1 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động dạy học tích cực cho người học Từ đó khơi dậy và thúc đẩy nhu cầu tìm tòi, khám phá chiếm lĩnh của ngư[.]
A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đổi phương pháp dạy học hiểu tổ chức hoạt động dạy học tích cực cho người học Từ khơi dậy thúc đẩy nhu cầu tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh người học; phát triển tư duy, phát huy khả tự học học sinh Thực tế cho thấy qua năm giảng dạy ở trường THCS Tôi nhận thấy rằng em học sinh, lớp phải chịu nhiều áp lực việc thi cử đặc biệt thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thi vào trường chuyên Mà ở kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức thiếu chương “Góc với đường trịn” SGK Tốn Tập 2- Trang 88 Nhà xuất giáo dục Đề thường cho dạng: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn Phần lớn em bối rối khơng làm bài, bởi em chưa nhận thấy kiện tốn đã cho có liên quan đến kiến thức quan trọng về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn mà em đã học Xuất phát từ lý đó, qua nhiều năm giảng dạy lớp học hỏi ở đồng nghiệp, rút số kinh nghiệm cho thân để em giải vấn đề khó khăn ở Chính tơi tâm đắc chọn đề tài: “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 2.1.Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm mục đích: + Giúp cho thân có kiến vững vàng công tác giảng dạy ôn tập cho học sinh + Giúp cho học sinh vững tin việc ôn tập làm thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT + Giúp học sinh lớp tiếp cận giải dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn chương trình THCS hiện hành + Rèn luyện cho học sinh về khả giải tốn, khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho tốn để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lòng say mê, sáng tạo học tập 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Đưa kiến thức, tập dạng toán “Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn” phần Hình học 9, số dấu hiệu nhận biết phương pháp đơn giản cần đạt học sinh q trình giải tốn + Đề xuất số phương pháp phân loại toán theo thứ tự từ dễ đến khó cho học sinh tiếp cận từ từ, đờng thời rèn lụn cho học sinh tìm tịi lời giải III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh lớp THCS hiện hành đặc biệt dùng cho học sinh lớp đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT về dạng tập Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4.1 Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm 4.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát thực trạng dạy học mơn Hình học nói chung dạy học dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn nói riêng cho đối tượng học sinh lớp đại trà Thông qua đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT địa bàn năm trước, thông qua chấm, chữa kiểm tra, thi học sinh thông qua hoạt động học tập em, để từ có sở phân dạng dạng toán phù hợp cho học sinh để ôn tập làm thi 4.3 Thực nghiệm sư phạm: Trong trình nghiên cứu đề tài, đã khảo sát thực trạng trước nghiên cứu tiếp tục khảo sát sau áp dụng đề tài để xem xét tính khả thi hiệu biện 4.4 Giả thuyết khoa học: Nếu q trình học tập em có phương pháp học tập tốt, biết phân dạng tập, nhận dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn, chương “Góc với đường trịn” (Chương III - Hình Học 9-Tập 2) kết chất lượng cao, học sinh lo sợ nhiều về việc lĩnh hội tri thức B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thường gặp Muốn giải tập dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vững dấu hiệu nhận biết phải biết vận dụng chúng vào loại tập Cái khó ở kĩ vẽ hình em học sinh yếu Chính số em có học lực trung bình, yếu khơng làm tập Vì cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình nhận thấy mối quan hệ qua lại Hình học đơn vị kiến thức liên quan để em tự phát hiện vận dụng cách linh hoạt vào việc giải tập, làm thi tự tin Từ thực tế nguyên nhân bằng kinh nghiệm giảng dạy thân, để nâng cao chất lượng dạy học môn phân loại dạng tập giúp học sinh yếu có hội làm tốn, tơi đã sưu tầm số dạng toán qua đề thi năm trước để thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ” Tôi đã hệ thống số dạng tập mà học sinh có học lực yếu, tiếp cận giải Với dạng đều đưa kiến thức cần sử dụng ví dụ minh hoạ phù hợp Ngồi cịn có dạng tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn, kích thích lịng say mê hứng thú học mơn Tốn, phát triển tư độc lập sáng tạo lực tự học cho học sinh lớp II THỰC TRẠNG Như đã biết địa bàn tỉnh Hà Tĩnh công tác tuyển sinh vào lớp 10 THPT, Sở giáo dục đào tạo đã đổi hình thức thi tuyển nhằm chọn lọc phân loại trình độ học sinh Phương pháp thi tuyển gờm mơn thi Tốn, Văn bắt buộc môn thứ ba Sau thi tuyển Sở GD-ĐT công bố điểm xếp hạng trường THCS theo điểm môn tuyển sinh từ cao xuống Điều khiến trường nỗ lực cao giảng dạy, ôn tập cho học sinh để đạt yêu cầu cao về chất lượng tuyển sinh tăng vị trí xếp hạng hàng năm Từ thực tiễn mà cán quản lý mà giáo viên học sinh tìm tịi phương pháp kiến thức trọng tâm để nhằm ơn tập cho học sinh có kết Với trường nằm ở vùng xa xôi khó khăn hụn Hương Khê việc giúp học sinh tăng lên điểm vấn đề đòi hỏi nổ lực nhiều thầy trị có kết Đặc biệt q trình giảng dạy ơn tập cho học sinh, người thầy phải phân dạng toán để ôn tập cho phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Đặc biệt dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thường gặp đề thi vào lớp 10 THPT Trước nghiên cứu đề tài đã khảo sát 90 em học sinh khối lớp có học lực tương đương trường qua năm học đã đề kiểm tra dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, lấy số liệu điều tra theo dõi kết khóa học lớp năm liền kề, kết cho thấy sau: Kết điểm kiểm tra Năm học 2018-2019 2019-2020 2020-2021 Số học sinh Đề tài 90 90 90 Chưa áp dụng Chưa áp dụng Chưa áp dụng Giỏi Khá 2% 3% 2% 7% 8% 6% Trung bình 32% 30% 32% Yếu Kém 49% 47% 49% 10% 12% 11% Qua kết điều tra khảo sát ở thấy tỉ lệ học sinh yếu, chiếm tỉ lệ cao, học sinh lúng túng chưa biết phân loại dạng toán, chưa nhận dấu hiệu để áp dụng, bên cạnh tâm lý lo sợ, e ngại thiếu tự tin Trong chương trình tốn THCS, mơn Hình học quan trọng cần thiết cấu thành nên chương trình tốn học cấp THCS với mơn số học đại số Hình học phận đặc biệt toán học Phân mơn Hình học có tính trừu tượng cao, học sinh ln coi mơn học khó Với mơn Hình học môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả đo đạc, tính tốn, suy luận logíc, phát triển tư sáng tạo cho học sinh Đặc biệt rèn luyện cho học sinh đại trà cách tìm lời giải tập tốn Vì muốn học tốt mơn học khơng địi hỏi học sinh phải có kĩ đo đạc tính tốn mơn học khác mà cịn phải có kĩ vẽ hình, khả tư hình học, khả phân tích tìm lời giải tốn khả khai thác cách giải phát triển tốn theo cách có hệ thống Điều đã dẫn đến số thực trạng có khơng học sinh lớp chuyên tâm vào học môn Đại số bỏ mặc mơn Hình học Ngun nhân có nhiều ngun nhân em khơng biết định hướng chứng minh, khơng tìm mối liên hệ kiến thức cịn khơng biết cách trình bày lời giải Với tầm quan trọng vậy, để khắc phục tình trạng giúp em có nhìn đắn về việc học mơn Hình học Trong q trình giảng dạy, bên cạnh tìm phương pháp dạy lý thuyết thích hợp, người thầy cố gắng rèn cho học sinh khả định hướng chứng minh qua nội dung tập, củng cố lý thuyết tập luyện tập Trên thực tế cách chứng minh tứ giác nội tiếp thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán tập SGK đã chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tuy nhiên chưa đặt dấu hiệu thành hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn cho học sinh; nhiều học sinh khơng hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Với học sinh lớp dạng toán lạ lại quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại tốn đã giải ở lớp ( Hình chữ nhật) để có cách giải hay cách lý giải khác Với lý đề tài đưa số cách để chứng minh tứ giác nội tiếp sau học sinh học xong “Tứ giác nội tiếp đường tròn” Trước thực trạng trên, địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp, từ đã thúc dục thân tơi tìm hiểu thực hiện nghiên cứu đề tài III CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong nội dung tơi xin trình bày số dạng toán giúp học sinh dễ tiếp cận số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn giải số dạng tốn đơn giản, sau: - Phương pháp 1: Chứng minh điểm cách đều điểm - Phương pháp 2: Định lý thuận, định lý đảo về “Tứ giác nội tiếp đường trịn” Trang 87, 88 SGK Tốn tập - Phương pháp 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh bằng góc đỉnh đối diện - Phương pháp 4: Các toán về quỹ tích cung chứa góc IV CÁC DẠNG TỐN CỤ THỂ: - Khi dạy xong “Tứ giác nội tiếp đường trịn” Trang 87,88 SGK Tốn tập Học sinh tự rút cách chứng minh tứ giác nội tiếp là: Dạng 1: ( Định nghĩa) Nếu tứ giác ABCD có: D C A O B OA = OB = OC = OD ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính OA (Hay tứ giác ABCD có A, B, C, D thuộc đường trịn (O) tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Dạng 2: (Tính chất) Nếu tứ giác ABCD có: D C ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn A Với tốn đặc biệt hơn, tứ giác ABCD có: O => B =>Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Đây cách đơn giản thường gặp D C x Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh bằng góc đỉnh đối diện Khai thác: Sử dụng tính chất hai góc kề bù gọi A O tia đối tia CD tia Cx chẳng hạn: B Giả sử: hai góc kề bù Mà nên => Suy tứ giác ABCD nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng 1800 ) D C Dạng 4: Các toán về quỹ tích cung chứa góc O A Xét tứ giác ABCD có Với C, D nằm ở nửa mặt phẳng bờ chứa AB ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Ta có: AB cố định nên C D nằm cung chứa góc dựng đoạn AB (theo tốn quỹ tích cung chứa góc ) Suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn hay tứ giác ABCD nội tiếp Vậy ta có cách thứ tư để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn B D A Với trường hợp đặc biệt : Khi cho = 90o ta có C O B Và hai điểm C, D liên tiếp nhìn đoạn thẳng AB cố định góc 900 Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Ta xét thêm trường hợp dựa vào kết tốn phương tích: Từ M điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai cát A tuyến MAB, MCD B Chứng minh MA.MB = MC MD C O ∆MCB (g-g) Ta chứng minh ∆MAD => => MA.MB = MC MD Đảo lại: Nếu có: MA.MB = MC.MD D A MB; C MD Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp ∆MCB (c-g-c) => Ta dễ dàng chứng minh ∆MAD Suy tứ giác ABCD nội tiếp ( Quỹ tích cung chứa góc) Với trường hợp đa phần ứng dụng để chứng minh đẳng thức: a.b = c.d Như với cách nghiên cứu với định nghĩa đường trịn ta có số cách chứng minh (dấu hiệu nhận biết) nhanh tứ giác nội tiếp đường tròn để vận dụng làm tập V MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH “TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRỊN” Dạng 1: Tứ giác có đỉnh cách điểm Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Với dạng tốn này, ta chứng minh điểm cách đều điểm Để sử dụng phương pháp này, học sinh cần biết tìm điểm mà điểm khác cách đều biết vận dụng sở để chứng minh Giáo viên cần chuẩn bị tốt cho học sinh kiến thức liên quan (Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền - Bài: Hình chữ nhật – Hình học 8) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền ( Hình học – Ơn tâp chương II ) Phương pháp : Vận dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Nếu hai hay nhiều tam giác vuông có cạnh hùn chung ta chứng minh đa giác tạo thành bởi đỉnh tam giác nội tiếp đường trịn Với kiến thức ta chứng minh dạng tập B Bài toán 1.1: C Cho tứ giác ABCD có: Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc A D đường tròn Xác định tâm đường trịn O Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Ta xét tam giác vng có cạnh hùn chung? Dễ dàng ta tìm tam giác vng có cạnh hùn Vậy tâm đường tròn trung điểm cạnh huyền Lời giải : Gọi O trung điểm AD ∆ABD vuông B nên ∆ABD nội tiếp đường trịn đường kính AD ∆ACD vuông C nên ∆ACD nội tiếp đường trịn đường kính AD => A, B, C, D thuộc đường trịn đường kính AD Tâm đường trịn trung điểm O đoạn thẳng AD Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD có Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: Tương tự toán 1.1, ta xét tương tự tam giác vng có cạnh hùn chứng minh điểm thuộc đường tròn Lời giải : Nối AC, gọi O trung điểm AC B A C O D ∆ABC vuông B nên ∆ABC nội tiếp đường trịn đường kính AC ∆ADC vng D nên ∆ADC nội tiếp đường trịn đường kính AC => A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính AC Tâm đường trịn trung điểm O đoạn thẳng AC Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BH, CK Chứng minh điểm B, C, H, K thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: Với yêu cầu toán, ta A cần xét tam giác vng có cạnh K hùn? Vì tam giác vng ? Lời giải : H Ta có BH đường cao tam giác ABC nên C B O Suy ∆BCH vuông H nên ∆BCH nội tiếp đường trịn đường kính BC (1) Tương tự, ta có CK đường cao tam giác 900 ABC nên Suy ∆BCK vuông K nên ∆BCK nội tiếp đường trịn đường kính BC (2) Từ (1) (2) => B, H, C, K thuộc đường trịn đường kính BC Gọi O trung điểm BC=> Tâm đường tròn trung điểm O BC Nhận xét chung: Với dạng toán ta dễ dàng chứng minh điểm thuộc đường tròn xác định tâm đường trịn Ở cách chứng minh em cần phải chứng minh tam giác vuông, em hay sai sót ở chỗ ghi góc vng Một số em cịn sử dụng kiến thức đường trung tuyến ứng vơi cạnh huyền để xác định điểm cách đều điểm Tuy nhiên cách chứng minh dài dịng Dạng 2: Tứ giác có tổng số đo hai góc đối 1800 Phương pháp: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn (định lý đảo trang 88 SGK Tốn tập 2) Với dạng tốn cần nhìn nhận cách cụ thể, phán đốn tốt về cặp góc đối điện, nhận đính sai cặp góc dẫn đến chứng minh khơng hiệu Bài tốn 2.1: Cho tứ giác ABCD có Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường B tròn Phân tích tìm lời giải: Với tập ta dễ dàng chọn cặp góc đối diện C A O D Lời giải : Xét tứ giác ABCD có => Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Tâm đường tròn trung điểm O cạnh AC Nhận xét: Một số em nêu hai góc bằng 900 chưa cộng tổng hai góc Một số em hay sai ở phần giải thích: Hai góc đối diện 1800 Bài toán 2.2: Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R , phía nửa đườn tròn vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính AO Từ A kẻ dây cung AC cắt đường trịn (O’) D Từ C hạ CH vng góc AB Chứng minh tứ giác ODCH nội tiếp, xác định tâm I đường trịn Phân tích tìm lời giải: Với tập này, C em khó khăn việc tìm cặp góc đối diện để chứng minh tứ giác nội tiếp D Giáo viên gợi mở, tứ giác I ) ODCH có góc đặc biệt? ( A B Vậy góc đối diện ta cần chứng minh O H O' nào? Lời giải : Xét đường trịn (O’) có ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (hai góc kề bù); (CH vng góc AB) => Xét tứ giác ODCH có: (chứng minh trên) (chứng minh trên) => Suy tứ giác ODCH nội tiếp đường trịn đường kính OC (Tổng hai góc đối diện bằng 1800 ) Tâm đường trịn trung điểm I OC Bài tốn 2.3: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C nằm S D) Gọi H trung điểm CD Chứng minh điểm S, A, H,O, B, thuộc đường trịn Xác định tâm đường trịn Phân tích tìm lời giải: A Mức độ tốn khó D phải chứng minh điểm C H thuộc đường trịn Chúng ta chia S O nhỏ để chứng minh điểm thuộc đường trịn Ta chứng minh tứ giác nội B tiếp đường tròn? (Tứ giác SAOB tứ giác SHOB) Với tứ giác SAOB ta dễ dàng chọn cặp góc đối diện nhờ hình vẽ bởi tiếp tuyến SA, SB Với tứ giác SHOB ta có nhận xét về điểm H? ( Kiến thức cần dùng quan hệ đường kính dây) Ở ta sử dụng kiến thức ở phần kết luận để suy vấn đề cần chứng minh cho điểm H 10 Nhận xét: Với dạng toán ta cần chứng minh hai góc bằng nhìn đoạn thẳng Bài tốn 4.2: Hai đường trịn (O) (O’) cắt A hai điểm A B Gọi EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (E (O), O O' F(O’)) AB cắt EF I ∆IBE a) Chứng minh ∆IEA B IE = IA.IB I E F b) Gọi C điểm đối xứng B qua I C Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp Phân tích tìm lời giải: Vậy để chứng minh tứ giác AECF nội tiếp ta cần chứng minh hai góc bằng nhìn đoạn thẳng nào? ( ) Khai thác đề tốn ta chứng minh ? Ta sử không? Như ta cần chứng minh ∆BEI dụng góc trung gian = ∆CFI Giáo viên gợi ý học sinh chứng minh I trung điểm EF Lời giải : ( chắn cung BE ) (1) Xét đường trịn (O) có ∆IBE (g.g) IE2 = IA.IB Ta có: ∆IEA Ta có: ∆IFB ∆IAF (g.g) IF2 = IA.IB => IE2 = IF2 => IE =IF ( đối đỉnh) Xét ∆BEI ∆CFI có: IE =IF ; IB = IC => ∆BEI = ∆CFI ( c.g.c) => (2) Từ (1) (2) => Xét tứ giác BECF có: Ta có hai điểm A F liên tiếp nhìn đoạn thẳng EC góc bằng nên tứ giác BECF nội tiếp đường trịn ( Quỹ tích cung chứa M góc) Bài toán 4.3: Cho ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia A đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN O Chứng minh tứ giác AMNO nội tiếp Phân tích tìm lời giải: Tương tự tập 4.2, ta có C B thể chứng minh hai góc bằng nhau? ( N ) Ta chứng minh hai tam giác có chứa hai góc bằng khơng? Nhận xét về tia AO? ( Tia phân giác) 17 Lời giải : ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) nên AO đường trung trực vừa phân giác nên ∆OAC cân O (OA = OC) => => => ( kề bù với hai góc bằng nhau) ( chứng Xét ∆AOM ∆CON có: OA = OC (bán kính); minh trên); AM = CN(gt) =>∆AOM = ∆CON (c.g.c) => (hai góc tương ứng ) Xét tứ giác AMNO có: Ta có hai điểm M N liên tiếp nhìn đoạn thẳng OA góc bằng nên tứ giác AMNO nội tiếp đường trịn (Quỹ tích cung chứa góc ) Bài tốn 4.4: Cho đường trịn (O; R) Và điểm A nằm ngồi (O; R) Đường trịn đường kính AO cắt đường trịn (O; R) M N Đường thẳng d qua A cắt (O; R) B C ( d không qua O; điểm B nằm A C) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh: AM tiếp tuyến (O; R) H thuộc đường tròn đường kính AO b) Đường thẳng qua B vng góc với OM cắt MN D cắt MC E Chứng minh rằng: Tứ giác BDNH nội tiếp c) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC d) Chứng minh E trung điểm MC Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh tứ giác BDHN nội tiếp ta cần chứng ) Ta dựa vào góc trung minh cặp góc bằng nhau? ( gian nào? dựa sở nào? Vì ? (1) ( hai góc Lời giải : Xét đường trịn đường kính AO có: nội tiếp chắn cung MH) (gt) Lại có (tính chất tiếp tuyến ) BD // AM ( từ vng góc đến song song) (2) ( hai góc đồng vị) Từ (1), (2) suy Xét tứ giác tứ giác BDHN có M E B D A C H O N Ta có hai điểm B N nhìn đoạn thẳng DH góc bằng => Tứ giác BDHN nội tiếp đường tròn ( quỹ tích cung chứa góc) Dạng 5: Sử dụng điểm trung gian đề chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp: Ngồi dạng tốn trên, để chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn ta sử dụng đỉnh trung gian để chứng minh tứ giác nội tiếp 18 Bài toán 5.1: Từ điểm S nằm ngồi A đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến SA, SB D ( A, B tiếp điểm ), cát tuyến SCD ( C C nằm S D) Gọi H trung điểm H CD S O Chứng minh điểm A, B, O, H thuộc đường trịn Phân tích tìm lời giải: Mức độ B tốn khó chứng minh bằng phương pháp đã trình bày Học sinh khơng biết đâu? Giáo viên gợi mở bằng cách cho học sinh có nhận xét về điểm S khơng? Như yêu cầu toán chứng điểm thuộc đường tròn Bây toán lại quay về dạng Lời giải : Xét tứ giác SAOB có: SA, SB tiếp tuyến đường tròn (O) nên => Suy tứ giác SAOB nội tiếp đường trịn đường kính SO (1) ( Tổng hai góc đối diện 1800 ) Xét đường trịn (O) có H trung điểm CD nên OH CD nên Xét tứ giác SHOB có Suy tứ giác SHOB nội tiếp đường tròn đường kính SO (2) ( Tổng hai góc đối diện 1800 ) Từ (1) (2) => S, A, O, B, H thuộc đường trịn đường kính SO Suy A, O, B, H thuộc đường tròn đường kính SO Bài tốn 5.2: Trên ( O;R ) lấy điểm A, B cho AB < 2R Gọi giao điểm tiếp tuyến (O) A, B M Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với Gọi giao điểm dây AD, A BC N Chứng minh tứ giác AMBN nội tiếp đường trịn M Phân tích tìm lời giải: Vẫn xây dựng C O toán 5.1, để chứng minh tứ giác MANB nội tiếp học sinh gặp khó khăn về N lý luận tính số đo góc theo số B D đo cung Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác điểm O điểm trung gian Lời giải : Xét đường trịn (O) có AC / / BD nên AB = CD 19 => = sđAB+ sđCD= sđAB ( góc có đỉnh ở bên đường trịn) sđAB ( góc ở tâm) => Xét tứ giác OABN có Ta có hai điểm O N liên tiếp nhìn đoạn thẳng AB góc bằng => Tứ giác OABN nội tiếp đường tròn (1)( Quỹ tích cung chứa góc) Xét tứ giác MAOB có: MA, MB tiếp tuyến đường tròn (O) nên => Suy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO (2) (Tổng hai góc đối diện 1800 ) Từ (1) (2) => Tứ giác MANB nội tiếp đường trịn ( chung điểm O, A, B) Dạng 6: Bài toán ứng dụng tứ giác nội tiếp đề chứng minh đẳng thức kép Với dạng tốn chứng minh đẳng thức kép, khơng học sinh giỏi gặp nhiều khó khăn Mà dạng tốn có nhiều ở kì thi học sinh giỏi cấp Để giải dạng tốn này, thường nhìn nhận vấn đề theo tốn “ Phương tính” ( Đẳng thức mà tứ giác nội tiếp có ), kết học ở cấp THPT học sinh bồi dường HSG huyện Kết sử dụng theo cách suy luận phải chứng minh bằng tam giác đồng dạng dùng Bài toán 6.1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BD, CE Gọi H giao điểm BD CE Chứng minh: BE AB + CD AC = BC2 Phân tích tìm lời giải: A Để có kết BE BA = a.b ta cần D tứ giác nội tiếp phải có chứa cạnh E H O' O BC? Tương tự CD.CA = c.d vậy? Làm để thỏa mãn hai vấn đề đó? Giáo viên B C gợi mở học sinh kẻ đường cao thứ (AK) K Vậy theo tích chất tứ giác nội tiếp ta có kết nào? BE BA=BK.BC; CD.CA=CK.CB ( Chứng minh tam giác đồng dạng) Lời giải : Kẻ đường thẳng AH cắt BC K H trực tâm ∆ABC nên AK BC => ∆BKA ∆BEC (g.g) => A =>BE BA=BK.BC (1) O B N C D H M 20 ... đã sưu tầm số dạng toán qua đề thi năm trước để thực hiện học sinh dễ tiếp cận, với đề tài “ Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh đại trà ôn thi vào lớp 10 THPT ” Tôi... thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu sở dấu hiệu Dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Với học sinh. .. thực trạng dạy học mơn Hình học nói chung dạy học dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn nói riêng cho đối tượng học sinh lớp đại trà Thông qua đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT địa bàn