CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1.. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz.. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz.. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz.. Đ
Trang 1CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ
Phần 1 Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz
I Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n ta có
) )(
( )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
a + +⋅ ⋅⋅+ ≤ + +⋅ ⋅⋅+ + +⋅ ⋅⋅+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a i :a j =b i :b j ∀i,j =1,n
II Các bài toán áp dụng
Bài 1.(Jack Garfunkel)
Cho các số không âm a ,,b c, chứng minh bất đẳng thức
c b a a
c
c c
b
b b a
+
+ +
+
5
Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
⋅ + +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∑
∑
∑
∑
∑
cyc
cyc cyc
cyc cyc
c b a b a
a c
b a
c b a b a
a c
b a a c
b a b a
a c
b a a b
a
a
) 9 5
)(
( ) (
5
) 9 5
)(
( ) 9 5
( )
9 5
)(
( ) 9 5
( 2
2 2
Như thế, ta chỉ cần chứng minh
16
5 ) 9 5
)(
( )
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+
cyc a b a b c
a c
b a
Như điều này hiển nhiên đúng vì
0 )
9 5
)(
9 5
)(
9 5
)(
)(
)(
( 16
1230 232
835 243
) 3 )(
9 )(
(
) 9 5
)(
( ) (
16
5
2 2 2 4
2 3 2
3 2
≥ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
− +
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
−
∑
∑
∑
∑
∑
b a c a c b c b a a c c b b a
c b a bc
a bc
a c
b a b
a b a b a ab
c b a b a
a c
b a
cyc cyc
cyc cyc
cyc
Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a:b:c=3:1:0
Bài 2 (Võ Quốc Bá Cẩn)
Trang 211 2 2
a Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+ +
+ + +
= + +
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ +
+
⋅ + +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
c b a
b c b a a c
b a
b a
c b a
b a c
b a c
b a
b a c
b a b
a
4 4
) (
9 4
4 9
4 4 ) 4 4 ( 4
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
) (
25
121 4
4
) (
9
2
c b a c
b a
b c b a a cyc
+ +
≤ + +
+ + +
∑
Ta có
) 4 4 )(
4 4 )(
4 4 ( 25
6 6
11 163
) 4 4 )(
4 4 )(
4 4 ( 25
10920 725
1975 3003
163
2 3
2 2 4
2 3
3 2
2 4
b a c a c b c b a
A bc a b
a b
a a
b a c a c b c b a
bc a b
a ab
b a a
VT VP
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
+ + +
+ +
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
− +
=
+ + +
+ +
+
+
− +
+
=
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
trong đó
0 11898
253 1975
cyc cyc
cyc cyc
bc a b
a ab
b a A
Ta chứng minh
0 6
6
∑
cyc cyc
cyc cyc
bc a b
a b
a a
0 6
2 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
bc a b a bc
a b
a b
a a
Ta có
∑
∑
cyc cyc
cyc
b a b
a
2 1
Trang 3∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− +
−
=
− +
+ +
−
−
=
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a
b a ca bc ab b
a bc
b a bc bc
a c b bc
a b a
) 2 )(
(
) )(
( ) (
3
) (
3 3
3
2 2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
3
∑
∑
∑ ⎟⎟= + −
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc cyc
cyc
bc ac ab bc
a b
a2 2 2 ( 2 )2 6
Do đó bất đẳng thức tương đương
0 ) 2 )(
( 2 ) 2 (
2 ) (
2
≥
− +
−
−
− + +
∑
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a bc
ac ab b
a
0 ) 4 2 2 (
2
≥ +
−
−
−
cyc
bc ac ab b
a
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Đẳng thức không xảy ra
Bài 3.(Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số không âm a , c b, , chứng minh rằng
2 2
2 2
2 2
4
3 4 4
b
Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+ +
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
cyc cyc
cyc
c b a c
b a c
b a
c b a c
b a a c
b a
5 3
) 4 ( )
( 3 5 3
) 4 ( )
5 3
( 4
2 2 2
2 2 2
2 2
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
2 2
2
) (
16
3 5 3
) 4 (
c b a c
b a
c b a cyc
+ +
≤ + +
+
∑
0 410
18 306
536 69
165
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
c b a b
a b
a bc
a ab
b a a
Không mất tính tổng quát, giả sử c=min{a,b,c}, bất đẳng thức tương đương với
0 )
18 306
69 165
45 45
( a5 + b5 + a4b+ ab4 − a3b2 − a2b3 + Ac≥
0 )
)(
3 10 15
)(
5 (
Trong đó
Trang 44 3
2 2 3
4
3 2
2 3
2 2 2
3 4
45 69
18 306
165
) 165 436
410 536
( ) 306 410
410 ( ) 18 536 ( 69
c bc
c b c b b
a c bc
c b b
a c bc
b a
c b a
A
+ +
−
− +
+ +
− +
+ +
−
− +
=
Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{ , , , min a b c
0 : 1 : 1 :
:b c=
a
Bài 4
Cho các số dương a ,,b c, chứng minh
2 3
3
4 3
3
4 3
3
a c
c c
b
b b
a
+
+ +
+ +
Giải
Bổ đề
2 2 2 2 3
3
3
1
c b a ca
bc
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
2 3 3 3 3
3 2 3
3
4
) (
)
a b
a
a
cyc cyc
+ +
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
Ta phải chứng minh
) )(
( ) (
2 a3 +b3 +c3 2 ≥ a+b+c a5 +b5 +c5 +a2b3 +b2c3+c2a3
Ta có
) (
) (
3 1
) (
) (
) (
)) (
(
) (
) )(
(
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
2 2 2 2
2 2 3
2 3 2 3
2
c b a abc a
c c b b a c
b a c
b a
ca bc ab
c b a abc a
c c b b a ca bc ab c b a
ca bc ab
ca bc ab c b a abc
c b a abc a
c c b b a ca bc ab c b a
ca bc ab
ca bc ab c b a abc ca
bc ab ca bc ab a
c c b b
a
+ +
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+ +
+ +
≤
+ +
− +
+ +
+ + +
+
+ +
=
+ + + + +
−
+ + +
+ +
+ + + +
+
+ +
=
+ + + + +
− + + +
+
= +
+
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
) )(
(
) (
3
1 ) (
) )(
( ) (
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5
5 5 2
3 3 3
c b a c b a abc
a c c b b a c
b a ca bc ab c
b a c b a c
b
a
+ + +
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
+ + + + + +
+
≥ + +
Trang 5Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho a+b+c=1, đặt , (0 1)
3
1 2
≤
≤
=
− + +bc ca q r abc q
27
) 2 1 ( ) 1 ( 27
) 2
1
(
)
1
r q
−
Bất đẳng thức tương đương
0 ) 5 39 108
7 ( 27
1 ) 1 ( 3 ) ) 4 28 ( 54 ( r2 + q2 − r − −q2 r+ q6 + q4 − q2 + ≥
Rõ ràng f(r)=54r2 +(28q2 −4)r là hàm đồng biến theo r nên ta có
0 27
) ) 3 1 ( ) 24 26 15
( ( ) 5 39 108
7 ( 27 1
27
) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 27
) 2 1 ( ) 1 ( ) 4 28 ( 27
) 2 1 ( ) 1 ( 54
2 2
2 2 2
4 6
2 2
2 2
2 2
≥
− + +
−
= +
− +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
≥
q q
q q q q
q q
q q
q q
q q
q q
VT
Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 5.(Phan Thành Nam)
Cho các số không âm a ,,b c có tổng bằng Đặt 1 ,
2
3
1−
=
k chứng minh rằng
3 ) ( )
( )
a Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
− + +
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
− +
⋅ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
∑
∑
∑
∑
∑
∑
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
a
c b a
a
a
c b k a a
a
c b k a a
c b k a
3 1
) ( 2
3 2 3 1 1
3
3 1
) ( 3
1 3
1
) ( 3
1 )
(
2
2
2 2 2
2
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
3 1
) ( 2
3 2 3 1 1
3
2
≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
− + +
cyc
c b a
a
Trang 6Đặt q=ab+bc+ca≤ ,r =abc
3
1
thì ta có
3
0≤r≤ q2 Bất đẳng thức tương đương với
9 + r−q q+ ≤
Ta có
9 + r−q q+ ≤ + q2 −q q+ =q q− ≤ Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=
=
=b c
a hoặc a=1,b=c=0 và các hoán vị
Bài 6.(Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương a , c b, , chứng minh rằng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+ +
+ +
≤ +
+ +
+
a
1 1
1 2 1
1 1
2 2
2
Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+ +
+ +
+ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+ +
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ +
⋅ +
+ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∑
∑
∑
∑
∑
3 ) ( )
)(
)(
(
) (
2
) )(
(
1 )
)(
( )
)(
(
1 )
)(
( 1
2
2
2 2
2 2
cyc
cyc cyc
cyc cyc
bc a
c b a a
c c b b a
c b a
c a b a bc
a
c a b a c
a b a bc
a
c a b a bc
a
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
2 2
1 3
) ( )
)(
)(
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+ +
+ +
+
cyc
c b a a
c c b b a
c b a
) )(
)(
)(
(
) 3 3 3 (
3 )
ca bc ab c
b a bc
a
c b a
+ + + + +
≤ + +
+
⇔∑
) )(
)(
)(
( 3 )
a c c b b a c b a bc
a
c b a
−
−
− + +
≤
− +
+
⇔∑
0 ) )(
(
1 1
) )(
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
−
−
⇔∑
cyc a b a c a bc b c a b c
Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c, khi đó ta có − ≥ (b−c)≥0
b
a c
Trang 70 ) )(
)(
)(
)(
(
) )(
)(
( ) (
) )(
(
1 1
) )(
(
1 1
) )(
(
) )(
(
1 1
) )(
(
2 2
2 2 2
2 2
2
≥ + + + + +
+
+ +
− +
− +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
−
−
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+ +
−
−
∑
c b a c b c a ca b bc a b
bc ac ab b a c b b a b a c
c b a a c ca b
b c b a c b bc a
a b
c b b a
c b a c b bc a c a b a
cyc
Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
III Bài tập tự giải
Bài 1.(Nguyễn Việt Anh)
Cho các số dương a , c b, , chứng minh rằng
3 2
2 2 2
2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
≥ +
−
+ +
−
+ +
−
Hướng dẫn
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
2 2 3
2 2
2 2
2
3
) )(
2 2
( 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∑
cyc cyc
cyc cyc
ab a
a c b ab a a b
ab a a
Cuối cùng ta chứng minh
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
cyc cyc cyc
cyc
a c b ab a a a ab
2 2
3
Bài 2 (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương a , c b, , chứng minh rằng
2 2
2 2
2 2
Hướng dẫn
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
cyc cyc
cyc cyc
c b a a
c b a
c b a c
b a
a c
b a
2 100 51
) 8
( 51
2 100 51
) 8
( )
2 100 51 ( 8
2 2 2
2 2 2
2 2
Ta chỉ cần chứng minh
2 2
2
) (
2 100 51
) 8
(
c b a
c b a cyc
+ +
≤ + +
+
∑
Trang 8Phần 2 Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder
I Tổng quan về bất đẳng thức Holder
II Các bài toán áp dụng
Bài 1.(Phan Thành Việt)
Cho các số không âm x ,,y z có tổng bằng , chứng minh rằng 3
3 1
1
+ +
+ + +
+ +
z zx
z
y yz
y x
Giải
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
6
3 3
2
2
) (
8 ) 3 2
( )
3 2
)(
1 (
x
cyc cyc
cyc
+ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∑
Do đó ta chỉ cần chứng minh
≥ + +
cyc
z y x yz y x z
y
( 8
≥ + +
⇔
cyc
z y x yz z y x y z
y x x z
y
( 8
Ta có
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
−
−
+ +
+ +
+
= + +
−
cyc cyc
cyc
cyc cyc
cyc cyc
z y x z
y x yz
x
z y x y
x y
x y
x y
x xy z
y x
VP VT
3 2 2
3 4
2 2 2 3
3 2
4 4
2 4
4
97 93
24
261 54
39 26
) (
4
Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được
∑
∑
∑
∑
∑
∑
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
z y x z
y x yz
x z
y x y
x y
x y
x y
x
4
Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 hoặc x=3,y=z=0 và các hoán vị
Bài 2.(Lê Hữu Điền Khuê)
Cho các số dương a ,,b c, chứng minh bất đẳng thức
1 7
7
2 2
2
2 2
2
2
≥ + +
+ + +
+ +
c c
bc b
b b
ab a
a Giải
Trang 9Đặt
c
a z b
c y
a
b
x= , = , = thì ta có x,y,z > xyz0, =1 Khi đó, bất đẳng thức trở thành
1 1 7
1 1
7
1 1
7
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
x
Do x,y,z > xyz0, =1 nên tồn tại các số dương m ,,n p sao cho , , 4 ,
2 2 4
2 2 4
2 2
p
n m z n
m p y m
p n
minh
1
7 4 2 2 4 4 8
4
≥ +
+
∑
cyc m m n p n p
m
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
3 3 3 3 4
4 2 2 4 8 2
4 4 2 2 4 8
4
) (
) 7
(
m
m
cyc cyc
+ +
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑
Như thế, ta chỉ cần chứng minh
≥ +
+
cyc
p n p n m m m p
n
0 ) (
) 7
2 5
( 6 3 + 3 3 3 − 5 2 2 + 6 3 − 4 4 ≥
sym sym
p n m n m p
n m p n m n m
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc các số thỏa
c
b
c
b b
a
, và các hoán vị
Bài 3.(Phan Thành Việt)
Cho các số dương a ,,b ccó tổng bằng 3, chứng minh rằng
2
3 3 3
3 2
2
3 2
2
3
≥ +
+ +
+
c c
b
b b
a a
Giải
Bổ đề
∑
=
−
−
−
≥
− + +
cyc cyc
b a b
a a
c c b b a c
b a c b
a6 6 6 3 2 2 2 4( 2 2)( 2 2)( 2 2) 4 2 4 4 4 2
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
3 2
3 2
2
2 3
) )(
3
⎜⎜
⎛
+ +
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
∑
∑
∑
Trang 10Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
∑
∑
∑ ⎟⎟ ≥ + +
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
cyc cyc
cyc
c a b a ab
3
4 9
∑
∑
∑ ⎟⎟ ≥ + + + +
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⇔
cyc cyc
cyc
c a b a c b a ab
3
4
0 78
6 12
27 2
3 12
⇔∑a ∑a b ∑a b ∑a b ∑a b ∑a bc ∑a b c ∑a b c a b c
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng
0 75
6 12
27 2
8
9∑a5b+ ∑a4b2 +∑a2b4 − ∑a3b3 + ∑a4bc− ∑a2b3c− ∑a3b2c− a2b2c2 ≥
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
0
2 3 3 4
2 2
∑
cyc cyc
cyc
b a b
a b
a
0 75
6 12
27 7
9∑a5b+ ∑a4b2 + ∑a4bc− ∑a2b3c− ∑a3b2c− a2b2c2 ≥
cyc cyc
cyc cyc
cyc
Bất đẳng thức được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Trang 11Phần 3 Các bài toán về kỹ thuật bình phương
I Các bài toán mẫu
Bài 1.(Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực a ,,b c thì
) (
3 ) (a2 +b2 +c2 2 ≥ a3b+b3c+c3a Giải
Viết lại bất đẳng thức như sau
0 3
2 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
bc a b a bc
a b
a b
a a
Chú ý rằng
∑
∑
cyc cyc
cyc
b a b
a
2 1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− +
−
=
− +
+ +
−
−
=
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a
b a ca bc ab b
a bc
b a bc bc
a c b bc
a b a
) 2 )(
(
) )(
( ) (
3
) (
3 3
3
2 2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
3
∑
∑
∑ ⎟⎟= + −
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc cyc
cyc
bc ac ab bc
a b
) 2 (
2
1 3
Nên bất đẳng thức tương đương
0 ) 2 )(
( )
2 (
2
1 ) (
2
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a bc
ac ab b
a
0 ) 2 (
2
cyc
bc ac ab b a
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm
Bài 2.(Võ Quốc Bá Cẩn)
Với mọi số thực a ,,b c thì
4 4
Giải
Viết lại bất đẳng thức như sau
Trang 122 2
2 2
2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∑
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
bc a b a bc
a b
a b
a a
Chú ý rằng
∑
∑
cyc cyc
cyc
b a b
a
2 1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− +
−
=
− +
+ +
−
−
=
−
−
=
−
=
−
cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a
b a ca bc ab b
a bc
b a bc bc
a c b bc a b a
) 2 )(
( 3 1
) )(
( 3
1 ) (
) (
2 2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
3
∑
∑
cyc cyc
cyc
bc ac ab bc
a b
6 1 Nên bất đẳng thức tương đương
0 ) 2 )(
( 3
1 ) 2 (
6
1 ) (
2
≥
− +
−
−
− + +
∑
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a bc
ac ab b
a
0 ) 2 (
3
1 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
−
−
cyc
bc ac ab b
a
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm
Bài 3.(Phạm Văn Thuận)
Cho các số thực a , c b, , chứng minh rằng
0 ) (
10 ) (
7 a4 +b4 +c4 + a3b+b3c+c3a ≥
Giải
Ta chứng minh kết quả mạnh hơn
4 3
3 3 4
4
27
17 ) (
10 ) (
7 a +b +c + a b+b c+c a ≥ a+b+c
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương
0 102
51 34
101
86∑ 4 + ∑ 3 − ∑ 3 − ∑ 2 2 − ∑ 2 ≥
cyc cyc
cyc cyc
cyc
bc a b
a ab
b a a
0 35
34 101
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
bc a b
a bc
a ab
bc a b a b
a a
Trang 13∑
cyc cyc
cyc
b a b
a
2 1
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− +
−
=
− +
+ +
−
−
=
−
−
=
−
=
−
cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc
bc ac ab b a
b a ca bc ab b
a bc
b a bc bc
a c b bc a b a
) 2 )(
( 3 1
) )(
( 3
1 ) (
) (
2 2
2 2 2
2
2 2 2
3 2
3
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
− +
−
−
=
− +
+
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
cyc cyc
ca bc ab b a
b a ca bc ab b
a ca
b a ca a
c bc bc
a bc
bc a ab
) 2 )(
( 3 1
) )(
( 3
1 ) (
) (
) (
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
3 2
3
) 56 11 45
)(
( 34
cyc cyc
cyc cyc
cyc
− +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∑
∑
cyc cyc
cyc
bc ca
ab bc
a b
5282 1
Do đó, bất đẳng thức tương đương với
0 ) 56 11 45
( 5282
35 ) 56 11
45 )(
( )
(
cyc cyc
cyc
bc ca
ab bc
ca ab b
a b
a
0 ) 56 11 45
( 454252 369
) 56 11 45
( 172
1 ) 56 11 45
)(
( ) (
43
2
2 2
2 2 2 2
≥
− + +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⇔
∑
∑
cyc
cyc
bc ca
ab
bc ca
ab bc
ca ab b
a b
a
0 ) ( 172
369 )
56 11 45
) (
86 ( 172
cyc cyc
b a c bc
ca ab b
a
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0
II Bài tập tự giải
Bài 1.(Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực a ,,b c