55 bất đẳng thức hay của VMF

Diendantoanhoc.net là một diễn đàn Toán học hay và hoàn toàn miễn phí đối với cộng đồng ghiền toán. Trong quá trình tham gia diễn đàn mình đã tổng hợp 55 bài toán BĐT hay có lời giải muốn chia sẻ bạn đọc.

Nguyễn Công Định (CD13) Trang 1 TỔNG HỢP CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN VMF Nguyễn Công Định (CD13) Trang 2 A/ MỞ ĐẦU Khi thấy cuộc thi viết bài kỉ niệm 10 năm thành lập VMF tôi cố gắng tổng hợp các bài tập này với mong muốn đóng góp chút ít cho diễn đàn. Do thời gian tổng hợp chỉ khoảng 20 ngày nên số lượng còn ít và chưa có trình bày được nhiều cách, cũng như bình luận cho các lời giải. Hy vọng điều này sẽ được khắc phục sau đó! Tài liệu này được tôi tổng hợp trực tiếp trên Diễn đàn toán học trong box Bất Đẳng Thức và Cực Trị, và riêng nơi đây có nhiều bài tập được lấy từ topic Tổng hợp các bài toán BĐT của CD13. Nhiều bài mà do vô tình CD13 đã không ghi lại tên của người đăng và người giải nên khi tổng hợp lại tôi cũng đành bỏ khuyết vì thế mong các bạn thông cảm! Tinh thần của tài liệu nhỏ này là phục vụ cho đối tượng thi Đại học (cũng như là chỉ dạy cho học sinh mình) nên bài tập tôi chọn lọc nghiêng nhiều về AM – GM, Bunhiacopxki, thỉnh thoảng có các bài dùng đạo hàm hay Holder… nhưng chiếm số lượng không nhiều, hấu hết các bài toán tôi chọn ra chỉ dừng lại ở hai hoặc ba biến. Hãy cho tôi bắt đầu từ đây! Cho a, b không âm thì   1 2 a b ab   . Đây là BĐT AM – GM hai biến, dấu đẳng thức xảy ra khi .a b Thỉnh thoảng ta sử dụng theo chiều ngược lại . 2 a b ab   Bình phương   1 thì có   2 4 a b ab   , bất đẳng thức này được áp dụng nhiếu lắm các bạn nên chú ý. Rồi,   2 4 4 1 1 4 a b a b ab a b ab a b a b           , chỗ khẳng định cuối cùng cũng nên được quan tâm. Đối với AM – GM ba biến 3 3 a b c abc    thì ta cũng có những điều tương tự: 3 3 a b c abc          và 9 1 1 1 . a b c a b c      Ta có       2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a b c ab bc ca              , điều này dẫn đến một BĐT quan trọng:   2 2 2 2 a b c ab bc ca     , dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  . Lại, với hằng đẳng thức     2 2 2 2 2 a b c a b c ab bc ca         thì khi thay   2 vào ta nhận được     2 3 a b c ab bc ca      . Điều khẳng định này hay một kiểu khẳng định tương đương   2 3 a b c ab bc ca      là một trong những BĐT quan trọng trong số các BĐT ba biến. Cũng với hằng đẳng thức trên và   2 , bằng cách thay ngược lại thì ta thấy     2 2 2 2 3 a b c a b c      . Các bạn hãy nhớ đến điều này! Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thì     2 2 2 2 3 a b c a b c x y z x y z        . Đây chính là BĐT Cauchy – Schwarz. Có nhiều cách chứng minh BĐT này, nhưng thôi 1 2 3 Nguyễn Công Định (CD13) Trang 3 hãy chứng minh nó bằng AM – GM hai biến để các bạn học sinh có thể dùng trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Thật vậy,       2 2 2 2 3 a b c x y z a b c x y z               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z x y a a a b b b c c c a b c ab bc ca x x y y z z y x z x z y a b a c b c ab bc ca x y x z y z                                           Đến đây chỉ cần áp dụng AM – GM cho các số hạng trong ngoặc thì ta nhận ra điều phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi a b c x y z   . Cho 1a b c   hay 1x y z   thì ta nhận được những điều đã nói ở mục 1, 2. Cho a, b không âm và m, n tự nhiên thì từ khai triển của    0 m m n n a b a b    dẫn đến BĐT hay được sử dụng m n m n m n n m a b a b a b      . Trong các trường hợp cụ thể thì ta thấy như       3 3 4 4 2 2 5 5 3 3 , , , a b ab a b a b ab a b a b ab a b         rất hữu ích. Dĩ nhiên dấu đẳng thức xảy ra khi .a b Kí hiệu  mà tôi sử dụng trong tài liệu này là tổng hoán vị vòng quanh của ba biến , ,a b c hay , ,x y z . Một điều rất tiện lợi trong trình bày nhưng lại khó hình dung đối với những người mới bước đầu làm quen BĐT. Nói thật, lúc đầu tôi cũng ngại ngùng đọc các loại sách mà có dùng kí hiệu này (có thể dẫn ra: BĐT và những lời giải hay, Sáng tạo BĐT, Những viên kim cương,…) nhưng lâu dần thành quen và việc dùng chúng trong trình bày lại trở thành mặc nhiên. Thật là tiện lợi khi ghi 2 2a b b c    hơn là biểu thức 2 2 2 2 2 2a b b c c a b c c a a b         , tuy thế không phải ai cũng biết   2 2 1 2 a a ab      . Hãy làm quen với điều này nếu bạn chưa thuần thục! Do         2 2 2 1 1 2 2 3 3 0 f x a x b a x b a x b x        nên khi khai triển thì ta nhận được     2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 0 a a a x a b a b a b x b b b x          tức là / 0       2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b         . Đây chính là BĐT Bunhiacopxki ba biến, dấu đẳng thức xảy ra khi i i b ka . Bây giờ, giả sử có các số thực thỏa a b c  và m n p  thì ta thấy rõ ràng                    0 2 3 a b m n a c m p b c n p am bn cp an ap bm bp cm cn am bn cp a m n p b m n p c m n p                               4 4 5 6 Nguyễn Công Định (CD13) Trang 4 Hay viết khác đi    1 3 am bn cp a b c m n p       , và đây chính là BĐT Chebyshev được dùng giải một số bài toán. Trong trường hợp tương tự đối với hai dãy a b c  và m n p  thì ta có    1 3 am bn cp a b c m n p       . Cả hai trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  hoặc .m n p  Ta sẽ chứng minh BĐT Holder theo AM – GM: Cho , , , , , , , ,a b c x y z m n p là các số thực dương thì       3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c x y z m n p axm byn czp          . Thật vậy,     3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3a x m axm a b c x y z m n p a b c x y z m n p                . Xây dựng hai BĐT tương tự nữa rồi cộng theo từng vế ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi , , a x m b y n c z p      hoặc , , a b c x y z m n p      . Giả sử trong mặt phẳng Oxy cho       ; , ; , ;u a b v x y w m n       và áp dụng tính chất u v w u v w                2 2 2 2 2 2 2 2 a b x y m n a x m b y n            BĐT này được gọi là BĐT vectơ hay Mincopxki, dấu đẳng thức xảy ra khi các vectơ cùng hướng. Tôi không có muốn liệt kê hết các BĐT khác (như Abel, Bernouli,…) vào trong tài liệu này vì đơn giản là chúng không có được sử dụng. Thôi thì để kết thúc phần mở đầu này tôi xin nêu ra vài đẳng thức và bất đẳng thức thường gặp để các bạn tiện sử dụng.                                         2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3 3 a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c a b b c c a a b b c c a abc a b c ab bc ca a b b c b c c a c a a b a b c ab bc ca a b c a b c                                                                                   3 3 3 9 8 3 a b c ab bc ca a b b c c a a b c abc ab a b bc b c ca c a Schur                  Trường hợp ba BĐT cuối được nêu trên thì , ,a b c không âm. 8 7 9 Nguyễn Công Định (CD13) Trang 5 B/ ĐỀ BÀI Bài 1: Cho abc = 1 và 3 36. a  Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c ab bc ca     Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 1 1 1 3 . 1 1 1 2a b c       Bài 3: (duaconcuachua) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng:       4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1. a b b c c a ab a b bc b c ca c a          Bài 4: Cho   , , 0;1 . x y z  Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 x y z P yz zx xy       Bài 5: Cho   , 0;1 a b . Chứng minh      2 2 1 1 a 1 . 1 2 1 a b a b ab b ab ab          Bài 6: Cho a, b, c không đồng thời bẳng 0. Chứng minh rằng:     4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2. a b c ab bc ca a b c a b c           Bài 7: (vuvo98) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: 3. ab a b    Chứng minh: 2 2 3 3 3 . 1 1 2 a b ab a b b a a b         Bài 8: (coban) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 . 4 a b c a b b c c a                         Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện 2 2 2 9 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5 5 2 2 2 . a b c P b c a    Bài 10: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   2 2 2 P abc a b c    . Bài 11: Cho a, b > 0 thỏa mãn 3 1 a b   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 S a ab   . Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 2 3 P a ab abc a b c       . Bài 13: (nguyencuong123) Cho a, b, c không âm thỏa mãn 3. a b c    Chứng minh rằng: 1 1 1 3. 1 1 1 a b c ab bc ac          Nguyễn Công Định (CD13) Trang 6 Bài 14: Cho a, b, c là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1. 2 2 2 a b c a b b c c a       Bài 15: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 2. a b c   Chứng minh:   2 2 2 3 3 3 1 7 2 2 . 4 1 4 1 4 1 32 16 4 4 2 a b c a b c ab bc ca            Bài 16: Cho 1 1 3 2 1 x y         . Tìm GTNN của   2 2 2 2 2 . 4 1 x y P x y x y x          Bài 17: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 a b c    . Chứng minh rằng ; 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 . 2 2 2 4a b b c c a          Bài 18: Cho a, b, c dương thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng:   2 2 2 2 2 2 3 2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a                Bài 19: Cho a, b, c dương. Chứng minh:     2 2 2 2 2 2 2 2 6 . a b c a b a ab b a b c          Bài 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 3 3 1 a b c    . Chứng minh:       2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 1 1 1 81 . 4 a b c b c a c a b       Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn 1 2 a b c    . Tìm GTLN của:    2 a b b c P b ab ac bc a c          Bài 22: Cho a, b, c dương thỏa mãn 1 1 1 . a b c a b c      Chứng minh rằng: 3 2 . a b c a b c abc       Bài 23: Cho a, b, c dương thỏa mãn 6. a b c    Chứng minh rằng:             2 2 2 3 . 2 2 2 2 2 2 2 a b c b b b c c c a a a             Bài 24: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:             4 4 4 b c a c a b a b c ab bc ca a a b c b b c a c c a b                  Nguyễn Công Định (CD13) Trang 7 Bài 25: Cho a, b, c không âm. Chứng minh: 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1a b c a b c          Bài 26: Cho a, b dương thỏa mãn 1 . 2 a b   Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 1 1 1 10 . P a b a b           Bài 27: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:     3 1 1 1 2 2 2 2a b b c c a a b b c c a          Bài 28: (Zack) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 2 . 3 abc ab bc ca a b c a b c         Bài 29: (leduylinh) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1. a b c    Tìm GTLN của 3 3 3 3 P a b c abc     . Bài 30: (phamduytien) Cho a, b, c dương thỏa mãn: 4 4 4 3 3 3 .a b c a b c     Chứng minh: 3 3 3 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 3. a b c b b c c c c a a a a b b          Bài 31: (thang96) Cho a, b, c dương thỏa mãn 3. a b c    Tìm GTLN của biểu thức 3 3 2 4 P a b ab bc abc      . Bài 32: (Tu Kil) Cho a, b, c dương thỏa mãn: 2 2 2 1 a b c    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3 . 2 a b c b c a c a b       Bài 33: (baonhikt96) Cho a, b, c dương thỏa 1abc  . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a b c b c a                    . Bài 34: (SatNhan98) Cho a, b, c dương thỏa 2 2 2 3. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 3 . 3 3 3 4 ab bc ac c a b       Bài 35: Với a, b, c > 0 và số tự nhiên dương n. Chứng minh rằng: 3 2 n n n n n n a b c a b c b c a c a b a b c                 Bài 36: Cho a, b là hai số không âm thỏa 3 3 1 a b   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 .P a b   Bài 37: Cho a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng minh rằng: Nguyễn Công Định (CD13) Trang 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a bc b ca c ab b bc c c ca a a ab b             . Bài 38: (Chrome98) Cho a, b, c không âm thỏa mãn 1. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 24 3 1 3 1 3 1 9 1 9 1 9 1 a b c a b c a b c a b c                  Bài 39: (Toc Ngan) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3 a b c    . Chứng minh rằng:   2 2 2 1 1 1 8 9 10 a b c a b c             Bài 40: (supermath98) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3 ab bc ca abc   . Tìm GTNN của biểu thức:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a b b c a c abc M a b c     Bài 41: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 1. abc  Chứng minh:     2 2 2 2 12 3 .a b c a b c ab bc ca          Bài 42: Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn 1ab bc ca xy yz z      . Chứng minh rằng:       2. a y z b z x c x y       Bài 43: Cho , ,x y z không âm thỏa mãn: 2 2 2 1 x y z    . Tìm GTLN của biểu thức:   6 27 P x y z xyz      Bài 44: (b2stfs) Cho a, b, c dương thỏa mãn 3. a b c    Tìm GTNN của: 2 2 2 b c a P b c a a b c b c a c a b          Bài 45: Cho a, b, c dương thỏa mãn 3. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b b c c a         Bài 46: Chứng minh với mọi a, b, c không âm và không đồng thời bẳng 0. Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 3 a bc b ca c ab ab bc ca         Bài 47: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi , ,x y z lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:   2 2 2 2S a b c x y z abc      . Bài 48: (ttdlaq) Cho a, b, c dương và số thực 8. k  Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 a b c k a kbc b kca c kab        Nguyễn Công Định (CD13) Trang 9 Bài 49: (hoangtubatu955) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 3. a b c    Tìm GTNN của biểu thức:     3 3 3 1 1 1 P a b c     . Bài 50: (leduylinh1998) Cho a, b, c dương thỏa mãn: 3. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 . a b c a ab b b bc c c ca a a b c            Bài 51: (khonggiadinh) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3abc a b ab   . Chứng minh rằng: 3. 1 1 1 ab b a a b bc c ac c          Bài 52: (leduylinh1998) Cho a, b, c dương thỏa mãn 3. a b c    Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 . a b c a ab b b bc c c ac a a b c            Bài 53: (SOYA264) Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 3 5 5 5 a b c a b c b c a c a c          Bài 54: (zack) Cho a, b, c dương thỏa mãn 2 2 2 1. a b c    Tìm GTNN của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c P b c a c a b       . Bài 55: (NTPS2CBC) Cho a, b, c dương thỏa mãn 6. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 17 . 2 a b c b c c a a b          Nguyễn Công Định (CD13) Trang 10 C/ LỜI GIẢI Bài 1: Cho abc = 1 và 3 36. a  Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c ab bc ca     Lời giải: 2 2 2 2 2 2 2 3 4 12 36 0 2 12 a a VT VP b c ab bc bc bc a a bc b c                      Cách khác: Từ giả thiết suy ra a 0, 0 bc   . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:     2 2 2 3 3 0 3 1 3 0 3 a b c bc a b c b c b c a a a                    Vì 3 36 a  nên 2 2 1 1 0. 4 2 b c b c b c VT a a a                      Bài 2: (trauvang97) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 1 1 1 3 . 1 1 1 2a b c       Chứng minh rằng:       2 2 2 2 2 2 3. a b c       Lời giải: (Nguyen Huy Tuyen) Ta có:    2 2 1 1 1 3 0 1 2 1 a a a a          , và      2 2 3 3 1 0. a a a         Khi đó:         4 2 2 2 1 1 1 3 1 0 1 1 a a a a a a a                      2 2 2 1 1 3 1 0 2 3. 1 a a a a a a               (Đpcm). Bài 3: (duaconcuachua) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca abc   . Chứng minh rằng:       4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1. a b b c c a ab a b bc b c ca c a          Lời giải: (Sagittius912) Ta có     4 4 4 4 2 2 4 4 4 3 4 3 3 3 2 2 a b a b a b ab a b a b a a b b ab a b               Do đó       4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 a b b c c a a b b c c a ab bc ca ab bc ca abc ab a b bc b c ca c a                   . Bài 4: Cho   , , 0;1 . x y z  Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 x y z P yz zx xy       Lời giải: Do         , , 0;1 1 1 1 2 0 x y z x y z x y z          2 2 2. x y z xyz xyz        [...]...  ;  a  b  c  ab  bc  ca   9abc Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c 1 2 Bài 26: Cho a, b dương thỏa mãn a  b  Tìm GTNN của biểu thức: P 1 1   1  10    2 a b b  a 2 Lời giải: Áp dụng AM – GM ta có: 1 4 4 4 4 44.2 29.4      55 2  55  40 a2  b2 a a b b  a  b2  2ab  a  b 4 2 2 4 4 2  4   8 a b ab ab 1 4 Như vậy GTNN của P bằng 48 khi a  b  Bài 27: Cho a, b, c... bc  bc    2 2  2 9 9 3   bc 3  2  a  b  c   2   So sánh hai khẳng định trên ta đi đến đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 55 bài BĐT nhỏ này chắc chắn không là gì so với lượng bài tập đồ sộ của VMF, hy vọng gặp lại các bạn đọc trong đợt sưu tầm lần tiếp theo của CD13 Trong tài liệu còn rất nhiều sai sót mong bạn đọc thông cảm và góp ý tin nhắn cho CD13, cám ơn! Nguyễn Công...  b  c  3 2 2 2 2 Bài 11: Cho a, b > 0 thỏa mãn 3a  b  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 1 1  a ab Lời giải:   2 2 2 1 1 1 2     8 Ta có: S   a a  1  2a a 1  3a  a 1  2a 1 4 Nên giá trị nhỏ nhất của S bằng 8 khi a  b  Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2 3  3 a  ab  abc abc Lời giải: Ta có: a  a a a a b 4c 4 2b  3 b.4c...   Cộng các vế của (1), (2), (3) ta nhận được: VT  4 4 Bây giờ chỉ cần chứng minh  ab 2   a 2b  2  a 3  b3  c 3  Điều này thật dễ dàng với Với lưu ý: khẳng định đơn giản x3  y 3  x 2 y  xy 2 Vậy VT  243 81.2 81 1   Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  3 4 4 4 3 Trang 16 Nguyễn Công Định (CD13) 1 2 Bài 21: (b2stts) Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTLN của: P  a  b... 1  z  z2  z 1 Và ta dễ dàng chứng minh 1  z  2 2   z2  z 1 1  z  2 3 2   z  1  0 4 Bài toán được chứng minh xong, dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 9: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 5 b5 c5   b2 c 2 a 2 Lời giải: a5 a 5   3b 2  3b 2  3 3  5 3a 2 Xây dựng các BĐT tương tự b2 b 2 ta nhận được 2 P  2 3... phải chứng minh Đẳng thức xaye ra khi a  b  c Bài 29: (leduylinh) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 Tìm GTLN của P  a 3  b3  c 3  3abc Lời giải: (dinhthanhhung) Do a 3  b3  c3   a  b  c   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   abc , nên ta có: 2 P 2   a  b  c  1  ab  bc  ca  2 2  1  2ab  2bc  2ca 1  ab  bc  ca   1 Vậy GTLN của P bẳng 1 khi... thiết của bài toán nên ta chỉ cần chứng minh: a3 b 4  b 2c 2  c 4  3a 4 a 3  b3  c3 2   a 3  b3  c 3   3a 2  b 4  b 2 c 2  c 4   a 6  b 6  c 6  2 a 3b3  3a 2  b 4  b 2 c 2  c 4  Điều này đúng do: a 6  2b3c 3  3a 2b2 c 2 ; b6  2a3b3  3a 2b4 ; c 6  2a 3c 3  3a 2c 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Bài 31: (thang96) Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  3 Tìm GTLN của. .. Mà      16  5b 16  5c 16  5a 16  5a 16  5a 5a  1 1   0 Điều này đúng nên ta suy ra đpcm  5a  116  5a  b 1 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  , c  2 cùng các hoán vị Bài 40: (supermath98) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  3abc Tìm GTNN của biểu thức: M  2  a 2b 2  b 2 c 2  a 2 c 2   abc a 2b 2 c 2 Lời giải: (thanhdok14) Vì a, b, c > 0 nên điều kiện ban đầu ta suy... suy ra: m9 9 2 a  b  c 2 3 a a  abc  m  8   3 3  Điều phải chứng minh m9 k 1  Bài 49: (hoangtubatu 955) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c  3 Tìm GTNN của biểu thức: P   a 3  1 b3  1 c 3  1 Lời giải: (nguyenqn1998) Ta sẽ chứng minh P  8 Thật vậy, với bất kì số nào trong a, b, c lớn hơn hoặc bằng 2 thì P   23  1 1.1  8 Ta xét 0  a, b, c  2 Đặt f  x   ln... 2abc  a  b  c   ab  bc  ca  2 bc  a2    1  2 2 2  1  2  2a  bc  2a  bc  Từ 1 ,  2  ta suy ra điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài 54: (zack) Cho a, b, c dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 Tìm GTNN của biểu thức: P a3 b3 c3  2 2 2 b2  c 2 a  c a  b2 Lời giải: (Toc Ngan) 1 1 1  2 2 2 nên theo Chebyshev ta có 2 b c a c a  b2 3 3 3 a3 a 3  b3 . Trang 1 TỔNG HỢP CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN VMF Nguyễn Công Định (CD13) Trang 2 A/ MỞ ĐẦU Khi thấy cuộc thi viết bài kỉ niệm 10 năm thành lập VMF tôi cố gắng tổng hợp các bài. học trong box Bất Đẳng Thức và Cực Trị, và riêng nơi đây có nhiều bài tập được lấy từ topic Tổng hợp các bài toán BĐT của CD13. Nhiều bài mà do vô tình CD13 đã không ghi lại tên của người đăng. – GM hai biến, dấu đẳng thức xảy ra khi .a b Thỉnh thoảng ta sử dụng theo chiều ngược lại . 2 a b ab   Bình phương   1 thì có   2 4 a b ab   , bất đẳng thức này được áp dụng