá trị nhỏ của:

3 3

3 3

a c b a c b

b a bc  c b ca  a c ab với a,b,c>0

Bài 155: Chứng minh với số thực a,b,c,d thoả mãn a2b2 1 ,ta có bất đẳng thức sau: (ac bd  1)2 (a2b2 1)(c2 d2 1)

Bài 156: Chứng minh với a,b,c>0 ta có hai bất đẳng thức sau: 2

(a b c )(a b c b c a c a b  )(   )(   )abc ab bc ca(   )

2 2 2

(a b c )(a b c a b c b c a c a b  )(   )(   )(   ) 9 a b c Bài 157: Cho a,b,c>0 ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng:

2 2 2

(a 2b 3)(b 2c 3)(c 2a 3) 64

Bài 158: Cho a,b,c số thực không âm cho khơng có hai số đồng

thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2011

a b c

P

b c c a a b

  

  

Bài 159: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có 2011 2011 2011

2012 2012 2012

ab bc ca a b c c  a  b  b c a

Bài 160: Cho x số thực thỏa mãn: 0<x<1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3

1

P

x x

 



Bài 161: Cho a,b,c số tự nhiên thỏa mãn: a+b+c=3 Chứng minh:

8a 8b 8c 2a 2b 2c

Bài 162: Cho a,b,c ∈ [1,4] , a ≥ b , b ≥ c Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

a b c

P

a b b c c a

  

  

Bài 163: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a + b + c ≤ Tìm

2 2 1 1 1

a b c P

b c a ab bc ca

     

Bài 164: Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2 2 2

3

2 2

ab bc ca

a b c  b c a  c a b 

Bài 165: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có

1 1

2

a a b b b c c c a  abc

Bài 166: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a2b2c2 1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức M a3b3c3 3abc

Bài 167: Cho a,b,c≥0 a2 b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau :

3 3

3 3

1 1

a b c

P

b c a

  

  

Bài 168: Cho x,y,z>1 mà x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

1 1

x y z

P

y z x

  

  

Bài 169: Cho biểu thức: ( 1)( 1) x y P

x y

 

 

 Tìm Max P với x,y ∈ [0,1]  Tìm Max P với x,y ∈ R.

Bài 170: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng

4 4

2 2

3 3

2( )

a b c

a b c b c c a a b

  

    

  

Bài 171: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn

1

x y  

Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

32.x 2011.y

P

y x

Bài 172: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( )

abc a  b c  a b c   abc a b c 

Bài 173: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng:

9

( )( )( )( )

16

a b b c c a a b c     

Bài 174: Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P abc a b   

Bài 175: Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức:

P=(a−2b)(b−2c)(c−2a)

Bài 176: Chứng minh với số thực a,b,c ta ln có: 2 3 (3 ) (2 ) (2 )2

a b c ab bc ca   a b b c c a

Bài 177: Cho x,y,z ∈ [1;3] Chứng minh :

26

x y z y x z y z x  x  z  y  Bài 178: Cho a,b,c>0 a + b + c + = 4abc Chứng minh rằng:

4 4

1 1

a  b c a b  c a b c   a b c 

Bài 179: Cho x,y,z>0 x + y + z = Chứng minh

rằng 2 2 2

2

z xy y zx x yz x xy y x xz z y yz z

  

  

     

Bài 180: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=abc Chứng minh:

4 4 4

3 3 3

( ) ( ) ( )

a b b c c a

ab a b bc b c ca c a

  

  

  

Bài 181: Chứng minh với a,b,c dương, ta có

4 4

(a b a )  1 (b c b )  1 (c a c )  1

Bài 182: Cho x,y,z≥1 Tìm giá trị lớn biểu thức:

2 2

1

1

2011 2011 2011

y

x z

P

x y z



 

  

  

Bài 183: Cho số thực a,b,c thoả mãn a2b2c4 3 Tìm GTLN, GTNN biểu thức Q a b  2c3

Bài 184: Chứng minh với số thực khơng âm a,b,c ta ln có

2 2 2

Bài 185: Cho a,b,c>0 a+b+c=3 Chứng minh rằng:

2( )