Trong mỗi số hạng của khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ của a và b bằng n. +Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau.[r]
(1)19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
PHẦN 1
CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1/Định nghĩa
0
A B A B
A B A B
2/Tính chất
+ A>B B A
+ A>B B >C A C + A>B A+C >B + C
+ A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C
+ < A < B < C <D < A.C < B.D + A > B > An > Bn n
+ A > B An > Bn với n lẻ
+ A > B An > Bn với n chẵn
+ m > n > A > Am > An
+ m > n > <A < Am < An
+A < B A.B > B A
1
3/Một số bất đẳng thức
+ A2 với A ( dấu = xảy A = ) + An vớiA ( dấu = xảy A = )
+ A 0 với A (dấu = xảy A = )
(2)+ A B A B ( dấu = xảy A.B > 0)
+ A B A B ( dấu = xảy A.B < 0)
PHẦN II
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M2 với M
Ví dụ x, y, z chứng minh :
a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz c) x2 + y2 + z2+3 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu : x2 + y2 + z2- xy – yz – zx =
.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)
=
1
0 ) ( ) ( )
( 2
y x z y z
x với x;y;zR
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 0 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 0 với z; y Dấu xảy z=y
Vậy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2- 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0 với x;y;zR
Vậy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz với x;y;zR Dấu xảy x+y=z
c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2+3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + + y2 -2y +1 + z2-2z +1 = (x-1)2+ (y-1) 2+(z-1)2 Dấu(=)xảy x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh :
a)
2
2
2
2
b a b
a ; b) 2 2
3
3
b c a b c
(3)Giải:
a) Ta xét hiệu
2
2
2
2
b a b
a
=
4
2a2 b2 a2 ab b2
=
2a 2b a b 2ab
1 2 2
=
4 b a Vậy 2 2
2
b a b
a . Dấu xảy a=b
b)Ta xét hiệu
2 2
3
b c a b c
a =
09
1 2
b b c c a
a Vậy 2 2
3
b c a b c a
Dấu xảy a = b =c
c)Tổng quát 2 2 2
1
n a a a n a a
a n n
Tóm lại bước để chứng minh AB theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2
Bước 3:Kết luận A B
Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m2+ n2+ p2+ q2+1 m(n+p+q+1) Giải: 4 4 2 2 2
m mn n m mp p m mq q m m
0 2 2 2 2
m n m p m q m (luôn đúng)
Dấu xảy
2 2 m q m p m n m 2 2 m m q m p m n q p n m
Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có :a4 b4 c4 abc(a b c)
Giải: Ta có : a4 b4 c4 abc(a b c)
(4)
0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 ac ab ac bc bc ab a c c b b a ab a a c b a ab c a c c b ac b c b b a a c c b b a ab c ac b bc a c a a c c b c b b a b a ab c ac b bc a c b a ab c ac b bc a c b a
Đúng với a, b, c
Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh
Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B
Chú ý đẳng thức sau:
2 2 2AB B AB
A
A B C
2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC
3 2 33A B AB B A
B
A
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh rằng
a) a b ab
2
b) a2 b2 1abab
c) a2 b2 c2 d2 e2 a
bcde
Giải:
a) a b ab
2
2 4a2 b2 4ab
4a2 4ab2 0
2a b
2 0(BĐT đúng) Vậya b ab
2
2 (dấu xảy 2a=b)
b) a2 b2 1abab 2(a2 b2 1
2(abab) a2 2abb2 a2 2a1b2 2b10( )2 ( 1)2 ( 1)2
(5)Vậy a2 b2 1abab Dấu xảy a=b=1
c) a2 b2 c2 d2 e2 a
bcd e
4
a2 b2 c2 d2 e2
4a
bcde
4 2
4 2
4 2
4 2
ab b a ac c a ad d a ac c
a
a 2b
2
a 2c
2
a 2d
2
a 2c
2 0Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a10 b10
a2 b2
a8 b8
a4 b4
Giải:
a10 b10
a2 b2
a8 b8
a4 b4
a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12
2
2
8
2
b a b b a a
b
a a2b2(a2-b2)(a6-b6)
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 xy Chứng minh y x
y x
2
2 2
Giải: y x
y x
2
2 :xy nên x- y x2+y2 2( x-y)
x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0
x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- 2)2 Điều ln ln Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)=9 2
y xy y y
x x,yR
b/ a2 b2 c2 a b c (gợi ý :bình phương vế)
c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
z y x z y x
z y x
1
1
Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(1x 1y1z)=x+y+z - (111) z y
x (vì x y z
1 1
(6) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương
Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn
Ví dụ 5: Chứng minh : 1 2
c a
c c b
b b a
a
Giải:
Ta có : 1 (1)
c b a
a b a
a c b a b a c b a b a
Tương tự ta có : (2)
c b a
b c
b b
, a b c (3)
c c
a c
Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta :
1
a c
c c b
b b a
a
(*)
Ta có : (4)
c b a
c a b a
a b a a
Tương tự : (5)
c b a
b a c b
b
, a b c (6)
b c a c
c
Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta :
2
a c
c c b
b b a
a
(**)
Từ (*) (**) , ta : 2
c a
c c b
b b a
a
(đpcm)
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức:
a) x2 y2 2xy
b) x2 y2 xy dấu( = ) x = y =
c)
xy
2 4xyd) 2 a b b a
Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh
(a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
xy
2 4xy (7)
a b
2
b c
2
c a
2 64a2b2c2
8abc
2 (a+b)(b+c)(c+a)8abc Dấu “=” xảy a = b = cPhương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy
Kiến thức:
a/ Với hai số khơng âm : a, b 0, ta có: ab2 ab Dấu “=” xảy a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
n n n
n
n n
n a a
a a a a
a a a n a a
a
2
1
2
1
Dấu “=” xảy a1 a2 an
Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm.
Ví dụ : Giải phương trình :
2
2
4
2
x x
x
x x
x x
Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt
,,
0
4
2
ba
b
a
x x
Khi phương trình có dạng : 1 1 23
a a b
b b
a
Vế trái phương trình:
1 1
1 1 3
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
a b a b a b a b
b a a b b a a b
a b b a a b
b a a b b a a b
3
1
1
2
3
3
b a b a b a b a
Vậy phương trình tương đương với :
0
4 1
1
b a b a b x
a x x .
Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = 1 1 1
z z y
y x
(8)Giải : P = 3- ( 11 11 11
y z
x ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c >
3 1 3 1 1 1
3
a b c abc a b c
a b c abc a b c a b c a b c
Suy Q = 11 11 11
y z
x
9
-Q
nên P = – Q
3-4
=43
Vậy max P =43 x = y = z = 31
Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng:
abc c b a ab c ac b bc
a
1
1
2
2
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :
ac ab bc
a bc a
bc a bc
a 1
2 1
2 2
2
Tương tự :
2
2 2
2 1 1 1 1
2
2 2
2
b ac b ac bc ab c ab c ab ac bc
a b c
a bc b ac c ab abc
Dấu “=” xảy a = b = c
Ví dụ : CMR tam giác ABC : 3
a b c
c b a c
b a c b
a
(*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
) ( ) )(
)( (
33
c b a b a c a c b
abc c
b a
c b
a c
b a
c b
a
Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
) ( ) (
2 ) )(
(bc a ca b bc aca b c
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với
) ( ) )(
)( (
) )(
)( (
c b a b a c a c b
abc
abc c
b a b a c a c b
Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC
(9)Cho
z
y
x
c
b
a
,
,
0
0
Chứng minh rằng: 2 2
4ac x y z
c a c z b y a x cz
by
Giải: Đặt ( ) ( )
x a c x ac
x
f có nghiệm a,c
Mà: ( ) ( )
b c f b b a cb ac
a
a cx y z c z b y a x ac zc yb xa z c a y c a x c a c z ac zc b y ac yb a x ac xa y c a b y ac yb c a b ac b ) ( ) ( ) (
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
( ) 4 2 2 đpcm z y x ac c a c z b y a x ac zc yb xa z y x c a c z b y a x ac zc yb xa z y x c a c z b y a x ac zc yb xa
Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức:
Cho 2n số thực (n2): a1,a2, an,b1,b2, ,bn Ta có:
) )( ( )
( 2
2 2 2 2 2
1b a b anbn a a an b b bn
a
Dấu “=” xảy
n n b a b a b a 2 1 Hay n n a b a b a b 2 1
(Quy ước : mẫu = tử = )
Chứng minh: Đặt 2 2 2 2 n n b b b b a a a a
Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức Nếu a,b > 0:
Đặt: i n
b b a a i i i
i , 1,2,
, Thế thì: 22
2 2 2
1 n n
(10)Mặt khác:
2
2
i i i
i
Suy ra:
b a b a b
a b
a n n
n n
n n
1 ) (
2 ) (
2
2 1
2
2 2
2 2
2 1
Lại có: a1b1a2b2 anbn a1b1 a2b2 anbn
Suy ra: ( ) ( )( 2)
2 2
2 2
2
1b a b anbn a a an b b bn
a
Dấu”=” xảy
n n
n n i i
b a b
a b a dáu cùng
n i
, , ,
2 1
1
Ví dụ :
Chứng minh rằng: x R , ta có:
8 cos
sin8
x
x
Giải: Ta có: sin2xcos2x1,xR Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2 4 2
2
4 4
1 sin cos sin cos 1
1
sin cos sin cos
2
x x x x
x x x x
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa:
4
2
8
2
4
1 1
sin cos sin cos 1 sin cos
4 x x x x x x
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của:
A C C
B B
A
P 1tan tan 1tan tan 1tan tan
Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m số, số gồm n số không âm: (ai,bi, ,ci)(i 1,2, ,m)
Thế thì:
) )(
)(
(
)
( 1 1 1 2 2 2
2
1
1
m m m
m m m m m
m m m
m m
m
m bb b cc c a b c a b c a b c
a a
a
Dấu”=” xảy bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m ti cho: i
i i
i i
ia b tb c tc
t
a , , , , Hay a1:b1: :c1 a2 :b2: :c2 an :bn : cn
Ví dụ 1: Cho
2 ,
3 2
2
n Z n
a a
a n
Chứng minh rằng:
1
2
n a a
(11)Giải:
*
N k
ta có:
2
1
4 1
2
k k k
k
2
2 2
1 1
1
2
1 1 1 1 1 1
3 5 1
2 3
2 2 2
2 2
k k k
n n n n
Do theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
2 3
1
1
1
2 2
2
2 2
1
n a
a a n
a a
a
n
n (đpcm)
Ví dụ 2: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng:
(a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd a2 b2. c2 d2
mà
a c
2
b d
2 a2 b2 2
ac bd
c2 d2
a2 b2
2 a2 b2 c2 d2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 a2 b2 c2 d2
Ví dụ 3: Chứng minh : a2 b2 c2 abbcac
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có
12 12 12
(a2 b2 c2)
1.a 1.b 1.c
2
3
a2 b2 c2
a2 b2 c2 2
abbcac
a2 b2 c2 abbcac Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức:
a)Nếu
n n
b
b
b
a
a
a
2
2
n
b a b
a b a n
b b
b n
a a
a n n n n
1 2 1 1 2 2
2
1 .
Dấu ‘=’ xảy khi
n n
b b
b
a a
a
2
(12)b)Nếu
n nb
b
b
a
a
a
2 n b a b a b a n b b b n a a
a n n n n
1 2
2
Dấu ‘=’ xảy khi n n b b b a a a 2
Ví dụ 1: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn bán kính R =
sin sin sin sin sin sin sin sin sin S C B A C C B B a A
S diện tích tan giác chứng minh ABC tam giác
Giải: Khơng giảm tính tổng qt ta giả sư
0ABC Suy ra:
C
B
a
C
B
A
2
sin
2
sin
2
sin
sin
sin
sin
Áp dụng BĐT trebusep ta được:
) sin sin (sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin C B A C B A C C B B A A C C B B A A C B A C B A
Dấu ‘=’ xảy ABC dêu
C B A C B A sin sin sin sin sin sin Mặt khác: ) ( sin sin ) sin )( sin ( sin sin sin sin sin sin ) cos( ) cos( sin cos ) cos( sin 2 sin ) cos( ) sin( 2 sin sin sin S C b a C B R A R C B A B A C B A B A C C B A C C B A B A C B A
Thay (2) vào (1) ta có
sin sin sin sin sin sin sin sin sin S C B A C C B B a A
Dấu ‘=’ xảy ABC
(13)a/ Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: 11 9 c b
a
b/ Cho x,y,z>0 x+y+z=1 CMR:x+2y+z4(1 x)(1 y)(1 z)
c/ Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:
2
a b
c a c
b c b
a
d)Cho x0,y0 thỏa mãn x y 1 ;CMR: x+y
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 2 b c
a Chứng minh
3 3 1
2
a b c
b c a c a b Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc
b a
c c a
b c b
a a b c 2
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a b
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
a
3
2 2
2
2 =
2
=
Vậy
2 3
3
a b
c c a
b c b
a Dấu xảy a=b=c=
3
Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 abcd =1 .Chứng minh :
102 2
b c d ab c bc d d c a a
Giải: Ta có a2 b2 2ab
c2 d2 2cd
Do abcd =1 nên cd =
ab
(dùng
2 1
x
x )
Ta có 2 2( ) 2( )
ab ab cd
ab c
b
a (1)
Mặt khác: a
bc
b
cd
d
ca
= (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)= 1 222
bc bc ac
ac ab
ab
(14)Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a-1,
1
n
Z an na
1 Dấu ‘=’ xảy
chỉ khi
0
n a
b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1, 1 1a 1na Dấu xảy a = - cho a1,0 1 1a 1na Dấu xảy va khi
1
a
Ví dụ : Chứng minh ab ba 1,a,b0
Giải
- Nếu a 1 hay b1 BĐT ln
- Nếu < a,b <
Áp dụng BĐT Bernouli:
1
1
1
b b
b
b a
a a b a
a
a a a a a b
Chứng minh tương tự:ba abb
Suy abba 1 (đpcm) Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh
5
5
3
3
b c a b c
a (1)
Giải
1 3 3
5
5
c b a
c c
b a
b c
b a
a
Áp dụng BĐT Bernouli:
c b a
a c b c
b a
a c b c
b a
a
2
1
3 5 (2)
Chứng minh tương tự ta đuợc:
c b a
b a c c
b a
b
2
1
(15) c b a c b a c b a c 5 (4)
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
3
3 5
c b a c c b a b c b a a (đpcm)
Chú ý: ta có tốn tổng qt sau đây: “Cho a1,a2, an 0;r 1.Chứng minh
r n r n r r n a a a n a a a
2
1
Dấu ‘=’ a1 a2 an.(chứng minh tương tự trên)
Ví dụ 3: Cho 0x,y,z 1 Chứng minh
81 2 22x y z x y z Giải
Đặt a2x,b2y,c2z 1a,b,c2
) ( 2 2 a a a a a a a
Chứng minh tương tự:
) ( ) ( c c b b
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta
) ( 1 ) ( 81 1 2 1 đpcm c b a c b a c b a c b a c b a c b a côsi
Chú ý: Bài toán tổng quát dạng “ Cho n số x1,x2, ,xna,b,c1
Ta ln có:
x x x
x x x
a a bb
c c c n c c c c c
c n n
2
(16)Kiến thức: A>B B>C A>C
Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh ab >ad+bc Giải:
Tacó
d c b
d c a
0 c d b
d c a
(a-c)(b-d) > cd
ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3 2
b c
a Chứng minh
abc c b a
1 1
Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc)
ac+bc-ab
( a2+b2+c2)
ac+bc-ab
Chia hai vế cho abc > ta có
c b a
1 1
abc
Ví dụ 3: Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nên 1- c >0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4: Cho <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
Giải:
Do a < 1
a
Ta có
1 a2
.
1 b
0 1-b-a2+a2b > 0 1+a2 b2 > a2 + b mà 0< a,b <1 a2 > a3, b2 > b3Từ (1) (2) 1+a2b2> a3+b3 Vậy a3+b3 < 1+a2b2 Tương tự b3+c3 1 b2c
; c3+a3 c2a
Cộng bất đẳng thức ta có :2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
Ví dụ Chứng minh : Nếu 2 2 1998 b c d
(17)Giải:
Ta có (ac + bd)2 + (ad – bc )2 = a2c2 + b2d2 2abcd a2d
b2c2-2abcd= = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
rõ ràng (ac+bd)2
2
2 1998
bd ad bc
ac acbd 1998
Ví dụ (HS tự giải) :
a/ Cho số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1
c hứng minh : a2 +
2 2003
3
2 a a
a
2003
b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1
Chứng minh rằng: (1 1).(1 1).(11)8 c
b a
Phương pháp 9: Dùng tính chất tỷ số Kiến thức
1) Cho a, b ,c số dương
a – Nếu 1 b a
c b
c a b a
b – Nếu 1 b a
c b
c a b a
2) Nếu b,d >0 từ
d c d b
c a b a d c b a
`
Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh
2
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
Giải: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có
d c b a
d a c
b a
a c
b a
a
(1)
Mặt khác :
d c b a
a c
b a
a
(2)
Từ (1) (2) ta có \
a
(18)Tương tự ta có
d c b a
a b d
c b
b d
c b a
b
(4)
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
(5)
d c b a
c d b
a d
d d
c b a
d
(6)
cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có
2
1
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
điều phải chứng minh
Ví dụ :Cho: b a
<
d c
b,d > Chứng minh
b a
<
d c d b
cd ab
2
Giải: Từ b a
<
d c
2 d
cd b ab
d c d cd d
b cd ab b ab
2 2 2
2
Vậy
b a
<
d c d b
cd ab
2
2 điều phải chứng minh
Ví dụ : Cho a;b;c;dlà số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn
d b c a
Giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử : c a
d b
Từ : c a
d b
d b d c
b a c a
1 c a
a+b = c+d
a/ Nếu :b 998 d b
998
d b c a
999
b/Nếu: b=998 a=1 d b c a
= d c
999
Đạt giá trị lớn d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn
d b c a
=999+ 999
1
khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức:
(19)(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1u2 un
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau:
uk ak ak1
Khi :S =
a1 a2
a2 a3
an an1
a1 an1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 unBiến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau: uk=
1
k k
a a
Khi P =
1 1
2
1.
n n
n
a a a
a a a a a
Ví dụ 1: Với số tự nhiên n >1 chứng minh
4 1
n n n
n
Giải: Ta có
n n n k
n
1 1
với k = 1,2,3,…,n-1 Do đó:
2 2
1
1
1 1
n
n n n
n n
n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2
1
1
1 n
n Với n số nguyên
Giải: Ta có
k k
k k k
k 1 2 1
2
Khi cho k chạy từ đến n ta có
1 > 2
1
2
2
1
………
n n
n 2 1Cộng vế bất đẳng thức ta có 2
1
1
1 n n
Ví dụ 3: Chứng minh 2
n
k k
(20)Giải: Ta có k12 k
k1 1
k11 k1 Cho k chạy từ đến n ta có
2
2 2
1
1
2
1 1 3
1 1 1
1
n n n n
Vậy 2
n
k k
Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức tam giác
Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác : a;b;c>
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ 1: Cho a;b;c số đo ba cạnh tam giác chứng minh
1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
1/Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có
b a c
c a b
c b a
0 0
) (
) (
) (
2 2
b a c c
c a b b
c b a a
Cộng vế bất đẳng thức ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
2/ Ta có a > b-c a2 a2 (b c)2
>
b > a-c b2 b2 (c a)2
>
c > a-b 2 ( )2 c a b c
(21)MN MK
H y
a b c
b c a
c a b
abc
b a c a c b c b a c b a
b a c a c b c b a c b a
2
2
2
2
2
2
2 2
Ví dụ2 (HS tự giải)
1/ Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác
Chứng minh ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)
2/Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 2 2
b c abc a
Phương pháp 12: Sử dụng hình học tọa độ Ví dụ 1:
Chứng minh : c(a c) c(b c) ab ,ab0 b c
Giải
Trong mặt phẳng Oxy, chọn u( c, b c); v( a c, c)
Thì u b, v a; u.v c(a c) c(b c)
Hơn nữa: u.vu.v.cos(u,v)u.v c(a c) c(b c) ab (ĐPCM)
Ví dụ 2:
Cho 2n số: xi;yi, i 1,2, ,n thỏa mãn: 1
1
n
i i n
i
i y
x Chứng minh rằng:
2
1
2
n i
i
i y
x
Giải:
(22)x + y = O
x
Trong mặt phẳng tọa độ, xét: )
, ( 1
1 x y
M : M2(x1x2,y1y2);…;Mn(x1xn,y1yn)
Giả thiết suy
M
n
đường thẳng x + y = Lúc đó:2
1 x y
OM , M1M2 x22 y22 , M2M3 x32y32,…, Mn1Mn xn2yn2
Và OM1M1M2 M2M3
2
1
Mn Mn OMn OH
2
1
2
n i
i
i y
x (ĐPCM)
Phương pháp 13: Đổi biến số
Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh
2
a b
c a c
b c b
a
(1)
Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=
x z y
; b =
y x z
; c =
z y x
ta có (1)
z z y x y
y x z x
x z y
2
2
2
1 1 13 z
y z x y
z y x x
z x y
( )( )( )6 z y y z z x x z y x x y
Bất đẳng thức cuối ( 2; y x x y
2 z x x z
; 2 z y y z
nên ta có điều
phải chứng minh
Ví dụ2:
Cho a,b,c > a+b+c <1 Chứng minh
2
1
1
2
2
bc b ac c ab
a (1)
Giải: Đặt x = a2 2bc
(23)(1) 1119 z y
x Với x+y+z < x ,y,z >
Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: xyz3.3 xyz, và: z y x
1 1
3.3 xyz
1 19
z y x z y
x Mà x+y+z < Vậy 1119 z y
x (đpcm)
Ví dụ3: Cho x0 , y0 thỏa mãn x y 1 CMR
5 y x
Gợi ý: Đặt x u , y v 2u-v =1 S = x+y =u 2 v2 v = 2u-1 thay vào tính S
Bài tập tự giải
1) Cho a > , b > , c > CMR: 25 16 8
a b
c a c
b c b
a
2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR
m n p
m n p
b a
pc a c
nb c b
ma
2
1
Phương pháp 14: Dùng tam thức bậc hai
Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c
Định lí 1:
f(x) > 0,
0
0
(24)
0
0
,0
)(
0
0
,0
)(
0
0
,0
)(
a
x
xf
a
x
xf
a
x
xf
Định lí 2:
Phương trình f(x) = có nghiệm x1x2 a.f
0 Phương trình f(x) = có nghiệm :
2
0
2
S fa x x
Phương trình f(x) = có nghiệm :
2
0
2
S fa x x
Phương trình f(x) = có nghiệm
2
2
f f x
x
x x
Ví dụ 1:Chứng minh f
x,y
x25y2 4xy2x 6y30 (1) Giải: Ta có (1) x2 2x
2y1
5y2 6y30
2 1
2 (25)Ví dụ2: Chứng minh rằng: f
x,y
x2y4 2
x2 2
.y2 4xy x2 4xy3
Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
2
4
x y xy x xy
y
x ( 1)2
1
2
y x y y x y
Ta có 2
1 2
2 2
1
2 16
y y y y y
Vì a =
1
2 y f
x,y
0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức:Để chứng minh bất đẳng thức với n n0ta thực bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức với n n0
- Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
– kết luận BĐT với n n0
Ví dụ1: Chứng minh :
n n
1 2
1
1
2
2 nN; n (1)
Giải: Với n =2 ta có
2
1 (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2
Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1
Thật n =k+1 (1)
1 ) (
1
1
1
2
2
k k
k
Theo giả thiết quy nạp
1 1 ) (
1
1
1
2
2
2
k k
k k
k
k
k kk
1 1
1 )
1 (
1
1
2
2
2 ( 2) ( 1)2
) (
1
k k
k k k
k
k2+2k<k2+2k+1 Điều Vậy bất đẳng
(26)Ví dụ2: Cho n N a+b> Chứng minh
n
b a
2
n
n b
a
(1)
Giải: Ta thấy BĐT (1) với n=1
Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có
(1)
1
2
ab k
2
1
k
k b
a
2
b a b
a k
1
1
k
k b
a
(2)
Vế trái (2)
2
2
1 1
1
k k k k k k k
k b a b a ab a b b a b
a
0
4
1
1
k k k k k
k b a ab a b b
a
ak bk
.
a b
0 (3)Ta chứng minh (3)
(+) Giả sử a b giả thiết cho a -b a b
ak bk bk
ak bk
.
a b
0(+) Giả sử a < b theo giả thiết - a<b ak bk ak bk
ak bk
.
a b
0 Vậy BĐT (3)ln ta có (đpcm)Ví dụ 3: Cho a1 ,1n Chứng minh : (1 a)n 1 n.a
Giải
n=1: bất đẳng thức
n=k (k): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1a)k 1k.a
n= k+1 Ta cần chứng minh: (1 a)k 1 (k 1).a
Ta có: (1 a)k (1 a).(1 a)k (1 a).(1 k.a) 1 (k 1)a k.a2 1 (k 1)a
Bất đẳng thức với n= k+1
V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1 a)n 1 n.a
,n
Ví dụ 4: Cho 1n a1,a2,,an 0 thoả mãn
2
2
1a an
a Chứng minh rằng:
2 ) ( ) )(
(27)Giải n=1:
1
a
2
1 a1 Bài toán đúng
n=k (k): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
2 ) ( ) )(
( a1 a2 ak
n= k+1 Ta cần chứng minh:
2 )
( ) )(
( a1 a2 ak1
Ta có: (1 a1)(1 a2)(1 ak1)(1 a1)(1 a2)(1 ak1)[1 (ak ak1)akak1]
2 )] (
1 )[
( ) )(
( 1 2 1 1
a a ak ak ak (Vì
2 )
( 1
1
1a ak ak ak
a )
Bất đẳng thức với n= k+1
Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1 a1)(1 a2)(1 an)21
Ví dụ 5: Cho 1n, ai,bi R, i 1,2, ,n Chứng minh rằng:
) )(
( )
( 2
2 2
2 2
2
1b a b anbn a a an b b bn
a
Giải n=1: Bất đẳng thức đúng
n=k (k):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
) )(
( )
( 2
2 2
2 2
2
1b a b akbk a a ak b b bk
a
n= k+1 Ta cần chứng minh:
) )(
( )
(
1
2 2
1
2 2 1
2
1b a b akbk a a ak b b bk
a (1)
Thật vậy: 2
1 2
2 2
2
1 )( ) ( )
( )
( a a a b b b a a b
VP k k k +
2
1 2
2
2( ) .
a b b bk ak bk (a1b1 a2b2 akbk)2a1b1ak1bk1 2a2b2ak1bk1
2
1 1
2
akbkak bk ak bk )
(
2
1
ab a b akbk (a1b1a2b2 akbk) ak1bk1 2
1
ak bk
2 1
2
1 )
(
ab a b ak bk
Vậy (1) chứng minh
Ví dụ 6: Cho 1n, ai,bi R,i 1,2, ,n Chứng minh rằng:
n a a
a n
a a
a n n
2
2 2
1 )
(
Giải:
(28)n=k (k):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
k a a
a k
a a
a k k
2
2 2
1 )
(
n= k+1 Ta cần chứng minh:
1 )
1 (
2
2 2
1
k a a
a k
a a
a k k (1)
Đặt:
k a a
a
a 2 3 k 1
) (
1 )
( 2 1
1 k a kaa
a k
VP
k a a
a k a k k
a a
a k a k
k k
2
3 2 2
1
3 2 2
2
) (
1
1
1
2
k a a
a k
Vậy (1) đựơc chứng minh
Ví dụ 7: Chứng minh rằng: ( 1) 1, ,
n n n
nn n
Giải: n=2
3
)1
(
4
1
n n
n
n
( 1) 1
nn n n
n=k2: giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: kk (k1)k1
n= k+1:Ta c ó: ( 1) 1 ( 1) 1( 1) 1
k k k
k k k k
k ( 1)2 2( 1)2 [( 1)2] 1( 1)2
k k k k k k
) ( )
(k2 k k k2 k
(vì (k 1)2 k2 2k 1 k2 2k
)
k k k
k ( 2)
(k 1)k1 (k 2)k Bất đẳng thức với n= k+1
Vậy ( 1) 1, ,
n n n
nn n
Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sinnx nsin x,n,xR
Giải: n=1: Bất đẳng thức đúng
n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sinkx ksinx
n= k+1 Ta cần chứng minh: sin(k1)x (k1)sinx
Ta có:
R
x
x
x
R
b
a
b
a
b
a
,1
cos
,
sin
,
,
Nên: sin(k1)x sinkxcosxcoskxsinx
x kx x
kx.cos cos sin
sin
sinkx..sinx ksinx..sinx (k 1)sinx
Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sinnx nsinx,n,xR
(29)Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức:
1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q”
Muốn chứng minh p q(với p: giả thiết đúng, q: kết luận đúng) phép chứng minh
được thực hiên sau:
Giả sử khơng có q ( q sai) suy điều vơ lý psai Vậy phải có q (hay
q đúng)
Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận
Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q”
B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định suy trái với điều
D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận :
Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > 0
Chứng minh a > , b > , c > Giải:
Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc >
Vì a < mà a(b +c) > b + c <
a < b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c >
Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
ac 2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a2 4b
(30)Giải:
Giả sử bất đẳng thức : a2 4b
, c2 4d cộng vế ta )
(
2 c b d
a (1)
Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2)
Từ (1) (2) a2 c2 2ac
hay
a c
2 0 (vô lý) Vậy bất đẳng thức a2 4b c2 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > xyz = Chứng minh
Nếu x+y+z > 1x1y1z có ba số lớn 1
Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
=x + y + z – (1x1y1z) xyz = theo giả thiết x+y +z >
z y x
1 1
nên (x-1).(y-1).(z-1) >
Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương
Thật ba số dương x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Cịn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y,z lớn
Ví dụ 4: Cho a,b,c0 a.b.c=1 Chứng minh rằng: abc3 (Bất đẳng thức
Cauchy số)
Giải: Giả sử ngược l ại:
3
b c
a (abc)ab3ab a2b b2a cab 3ab
a2b(a2 3a)b10
Xét : ( ) ( )
a b a a b
b f
Có (a2 3a)2 4a
=a4 6a3 9a2 4a a(a3 6a2 9a 4)=a(a 1)2(a 4)0
(Vì
3
0
,,
c
b
a
c
b
a
0a3) f(b)0 vơ lý Vậy: abc3
Ví dụ 5:
Chứng minh không tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3):
c b
a (1)
a c
(31)b a
c (3)
Giải: Giả sử tồn số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó:
c b
a (bc)2 a2 (ab c)(a bc)0 (1’)
a c
b (c a)2 b2 (abc)(ab c)0 (2’)
b a
c (a b)2 c2 (ab c)(abc)0 (3’)
Nhân (1’), (2’) (3’) vế với vế ta được: [( )( )( )]2
a b c a b c a b c
Vơ lý Vậy tốn chứng minh
Phương pháp 17 : Sử dụng biến đổi lượng giác
1 Nếu x Rthì đặt x = Rcos ,
0,
; x = Rsin
2 ,
,
2 Nếu x Rthì đặt x =
cos
R
2 , ,
0
c
3.Nếu 2 2 2, ( 0)
a y b R
x đặt
(,
)2
sin
cos
Rb
y
Ra
x
4 Nếu ,
2
R a b
b y a
x
đặt
(,
)2
sin
cos
bR
y
aR
x
5 Nếu toán xuất biểu thức : 2 2, , 0
b a b
ax
Thì đặt:
2 ,
,
tg a b x
Ví dụ 1: Cmr : 2 3
1 21 2
2, , 1,1
b b a ab b a a b
a
Giải : a 1, b 1
Đặt :
cos
cos
b
a
,
0,
(32)
2 2
1 1
cos sin cos sin cos cos sin sin
sin( ) 3.cos( ) 2cos( ) 2, ( )
a b b a ab b a
dpcm
Ví dụ : Cho a,b 1.Chứng minh :a b 1b a1ab
Giải :
Đặt :
2 , , cos
1 cos
1
2
2
b a
2
2
2 2 2
2 2 2
1 ( cos cos )
1
cos cos cos cos cos cos
1 (sin sin ) sin( ) cos ( ) cos cos cos cos cos cos
tg tg tg tg
a b b a tg tg
in
ab
Ví dụ 3: Cho ab0.Chứng minh : 2
4 ) (
2
2 2 2
2
b a
b a a
Giải :Đặt:
22 , ,
2btg
a
2 2
2
2 2
( ) ( 2)
4( 1).cos
4
2sin 2(1 cos ) 2(sin cos ) 2 sin(2 ) 2 2, 2
2
a a b tg tg
tg
a b tg
Phương pháp 18: Sử dụng khai triển nhị thức Newton. Kiến thức:
Công thức nhị thức Newton
a b
n C a b n N a b Rk
k k n k n n
, *, ,
0
Trong hệ số (0 )
! )! (
!
n k k
k n
n Ck
n
Một số tính chất đặt biệt khai triển nhị thức Newton: + Trong khai triển (a + b)n có n + số hạng.
+ Số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng từ đến n Trong số hạng khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ a b n
(33)k n n k n C C
+ Số hạng thứ k + Ckan k.bk (0 k n)
n
Ví dụ 1:
Chứng minh 1 an 1 na, a 0, n N*
(bất đẳng thức bernoulli)
Giải
Ta có:
a
n C a Cn Cna nak k k n n
1
0
(đpcm)
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
a) , , 0, *
2
2 a b n N
b a b
an n n
b) , , , 0, *
3
3 a bc n N
c b a c b
an n n n
Giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
n b a b a b a C C C C b a a b C b a C b a C b a C b a b a b a b a b a b a n i b a a b C a b b a C a b b a C b a C b a a C a b C a b C b C b a b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i n i i i n n n i i i n i n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( : , , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1b) Đặt
3
a b c
d
Theo câu (a) ta có:
(34)Phương pháp 19: Sử dụng tích phân
Hàm số: f,g:a,b Rliên tục, lúc đó:
* Nếu f(x)0,xa,b
b a
dx x
f( )
* Nếu f(x)g(x),xa,bthì
b a
b a
dx x g dx x
f( ) ( )
* Nếu f(x)g(x),xa,b x0a,b: f(x0)g(x0)thì
b a
b a
dx x g dx x
f( ) ( ) .
*
b a b
a
dx x f dx x
f( ) ( ) .
* Nếu mf(x)M,xa,b
b a
M dx x f a b
m ( ) (m, M số)
Ví dụ 1: Cho A, B, C ba góc tam giác
Chưng minh rằng:
2
2
C tg B tg A tg
Giải:
Đặt , (0, )
2 )
(x tg x x
f
) , ( , )
( 2 ) (
)
( ) (
2 ''
2 '
x x tg x tg x
f
x tg x
f
Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho:
3 2
6 2
6
2 2
3
) ( ) ( ) (
C tg B tg A tg
tg C tg B tg A tg
C B A tg C tg B tg A tg
C B A f C f B f A f
Ví dụ 2: Chứng minh:
6 cos
2 10
2
0
2
x dx
Giải
Trên đoạn
2 ,
(35)
2 2
2
2
2
2
0
0 cos 2cos 2 2cos
1 1
3 2cos
5 2cos
1
0
5 2cos 10 2cos
x x x
x
x
dx dx
đpcm
x x
PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO *Dùng định nghĩa
1) Cho abc = 36
a Chứng minh
2 a
b2+c2> ab+bc+ac
Giải: Ta xét hiệu:
2
a b2+c2- ab- bc – ac =
2 a
12
2
a b2+c2- ab- bc – ac
= (
2 a
b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 12
2 a
3bc =( a
-b- c)2 +
a abc a
12 36
=( a
-b- c)2 +
a abc a
12 36
>0 (vì abc=1 a3 > 36 nên a >0 )
Vậy :
2 a
b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
2) Chứng minh
a) 4 2 ( 1)
y z x xy x z
x
b) với số thực a , b, c ta có
b ab a b
a
c) 2 2
b ab a b
a Giải:
a) Xét hiệu:x4 y4 z2 1 2x2y2 2x2 2xz 2x =
2
22
2 1
y x z x
x = H
H0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái viết H =
a 2b1
2
b 1
2 1 H > ta có đpcmc) vế trái viết H =
1
2
1
2 b b
a H ta có điều phải chứng minh
* Dùng biến đổi tương đương
(36)
22 2
y x
y x
Giải: Ta có 2
2
2 y x y xy x y
x (vì xy = 1)
x2y2
2
x y
44.
x y
24Do BĐT cần chứng minh tương đương với
4
2
28
4 x y x y
y
x
x y
4 4
x y
240
x y
2 2
2 0BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh
2) Cho xy Chứng minh
x y xy
2
1
1
2
Giải:
Ta có x y xy
2
1
1
2
2
1 1
1
1
1
2
2
x y y xy
1
.
1
1 2
.
1
2
2
xy y
y xy xy
x x xy
1
.
1
) (
) (
2
2
xy y
y x y xy
x x y x
1
.1
.
1
1 2
2
xy y
x
xy x y
BĐT cuối xy > Vậy ta có đpcm
* Dùng bất đẳng thức phụ
1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh
3 2
b c a
Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c)
Ta có
2
2 2
1 1
1
1a b c a b c
abc
2 3.
a2b2c2
3 2
2b c
a (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
2) Cho a,b,c số dương Chứng minh
1 19
c b a c b
a (1)
Giải: (1) 1 1 19 a c a c c b a b c a b a
9
(37)áp dụng BĐT phụ 2 x y y x
Với x,y > Ta có BĐT cuối
Vậy
1 19
c b a c b
a (đpcm)
* Dùng phương pháp bắc cầu
1) Cho < a, b,c <1 Chứng minh :2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
Giải: Do a <1 a2<1 b <1 Nên
1 2
.1 2
2
a b a b a b
Hay 1a2ba2b (1)
Mặt khác <a,b <1 a 2 a3 ; b b3 1 a2 a3 b3
Vậy a3 b3 1 a2b
Tương tự ta có
b3 c3 1 b c a2 ; c3 1 c a2
2a3 2b3 2c3 3 a2b b2c c2a
(đpcm)
2) So sánh 3111 1714
Giải: Ta thấy 3111 <
1111 55 56
32 2 2
Mặt khác 256 24.14
24 14 1614 1714 Vậy 3111 < 1714 (đpcm) * Dùng tính chất tỉ số
1) Cho a ,b ,c ,d > Cminh rằng:2 a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b
Giải: Vì a ,b ,c ,d > nên ta có
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
(1) b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
(2) d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
(3) Cộng vế bất đẳng thức ta có :
a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b
(38)2) Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh :1 a b c b c c a a b
Giải: Vì a ,b ,c số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > 0 Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
Từ (1) a a a 2a
b c a b c a b c
Mặt khác a a
b c a b c
Vậy ta có a a 2a
a b c b c a b c Tương tự ta có
2
b b b
a b c a c a b c
c c 2c
a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức ta có :
a b c b c c a a b
(đpcm)
* Phương pháp làm trội :
1) Chứng minh BĐT sau :
a) 1 1 1.3 3.5 (2n1).(2n1)2
b) 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n
Giải:
a) Ta có :
2 1
(2 1)1 1 1
2 2 (2 1).(2 1) 2
k k
n n k k k k
Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có
1 1
1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2n
(đpcm)
b) Ta có: 11.2 1.2.31 1.2.3 1 n 1 1.2 1.2.31
n 11
n < 1 1 1 2
2 n n n
(39)PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
Kiến thức:
- Nếu f(x) A f(x) có giá trị nhỏ A - Nếu f(x) B f(x) có giá trị lớn B
Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1)
Và x x x 2 3 x x 3 x 1 (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 =
Ta có từ (1) Dấu xảy 1 x (2) Dấu xảy 2 x Vậy T có giá trị nhỏ 2 x Ví dụ :
Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x+y+z =1 Giải: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có
x+ y + z 3 xyz3 1
3 27
xyz xyz
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có
x y
. y z
. z x
33
x y
. y z
. x z
2 3 3
x y
. y z
. z x
Dấu xảy x=y=z=1
Vậy S 8
27 27 729 Vậy S có giá trị lớn
729 x=y=z= Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x4 y4 z4
Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có
xy yz zx
2
x2y2z2
2 1
x2y2 z2
2 (1)Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x y z2, 2, 2) (1,1,1)
Ta có (x2 y2 z2 2) (12 12 1 )(2 x4 y4 z4) (x2 y2 z2 2) 3(x4 y4 z4)
Từ (1) (2) 1 3(x4 y4 z4)
4
3 x y z
(40)Vậy x4 y4 z4
có giá trị nhỏ
3 x=y=z= 3
Ví dụ : Trong tam giác vng có cạnh huyền , tam giác vng có diện tích lớn
Giải: Gọi cạnh huyền tam giác 2a Đường cao thuộc cạnh huyền h
Hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền x,y
Ta có S =1.
. . . . x y h a h a h a xyVì a khơng đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn x.y lớn xy
Vậy tam giác có cạnh huyền tam giác vng cân có diện tích lớn
2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình
Ví dụ 1:Giải phương trình: 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2
Giải : Ta có 3x2 6x 19
3.(x22x1) 16 3.(x1)216 16 5x2 10x 14 5.
x 1
2 9 9
Vậy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 5
Dấu ( = ) xảy x+1 = x = -1
Vậy 4 3x2 6x 19 5x2 10x 14 2x x2
x = -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 x2 4y2 4y 3
Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
2 2 2
2 1 2 2
x x x x Dấu (=) xảy x =
Mặt khác 4y24y 3
2y1
2 2 Dấu (=) xảy y = -1Vậy x 2 x2 4y2 4y 3 2
x =1 y =-1
Vậy nghiệm phương trình
1 x y
(41)Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: 4 x y z x y z xyz
Giải: áp dụng BĐT Cơsi ta có
4 4 4
4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 x
2 2
2 2
x y y z z x
y z x y y z z x
x y y z z y z z x z y x
2 2 .( )
y xz z xy x yz xyz x y z
Vì x+y+z = 1) Nên x4 y4 z4 xyz
Dấu (=) xảy x = y = z =1
Vậy 4 x y z x y z xyz
có nghiệm x = y = z =
1
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
2
2
2
xy y
xy x
(1) (2)
Từ phương trình (1) 8 y2 0
hay y Từ phương trình (2) x2 2 x y. 2 2 x
x2 2 2 x 22 0 (x 2)2 0 x 2 x 2
Nếu x = y = 2 Nếu x = - y = -2
Vậy hệ phương trình có nghiệm 2 x y
2 2 x
y
3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm ngun
Ví dụ 1: Tìm số nguyên x,y,z thoả mãnx2 y2 z2 xy 3y 2z 3
Giải: Vì x,y,z số nguyên nên x2 y2 z2 xy 3y 2z 3
2 3 2 3 0 2 3 3
2 1
04
y y
x y z xy y z x xy y z z
2
2
3 1
2
y y
x z
(42)Mà
2
2
3 1
2
y y
x z
, x y R
2
2
3 1
2
y y
x z
0
2 1
1
2
1
y x
x y
y z z
Các số x,y,z phải tìm x y z
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 1 x yz
Giải: Không tính tổng quát ta giả sử x y z
Ta có 1 2z x y z z
Mà z nguyên dương z = Thay z = vào phương trình ta 1 x y
Theo giả sử xy nên = 1 x y
1 y
y2 mà y nguyên dương
Nên y = y =
Với y = khơng thích hợp Với y = ta có x =
Vậy (2 ,2,1) nghiệm phương trình
Hoán vị số ta nghiệm phương trình (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)
Ví dụ 3:Tìm cặp số nguyên thoả mãn phương trình x x y (*)
Giải:
(*) Với x < , y < phương trình khơng có nghĩa (*) Với x > , y >
(43)Đặt x k (k nguyên dương x nguyên dương ) Ta có k k.( 1)y2
Nhưng k2k k
1
k1
2 k y k 1Mà k k+1 hai số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên dương
Nên khơng có cặp số ngun dương thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm : xy00 Bài tập đề nghị :
Bài 1:Chứng minh với a,b,c > :bca acb abc a1 b1c1
HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa tổng bình phương đẳng thức
Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : ( *)
) (
1
1
1
1
N n n
n
HD: ( 1) 1 11
k k
k k
Bài 3: Cho a, b c > a + b + c 1 Cmr : 1 1 164
c b a
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho
c b
a
1 , 1 , 1
Bài : Cho ac0,bc0 Cmr : c(a c) c(b c) ab
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho
b c b a c a
c a b
c , , cộng hai vế theo vế.
Bài 5: Cho a, b >1 Tìm GTNN S =
1
2
a
b b
a
HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho
1 ,
2
a
b b
a xét trường hợp dấu “=” xảy ra
Bài : Tìm GTLN GTNN y = 2
) (
12
3
x x x
HD: Đặt x=
2 , ,
2
1
tg
Bài 10: Cho 36x2 16
y Cmr :
4 25
15
(44)HD: Đặt :
sin
cos
y x
Bài 11: Cmr : (1 ), 1,1
2
1 x2 x x2 x
HD : Đặt x =
4 , ,
2
sin
Bài 12: Cho a,b0,c 1 Chứng minh rằng: a2b2c2 1a2bb2cc2a
Bài 13: Cho ABC có a, b, c độ dài cạnh Chứng minh rằng:
0 ) ( ) ( )
( 2
2
b b c b c c a c a
a b a
Bài 14: Cho n,1n,a,b0 Chứng minh
n n
n b a b
a
2
Bài 15: n,2n Chứng minh rằng: 2 1 1 3
n
n
Bài 16: Có tồn x R cho: 3
1
tgx x tg
?
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/